TEMELLER

1 TEMELLER A) NASIL? LAGRANGE DENKLEMLERİ B) KISIT KUVVETLERİ C) HAMİLTON DENKLEMLERİ D) NEDEN? HAMİLTON İLKESİ E) HAMİLTON-JACOBİ DENKLEMLERİ F) POİSSON PARANTEZLERİ G) İKİ PARÇACIK PROBLEMİ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A ) NASIL? LAGRANGE DENKLEMLERİ Klasi eaniğe Lagange denlelei ile yalaşıın teellei, fiziğin eey deinleinde, uantu eaniğinde olduğu için 'Neden?' sousu eteleni önce 'Nasıl?' sousuna ceva aanı. Başlangıç notası, deyi ıtlığında 'Sanal İş İlesi' olaa adlandıılan ve 'Kısıt' F d d denlei uvvetleini deve dışı bıaayı aaçlayan olacatı. Bu denlede 1,, 3 atezyen indislei, : onu, F de ısıt uvveti dışında alan uvvetlei ifade ede. Kısıt uvvetlei ya sıfı ya da d 'ye izin veeyece ölçüde sonsuz oldulaı için 'İş' teileinde ye alazla. Şidili te açacı için yazılan bu denle ileide olaylıla ço açacı duulaına genelleneceti. d 'le açacığın haeetini ısıtlayan geoeti şatladan dolayı bağısız olayabilile ve F yuaıdai denle haline indigeneez. Bu notada 3 ola üzee, icabında atezyen olayan, hatta uzunlu boyutunda bile olayan, anca bağısız q 'Genelleştiiliş Koodinat'laa geçili.

q q q olduğu için d q dq biçiinde yazılı ve denle halini alı. Bu duuda dq F dq dq q q 'lein bağısızlığı F q q vei. Bu notada, ileide geeli olaca bazı özdeşlilei elde ete yaalı olacatı. bölünesinden bulunu. q q d dq denleinin ile q q ve bunun da q q 'ye göe ısi tüevinden de F q q denleinin sol taafı F olaa tanılanı ve 'Genelleştiiliş Kuvvet' olaa q adlandıılı. Sağ taafın youlanası biaz daha aaşıtı: d d d + + + q q q q q q q dolayısıyla d q q q özdeşliğinin denleine yeleştiilesi sonucu elde edilen q d q q ifadesi

3 K K K, q q q q ullanılaa d K K q q bilineden daha ilei gidileez, anca aa sonucuna ulaşılı. F ifadesi ifadelei, uygun bi U q, q 'Potansiyel Enei' fonsiyonu yadııyla yazılabildiği tadide d U U q q d K K d U U q q q q d L L fonsiyonu L KU tanııyla 0 q q olaa veya Lagange Lagange denleleine ulaşılı. Tü eletoagneti etileşele için böyle bi U fonsiyonu oluştuulabileceği ileide göüleceti. Uygulaalaın yol haitası : uygun oodinat sisteini seçe, bu sistede ineti enei ifadesi yaza, genelleştiiliş uvvet bileşenlei 'lei oluştua ve bunladan bi U otansiyeli tanılaatı. Sona da Lagange denleleinden haeet denleleine ve bunlaın çözüüne geçili. Öne olaa: 'üesel saaç' için ii bağısız oodinat : üesel açıla, yeteli olu. x y z sin cos x cos cos sin sin sin sin y cos sin sin cos cos z sin oluşundan ve K sin x y z sin bulunu. Potansiyel için ise U g cos yazılı L sin g cos Lagange fonsiyonuna ulaşılı.

4 Lagange denlelei : g sin cos sin 0, d sin 0 'nin iincisinin bi 'Kouna Yasası' olduğu ve ounan büyülüğün açısal oentuun z bileşeni olduğu göületedi. Lz sin ifadesinin il denlee yeleştiilesi ile elde edilen Lz cos g sin 4 3 difeansiyel denleinin ii taafı da d ile sin çaılı, integal alınınca, E tola enei ola üzee, d E Lz g cos 4 bulunu. Bu ço çetin bi difeansiyel sin denledi, Lz 0 özel halinin bile çözüü anca üçü açıla için teel fonsiyonla cinsinden ifade edilebili. B ) KISIT KUVVETLERİ L L q,, q t Lagange fonsiyonu ile belilenen bi sistein n q t, 0 ile veilen K adet geoeti ısıtı olabili. Sayısal olaa esisine özdeş olan 'Yeni' bi Lagange fonsiyonu, 'Lagange Çaanlaı' olaa adlandıılan n ullanılaa q, q, t n q, t L L olaa tanılanı. Bu duuda yeni Lagange Y n n denlelei d L L q q q n n n enei teiinin U UY U n q, t genelleştiiliş ısıt uvvetleinin K n biçiini alacatı. Bu da esi otansiyel n olaa dönüşesi ve n n n ile veilesi deeti. Böylece q q, q,, t değişenleine bağlı yeni Lagange fonsiyonunun sağladığı n

