7. Kafes sistem sayısal örnekleri

7. Kafes sistem sayısal örnekleri 7. Düzlem kafes sistem sayısal örneği Şekil 7. deki kafes sistem elastisite modülü.. 5 N/mm olan çelik borulardan imal edilmiştir. a noktasındaki kuvvetlerinden oluşan: a Düğümlerin yer değiştirmelerini b Reaksiyonları c Elemanların yerel uç kuvvetlerini d Elemanların şekil değiştirmelerini e Elemanların gerilmelerini f Elemanların yer değiştirme fonksiyonlarını bulunuz. Yer değiştirmiş sistemi çiziniz. 6 mm ˆx 6 mm Kesit m ˆx a 79. kn ˆx m 65. kn Şekil 7.: Çözülmesi istenen düzlem kafes sistem x x m P P 6 P 5 P m P 8 P P P 7 79 65 ( x m U U 6 U 5 U m U 8 U 7 U U x ( Şekil 7.b: Sistem yükleri Şekil 7.c: Sistem yer değiştirmeleri Hesap sırası: Genel ve yerel koordinat sistemleri seçilir, şekil 7.a. Düğümlere, elemanlara, düğüm kuvvetlerine ve düğüm yer değiştirmelerine numara verilir, şekil 7.b ve şekil 7.c. Elemanların genel rijitlik matrisleri kurulur ve bölüm 6.6 de açıklanan yolla sistem rijitlik matrisi a taşınır. Sistemin, vektörleri dikkate alınarak denklem sistemi oluşturulur, sınır koşulları 6. de açıklandığı gibi işlenir. Denklem sistemi çözülerek sitemin yer değiştirme vektörü hesaplanır. vektörü denklem sisteminde yerine konarak reaksiyonlar bulunur. Elemanların genel yer değiştirmeleri belirlenir, bağıntısı yardımıyla yerel yer değiştirmelerine dönüştürülür. Her elemanın yerel rijitlik matrisi kurulur, bağıntısı kullanılarak yerel kuvvetleri bulunur. El hesaplarında aşağıdaki eleman bilgilerinin hazırlanması kolaylık sağlar(birimler N ve mm cinsindendir: Eleman E A i ucu j ucu Koordinatlar L EA/L c c i j.. 5 958.,, 77788.. 5 958.,, -.6 959.7.77 -.77.. 5 958.,, 7788 Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 6

Elemanların genel rijitlik matrislerinin kurulması, sistem rijitlik matrisine taşınması: Bak: 5.8 ve Bölüm 6. - - e - - e - - e - - e 7788-97966 97966-7788 97966-97966 97966-97966 -97966 97966 7788-7788 -97966 97966 97966-97966 - - ye - - e - - ye - - e 97966-97966 -7788-97966 97966 7788 - - e - - e -- e - - e -7788 7788 K Sistem denge denklemleri: * + 79 65 (, * + (, 755-97966 -97966 755-97966 97966-7788 97966-97966 -7788 U U -79-65 h Verilmiş kuvvetler -97966 97966 97966-97966 -7788 97966-97966 -97966 97966 7788 U U U 5 U 6 P P P 5 P 6 Reaksiyonlar (7. -7788 7788 U 7 P 7 U 8 P 8 K U P Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 6

Sınır koşulları ve işlenmesi:. U,. U,. U 5,. U 6 Bak: Bölüm 6. 755-97966 -97966 755 U U -79-65 h Verilmiş kuvvetler U U U 5 U 6 Sınır koşulları U 7 U 8 K U P Denklem sisteminin GAUSS ile çözümü sunucu bulunan sistem yer değiştirmeleri: mm m m Şekil 7.d: Yer değiştirmiş sistem a mm mm Denge kontrolü ve reaksiyonlar: sistem yer değiştirme vektörü 7. de yerine konarak hesaplanan P hesap vektörü hem reaksiyon kuvvetlerini verir hem de çözümün sağlığı hakkında fikir verir. Reaksiyonlar Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 65

