Simplex ile Çözüm Yöntemi Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Doğrusal Programlama Modeli Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) 2 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1
Modelin Standard Hali Maksimizasyon s.t. 3 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 4 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 2
5 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Maksimizasyon s.t. 6 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 3
Maksimizasyon s.t. 7 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Maksimizasyon s.t. 8 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 4
Maksimizasyon s.t. 9 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Maksimizasyon s.t. 10 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 5
Maksimizasyon s.t. 11 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Maksimizasyon s.t. 12 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 6
Maksimizasyon s.t. 13 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Bardak Üretimi 14 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Kase Üretimi Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 7
Pivot Column Sütun En Largest Büyük c j Cj -z j value Zj Değeri 15 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 50$ Kar 40$ Kar 16 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 8
Pivot Column Sütun 40 / 2 = 20 120 / 3 = 40 En Largest Büyük cj-zj value Cj Zj Değeri 17 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Pivot Sıra Pivot Column Sütun En Küçük Değer Pivot Sayı En Largest Büyük cj-zj value Cj Zj Değeri 18 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 9
Değişken Girer Değişken Çıkar 19 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 20 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 10
40 / 2 = 1 / 2 = 2 / 2 = 1 / 2 = 0 / 2 = Yeni tablodaki pivot satır değerleri = Eski tablodaki pivot satır değerleri Pivot sayı 21 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 120 (3 x 20) = 4 (3 x 1/2) = 3 (3 x 1) = 0 (3 x 1/2) = 1 (3 x 0) = Yeni tablodaki sıra değerleri = Eski tablo sıra değerleri ( ) Pivot sütuna karşılık gelen katsayılar Yeni tabloda X hesaplanan pivot satır değerleri 22 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 11
23 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 24 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 12
25 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 26 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 13
Pivot Row Sıra Pivot Sütun En Küçük Değer Pivot Sayı En Büyük Cj Zj Değeri 27 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Değişken Girer Değişken Çıkar 28 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 14
Optimal Çözüm 29 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Minimizasyon s.t. kg nitrojen kg fosfat 30 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 15
Minimizasyon s.t. 31 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Minimizasyon s.t. 32 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 16
Minimizasyon s.t. 33 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 24 (3 x 4) = 12 34 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 17
35 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 36 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 18
Optimal çözüm 37 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Özetlersek; simplex yöntemiyle gerçekleştirilen bir minimizasyon probleminde kısaca aşağıdaki adımlara uyulmalıdır. 1.İçerisinde olan tüm kısıtları, ifadelerden artık değişkenler çıkararak ve suni değişkenler ilave ederek eşitlikler haline dönüştürünüz. 2. Amaç fonksiyonunda yer alan her suni değişkenin M değerlerine bir Cj değişkeni atayınız. 3. Cj Zj sırasını Zj Cj şekline çeviriniz. 38 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 19
Örnek Bir deri firması standard tasarımda el yapımı çanta ve bavul üretmektedir. Firma üretmekte olduğu her çanta başına 400$, her bavul başına ise 200$ kar sağlamaktadır. Firma yapmış olduğu anlaşma gereğince bir mağazaya ayda 30 adet ürün temin etmeyi garanti etmiştir. Deri hammaddesi sağlayan tabakhane ise firmaya aylık olarak 80 m 2 deri sağlamaktadır. Firma sağlanan bu deri hammaddesinin mümkün olduğunca en az miktarını kullanmak istemekle birlikte, tabakhaneden daha fazla sipariş talebinde de bulunabilmektedir. Çanta üretiminde 2m 2, bavul üretiminde ise 8m 2 deri hammaddesi tüketilmektedir. 39 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ İstenilenler Geçmiş performans verilerini dikkate alan firmanın sahipleri ayda 20 çantadan fazla üretim gerçekleştirilemediğini belirtmektedir. Firmanın sahipleri kar maksimizasyonunu sağlayacak olan çanta ve bavul üretimi düzeylerinin tespit edilerek kendilerine bir rapor halinde sunulmasını istemiştir. 40 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 20
