Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK Ders 3 / 1
1 0 Kesin İmkansız OLASILIK; Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal değeridir. N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da başarının nisbi frekansı lim (s/n) belli bir değere n ulaşıyorsa, bu değer o denemenin başarı olasılığını verir. Olasılık daima 0 ile 1 arasındadır. Tüm olay olasılıklarının toplamı 1 dir. Örnek uzayı : Tüm alternatif durumların içinde bulunduğu küme. 1 madeni paranın atımında üst yüz : S={Y,T} Madeni bir çift paranın atımında üst yüzlerdeki yazı sayısı : S={0.1.2} Bir çift zar atışında üst yüzlerin toplamı: S={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} OLAY: Bir deneyin ya da daha çok sonucun kümesidir. Ders 3 / 2
Örnek Uzayının Görselleştirilmesi 1. Listeleme S = {Yazı, Tura} 2. Venn Şeması 3. Kontenjans tablosu 4. Ağaç Diagramı Ders 3 / 3
Listeleme: S = {Bay,Bayan} Venn Şeması Olay: Bayan Çıktı Bayan Bay S Ders 3 / 4
Kontenjans Tablosu Kesişen olay: Bayan, 20 yaşın altında S = {Bayan,<20; Bayan,>20;Bay,<20; Bay,>20} <20 >20 Toplam Basit olay Bayan 47 16 63 Bay 45 22 67 Toplam 92 38 130 Örnek uzayı Ders 3 / 5
Ağaç Diagramı S = {Bayan,<20; Bayan,>20;Bay,<20; Bay,>20} Olay alternatifleri: E K <20 >20 <20 >20 Ders 3 / 6
OLASILIK YAKLAŞIMI; Klasik Olasılık Kuralı Göreli Sıklık Kavramı (Basit Olay Olasılığı) P(Olay) = T X X = İstenen olayın oluşma sayısı T = Mümkün tüm olayların sayısı Arızalı olma olasılığı = 2/100 İncelenen 100 birimden 2 si arızalı Ders 3 / 7
Olasılık Kavramları Büyük Sayılar Yasası Özel Olasılık Kavramı (Keyfi değer) Sayma Kuralı Ders 3 / 8
OLAY TİPLERİ Basit Olay (Elementer Olay) : Tek bir karakteristikle belirlenen olaylar A: Bayan B: 20 yaşın altında C: Bir deste karttan kırmızı kart çekilmesi D: Bir deste karttan bir as çekilmesi Kesişen Olay: Aynı anda gerçekleşen olaylar A ve B, (A B): Bayan, 20 yaşın altında C ve D, (C D): Kart destesinden kırmızı bir as çekilmesi Ders 3 / 9
Bağımlı-Bağımsız Olaylar: Eğer bir olayın ortaya çıkması öteki olayın ortaya çıkma olasılığını etkilemiyorsa, olaylar bağımsız olaylardır. Eğer A ve B olayları bağımsız ise; P(A).P(B)=P(A B) (Çarpma Kuralı) * Bir deste karttan kırmızı ve as çekme (iadeli çekim) olayları bağımsız mıdır? P(A): Kırmızı çekme olasılığı = 26/52 P(B): As çekme olasılığı = 4/52 P(A B):Kırmızı as çekme olasılığı = 2/52 26/52 x 4/52 =2/52 --- Bağımsız olaylardır. Ders 3 / 10
Tamamen Ayrık Olaylar: İki olay kesinlikle aynı anda olamaz. Para atımında aynı anda hem yazı hem de tura gelemez. Tamamlayıcı (Bütünleyici) Olaylar: A - A Ders 3 / 11
Bileşik olay (Katışık Olay) (Birbirini Engelleyen Olay): Olaylardan biri yada diğeri gerçekleşir, birden çok sonuçtan oluşur. C yada D, (C D): Bir deste karttan kırmızı veya as çekme Ders 3 / 12
Olayların Bileşimi ve Toplama Kuralı Bileşik olaylar (Birbirini engelleyen olaylar) için: P(A yada B) = P(A B)= P(A) + P(B) - P(A B) Tamamen ayrık olaylar için: [(A B)=Ø] P(A yada B) = P(A B) = P(A) + P(B) Ders 3 / 13
Koşullu Olasılık Bir olayın gerçekleştiği bilindiği durumlarda diğer bir olayın gerçekleşme olasılığıdır. P(A B) = P(A ve B) P(B) B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre A olayının gerçekleşme olasılığı P(A B) = P(A) ise, A ve B birbirinden bağımsız olaylardır. Ders3-14