Hata analizi: El veya bilgisayar ile yapılan hesaplarda sayıların yuvarlanması kaçınılmazdır. Ondalık sayıların her hanesini yazamayız, depolayamayız. Dört işlem sonucu sayılar çok büyüyebilir-küçülebilir, hane kaybı olur. Çözdüğümüz örnek çok küçük olmasına rağmen sayılarda yaptığımız yuvarlamalar nedeniyle çözüm tam doğru olmayacaktır. Bilgisayarda çözülen sistemler genelde çok büyük olduğundan, milyonlarca dört işlem gerekir, durum daha kritiktir. Bir fikir vermesi açısından, bu küçük örnekte, çözümün doğruluğunu irdeleyelim. Bunun için yukarıda tanımlanan h ve h hesap vektörlerini kullanacağız. h 79 65, h >?@A 79 65, h @B@ h h >?@A 79 65 79 65 Newton P kuvvetinin hatası N, hata yüzdesi /79, P kuvvetinin hatası N, hata yüzdesi /65. dır. Hata yüzdelerinin çok küçük olması çözümün doğruluğunun işaretidir. Bir başka hata kontrolü da h ve h hesap vektörlerinin Öklid normlarının oranı(kondisyon sayısı ile yapılabilir: h vektörünün Öklid normu: ChCD( 79 +( 65 6769.77 h hesap vektörünün Öklid normu: Ch >?@A CD( 79 +( 65 6769. HIJKLHI MLıı CC ise, veya e ne kadar yakın ise o kadar, doğrudur. C OPQRS C HIJKLHI MLıı CC (T.((.999996 olduğundan çözümü doğru kabul edebiliriz. C OPQRS C (T. ------------ Bir V +V V V X, vektörünün Öklid normu ChC ile gösterilir ve CVC DV +V + +V X ile hesaplanır. V in hesapla belirlenmiş bir V >?@A vektörü CZC varsa oranına kondisyon sayısı denir. Bu oran e ne kadar yakınsa, V CZ OPQRS C >?@A gerçek V vektörüne o denli yakındır. Elemanların genel yer değiştirmeleri: Eleman düğümündeki genel yer değiştirme sistemin aynı noktasındaki yer değiştirmeye eşittir. Bak: Bölüm 6. u u ˆx 9 : 9 : mm u - mm u 9 : 9 : mm u u u - mm ˆx u - mm ˆx u - mm u - mm 9 : 9 : mm Elemanların yerel yer değiştirmeleri:. Elemanda: -. / 9 : 55565557 mm / 8 /.Elemanda: -.77.77. /.77.77 9 : 55555555555565555555555557.77 mm 5657 8 / Bak:. ve.a û û û - mm û.77 mm ˆx Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 66

ˆx. Elemanda: -. / 9 : 55565557 mm / 8 / Eleman yerel kuvvetleri: Bak: 5. ve 5.a.Elemanda: -. 7788 [ 555556555557 7788 / 7788 Newton 556557 \ ^_ \.Elemanda: -. 959.7 [ 555556555557.77 85 5657 85 Newton 556557 \ ^_ \ ŝ -8.5 kn ŝ 8.5 kn ŝ 77.9 kn ŝ -8.5 kn ŝ 8.5 kn ˆx ˆx ŝ -77.9 kn ŝ 77.9 kn ŝ 77.9 kn ˆx.Elemanda: -. 7788 [ 555556555557 5576 / 5576 Newton 556557 \ a ^_a a \ a Şekil değiştirme: b c_ Bak: 5.5 ve 5.6.Elemanda: b +, 55565557. / f d_.elemanda: b +,. 55565557 5657.77.67 f d_ Gerilme: g h b Bak: 5.7 ve 5.7a.Elemanda: g.. f 69.9 N/mm.Elemanda: g..67 f 5.7 N/mm.Elemanda: g. 6.67 f.7 N/mm.Elemanda: b +, 55565557 6.67 / f l_ Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 67

