TAMSAYILI DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (TDP) Tamsayılı doğrusal programlama (TDP), değişkenlerinden bazılarının veya tümünün tamsayılı (ya da kesikli) değerler aldığı bir doğrusal programlama problemidir. Son on yılda yapılan tüm araştırmalara rağmen, TDP hesaplamalarında tatmin edici bir gelişme sağlanamamıştır. Günümüzde de TDP'yi tam olarak çözen bir bilgisayar yazılımı yoktur. Bu bölüm, tamsayılı programlamanın uygulamalarıyla başlamakta, ardından da TDP algoritmaları sunulmaktadır. AÇIKLAYICI ÖRNEKLER Bu başlık altındaki TDP uygulamaları basit formülasyonlarla başlayıp daha karmaşık örneklerle devam etmektedir. Basitlik olması açısından tüm değişkenlerin tamsayı olduğu tamamen tamsayılı problemler üzerinde durulmuştur. Değişkenlerin sadece kimisi tamsayı olursa, problem karma tamsayılı programlama adını alır. SERMAYE BÜTÇELEME PROBLEMİ Önümüzdeki üç yıllık planlama dönemi için beş projenin değerlendirilmesi yapılacaktır. Her projeye ait beklenen getiriler ile yıllık harcamalar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Önümüzdeki üç yıl boyunca uygulamaya konulacak projeleri belirleyin. Harcamalar (milyon pb.)/yıl Getiri Proje 1 2 3 (milyon pb.) 1 5 1 8 20 2 4 7 10 40 3 3 9 2 20 4 7 4 1 15 5 8 6 10 30 Kullanılabilir fonlar (milyon pb.) 25 25 25 Problem her proje için bir "evet-hayır" kararına indirgenmiştir. Bu ikili değişkenleri şu şekilde tanımlayabiliriz: TDP modeli de bu durumda aşağıdaki gibi olur: maks. z = 20x 1 + 40x 2 + 20x 3 + 15x 4 + 30x 5 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 7 x 4 + 8x 5 25 x 1 + 7 x 2 + 9x 3 + 4x 4 + 6x 5 25 8x 1 + 10x 2 + 2x 3 + x 4 + 10x 5 25 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 = (0,1)
Optimum tamsayılı çözüm (TORA'yla gerçekleştirilen), x 1 = x 2 = x 3 = x 4 =1; x 5 = 0 ve z = 95 milyon pb'dir. Çözümden, beşinci proje dışındaki tüm proje uygulanması gerektiği anlaşılmaktadır. Sürekli doğrusal programlama çözümüyle TDP çözümünün karşılaştırılması ilginç sonuçlar verebilir. Sürekli doğrusal programlamada x j = (0,1) yerine tüm j ' ler için 0 xj 1 yazılıp problem çözülürse, x 1 = 0,5789, x 2 = x 3 = x 4 = 1ile x 5 = 0,7368 ve z = 108,68 milyon pb elde edilir. Bu çözüm iki değişkenin kesirli değerler alması nedeniyle anlamsızdır. Bu değişkenler tamsayıya yuvarlatılmak istenirse, bu takdirde de x 1 = x 5 = 1 yazmak gerekir. Bu da eşitsizliklerin sağlanamaması nedeniyle uygun değildir. Daha da önemlisi, x j değişkeni evethayır şeklinde bir değişken olduğundan kesirli yazılamaz. Dolayısıyla da bu çözüm anlamsızdır. Modelleme İpuçları Bu bölümde bazı özel durumlar için modelleme ipuçları verilecektir. 