BÖÜ 1 VETÖE ODE SOU - 1 DEİ SOUAI ÇÖZÜEİ ODE SOU - DEİ SOUAI ÇÖZÜEİ 1. Bir vektörün tersi doğrultu ve büyüklüğü aynı yalnızca yönü ters olan vektördür:. = olacağından, I. eşitlik yanlıştır. II. eşitlik doğrudur. III. eşitlik doğrudur.. I I= I I= + = 6 ve > olduğuna göre, 1. Şekilde görüldüğü gibi, + + = 0 dır. Buna göre, + + + = 1443 0 = Bu durumda, 3 kuvve- = tinin büyüklüğü 8 + 6 = 14 3 =6. Şekilde görüldüğü gibi, 3. Bileşke kuvvetin maksimum değeri, + + = ma = 4 + 6 + 1 = Bileşke kuvvetin minimum değeri, ++= min = 1 (4 + 6) = Bu durumda bileşke kuvvet, arasında her değer alabilir. I. yar gı yan lış tır. II. yar gı yan lış tır. II I. yar gı doğru dur. 4. ma = 3 ol du ğun dan, min ma = + = 3 3. =+++ min = - = 1 + = 4 = + = 3 = 1 Vektörlerin bü yük lük le ri ora nı, II II =,,, vektörlerinin toplamı şekilde gösterilmiştir. UVVET VE HAEET 1
4. Şekilde görüldüğü gibi, + + + P + = 1443 0 P 8. Şekilde görüldüğü gibi, noktasal cismi +y yönünde hareket eder. +y + y 5. Şekilde görüldüğü gibi, I ve II eşitlikleri doğru, III eşitliği yanlıştır. += += 9. Şekilde görüldüğü gibi, noktasal cismi + yönünde hareket eder. +y + += y 6. 7. =++++P P,,,, P vektörlerinin toplamı şekilde gösterilmiştir. 10. + = dir. I. eşitlik doğrudur. + P = dir. II. eşitlik doğrudur. + + + P = 0 dır. III. eşitlik doğrudur. 11. Aynı düzlemde verilen,,,, P vektörlerinin toplamı, + + + + P = 0 dır. P Hangi vektör ters çevrilirse bileşke o vektörün iki katı Bileşkenin küçük olması istendiğinden büyüklüğü en küçük olan vektörü ters çevrilirse bileşke minimum P += + = 1. 4 kuvveti şekilde gösterildiği gibidir. ++=0 Şekilde görüldüğü gibi; I, II ve III eşitlikleri doğrudur. UVVET VE HAEET
ODE SOU - 3 TEİ SOUAI ÇÖZÜEİ 4. I I = 1v I I = 15 1. = =. 4 = 3 = 3. 8 I I = 7v3 45 O 37 ve taraf tarafa oranlanırsa,. 4 6 1 = = = = 3. 8 3 6 6. 3 45 v 3 4 Önce kuvve ti ni bi le şen le ri ne ayı ra lım. Da ha son ra zıt kuv vet ler çı ka rı lır. Bi leş ke kuv ve tin bü yük lü ğü, = (3) + (4) = 5 3 I I = 7v3 1 ve kuvvetlerini bileşenlerine ayıralım. = 15. cos37 1 = 15. 0,8 9 = 1 y = 15. sin37 1 1 = 15. 0,6 + =1 = 9 = 1. = 1 y = 1. = 1 3 ve kuv vet le ri eşit ve ara- 1 da ki açı ol du ğun dan bu iki kuv ve tin bi leş ke si, 34 = 3. ^7 3h = 1 30 Şe kil de ki kuv vet ler eşit ve ara da ki açı 10 ol du ğun dan 1. 1,, 3 ve kuv vet le ri nin bileşkesi, = 1 3. İlk ola rak 5v luk kuv- = 5 ve ti dik bi le şen le ri ne ayıra lım. y = 5 45 45 = 5 =. cos45 = 5. = 5 y =. sin45 = 5. = 5 Şim di tüm kuvvetlerin top la mı nı ko lay lık la bu la bi li riz. 5. Bi leş ke vektörü bul mak için ön ce 5 br ve 5v br lik vektörleri bi le şen le ri ne ayır mak ge re kir. =. cos37 = 5. 0,8 = 4 br y =. sin37 = 5.0,6 = 3 br = 5v br ise, açı 45 ol du ğun dan, = 5 br ve y = 5 br ola rak ya zı la bi lir. 1 5 3 3 br 7 br 4 br 5 br br 4 br 5 Bileşke kuvvetin büyüklüğü, = 3 + 4 = 5 4 br 5 br Bi leş ke vektör, = + 4 = v5 br UVVET VE HAEET 3