5 d LY L q q Y 0 LY denlelee e olaa K adet 0 n denleinin ota çözülei haeet denlelei yanısıa ısıt uvvetleini de veeceti. Tanıdı bi öne olaa Boyutta, esela xz - düzleinde, bi saaç, ısıtından dolayı aslında 1 Boyutlu bi sistedi. Çözüe ise L g g cos sin ile gidili, anca bu yalaşı saaçın iindei geilii veez. Kısıt uvvetini hesalaa için yeni bi Lagange fonsiyonu ii bağısız değişenle, anca 0 ısıtını da L Y olaa yazılı. içeece biçide g cos d LY LY d g cos d LY LY d g sin LY 0 denleleini çözeen aa sonuçla: d g ; sin ve E g cos ax 0 g cos başlangıç şatı ullanılaa da g E cos bulunu. Kısıt uvveti ise ile veildiğinden g cos ifadesi E 3 g cos sonucuna ulaşılı. C ) HAMİLTON DENKLEMLERİ Klasi eaniğe Hailton yalaşıının da teelinde Lagange fonsiyonu vadı. Etileşesiz, sebest açacı obleinden ilha alınaa : F, dolayısıyla ve

6 U sıfı olacağı için 0 L duuunda Lagange denlelei K K d L 0 0 ounu anunlaını veile. Kounan ifade L 'Moentu' olaa adlandıılı. Dolayısıyla 'Kineti enei ( veya sebest açacı Lagange fonsiyonu) nedi? sousunun cevabı: 'Lagange foalizinde oentu ounuunu sağlayan ifadedi' olatadı. Moentu, etileşeli oblele ve genelleştiiliş oodinatla için 'Genelleştiiliş Moentu' : L L L d dq dq L q halini alı. L difeansiyel ifadesinde q q t L q tanıı ve L q d 0 Lagange denlei ullanılaa L L dl dq dq q d dq t t L d d q t veya tanıı yaılınca L elde edili. H q dh L t L, yani 0 t L duulaında ounan bi fonsiyon inşa ediliş olu. Hailton fonsiyonu olaa adlandıılan bu ifadenin he zaan H K U ile veilediği unutulaalıdı. İi yalaşıın bağısız değişenlei aynı değildi; L = L q, q, t 'den falı olaa q,, t Haeet denleleinin il aşaası olan Hailton denlelei ise H = H olu., H q H, q ile veilile.

7 Küesel saaç için oentulaı L oluşu sin g cos, sin biçiinde belile ve H + g cos olu. Hailton denlelei : sin, sin cos g sin sin 3, 0 ise çözüe giden yolda Lagange yalaşıından hatılanan L cos 3 sin g sin denleini vei. D ) NEDEN? HAMİLTON İLKESİ Başaılı fizi teoilei ölez, üsteli genelleşee büyüle. Teoinin esi hali ise yeni yaının özel duulaında geçeli olaa hayatını südüü. "Bu teoi hiyeaşisi ne zaan sona eece?", " 'Heşeyin Teoisi' denebilece bi yaıya ne ada yaınız?" soulaının cevabını biliyouz. Teoilein en ıdelisi 'Klasi Meani' 0. Yüzyılda he 'Relativite', he de 'Kuantu Meaniği' yönleinde genelleşti. Bu genelleşelein sonucu ışı hızı c ve Planc sabiti, teoinin vazgeçilez büyülülei oldula. Relativiteyi yo fazedi, 18. Yüzyıl fiziğine gei döne için c liitine baa yetelidi. Kuantu fiziğinden lasi fiziğe geçiş ise, teoi Planc sabitine e olaa uantu sayılaı içediği için daha aaşıtı. Dolayısıyla il onuuz uantu eaniden lasi eaniğe geçiş olacatı. x f x a f a f a x f a Taylo açılıından, x ve a 'nın ye değiştie özelliği ullanılaa a d f x a f x f x a f x a f x dx ex elde edili.