7 farklı yatırım alternatifimizin bulunduğu bir problem olsun. Değişkenlerimiz sırasıyla x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ise; Bu yatırım değerleri yalnızca 0, 1 değerlerini aldığı kabul edilsin (yatırım yap/yapma). Aşağıdaki her bir durum birbirinden bağımsız olmak üzere sözel kısıtların matematiksel ifade edilişi verilmiştir. 1, 3, 5, 6 yatırımlarından en az ikisi seçilmelidir, x 1 + x 3 + x 5 + x 6 2 1, 3, 5, 6 yatırımlarından en fazla ikisi seçilmelidir, x 1 + x 3 + x 5 + x 6 2 1, 3, 5, 6 yatırımlarından mutlaka ikisi seçilmelidir, x 1 + x 3 + x 5 + x 6 = 2 1, 3 yatırımlarından mutlaka sadece biri seçilmelidir, x 1 + x 3 = 1 5 ile 6. yatırımlar aynı değerlendirilsin, x 5 = x 6 4. yatırım yapılabilmesi 1 ile 7. yatırımın yapılmasına bağlıdır, x 4 x 1, x 4 x 7
1 ile 7. yatırım yapılırsa 4. yatırım mutlaka yapılsın, x 4 x 1 + x 7-1 SET KAPSAMA (SET-COVERING) PROBLEMİ Bu tür problemlerde, tesislerin kurulması ile bazı bölgelerdeki servislerin kesişmesi ve tekrarlanmış olması söz konusu olsa da tüm bölgeye hizmet verilmesi ele alınır. Burada amaç, tüm bölgeyi kapsayacak şekilde en az sayıda tesisin kurulmasıdır. Örneğin birkaç yerleşim yerine hizmet verecek şekilde su arıtma tesisleri çeşitli yerlere kurulabilir. Ancak bazen bir yerleşim yerine birden fazla tesis hizmet verebilecektir. Örnek (Güvenlik telefonlarının yerleştirilmesi): Bir üniversitede, kampüs güvenliğini sağlamak için kurulan güvenlik birimi, kampüsün çeşitli yerlerine acil telefon hattı çekmek istemektedir. Kampusun ana yollarının her birinde en az bir tane telefon bulunması koşuluyla minimum sayıda telefon bağlanması düşünülmektedir. Şekilde kampüsün ana yolları görülmektedir. Her telefonun, en az iki yola hizmet vermesini sağlayacak şekilde yolların kesişme noktalarına yerleştirilmesi mantıklıdır. (Şekilden, böyle bir yerleştirme için en kötü ihtimalle sekiz yer gerektiği görülmektedir.) 1 A 2 B 3 G F I 4 C K 5 6 E H 7 D J 8 olsun. Problemin kısıtı, 11 ana yolun (A'dan K'ye) her biri üzerinde en az bir telefonun yerleştirilmiş olmasıdır. Dolayısıyla model şu şekilde olacaktır: min. z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 x 1 + x 2 1 (A yolu) x 2 + x 3 1 (B yolu) x 4 + x 5 1 (C yolu) x 7 + x 8 1 (D yolu) x 6 + x 7 1 (E yolu) x 2 + x 6 1 (F yolu)
x 1 + x 6 1 (G yolu) x 4 + x 7 1 (H yolu) x 2 + x 4 1 (1 yolu) x 5 + x 8 1 (J yolu) x 2 + x 5 1 (K yolu) x j = (0, 1), j = 1, 2,..., 8 Problemin TORA'yla bulunan optimum çözümüne göre, 1, 2, 5 ve 7 no'lu köşelere birer adet telefon yerleştirilmelidir. Bu modeldeki tüm değişkenler 0-1 tamsayılıdır. Her kısıt için bütün sol taraf katsayıları 0 ya da 1'dir. Sağ tarafları da ( 1) şeklindedir. Amaç fonksiyonu her zaman c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n fonksiyonunu minimum kılacak şekildedir. Burada