07..0 DOĞRUSAL OENTU VE ÇARPIġALAR. DOĞRUSAL OENTU VE KORUNUU. ĠPULS VE OENTU 3. ÇARPIġALAR. BĠR BOYUTTA ESNEK VE ESNEK OLAYAN ÇARPIġALAR 5. ĠKĠ BOYUTTA ÇARPIġALAR 6. KÜTLE ERKEZĠ 7. PARÇACIKLAR SĠSTEĠNĠN HAREKETĠ Hareketl bowlng topu br momentum taģır. Top ve lobutlar çarpıģınca toptak momentum lobuta aktarılır (ark Cooper/Corb Stock arket). DOĞRUSAL OENTU VE KORUNUU v hızı le hareket eden m kütlel br parçacığın doğrual momentumu kütle ve hızın çarpımı olarak tanımlanır: p mv () (Br parçacık çn doğrual momentum tanımı) omentum: vektörel br ncelktr, yönü hız le aynıdır. brm (SI); kgm/ Ragele hareket eden br parçacık çn momentumun 3 bleģen vardır: p mv p y mv y p mv z z () ANLAA SORUSU SORU: Aynı knetk enerjye ahp parçacığın momentumlarını kıyalayınız. CEVAP: Aynı knetk enerjl parçacık çn; K K mv mv. Aynı yönde ve aynı hızla hareket eden parçacık çn; v v ve m m olacağından; p p olur. DOĞRUSAL OENTU VE KORUNUU Newton un. hareket yaaından br parçacığa etkyen net kuvvet; parçacığın doğrual momentumunun değģme hızına yan zamana göre türevne eģttr: dp d( mv) F (3). Aynı hızla ama farklı yönde hareket eden parçacık çn; v v ve m m ancak knetk enerj kaler ve momentum vektörel büyüklükler olduğundan; p p olur. 3. Knetk enerjler aynı olduğu halde farklı kütle ve hızlar da olaıdır. Örneğn; m = kg, v = m/, m = kg, v = m/ çn knetk enerjler aynı ama momentumlar farklıdır. YalıtılmıĢ br temdek br parçacık çn olduğundan P (momentum) abt kalır. Yan momentum korunur. F 0
07..0 Ġk Parçacıklı Br Stem Ġçn omentumun Korunumu (. Parçacığın. ye uyguladığı kuvvet) YalıtılmıĢ br temde brbrleryle etkleģen parçacık ele alalım. Yan parçacıklar brbrlerne kuvvet uyguluyor ama dıģ kuvvet yok. Bu durum çn Newton un 3. yaaına bakalım. Brnc parçacık. ye br kuvvet uygulara. parçacıkta. ye büyüklüğü eģt zıt yönde br kuvvet uygular. F F (etk-tepk çft) Buradak parçacığa Newton un. yaaını uygularak; dp (. Parçacığın. ye dp F uyguladığı kuvvet) F Ġk Parçacıklı Br Stem Ġçn omentumun Korunumu Newton un 3. yaaına göre; F F F F 0 dp dp d ( p p) 0 p p p p abt () top p p tem (lk momentumlar=on momentumlar) p p omentumun korunumu: YalıtılmıĢ br temde veya daha fazla parçacık etkleģtğnde, temn toplam momentumu abt kalır. (5) Buna göre toplam momentumun, y, z bleģenler de ayrı ayrı korunur: tem p p tem tem p y p tem y tem p z p tem z (6) ĠPULS (ĠTE) VE OENTU Br parçacık üzerne zamanla değģen br F kuvvet uygulanıra, Newton un. yaaına göre; dp F dp F (7) Kuvvet bell br zaman aralığında uygulanmıģ e momentumdak değģme; (t p, t p ) t p p p F t (8) Ġmpul-omentum Teorem Br parçacığın üzerne etkyen F kuvvetnn mpulu, bu kuvvetn ebep olduğu parçacığın momentumundak değģme eģttr; Ġmpul, kuvvet-zaman eğr altında kalan alana eģttr. Vektörel br ncelktr. Yönü momentum değģmnn yönü le aynıdır. Boyutu momentum le aynıdır (kgm/). Bu eģtlğe parçacığa etkyen F kuvvetnn mpul u denr. t I F p (9) (Br kuvvetn Ġmpulu) t Parçacığa br mpul verlme, kuvvet uygulayan kaynaktan parçacığa momentum aktarılmaı demektr.