6. k k =5 br 10. 4 br 4 br 4 br 30 Bir vektörün bi le şen le ri alı nır ken, vektörün ucundan ek sen le re pa ra lel ler çi zi lir. Bu pa ra lel le rin ek sen le ri kes ti ği nok ta lar vektörün bi le şen le ri dir. Bu na gö re, 30, 60, 90 üç ge nin den 30 k = 5 br ise, 90, = 10 br = 5v3 br 11. 53 53 y 3 3 br 3 br ve bi le şen le ri ne ay rı lır sa, bi leş ke vektör, br ola rak bu lunur. 7. cis minin y doğ rul tusun da ha re ket ede bil me si için kuvvetinin bileşeni, α α I I = α = = 4 1 = 3 olmalıdır. kuvvetinin büyüklüğü, =. sin37 3 =. 0,6 = 5 I I = 6 II=10 =6 =10 Şekil - Ι Şekil - ΙΙ 1 ve kuvvetlerinin bileşkesi, 8. y 4 6 1 y =10 10 10 = (8) + (6) = 100 = 10 Şekil-I de cismi hareketsiz kaldığından, = = 10 Şe kil-ii de kuv ve ti ters çev ril di ğin de cis mi ne et ki eden bil eş ke kuv vet, 0 Şekil-I Şekil-II Şekil-II de görüldüğü gibi, noktasal cismine etki eden bileşke kuvvetin büyüklüğü 10 9. Şekilde görüldüğü y gibi, noktasal cismine etki eden 10 =10 bileşke kuvvetin 30 30 büyüklüğü 10 =10 30 =10 1. = + + = 10 + 10 = 0 5 = 4 3 =0 Şekilde görüldüğü gibi, noktasal cismine etki eden bileşke kuvvetin büyüklüğü = dir. 4 UVVET VE HAEET
ODE SOU - 4 TEİ SOUAI ÇÖZÜEİ 1. I I = 3f 4. Şekilde görüldüğü gibi, + = 13 53 17 I I = 6f 1 37 143 I I = 4f 1 ve kuvvetlerinin bileşkesi, 1 = (3f) + (4f) I I = 6f 1 = 5f dir. nin büyüklüğü, I I = 5f = = 5f + 6f. = 11f =r + =r 30 30 =r 5. Şekilde görüldüğü gibi, vektörü Şekil-II de gösterilen vektörlerden numaralı vektöre eşittir. 3 =r Ön ce kuvvetler ara sın da ki açı yı bu la lım. a + a + a + a = 180 6a = 180 a = 30 + = = r dir. nin büyüklüğü, = 1 + - 3 = r - (-3r) = 4r 3. 6. 1 =+ = + 3 = Şekilde görüldüğü gibi, = 3 > 1 P Şekilde görüldüğü gibi, II ve III vektörleri vektörüne eşittir. UVVET VE HAEET 5
ODE SOU - 5 TEİ SOUAI ÇÖZÜEİ 1. A vektörünün bü- y yüklüğü A = A +A y +A z 8 br 6 br A = 6 +8 + 10 A = 00 A = 10v br 10 br z 4. y y c A c B c c c z A ve B vektörlerinin tüm bileşenlerinin büyüklükleri birbirine eşit olduğundan A ve B vektörlerinin büyüklükleri, A = c + c = c B = c + c + c = 3 c eşitlikleri taraf tarafa oranlanırsa, A c = = B 3 c 3. A vektörü A = a + b + c şeklinde tanımlandığından büyüklüğü, A = ( a) + b + c = (. ) + 3 + 5 = 50 = 5 br 5. üpün kenar uzunluğu a ise hacmi V = a 3 Bu durumda bir kenarın uzunluğu, V = a 3 64 = a 3 a = 4 cm Bu değer bir vektörün ( ) bileşenlerine eşit olduğundan bu vektörün büyüklüğü, = a + a + a = 4 + 4 + 4 = 4v3 cm 3. A vektörünün büyüklüğü, A = k +, = 3 + 4 = 5br B vektörünün büyüklüğü, B = k +, + m = 3 + 4 + 5 = 5 br Taraf tarafa oranlandığında, 6. a, b ve c vektörleri küpün kenar uzunlukları olduğundan büyüklükleri birbirine eşittir. a = b = c I. ifade doğrudur. Şekilde a, b ve c vektörleri üç boyutlu olduğundan üçüde birbirine diktir. a b c A 5 = = B 5 1 II. ifade doğrudur. a + b c olduğundan III. eşitlik yanlıştır. 6 UVVET VE HAEET