Elemanların yer değiştirme fonksiyonları: Bak: 5..Elemanda: (V - V V 55565557 m m. / m V _(o.elemanda: (V - V V 55565557 m m. 5657.77 _(o.77 V m.elemanda: (V - V V 55565557 m m. / ( m V _(o 7. Düzlem kafes sistem sayısal örneği m Şekil 7. deki kafes sistem elastisite modülü.. 5 N/mm olan çelik borulardan imal edilmiştir. a noktasındaki kuvvetlerden ve mesnet çökmelerinden oluşan: a Düğümlerin yer değiştirmelerini b Elemanların yerel uç kuvvetlerini c Reaksiyonları bulunuz. Yer değiştirmiş sistemi çiziniz. Şekil 7. deki sistem ve düğüm yükleri şekil 7. deki ile aynıdır. Koordinat sistemi ve numaralandırma 7.a daki gibi yapılırsa sistem rijitlik matrisi de aynı olacaktır. Tek fark mesnet koşullarıdır. Sınır koşulları ve işlenmesi:. U,. U,. U 5 -,. U 6,. U 7,. U 8 dır. 7. in. kolonu ile, 5. kolonu - ile çarpılıp karşı tarafa atıldıktan sonra sınır koşulları işlenirse denge denklemleri Bak: Bölüm 6. olur. GAUSS ile çözümünden: * +.55.975, Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 68

.55.975 m mm a mm.55 mm m Şekil 7.a: Yer değiştirmiş sistem.5 mm Denge kontrolü ve reaksiyonlar: sistem yer değiştirme vektörü 7. de yerine konarak hesaplanan P hesap vektörü hem reaksiyon kuvvetlerini verir hem de çözümün sağlığı hakkında fikir verir. 755-97966 -97966-97966 97966-7788 755 97966-97966 -7788 -.55 -.975-79 -65 Denge sağlanıyor -97966 97966 97966-97966 -7788 97966-97966 -97966 97966 7788-7 -7-6 Reaksiyonlar (7. -7788 7788 95588 K U P hesap x -.7 kn 955.88.7 kn m -.6 m -65. -79. x Reaksiyonlar Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 69

Elemanların genel yer değiştirmeleri: Eleman düğümündeki genel yer değiştirme sistemin aynı noktasındaki yer değiştirmeye eşittir. Bak: Bölüm 6. ˆx 9 :9 : mm.55.975 u 9 : 9 : mm.55.975 ˆx ˆx u -.55 mm.55 9 : 9.975 : mm Elemanların yerel yer değiştirmeleri: Bak:. ve.a ˆx. Elemanda: -. / 9 : 55565557.55.55 mm 55565557 8 55565557.975.Elemanda: -.77.77. /.77.77 9 :. 55555555555565555555555557.55.76 mm 55565557 8 55565557.975. Elemanda: -.55. / 9.975 :.975 mm 55565557 55565557 a 8 a 55565557 a a û. mm û.7557 mm ˆx ˆx Eleman yerel kuvvetleri: Bak: 5. ve 5.a.Elemanda: -. 7788 [ 555556555557.55 6 55565557 6 Newton 556557 \ ^_ \.Elemanda: -. 959.7 [. 555556555557.76 9555 55565557 9555 Newton 556557 \ ^_ \ ŝ 9.56 kn ŝ -9.56 kn ŝ 9.56 kn ŝ 9.56 kn ˆx ˆx.Elemanda: ˆx -. 7788 [.975 95588 555556555557 55565557 95588 Newton 556557 \ a ^_a a \ a Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 7

7. Uzay kafes sistem sayısal örneği Şekil 7. deki kafes sistem elastisite modülü.. 5 N/mm olan çelik borulardan imal edilmiştir. a noktasındaki kuvvetlerinden oluşan: a Düğümlerin yer değiştirmelerini b Elemanların yerel uç kuvvetlerini c Reaksiyonları bulunuz. a m 9 kn 8 kn 6 mm Kesit Şekil 7.: Çözülmesi istenen uzay kafes sistem 6 mm x ˆx x m ˆx ˆx Şekil 7.a: Koordinat sistemi ve numaralandırma x x x P 7 P P 9 x P 8 P 6 P 5 P P Şekil 7.b: Sistem yükleri P P P P x 8 9 8 ( T U 7 U U 9 x U 8 U 6 U 5 U U U U U U x Şekil 7.c: Sistem yer değiştirmeleri ( T Koordinat sistemleri şekil 7..a daki gibi olsun. Düğüm serbestlik derecesi, sistem serbestlik derecesi. dir. Şekil 7.b de düğüm kuvvetleri, 7.c de yer değiştirmeler görülmektedir. El hesaplarında aşağıdaki eleman bilgilerinin hazırlanması kolaylık sağlar(birimler N ve mm cinsindendir: Eleman E A i ucu j ucu Koordinatlar L EA/L c c c a i j.. 5 958.,,,, -.6 959.7.77 -.77.. 5 958.,,,, -.6 959.7 -.77.77.. 5 958.,,,, - -.6 959.7 -.577.577 -.577 Elemanların genel rijitlik matrisleri:.5.5.5.5 959.7.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 Bak: Bölüm 5.9.5.5.5.5.5.5.5.5 959.7.5.5.5.5.5.5.5.5 Kuvvetlere ve yer değiştirmelere rastgele numara verilmez. Örneğin:.düğümdeki x, x, x yönü kuvvetleri P, P, P ;.düğümdeki x, x, x yönü kuvvetleri P, P 5, P 6,. sırasında numaralanmalıdır. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 7