8 Yuaıdai x değişeni uzay oodinatı olaa düşünülüse, 3 boyuta genellee ex f a a f olacatı. Zaan değişeni için de benze biçide ex d g t g t adılaı Hailton fonsiyonu için olası doğaldı. 0. Yüzyıl başında uantu eaniğin il H i (Planc - Einstein), oentu için t ise i (DeBoglie) eşleştielei oldu. Kuantu fiziğinde, sebest açacı dışında H H olduğu için bu uzay ve zaan öteleelei te bi üstel ifadede bileştiileez. Anca Uzay-Zaan'da sonsuz üçü, yani yeel bi ötelee i ex d, t ex d, t t H i ex v H, t d, t ile veili. Uzay-Zaan öteleeleinin eneatöü olan v H L teoinin en teel avalaından biidi ve Lagange fonsiyonu olaa adlandıılı. Yeel'den Global'e i tf geçeen ex, v, t, t, t tf denleinde ye alan,v, Te açacı için L I I F F t biçiini alan evi I t I L t S ifadesi ise 'Eyle' olaa adlandıılı. t yöüngelei üzeinde yaılan integal işlei ile elde edilen S değeleinde S = büyülüğünde bi oynaa ex i 1 ile çaıla anlaına geli. Kuantu teoisinin dalga aatei göz önüne alınınca bu ii oşu yöüngenin yııcı giişii, dolayısıyla doğada gözleneeesi deeti. Klasi eaniğin sadece doğada gözlenen duulaına odalana için S << veya daha gaantili S 0 şatı aanı ve bu şat 'En Küçü Eyle' ilesi veya 'Hailton' ilesi olaa adlandıılı. İnsani büyülüleden esinlenen MKS biileinde 34 10 değeine sahi Planc sabitinin lasi fizite sıfı abul edilesi doğaldı. S eyle değei, açacığın uzaydai yöüngesi tf t fonsiyonunun ' Fonsiyonel 'idi. S L,v, t ti

9 d L L gibi bi fonsiyonelin iniu değei 0 v i i Lagange denleleinden elde edili. Hailton ilesinin genelliği, bu denlelein ço açacı duulaında ve atezyen olayan oodinat sisteleinde de geçeli olasını sağla. Patite il adı 'Bağısız Koodinat' sayısını sataatı. Bu sayı, N açacı ve K 3N adet 'Kısıt' için K ile veili. Koodinat sistei seçiinde Kısıt ve Potansiyel enei ifadelei yol gösteici olacatı., q q ile gösteilen bağısız oodinat ve hızla için yazılan d L L q q 0 Lagange denlelei bizi haeet denleleine götüü. E) HAMİLTON - JACOBİ DENKLEMLERİ Te boyutlu uzayda geliştiilece bi Hailton-Jacobi yalaşıı bile onunun uhunu yaalaa için yetelidi. S S ds dx H (Fizi) ve ds dx x t denleleinin aşılaştıılası S x denleleini vei. Eyle'in x, t x + t, (Mateati) S H Hailton-Jacobi t S X T biçiinde bi tola olaa değişenlee ayılası ve ds 0 S = Sabit ullanılası çözüe götüü. Eğitici bi öne olaa 1 boyutlu haonic osilatö için U x x, E A ifadelei ile Hailton-Jacobi denlelei E x dx dx, H d E T biçiini alıla ve aa sonuç dx E x E t Sabit ifadesinin E 'ye göevi tüevi dx 1 dx alınaa elde edilen t t E x A x 0