ÇÖZÜE Vektörler Test 1 1. = dir. 5. I. eşitlik doğrudur. = dir. II. eşitlik doğrudur.! dır. III. eşitlik yanlıştır. +=5br 1birim. += = += 1birim Şekilde görüldüğü gibi, + vektörünün büyüklüğü 5 birimdir. = = 6. = Şekilde görüldüğü gibi, = dır. 3. = += += += = Şekilde görüldüğü gibi; I, II ve III eşitlikleri doğrudur. Şekilde görüldüğü gibi; I, II ve III eşitlikleri doğrudur. 7. Bi leş ke kuv vet v3 ol du ğu na gö re ara la rın da ki 4. += += açı dır. Arada ki açı 10 ol du ğun da bi leşke kuv vet, = = Şekilde görüldüğü gibi; I, II ve III eşitlikleri doğrudur. 10 UVVET VE HAEET 7
8. 5 kuvvetinin büyüklüğü, = =. sin30 = = 40. 1 3 0 3 CE VAP B Şekilde görüldüğü gibi, noktasal cismi kuvveti doğrultusunda hareket eder. 9. 1. Ι 5 Şekilde görüldüğü gibi, gösterilen kuvvetlerden I numaralı kuvvettir. Şekilde görüldüğü gibi, noktasal cismi, kuvvetlerinin bileşkesi yönünde hareket eder. 10. 5 13. Şekilde görüldüğü gibi, gösterilen kuvvetlerden 5 numaralı kuvvettir. Şekilde görüldüğü gibi, kuvveti kaldırılırsa, noktasal cisminin hareket yönü değişmez. 11. 1y 14. 30 1 in iki bi le şe ni var dır. Birisi, di ğe ri ise y dir. Bu du rum da bi leş ke kuv vet y ye eşit y =. cos30 = 0. 3 = 0 1 = 40 3 Şekilde görüldüğü gibi, gösterilen kuvvetlerden IV numaralı kuvvettir. 8 UVVET VE HAEET
ÇÖZÜE 1. Ve ri len kuvvetlerin doğ ru lu ğu nu uç uca ek le me me to du nu kul lana rak in ce le ye lim. Vektörler 4. 1 Test I. 1 + = 5 1 + + = I. yar gı yan lıştır. Şekilde görüldüğü gibi;,,, kuvvetlerinin bileşkesi dir. Bu kuvvetlerden ve kuvvetleri kaldırılırsa cisim yine aynı yönde hareket eder. II. 1 + + + 5 = 0 1 + + + + 5 = II. yar gı yan lıştır. III. + + 5 = III. yar gı doğ rudur. Bu durumda yalnız III. yargı doğrudur. 5 5.. 5 Şekilde görüldüğü gibi;,,, 5 kuvvetlerinin bileşkesi sıfırdır. Buna göre, kuvveti kaldırıl- dığında cisim sabit hızla harekete devam eder. Şekilde görüldüğü gibi, gösterilen kuvvetlerden numaralı kuvvettir. 3. 6. Ta nım la nan ve + y y vek tör le ri ni z = vek tö- 4 rün de ye ri ne ya zar sak, P Şekilde görüldüğü gibi, kuvveti Şekil II de gösterilen kuvvetlerden 3 numaralı kuvvettir. ( 1+ + 3) + ( 1+ + 33) z = 4 1 z = + 3 vek tö rü bu lu nur. Bu du rum da z vek tö rü Şe kil-ii de gös te ri len I nolu vek tör dür. z UVVET VE HAEET 9