Problemin Simplex Yöntemiyle Çözümü Maksimizasyon s.t. anlaşmadaki talep miktarı kullanılan deri miktarı (m 2 ) çanta 41 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1. Adım : Model kısıtında yer alan eşitsizliklerin eşitlik haline dönüştürülmesi Kısıt Düzenleme Gevşek Slack değişken ilavesi Suni değişken ilavesi Artık Surplus değişkenin çıkartılması ve suni değişkenin ilave edilmesi Amaç Fonksiyonunun Katsayısı Maksimizasyon Minimizasyon 42 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 21
Maksimizasyon s.t. 43 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 2. Adım : Mümkün olan ilk temel çözüm için başlangıç tablosunun hazırlanması ve Zj, Cj-Zj sıra değerlerinin tespiti. 44 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 22
3. Adım : c j z j satırındaki en yüksek pozitif değere sahip olan kolonun belirlenerek Pivot Sütunu nun tespiti 45 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 4. Adım : Pivot satırının tespit edilmesi (miktar sütunundaki değerlerin kendilerine karşılık gelen pivot sütunu değerlerine bölünmesi sonucu en küçük değerli sütun elemanının seçilerek Pivot elemanın belirlenmesi. 46 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 23
5. Adım : Aşağıdaki formülün kullanılarak Pivot Satırındaki elemanların hesaplanması Yeni tablodaki pivot satırı değerleri = Yeni tablodaki pivot satırı değerleri Pivot elemanı 80 / 8 = 10 2 / 8 = 1/4 8 / 8 = 1-1 / 8 = -1/8 1 / 8 = 1/8 47 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 6. Diğer tüm satır değerlerinin aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanması: Yeni tablodaki sıra değerleri = Eski tablo sıra değerleri ( ) Pivot sütuna karşılık gelen katsayılar Yeni tabloda X hesaplanan pivot satır değerleri 30 (1 x 10) = 20 20 (0 x 10) = 20 1 (0 x 0) = 1 48 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 24
7. Adım : Yeni Zj ve Cj Zj sıra değerlerinin tespit edilmesi. 49 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 8. Adım : Cj Zj satırındaki değerler incelenir ve söz konusu değerler sıfır veya negatif değilse optimal çözüme ulaşıldığı kabul edilir. Ancak, pozitif değerler var ise Adım 3 ten itibaren yapılan işlemler tekrarlanarak Cj-Zj farkının sıfır veya negatif olana dek devam ettirilmesi (iterasyon) sağlanır, diğer ifadeyle simplex adımlarına devam edilir. 50 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 25
3 ncü Simplex Tablosu 51 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ The Optimal Simplex Tableau x 1 = 20 adet çanta x 2 = 10 adet bavul s 1 = 40 m2 fazla deri hammaddesi Z = 10.000 $ aylık kar 52 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 26
Düzensiz Yapıdaki Doğrusal Programlama Problemeleri Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 53 B Noktası C Noktası 54 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 27
Çoklu Optimal Çözümler 55 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Maksimizasyon Z = 5x 1 + 3x 2 s.t. 4x 1 + 2x 2 8 x 1 4 x 2 6 x 1, x 2 0 56 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 28
57 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Mümkün Bir Çözümü Olmayan Problem 58 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 29
Maksimizasyon s.t. 59 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 60 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 30
Sınırsız Yapıdaki Bir Problem Sınırsız yapıdaki bir problemde pivot satırın seçimi yapılamamaktadır. 61 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Pivot Sutünunun Bağlanması Bağlı olan iki sutün rastgele seçilmektedir. 62 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 31
Pivot Satırı Dejenerasyonu için Yaılan Bağ Bağ 63 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 64 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 32
65 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Negatif lı Değerler Standart bir Simpleks çözümü pozitif sağ-el değerlerine sahip olmalıdır. - 6x 1 + 2x 2-30 (-1) (- 6x 1 + 2x 2-30) 6x 1-2x 2 30 66 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 33
Primer Yapı İkili (Dual) Yapı 67 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 68 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 34
69 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 70 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 35
Orjinal Optimal Çözüm q 2 de değişiklik yapılması sonucu oluşan yeni optimal çözüm 71 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 72 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 36
73 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 37