10 denlei de bilinen x t A sin t sonucuna ulaştıı. F) POİSSON PARANTEZLERİ Teoi ve ati önei olan bi onu da 'Poisson Paantezi'di., ve g g q, f f q f, g gibi ii fonsiyonun Poisson aantezi f g f g q q olaa tanılanı. qi, q 0, i, 0 özdeşlileine e olaa q, i i sonucu 'Eşleni Koodinat-Moentu Çifti'ni tanıla. Esi oodinat ve oentuladan oluştuulan yeni oodinat ve oentula için yuaıdai sonuçlaı aynı bıaan q, P dönüşülei 'Kanoni Dönüşü' olaa adlandıılı. q, H H q,, H H bağıntılaının q uantu eaniğinin Heisenbeg denleleini andıası diat çeicidi. Klasi eaniğin Poisson aantezlei ile uantu eaniğin oütasyon bağıntılaı aasındai aalel, uantu fiziğinin lasi fizi ile ilintileinden güç aldığı il eelee yıllaında oal deste sağlaıştı. G) İKİ PARÇACIK PROBLEMİ İi açacı obleinin 1 Boyutta incelenesi, olayca 3 Boyuta genellenebildiği için, yeteli ölçüde geneldi. 1 ve ütleli ii açacı aasındai etileşenin aadai x x 1 1 uzalığa bağlı olası doğaldı. U x x L Lagange 1 fonsiyonunu yeni ve daha ati değişenle cinsinden yaza için öncelile x x1 x tanılanı. Diğe oodinat için teel fiziten aşina olunan 'Kütle Meezi' oodinatı

11 X x x 1 1 1 1 1 1 seçili. Bunlaa eşleni olan oentula 1 1, P 1 1 olaa ifade edili ve x 1, 1 1 xp 1, 0 0, 0 0 1 1 X 1, 1 1 1 1 X P 1 4 bilineyenli 4 denlein çözüünden 1 1 1 oentu olaa youu olaydı;, P 1 elde edili. P 'nin tola 'nin ise 'İndigeniş Kütle' 1 1 ee 'Relatif Hız' x x1 x olduğu gözleni. Nitei M 1, tola ütle tanııyla M X x U x L ifadesine ulaşılatadı. Bu denlein 3 Boyuta M R U L olaa genelleşeceğini göe zo değildi. Böylece ii açacı oblei ayışata ve ütle eezi oodinat sisteinde te açacı obleine indiginetedi. Ne yazı i yuaıdai yalaşıın 3 açacığa veya elativisti eaniğe genellenesi ianı yotu. Göüldüğü gibi lasi eanite 3, elativisti eanite, uantu alanla teoisinde 1 hatta 0 açacı obleleinin genel çözülei yotu.

1 PROBLEMLER A.1 ) x ; y ; z z ile belilenen silindi aaboli oodinatlada ineti enei ifadesini yazın. A. ) uzunluğunda ütlesiz bi çubuğun eezi R yaıçalı bi daie üzeinde haeet ediyo ve çubuğun he ii ucunda ütlesi ye alıyo. Sistein ineti eneisini uygun genelleştiiliş oodinatla ullanaa yazın. (Goldstein) A.3 ) Bi düzlede F 1 c ˆ uvvetinin etisi altındai açacığın U otansiyelini yazın. (Goldstein) A.4 ) uzunluğunda bi ile bağlanış 1 ve ütleleinden oluşan bi siste ele alalı. 1 sütünesiz bi asa üzeinde ve asadai bi deliten saış duuda ve sadece diey haeet ediyo. Bu siste için genelleştiiliş oodinatlaı oluştuun, Lagange fonsiyonunu ve Lagange denleleini yazın, bu denlelein fizisel youunu yaın, oblei te bi. etebe difeansiyel denlee indigeyin, bi integal alaa elde edeceğiniz 1. Metebe bi difeansiyel denlei youlayın. (Goldstein) A.5 ) Şeildei çift Atwood sisteini Lagange etoduyla çözee a, a 3 ve a 6 değeleini bulun.

13 B.1 ) Bi açacı, R yaıçalı yaıüe bi teenin en üstünden sütünesiz olaa ayaya başlıyo. Lagange çaanı ullanaa yüzey-açacı uvvetini hesalayın. Paçacığın hangi yüselite yüzeyle teasını aybedeceğini bulun. B. ) Küesel saaç obleinin iindei geilii Lagange çaanı ullanaa hesalayın.. C.1) 1-Boyutta haoni osilatö obleinin Lagange fonsiyonunu yazın, oentu ifadesini bulun, Hailton fonsiyonunu oluştuun, oblei Hailton denlelei yoluyla çözün. E.1 ) Eği atış obleini Hailton-Jacobi etoduyla çözün, xt, y t, y x fonsiyonlaını belileyin. F.1 ) Hangi ve değelei için q cos P q sin ve eşleni bi oodinat-oentu çifti oluştuula? (Goldstein)