7. a > b ise bi leş ke kuv vet bü yük kuv ve te da ha ya kın ol du ğun dan > tür. 0 0 II I. yar gı doğ ru dur. 11. kuzey Şekil-Ι Şekil-IΙ Şekil II de görüldüğü gibi, kuvveti 5 numaralı kuvvettir. batı doğu 8. 9. 5 kal dı rıl dı ğın da cis- min hı zı nın ve yö nün na sıl de ği şe ce ği ni gö re bil mek için bi leşke kuv ve ti bu lup 5 ile kı yas la mak ge rekir. Bi leş ke kuv ve ti uç 5 uca ek le me me to du ile + yö nün de 1 bi rim ola rak bu lu nur. 5 kal dı rı lır sa bi leş ke kuv vet + yö nün de bi rim Bu da cis min ha re ket yö nü nün de ğişme yip, hı zı nın ar ta ca ğı nı gös te rir. güney ve kuv vetle ri şe kil de ki kuv vet ler se çil di ğinde cis me et ki eden net kuv vet sı fır olur ve ci sim ku zey - do ğu yö nün de sabit hızla ha re ket ede bi lir. ve kuv vet le ri nin bi leş ke si eşit tir. I. yar gı doğ ru dur. ve kuv vet le ri nin bi leş ke si nin bi le şe ni 1 bi rim dir. II. yar gı doğ ru dur. 1 kuv ve ti kal dı rıl dı ğın da ci sim gü ney - ba tı yö nünde ha re ket et mez. + + II I. yar gı yan lış tır. + 1. z II = 4 br Şekilde görüldüğü gibi, + kuvveti Şekil II deki kesikli çizgilerle gösterilen II vektörünün doğrultusundadır. 10. nok ta sal cis mi den- ge de ol du ğun dan cis me et ki eden net kuv vet sı fır dır. uvvet vek tö rel bü yüklük ol du ğun dan, + = I. yargı doğrudur.. sinb =. si na tür. II. yar gı yanl ıştır. α β yatay I I = 3 br + + toplamının büyüklüğü, = + + = 3 + 4 + 1 = 9+ 16 + 144 = 169 = 13 br y II = 1 br 10 UVVET VE HAEET
ÇÖZÜE Bu koşulu sağlayan kuvvet, kesikli çizgilerle gösterilen kuvvetlerden 4 numaralı kuvvettir.. Şekilde görüldüğü gibi gösterilen kuvvetlerden III numaralı kuvvettir. 1 5 1. Cismin y doğrultu- sunda hareket edebilmesi için bileşke kuvvetin bileşeni sıfır olmalıdır. y 4 3 4 Vektörler 5. Şekilde görüldüğü gibi, 13 + + = 0 6. 3 ile 4 kuv vet le ri nin bileş ke si, 5 Bi leş ke kuv ve tin 4 ile yap tı ğı açı 37, 3 ile yap tı ğı açı 53 3 ile 5 ay nı yön lü ol du ğun dan bu iki kuv ve tin bi leş ke si 8 5 3 Test 3 4 37 53 3 67 8 3. k m f p 3f 30. 30 30 3f, Bu kuv ve tin di ğer 8 ile ara sın da ki açı, 53 + 67 = 10 ol du ğun dan, bi leş ke kuvvet, = 8 8 f n 8 Ön ce zıt olan 3f ile f nin bi leş ke si alı nır. f kuv vetle ri ara sın da ki açı 10 ol du ğun dan bi leş ke kuv vet m yö nün de, 3f f = f 7. = 0 30 30 4. m kütleli noktasal cisim şekildeki bileşke vektörü yönünde hareket eder. 1 ve kuvvetleri kaldırıldığında cismin hareket yönü değişmez. m 5 Ve ri len kuvvetler eş kenar üçgen oluş tur du ğun dan, = = Bu du rum da, = 0, = 10 1 + = + = 0 + + = 0 + 10 = 30 UVVET VE HAEET 11
8. 1 11. 0 + 1 Şekilde görüldüğü gibi, öteki iki kuvvet Şekil-II de verilen kuvvetlerden ve kuvvetleridir. I. yol: Dengeleyici kuvvet bileşkeye eşit ve zıt yöndeki kuvvettir. d 9. +y Şekilde görüldüğü gibi, gösterilen 5 numaralı kuvvettir. II. yol: y = 1 + + + : 1 + : 1 + + : 0 5 4 Son iki eşit lik ( ) ile çar pı lıp top lan dı ğın da kuvve ti el de edi lir. y y 1,,,, 5 kuvvetleri etkisinde cismi +y yönünde hareket eder. Bir süre sonra kuvveti kaldırılırsa, cisim +y yönünde harekete devam eder, hareket yönü değişmez. 1 + + + : + : 1 + : + 0 4 : 1 Buda 5 nolu kuvvettir. 10. Şe kil de ki tüm kuv vetler ara sın da ki açı 90 dir. 6 ile 8 kuv vetle ri nin bi leş ke si 10 dur. 10 ile 4 kuvvet le ri bir bi ri ne dik tir. = (10) + (4) 4 6 1. f S = 100 + 576 = 676 = 6 Şekilde görüldüğü gibi, cisme etki eden sürtünme kuvveti numaralı kuvvettir. 1 UVVET VE HAEET