............ 59975......................... Sistemin denge denklemleri: Bak: Bölüm 6. 97966 97966 97966 97966 97966 97966 97966 97966 97966 97966 586 586 5 5 5 5 8 97966 97966 586 95 586 5 5 5 97966 97966 9 5 586 586 5 5 5 97966 97966 5 5 5 5 5 5 ( 8 5 5 5 5 5 5 ( 5 5 5 5 5 5 T T 97966 97966 97966 97966 555555555555555555555555555555555556555555555555555555555555555555555557 97966 97966 97966 97966 67 5657 p q Gösterilmeyen terimler Sınır koşulları:. U,. U,. U,. U 7,. U 8,. U 9,. U,. U,. U r s q Sınır koşulları işlenmiş denklem sistemi ve çözümü: 586 586 5 8 586 95 586 9 5 586 586 ( 8 T 5555555555555555555555555655555555555555555555555557 67 5657 p Bak: Bölüm 6.6 Gösterilmeyen terimler r s GAUSS.8.87.8 mm Denge kontrolü ve reaksiyonlar: 97966 97966 97966 97966 97966 97966 97966 97966 Reaksiyon 97966 97966 586 586 5 5 5 5.8 86 97966 97966 586 95 586 5 5 5 97966 97966.8 99 5 586 586 5 5 5 97966 97966.8 5 5 5 5 5 5 86 Newton 5 5 5 5 5 5 7 7 Reaksiyon 5 5 5 5 5 5 7 97966 97966 97966 97966 Reaksiyon 555555555555555555555555555555555556555555555555555555555555555555555557 97966 97966 97966 97966 5657 5657 p q Gösterilmeyen terimler r x s OPQRS -9 kn 8 kn 8 kn - 7-7 - -7 x Reaksiyonlar x Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 7

Elemanların genel yer değiştirmeleri: x u 5.87 u 6.8 u.8 u ˆx ˆx x u u x ˆx mm.8.87.8 mm mm.8.87.8.8.87.8 Elemanların yerel yer değiştirmeleri: Bak:..Elemanda: -.77.77. / 55555555555555565555555555555557.77.77 8.8.87.8 556557.7 5657 mm ˆx û x.elemanda: -.77.77. / 55555555555555565555555555555557.77.77 8.8.87.8 556557.7 5657 mm ˆx û -.7 û x x.elemanda: ˆx -.577.577.577. / 555555555555555555556555555555555555555557.577.577.577 a 8 a.8.87.8 556557.7579 5657 a a mm Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 7

Eleman yerel kuvvetleri:.elemanda: Bak: 5. ve 5.a -. 959.7 [ 555556555557.7 6 556557 6 Newton 5657 \ ^_ \ ˆx ŝ -.5 kn ŝ -.5 kn ŝ.5 kn ŝ.5 kn.elemanda: -. 959.7 [ 555556555557.7 6 556557 6 Newton 5657 \ ^_ \ ˆx ŝ -.5 kn ŝ.5 kn ŝ.5 kn ŝ.5 kn ˆx.Elemanda: ŝ.5 kn ŝ.5 kn -. 59975. [ 555556555557.7579 5 556557 5 Newton 556557 \ a ^_a a \ a ŝ -.5 kn ŝ.5 kn Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 7