tüm j =1, 2,..., n'ler için c j > 0'dır. Mevcut örnekte tüm j'ler için c j = 1'dir. Bununla birlikte, eğer c j, j yerindeki tesis maliyetini gösteriyorsa, bu durumda bu katsayıların 1 den başka değerler alabileceği de varsayılabilir. SABİT ÖDEMELER PROBLEMİ Sabit ödemeler problemi, bir faaliyetin gerçekleştirilmesinde iki tür maliyet söz konusu olmasını inceler. Bu maliyetlerin birincisi, faaliyeti başlatmak için gerekli sabit maliyet, ikincisi ise faaliyetin devamında oluşan değişken maliyettir. Örneğin üretime başlatmak için bir makinenin sabit bir hazırlık maliyeti vardır ve bu maliyet üretim miktarından bağımsızdır. Üretime başlandıktan sonra değişken maliyet üretim miktarıyla orantılı olarak işçilik ve malzeme maliyetlerinden oluşacaktır. F sabit maliyet, c değişken birim maliyet ve x üretim miktarı olmak üzere maliyet aşağıdaki gibi ifade edilir: x = 0 durumunda C(x) kesikli olmaktadır ve burada yardımcı olarak ilave 0-1 tamsayılı değişken kullanmak gerekecektir. Aşağıdaki örnek bunu göstermektedir. Örnek: Üç telefon şirketinin uluslararası konuşmalar için uyguladığı ücret politikalarını inceleyelim. Atel şirketi ayda 16 pb sabit ücret ve buna ek olarak konuşmanın dakikası başına 0.25 pb talep etmektedir. Betel şirketi, ayda 25 pb sabit ücret ve dakika başına 0.21 pb konuşma ücreti almaktadır. Cetel'in aylık abone tutarı 18 pb, dakika başına konuşma ücreti ise 0.22 pb'dir. Ben ayda ortalama 200 dakikalık uluslararası görüşme yapmaktayım. Aylık telefon faturası ödemelerimi minimum kılacak seçim hangisidir? x 1 = Atel'in aylık uluslararası konuşma süresi (dak), x 2 = Betel'in aylık uluslararası konuşma süresi (dak), x 3 = Cetel'in aylık uluslararası konuşma süresi (dak), y 1 = Atel sabit ücreti, y 2 = Betel sabit ücreti, y 3 = Cetel sabit ücreti olsun
x 1 > 0 ise y 1 = 1 ve x 1 = 0 ise y 1 = 0 x 2 > 0 ise y 2 = 1 ve x 2 = 0 ise y 1 = 0 x 3 > 0 ise y 3 = 1 ve x 3 = 0 ise y 1 = 0 olmalıdır. x j 'nin pozitif olması durumunda y j 'nin 1'e eşit olmasını sağlamalıyız. Bunu: x j My j, j = 1, 2, 3 kısıtını kullanarak sağlayabiliriz. Buradaki M, x j değişken değerini sınırlandırmayacak ölçüde, yeterince büyük bir sayıdır. Ayda yaklaşık 200 dakikalık bir konuşma söz konusuysa, x j 200 (tüm j'ler için), M= 200 almak uygundur. Model tam olarak, min. z = 0.25x 1 + 0.21x 2 + 0.22x 3 + 16y 1 + 25y 2 + 18y 3 x 1 + x 2 + x 3 = 200 x 1 200y1 x 2 200y2 x 3 200y3 x 1, x 2, x 3 0 y 1, y 2, y 3 = (0, 1) şeklinde olacaktır. Formülasyona göre, sadece x j > 0 olmasına bağlı olarak y j = 1 olması halinde j. şirketin aylık sabit ücreti z amaç fonksiyonunun bir parçası olacaktır. Optimum çözümde x j = 0 ise, z nin minimizasyon olması ve y j 'nin katsayısının pozitif olmasından dolayı, bu durum