Adı ve Soyadı :... Sınıfı :... umara :... Aldığı ot :... Bölüm Yazılı Soruları (Vektörler) ÇÖZÜE 1. Önce 3 vek tö rü nü bi le şen le ri ne ayı ra lım. 3 = 8.cos45 = 8. = =8v = 8.sin45 45 3y 45 = 8. 3 = = a) = + + = 16 olur. b) = + = 16v c) = + = 0 16 =16v y = =16 16 b) ile ara sın da ki açı 90 ve büyük lük le ri eşit ol duğun dan, + vek tö rü nün bü yük lüğü; + = v. 3v = 6 br c) ile y bir bi ri ni gö tü rür. + = + = = 3 br + =3br =3br =3vbr y =3br d) = + = 16 =16 d) + - = 6 + 4 = 10 br + + =6br =4br. a) ile ara sın da ki açı 90 ol du ğun dan Pi sa gor te ore mi kul la nı la rak bi leş ke bu lu na bi lir. + = + 3. uvvetler ara sın da ki açı 3q = 3 q = 10 dir. a) + = 3 + 4 + = 9 + 16 + = 5 + =3 br + + = 5 br =4 br 1 + = - 1 + + = 0 UVVET VE HAEET 13
b) 4. 0v br lik vektörlerin y =40 br ara sın da ki açı 90 oldu ğun dan bi leş ke vek- 0v br 0v br törün bü yük lü ğü 40 br olup, +y yö nün de dir. 45 45 30 br θ Çi zim den de gö rül dü ğü gi bi, - + (- ) = 1 + (- - ) = ol du ğun dan a) Gö rül dü ğü gi bi vek- törü zıt vektör ol du- 40 br =50 br - - = = 8 ğun dan bü yük lü ğü 50 br e eşit tir. θ 30 br = 50 br θ c) 30 3 b) tan i = = & i = 37 40 4 - ile - kuvvetleri ara sın da ki açı dir. - = () + () +.().().cosq - = (.4) + (4) +.(.4).4.cos = 64 + 16 + 64. 1 = 80 + 3 5. 1 4 = 11 - = 4v7 Şekilde görüldüğü gibi, gösterilen kuvvetlerden numaralı kuvvettir. d) I - I = ( ) + ( ) +.. cos 6. = (4) + () +. 4.. 1 = 16 + 4 + 8 0 3 = 8 I - 3 I = v7 Şekilde görüldüğü gibi, gösterilen kuvvetlerden 5 numaralı kuvvettir. 14 UVVET VE HAEET
7. 4 10. ve kuv vet- y le ri zıt yön lü I I=5 ol duk la rın dan iki si nin bi leş ke si I I=5 I I=10 Şekil-I Şekil-II Şekil-II de görüldüğü gibi, gösterilen kuvvetlerden 1 numaralı kuvvettir. 5, ve kuv vet le ri zıt yön lü ol duk ların dan bu iki sinin bi leş ke si de 5 z I I=10 8. Ön ce zıt yön lü kuv vet le rin bi leş ke si ni bu la lım. 30 0 Bu iki kuv vet ara sın da ki açı 90 ol du ğun dan bi leş ke kuv vet, = 5 5. 5 Eğer q açı sı 0 olur sa, 10 = ( 0) + ( 15) 0 = 65 = 5 15 Eğer q açı sı 90 olur sa, = 0 + 15 = 35 olur. 0 15 Öy ley se bi leş ke kuv ve tin bü yük lü ğü 5 < < 35 de ğer le ri ara sın da dır. 9. 1 3 4 5 Cis min + yö nün de ha re ket ede bil me si için y doğ rul tusun da ki net kuv ve tin sı fır olma sı ge re kir. 1 no lu kuv vet uy gu lan dı ğın da ci sim yönün de ha re ket ede bi li ce ğinden 1 no lu kuv vet üçün cü kuv vet ola maz. 3 1 UVVET VE HAEET 15
16 UVVET VE HAEET