Koşullu Olasılık Bir olayın gerçekleştiği bilindiği durumlarda diğer bir olayın gerçekleşme olasılığıdır. P(A B) = P(A ve B) P(B) B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre A olayının gerçekleşme olasılığı P(A B) = P(A) ise, A ve B birbirinden bağımsız olaylardır. Ders 3 / 15
Kontenjans Tablosu yardımıyla koşullu olasılık hesabı: Bir desteden çekilen bir kartın siyah olduğu bilindiğine göre as olma olasılığı nedir? Renk Tip Kırmızı Siyah Top. As 2 2 4 As değil 24 24 48 Toplam 26 26 52 P(As Siyah) = P(As VE Siyah) P(Siyah) 2 / 52 26/ 52 2 26 Ders3-16
Kontenjans Tablosu yardımıyla koşullu olasılık hesabı: Bir desteden çekilen bir kartın siyah olduğu bilindiğine göre as olma olasılığı nedir? Renk Tip Kırmızı Siyah Top. As 2 2 4 As değil 24 24 48 Toplam 26 26 52 P(As Siyah) = P(As VE Siyah) P(Siyah) 2 / 52 26/ 52 2 26 Ders 3 / 17
Bayes Teoremi 1. Eski olasılıkların yeni bilgiler ışığında güncellenmesi için kullanılır. 2. Koşullu olasılığın bir çeşididir. 3. Tamamen ayrık olaylar için uygulanır. İlk Olasılık Yeni Bilgi Bayes Teoremi Yenilenmiş Olasılık Ders3-18
Bayes Teoreminin Formülü P(B A) = i P(A Bi) P(B i) P(A B ) P(B ) + + P(A B ) P(B ) 1 1 k k P(Bi A) P(A) Tüm B i ler aynı olaydır. (örn. B 2 )! Aynı olay Ders3-19
TEMEL OLASILIK PROBLEMLERİ 1. 52 lik bir desteden bir kart seçiliyor. a) P(Karo)=? b) P(Karo kızı)=? b)p(resimli bir kart)=? 2. Bir çantada bulunan 10 tanesi beyaz, 5 tanesi siyah 15 tane top arasından ardarda ve yerine koyulmaksızın 2 top seçiliyor. 2 topun da siyah olma olasılığı nedir? 3. Yine bu torbadan ardarda ve yerine koyulmaksızın 3 top seçiliyor. Bu üç topun da aynı renk olma olasılığı nedir? 4. Bir torbada 1 den 90 a kadar numaralandırılmış 90 tane top var. a) Yerine koyulmadan ardarda 2 top seçildiğinde her iki topun da numarasının 5 in katı olması olasılığı nedir? b) Yerine koyularak ardarda 2 top seçildiğinde her iki topun da numarasının 5 in katı olması olasılığı nedir? Ders3-20
5. Bir üniversitenin iktisat bölümüne kayıtlı 250 kız ve 200 erkek öğrenci dosyaları arasından 2 tane, işletme bölümüne kayıtlı 230 kız ve 220 erkek öğrencilerin dosyaları arasından da 2 tane örnek dosya seçilmiştir. Her dört dosyanın da kız öğrencilere ait olma olasılığı nedir? 6. İki tavla zarı birlikte atıldığında A: Üst yüze gelen sayıların toplamının 10 olması B: Üst yüze gelen sayıların aynı olması ise; P(A veya B)=? Ders3-21
ÖRNEK OLASILIK SORULARI SORU: 52 lik bir desteden bir kart seçiliyor. a) P(Karo)=? b) P(Karo kızı)=? c) P(Resimli bir kart)=? Ders 3 / 22
SORU: Bir çantada bulunan 10 tanesi beyaz, 5 tanesi siyah 15 tane top arasından ardarda ve yerine koyulmaksızın 2 top seçiliyor. 2 topun da siyah olma olasılığı nedir? Ders 3 / 23
SORU: Yine bu torbadan ardarda ve yerine koyulmaksızın 3 top seçiliyor. Bu üç topun da aynı renk olma olasılığı nedir? Ders 3 / 24
SORU: Bir torbada 1 den 90 a kadar numaralandırılmış 90 tane top var. a) Yerine koyulmadan ardarda 2 top seçildiğinde her iki topun da numarasının 5 in katı olması olasılığı nedir? b) Yerine koyularak ardarda 2 top seçildiğinde her iki topun da numarasının 5 in katı olması olasılığı nedir? Ders 3 / 25