y j 'yi istendiği gibi sıfır olmaya zorlayacaktır. Optimum çözümde x 3 = 200 ve y 3 = 1 bulunmuş olup, kalan değişkenlerin değeri sıfırdır. Böylelikle Cetel'in seçilmesinin uygun olacağı görülmektedir. x 3 = 200 olması (x 3 > 0) nedeniyle y 3 = 1 olacaktır. Aslında, y 1, y 2, y 3 'ü kullanmanın ana nedeni aylık sabit ücreti hesaba katmaktır. Yani, üç tane 0-1 tamsayılı değişken, sıkıntılı (nonlineer) bir modeli analitik olarak kullanılabilir hale getirmiştir. YA-YA DA ve EĞER-ÖYLEYSE KISITI Sabit ödemeler probleminde yardımcı 0-1 tamsayılı değişkenler, amaç fonksiyonundaki kesikliliği gidermek için kullanılmıştı. Burada ise kısıtlardaki değişkenlerin aynı anda karşılanmaması gerektiği (ya-ya da) veya değişkenlerin birbirine bağlı olması (eğer-öyleyse) durumları, yine yardımcı 0-1 tamsayılı değişkenler kullanılarak ele alınacaktır. Burada, ve kısıtını temsil edebilmek için özel bir matematiksel oyun (numara) yapılacaktır. Örnek (İş çizelgeleme modeli): Bir atölyede üç işten oluşan bir süreç için tek bir makine kullanılmaktadır. Her bir iş için işlem süreleri ve teslim zamanları gün olarak aşağıdaki tabloda verilmiştir. Teslim zamanı, başlangıç sıfır alınarak verilmiş olup, birinci işlemin başlangıç zamanı sıfır kabul edilmiştir. İşlem İşlem süresi (gün) Teslim zamanı (gün) Gecikme cezası (pb/gün) 1 5 25 19 2 20 22 12 3 15 35 34
Problemin amacı üç işin minimum gecikme cezası ile sıralanmasıdır. x j : j işinin gün cinsinden başlama zamanı olarak tanımlanır. Problemin iki tip kısıtı vardır: (1) çakışmama kısıtları; bu kısıtlar iki ayrı işin aynı anada yapılmadığını garanti eder. (2) teslim zamanı kısıtları. Öncelikle çakışmama kısıtlarını ele alalım. i ve j gibi iki işin p i ve p j işlem zamanları aynı anda oluşmamalıdır (hangi işin önce işlendiğine bağlı olarak). x i x j + p j veya x j x i + p i M yeterince büyük bir sayı olmak üzere veya kısıtları aşağıdaki gibi ve kısıtı haline dönüştürülür. My ij + (x i - x j ) p j ve M(1- y ij ) + (x j -x i ) p i Bu dönüşüm, herhangi bir zamanda iki kısıttan sadece birinin aktif olmasını garanti eder. Eğer y ij = 0 ise birinci kısıt aktiftir, ikincisi lüzumsuzdur (çünkü sol tarafında p i 'den çok büyük olan M bulunacaktır). Eğer y ij = 1 ise bu kez de birinci kısıt lüzumsuz ikincisi aktiftir. Şimdi de teslim zamanı kısıtına bakalım. d j, j işinin teslim zamanı; s j de sınırlandırılmamış bir değişken olsun. x j + p j d j ise j işi gecikecektir. Teslim zamanına bağlı olarak tamamlanmış j işinin durumunu belirlemek için iki nonnegatif değişken s j - ve s j + kullanılabilir. Bu durumda teslim zamanı kısıtı şu şekilde yazılabilir: x j + p j + s j - - s j + = d j Eğer s j - > 0 ise j işi çizelgenin önündedir, eğer s j + > 0 ise j işi gecikmiştir. Bu sebeple gecikme cezası s j + ile orantılıdır. Problemin modeli aşağıdaki gibi karma tamsayılı doğrusal programlama olacaktır: min. Z = 19 s 1 + + 12 s 2 + + 34 s 3 + x 1 - x 2 + My 12 20 - x 1 + x 2 - My 12 5 - M x 1 - x 3 + My 13 15 - x 1 + x 3 - My 13 5 - M