07..0 Ġmpul-omentum Teorem Alan F t ( t t t) Ortalama br F kuvvet tanımlarak (matematkte ortalama değer teor uygulamaına göre); t F F (0) t t (9) eģtlğn kullanarak I Ft () yazablrz. Parçacığa etkyen kuvvet abte F F olacağından; I F t () Br parçacık üzerne dğerlernden daha büyük kıa br üre etk eden kuvvet vara, mpul yaklaģımı faden kullanılır. Buna mpulf kuvvet dyeceğz. Örnek; br beyzbol opaının beyzbol topuna 0.0 de çarpmaı. Örnek 9. Araba tamponları ne kadar ağlamdır? 500 kg kütlel br otomobl br duvara çarpıyor. Ġlk ve on hızları v =-5 ve v =.6 (m/). ÇarpıĢma 0.5 ürere, mpulu ve otomoble uygulanan ortalama kuvvet bulun. ÇÖZÜ: Ġlk ve on momentumları; Ġmpul; I p p p I 0.39 (.5) 0.60 (kgm/) Ortalama kuvvet; p mv (500)( 5).50 (kgm/) p mv (500)(.6) 0.390 (kgm/) p F t 5.60 0.5.760 (N) ÇARPIġALAR Ġk parçacığın çarpıģtığını düģünelm. ÇarpıĢmada dıģ kuvvetlern etk yoka, çarpıģmadan dolayı m kütlenn momentumundak değģme; t p F F : m m t m nn momentumundak değģm; t F p t F : m m Newton un 3. yaaına göre; p p p p 0 Stemn toplam momentumu; p tem olduğundan çarpıģmadan dolayı temn momentumundak değģm ıfırdır. Yan p tem p p abt p p a) Doğrudan temala k cmn çarpıģmaı. b) Ġk yüklü parcacığın çarpıģmaı YalıtılmıĢ br temn çarpıģmadan hemen öncek toplam momentumu çarpıģmadan hemen onrak toplam momentumuna eģttr. ÖRNEK 9.5 Ġk arabanın çarpıģmaı IĢıkta duran 800 kg kütlel br arabaya, 900 kg lık br araba 0 m/ hızla arkadan çarpıyor. ÇarpıĢmadan onra brlkte ürüklenen arabaların ürüklenme hızı nedr? Çözüm; ÇarpıĢmadan öncek toplam momentum= ÇarpıĢmadan onrak toplam momentum ÇarpıĢmadan önce büyük araba durgun olduğundan momentum ıfırdır. p mv (900)(0).80 kgm/ ÇarpıĢmadan onrak brleģk kütlenn momentumu; p ( m m) v 700v p p.80 v 6.67 m/ 700 (Hareketn yönü baģlangıçtak yön le aynı) 3
07..0 BĠR BOYUTTA ESNEK VE ESNEK OLAYAN ÇARPIġALAR Toplam momentum ve toplam knetk enerj çarpıģmadan önce ve onra abt kalıyora cmler araındak çarpıģma enek çarpıģmadır. Ġk blardo topu araındak çarpıģma yaklaģık enektr (knetk enerj kaybı olur). Gerçek enek çarpıģmalar atom ve atomaltı parçacıklar araında gerçekleģr. Enek olmayan (nelatk) çarpıģmada, momentum korunur ancak toplam knetk enerj çarpıģmadan önce ve onra farklıdır. BĠR BOYUTTA ESNEK VE ESNEK OLAYAN ÇARPIġALAR Enek olmayan çarpıģma k çeģttr:. Tamamen enek olmayan çarpıģmada çarpıģan cmler çarpıģmadan onra beraber hareket ederler. eteor taģının dünyaya çarpmaı gb. Dğer enek olmayan çarpıģmada çarpıģan dğerne yapıģıp kalmaz ancak braz knetk enerj kaybeder. Latk br topun katı br yüzeye çarpmaı gb; top Ģekl değģtrr braz enerj kaybeder. Enek ve tamamen enek olmayan çarpıģmalar ınırlıdır. ÇarpıĢmalarda cmn Ģeklnn bozulmaı, enerjnn br kımının ç enerjye, eneklk potanyel enerjye, dönme enerjne dönüģtürür. Bu nedenle enek olmayan çarpıģmalar yaygındır. Bütün çarpıģmalarda momentum korunur ancak knetk enerj adece enek çarpıģmalarda korunur (abt kalır). Tamamen enek olmayan çarpıģmalar v Doğrual yol boyunca hareket eden m ve m kütlel k cm çarpıģma le brbrne yapıģarak brlkte ortak hız le hareket etnler. Toplam momentumlar çarpıģmadan önce ve onra eģt olacağından; m v m v ( ) m m v mv m v v m m () (3) Enek çarpıģmalar ÇarpıĢmadan önce ÇarpıĢmadan onra v v Kafa kafaya enek çarpıģan k parçacık çn momentum ve knetk enerj korunur. m v m v m v m mv m v mv m v mv v v m v v (5) (6) v v v v m v v v v m v v m v v (8) m