SORU: Bir üniversitenin iktisat bölümüne kayıtlı 250 kız ve 200 erkek öğrenci dosyaları arasından 2 tane, işletme bölümüne kayıtlı 230 kız ve 220 erkek öğrencilerin dosyaları arasından da 2 tane örnek dosya seçilmiştir. Her dört dosyanın da kız öğrencilere ait olma olasılığı nedir? Ders 3 / 26
SORU: İki tavla zarı birlikte atıldığında A: Üst yüze gelen sayıların toplamının 10 olması B: Üst yüze gelen sayıların aynı olması ise; P(A veya B)=? Ders 3 / 27
SORU: Bir tavla zarı atıldığında herhangi bir yüzünün üstte kalması olasılığı nedir? Ders 3 / 28
SORU: Bir tavla zarı atıldığında 3 veya 5 in gelmesi olasılığı nedir? Ders 3 / 29
SORU: Bir sınıfta bulunan öğrencilerin 0,25 inin sadece İktisat dersinde, 0,15 inin ise hem İktisat hem de Matematik dersinde üstün başarı gösterdikleri biliniyor. Rassal olarak seçilen bir öğrencinin İktisat dersinde üstün başarılı ise; bu öğrencinin Matematik dersinde de başarılı olması olasılığı nedir? Ders 3 / 30
SORU: Bir sınıftaki 100 öğrenciye Bugün kendinizi nasıl hissediyorsunuz? sorusu soruluyor. Alınan yanıtların dağılımı cinsiyet itibariyle aşağıda verilmiştir. Cinsiyet İyi hissediyor Kötü hissediyor Toplam Erkek 30 40 70 Kız 20 10 30 Toplam 50 50 100 P (Erkek) =? P (İyi hissediyor) =? Ders 3 / 31
SORU: Bir piyangoda 8 boş ve 2 ikramiyeli bilet vardır. Bir kimse bu piyangodan iki bilet satın almıştır. Her iki biletin de ikramiye kazanması olasılığını hesaplayınız? Ders 3 / 32
SORU: Bir işyerinde görev almak üzere, aynı nitelikleri taşıyan 10 kişi başvurmuştur. Adayların 6 sı erkek 4 ü kadın olup, bunlar arasından kur a tekniği ve iadesiz seçimle 2 memur alınacaktır. Görev verilecek memurların, a) Her ikisinin de kadın, b) Her ikisinin de erkek, c) Birincisinin erkek ikincisinin kadın, d) Birincisinin kadın ikincisinin erkek olması olasılıklarını hesaplayınız. Ders 3 / 33
SORU: Aynı anda atılan hilesiz iki tavla zarının da 2 gelmesi olasılığını hesaplayınız. Ders 3 / 34
SORU: A nın 20 yıl daha yaşaması olasılığının 0,65 ve kardeşi B nin 20 yıl daha yaşaması olasılığının 0,80 olduğunu varsayarsak, bu iki kardeşten birinin veya diğerinin 20 yıl daha yaşaması olasılığını hesaplayınız. Ders 3 / 35
SORU: Hilesiz bir tavla zarının bir defa atılması halinde 2 veya 6 gelmesi olasılığını hesaplayınız. Ders 3 / 36
Örnek Problemler: 1. Bir madeni para 3 kez atılarak bir deney yapılmış ve aşağıdaki olaylar tanımlanmıştır: A: İlk atışın sonucunun tura olması B: İkinci atışın sonucunun tura olması C: Sadece ardarda ilk iki atışın sonucunun tura olması a) A ve B nasıl olaylardır? b) A ve C nasıl olaylardır? c) İlk atışın tura olduğu bilindiğine göre ardarda iki atışın tura olması olasılığı nedir? Ders 3 / 37
2. Ayşe nin cebinde 3 tane 50000 lik 2 tane de 100000 lik para var. Mine nin cebinde ise 2 tane 50000 lik, 4 tane 100000 lik para var. Yolda yürürlerken birinden 50000 lik paranın yere düştüğü görülüyor.paranın Mine den düşmüş olma olasılığı nedir? Ders 3 / 38
3. Sarılık virüsünün teşhisi için geliştirilen bir test 0.05 olasılıkla yanlış sonuç vermektedir. 0.004 oranında sarılık virüsü taşıyan bir grup kişiye test uygulanmıştır. Testin virüs taşıdığını söylediği bir kişinin gerçekten virüs taşıyor olma olasılığı nedir? Ders 3 / 39
4. f(x)=ax+0.7 Dx=(0.1, 0.2, 0.3) şeklinde bir fonksiyon verilmiştir. a)bu fonksiyonun olasılık fonksiyonu olabilmesi için a ne olmalıdır? b)beklenen değeri ve varyansı bulunuz. Ders 3 / 40