x 2 - x 3 + My 23 15 - x 2 + x 3 - My 23 20 - M x 1 + s - + 1 - s 1 = 25-5 x 2 + s - + 2 - s 2 = 22-20 x 3 + s - + 3 - s 3 = 35-15 x 1, x 2, x 3, s 1 -, s 1 +, s 2 -, s 2 +, s 3 -, s 3 + 0 y 12, y 13, y 23 = (0,1) y 12, y 13 ve y 23 tamsayılı değişkenleri ya-ya da kısıtlarını eşanlı (ve) kısıtlar haline dönüştürmek için oluşturulmuştur. Sonuçta model bir karma TDP haline gelmiştir. Modeli çözmek için, her üç faaliyetin işleme zamanlarının toplamından daha büyük bir değer olarak M = 100 atayabiliriz. Optimum çözüm (TORA ile gerçekleştirilen), x 1 = 20, x 2 = 0 ve x 3 = 25 olarak bulunur. Dolayısıyla, optimum işlem sırası 2 l 3'tür. 2 numaralı iş 0. günde, 1 numaralı iş 20. günde ve 3 numaralı iş 25. günde başlayacaktır. Çözüme göre, 2 numaralı iş 0 + 20 = 20; 1 numaralı iş 20 + 5 = 25; 3 numaralı iş de 25 + 15 = 40. günde tamamlanacaktır. 3. iş 40-35 = 5 gün gecikecek, dolayısıyla 5 x 34 = 170 pb'lik bir ceza maliyetine katlanmak gerekecektir. Örnek (İş çizelgeleme problemi-revize): Bir önceki iş çizelgeleme problemine şu şartın da eklendiğini varsayalım: Eğer i işi j işinden önce yapılırsa, k işi m işinden önce yapılmalıdır. Matematiksel olarak eğer-öyleyse (if-then) kısıtı şu şekilde yazılır: Eğer x i + p i x j, öyleyse x k + p k x m ɛ ( > 0) son derece küçük ve M yeterince büyük bir sayı olmak üzere bu durum aşağıdaki iki kısıt ile birlikte ifade edilebilir. x j (x i + p i ) M(1 ) ɛ (x k + p k ) x m M = (0, 1) Eğer x i + p i x j ise x j (x i + p i ) 0 olur ki bu durum = 0 olmasını gerektirir; ikinci kısıt da istendiği gibi x k + p k x m olur. Diğer bir deyişle 0 veya 1 olabilir, buna bağlı olarak ikinci kısıt sağlanmış veya sağlanmamış olacaktır; bu da modeldeki diğer şartlara bağlıdır. GEZGİN SATICI PROBLEMİ Gökkuşağı firmasının günlük üretim programında Beyaz (B), Sarı (S), Kırmızı (K) ve Siyah (SY) boyaların üretimi yer almaktadır. Tüm boyaların üretimi aynı makinelerde gerçekleştiğinden, üretimin değiştirilmesi sırasında özel bir temizlik işlemi gereklidir. Aşağıdaki tablo, satırlarda belirtilen renkleri sütunlarda belirtilen renklerin izlemesi durumunda dakika cinsinden bu temizlik sürelerini vermektedir. Örneğin, beyaz renkten sonra sarı rengin üretimine geçilecekse sistemin temizlenme süresi 10 dakika olacaktır. Bir renk kendisini izleyemeyeceği için, buna karşılık gelen süre ile ifade edilmiştir. Toplam temizleme süresini minimum kılacak şekilde bu dört rengin günlük üretimindeki optimum sıralamayı belirleyin.