07..0 Enek çarpıģmalar Son k eģtlğ brbrne bölerek; v v v v ya da v v v v (9) (5) Ve (9) denklemlern enek çarpıģma problemlern çözmek çn kullanablrz. Parçacıkların lk hızları ve kütleler blnyora enek çarpıģma halnde on hızları: m m m v v v (0) m m m m m m m v v v () m m m m Burada hızlar vektörel olduklarından Ģaretler dkkate alınmalıdır.. kütle baģlangıçta durgun e enek çarpıģma onraı hızlar (v =0): m m v v () m m m v v (3) m m ÖRNEK 9.6 BALĠSTĠK SARKAÇ Kütle m olan merm, kütle mermye göre çok büyük olan haff plerle tavana aılmıģ m kütlene ateģ edlr. erm bu kütleye aplanıp brlkte hareket ederek h kadar yükelrler. Bu verlerden yararlanarak mermnn üratn heaplayınız. ÇarpıĢma nelatktr. omentum korunur. () eģtlğnde v A =0 olduğundan; mv A vb m m Bunu çarpıģma onraı knetk enerjde yerne yazarak; KB ( m m) v m v A B KB ( m m ) ekank enerj faden kullanırak; K m v A 0 0 ( m m ) gh ( m m ) B U K U m m v A gh m B C C ĠKĠ BOYUTTA ÇARPIġALAR YalıtılmıĢ k parçacıklı br temn toplam momentumunun korunduğunu gördük. boyutlu çarpıģmalar çn momentumun korunumunu yazarak; mv mv mv mv mv y mvy mv y mv y blardo topunun çarpıģmaı boyutlu çarpıģmaya br örnektr: ĠKĠ BOYUTTA ÇARPIġALAR v baģlangıç hızı olan br m kütle durgun m kütle le ıyırmalı br çarpıģma yapın. (baģlangıçtak y bleģenler ıfır). omentumun korunumu; m m m m mv mv co mv co () 0 m v n m v n (5) ÇarpıĢma eneke knetk enerj korunumunu kullanablrz; mv mv mv (6) 5
07..0 KÜTLE ERKEZĠ ekank br temn tamamının hareketn, temn kütle merkez dyeceğmz br nokta yardımıyla nceleyeblrz. ekank temdek bütün kütlenn ank kütle merkeznde yoğunlaģmıģ gb hareket ettğn göreceğz. Kütle merkeznn vme hareket; Fd a Steme etkyen toplam dıģ kuvvet Stemn toplam kütle Böyle br durumda tem, dıģ kuvvet kütle merkeznde bulunan tek br kütlel parçacığa uygulanıyormuģ gb hareket eder. eken üzerndek parçacık çn kütle merkez eken üzernde ve X daha ağır olan parçacığa yakındır. Kütle merkeznn koordnatı; m m m m (7) KÜTLE ERKEZĠ Kütle merkez kavramını, 3 boyutta n parçacıklı teme genelleģtrrek, kütle merkeznn koordnatı; m m... mnn m m... m Toplam kütle; m n m m (8) Kütle merkeznn y ve z koordnatları benzer Ģeklde tanımlanır: y m y m z z (9) KÜTLE ERKEZĠ Kütle merkeznn yern konum vektörü le göterrek; r r ˆ y m r ˆj z (30) kˆ nnc parçacığın konum vektörü; m ˆ m y ˆj (Parçacıklar tem çn kütle merkeznn vektörel konumu) m z kˆ r ˆ y ˆj z kˆ Katı br cmn kütle merkez çn katı cm brbrne btģk çok ayıda m kütlel parçacıklardan oluģmuģ gb düģüneblrz. YaklaĢık olarak; m KÜTLE ERKEZĠ Lmt durumu çn (parçacık ayıı: n) kütle merkez tam olarak elde edleblr. Bu durumda onuz parçacık çn (m 0) lmt olur; m Benzer Ģeklde; y ydm lm0 dm m Katı br cmn kütle merkeznn vektörel konumu; r rdm (33) z zdm (3) (3) Kütle yoğunluğu aynı olan br metrk cmn kütle merkez, metr eken ve metr düzlem üzerndedr. Örnek: homojen br çubuğun kütle merkez çubuk üzernde ortada olur. 6
07..0 PARÇACIKLAR SĠSTEĠNĠN HAREKETĠ Konum vektörünün zamana göre türev hızın tanımı olduğundan kütle merkeznn hızı; mv dr dr v m (3) Buradan Parçacık temnn toplam momentumu; v mv p ptop (35) O halde temn toplam doğrual momentumu, v hızı le hareket eden kütlel tek br parçacığın momentumuna eģttr. Kütle merkeznn vme; dv dv a m ma (36) Newton un. yaaını kullanarak tekrar yazarak; a ma F (37) PARÇACIKLAR SĠSTEĠNĠN HAREKETĠ Newton un. yaaını kullanarak tekrar yazarak; a ma F (37) parçacığına etkyen kuvvet Burada temdek herhang br parçacık üzerne hem dıģ hem ç kuvvetler etk edeblr. Newton un 3. yaaına göre ç kuvvetlern toplamı ıfır olacaktır, çünkü bu kuvvet çftler brbrlern yok ederler (F =-F ). Stem üzerndek net kuvvet adece dıģ kuvvetlerdr. O halde yukarıdak eģtlk; dptop Fd a (38) Buna ve Newton un. yaaına göre: toplam kütle olan parçacıklar temnn kütle merkez, teme etkyen bleģke dıģ kuvvetn etknde olan kütlel br parçacık gb hareket eder. BleĢke dıģ kuvvet ıfıra; F d 0 dptop a 0 p top v abt (39) 7