Sonraki boya Mevcut boya Beyaz Sarı Siyah Kırmızı Beyaz 10 17 15 Sarı 00 20 19 18 Siyah 50 00 44 25 Kırmızı 45 40 00 20 00 Aşağıda problem şematize edilmiştir. Her boya bir düğüm noktasıyla gösterilmiş ve yönlü bağlantılarla sonraki düğüme bağlanarak bağlantıların üzerlerine temizleme süreleri yazılmıştır. Böylelikle problem, bir düğümden başlayan ve öbür üç düğüme uğrayarak başlangıç düğümüne dönen en kısa yolun belirlenmesi problemine dönüşmüş olur. Bu tip problemler genelde gezgin satıcı probleminden türemiştir. Çünkü gezgin satıcı probleminde de bir şehirden yola çıkılıp sırasıyla tüm şehirlerin dolaşılması sırasında izlenecek en kısa yolun belirlenmesi problemiyle ilgilenilir. Yukarıdaki problemde aynı durum farklı bir senaryo ile dile getirilmiştir. 17 SY B 20 50 45 10 19 S 44 20 25 15 K 18 40 Problemi, şebekenin altı [(4-1)! = 3! = 6] mümkün durumunu gözden geçirmek suretiyle ayrıntılı olarak çözebiliriz. Aşağıdaki tablodan anlaşıldığı gibi, B - S - K - SY - B çevrimi optimum çevrimdir. Çevrim Toplam temizlik süresi B S SY K B 10 + 19 + 25 + 45 = 99 B S K SY B 10 + 18 + 20 + 50 = 98 * B SY S K B 17 + 44 + 18 + 45 = 124 B SY K S B 17 + 25 + 40 + 20 = 102 B K SY S B 15 + 20 + 44 + 20 = 99 B K S SY B 15 + 40 + 19 + 50 = 124 Çevrimlerin hepsinin ayrıntılı biçimde incelenmesi sadece küçük problemlerde uygulanabilir (örneğin, 11 düğümlü bir şebekede 10! = 3 628 800 çevrim vardır). Bu nedenle, çok etkili bir formülasyona gereksinim vardır. Eğer i düğümünden j düğümüne erişiliyorsa x ij = 1, aksi halde 0 dır. Gezgin satıcı probleminde de, çevrimin tamamlanabilmesi için i şehrinin sadece bir şehre bağlanması ve j
şehrine sadece bir şehirden ulaşılması gerekli koşuldur. M, yeterince büyük bir sayı olmak üzere, boya problemini aşağıdaki gibi formüle edebiliriz: min. z = Mx BB + 10x BS +17x BSY + 15x BK + 20x SB + Mx SS + 19x SSY + 18x SK + 50x SYB + 44x SYS + Mx SYSY + 25x SYK + 45x KB + 40x KS + 20x KSY + Mx KK x BB + x BS + x BSY + x BK = 1 x SB + x SS + x SSY + x SK = 1 x SYB + x SYS + x SYSY + x SYK = 1 x KB + x KS + x KSY + x KK = 1 x BB + x SB + x SYB + x KB = 1 x BS + x SS + x SYS + x KS = 1 x BSY + x SSY + x SYSY + x KSY = 1 x BK + x SK + x SYK + x KK = 1 x ij = (0, 1), tüm ive j 'ler için Çözüm kapalı bir çevrimdir (döngü) Çözümün kapalı bir döngü olması gereksinimini saymazsak, formülasyon bir atama modelidir. Atama modelinin optimum çözümünün bir çevrim oluşturacağının garantisi yoktur. Çoğu kez, düğümlerin altkümelerini birbirine bağlayan alt çevrimler oluşmaktadır. Bundan dolayı da problemi çözmek için atama esaslı tam çözüm algoritmaları geliştirilmiştir. Bu algoritmalar karmaşıklıklarına ve hesaplamadaki etkililiklerine göre çeşitlenirler. Referanslar Taha, H.A. Yöneylem araştırması (Baray Ş.A. ve Esnaf Ş. 6.Basımdan çeviri) 2005 Literatür Yayıncılık, İstanbul Anderson D.R. Sweeney D.J. Williams T.A. An Introductions To Management Science 2005 11. Basım Thomson South-Western, USA