Şubat 01 Eğimli Çatı Kirişleri (Makaslar) için Sehim Hesabı. ta KULKSIZOĞLU Đnşaat Yüksek Mühendisi S&TY R-GE Departmanı 1. Giriş Ülkemizde prefabrike beton endüstri yapılarının büyük çoğunluğunda, çatı yüklerini kolonlara aktarmak için makas olarak da adlandırılan eğimli çatı kirişleri kullanılır. Bu kirişlerin derinliği açıklık ortasına gittikçe artar. yrıca, belirli mesnet bölgesinde kesme güvenliğini sağlamak için dolu kesit teşkil edilirken, kritik bölgeden sonra I ya da T kesite geçilebilir. Kesitlerin açıklık boyunca değişmesinin sebebi, yeterli taşıma gücüyle beraber ekonominin ve deprem yüklerinin azaltılması açısından bina hafifliğinin de sağlanmasıdır. Figür 1.1 Tipik Eğimli Çatı Kirişi Görünüşü Figür 1. Mesnet Kesiti (solda) ve çıklık Kesiti (sağda) 1
Şubat 01 Bilindiği gibi, basit kirişlerin sehim hesabı aşağıdaki bağıntı kullanılarak hesaplanır: Yukarıdaki ifadede; δ 5* q * L 8* E * I δ q L E I Düşey sehim Kiriş üzerindeki düzgün yayılı yük Kiriş hesap açıklığı Betonun Elastisite Modülü Kiriş talet Momenti Yukarıdaki ifadeden de anlaşılacağı üzere, kesit özellikleri açıklığı boyunca değişmeyen basit kirişlerin sehim hesabı oldukça basittir. Çünkü, tek bir kesit için talet Momenti hesaplanır ve bu atalet momenti denkleme yerleştirilerek sehim hesabı yapılır. ncak, eğimli çatı kirişlerinde kesit özelliklerinin açıklık boyunca değişmesi, sehim hesabını karmaşık hale getirir. Bu karmaşıklığın sebebi, doğal olarak talet Momenti değerinin açıklık boyunca değişiklik göstermesidir. Burada, sehim hesabında hangi talet Momenti nin kullanılacağı sorunu ortaya çıkar. Bu dokümanda, eğimli çatı kirişlerinin sehim hesabının nasıl yapılacağı irdelenmiştir. Bölüm de Literatür Taraması yapılmış, Bölüm te çeşitli farklı yaklaşımlar karşılaştırılıp bir Hesap Formülasyonu önerilmiş, Bölüm te ise Örnek Hesap verilmiştir. Bu hesap, S&TY tarafından geliştirilen Öngerilmesiz Prefabrike Makas Hesabı yazılım programına da entegre edilmiştir.
Şubat 01. Literatür Taraması Konuyla ilgili hesap formülasyonu önerilmeden ve yazılım programımıza entegre edilmeden önce, bir literatür taraması gerçekleştirilmiş ve bu bölümde sunulmuştur. James M. Gere James M. Gere in Mechanics of Materials kitabında konuyla ilgili bir örnek çözülmüştür. Figür.1 James M. Gere in kitabında çözülen örnek CB basit kirişinin mesnet derinliği d, açıklık ortasındaki derinliği d C d olarak tasarlanmıştır. Böylece, kirişin mesnetten x uzaklıktaki derinliği d ve talet Momenti I aşağıdaki ifadelerle verilir: d d ( L + x) L I d 1 d 1L ( L + x) I L ( L + x) Burada I, kirişin mesnedindeki talet Momenti dir. (Bu denklemler, x in 0 ile L arasında olması durumunda, yani kirişin sol yarısı için geçerlidir) Problemde, (a) kirişin sol yarısı için düzgün yayılı yükten dolayı eğim ve sehim denklemlerinin bulunması ve (b) bu denklemlerden mesnedindeki dönme θ ve kiriş orta bölgesindeki sehim δ c nin bulunması istenmektedir. Kirişin mesnet reaksiyonları; Eğilme momenti; R R B EIv'' M qx x
Şubat 01 Bu denklemden; Denklem (1) in integrali alınır: 5 x x (0 x L) v'' (1) EI ( L x) EI ( L x) + + 5 L + x L + Lx + x x v' ( ) ( ) + C1 + C1 () EI 6( L + x) EI ( L + x) EI ( L + x) Sınır Koşulu 1 (simetriden): v'( L) 0 C1 16EI C1 Denklem () de yerine konulursa, kirişin eğim bağıntısı bulunur; Kirişin mesnetindeki dönme açısı; ' x 8Lx v (1 ) () EI ( L + x) 16EI 16EI ( L x) + θ v'(0) 16EI Denklem () ün integrali alınır: Sınır Koşulu : 8L (L + x) v x 8L ln( L + x) + C () 16EI ( L + x) v(0) 0 C EI ( + ln L) Kirişin sehim denklemi; C Denklem () ün içine konularak ve denklem sadeleştirilerek aşağıdaki gibi bulunur: (9L + 1Lx + x ) x x v ln(1 + ) EI 8L( L + x) L
Şubat 01 çıklık ortasındaki sehim: δ C v( L) ( ln ) 0.08 8EI EI Burada dikkat edilmesi gereken nokta, kirişin x noktasındaki atalet momenti bağıntısı bulunurken, kirişin sadece derinliğinin değiştiğinin düşünülmesidir. ncak, prefabrike eğimli çatı kirişlerinde gövde genişliği ölçüsü de kritik kesit geçilince değişmektedir. Prefabrike makasların hesabı yapılırken, yukarıdaki bağıntı kullanılabilir. ncak, mesnetteki atalet momenti I hesaplanırken, muhafazakar bir kabulle, mesnet kesitinin yüksekliği aynı alınıp, mahya kesitinin gövde genişliği ölçüsünü baz almakta fayda vardır. Yukarıdaki ifadeyi, açıklığı boyunca kesit ölçüleri değişmeyen bir basit kirişle karşılaştırırsak; δ 5q(L) 8EI 0.08 EI Değişken kesitli, mahya derinliği mesnet derinliğinin katı olan basit kirişin, aynı mesnet kesitine sahip ancak derinliği açıklık boyunca değişmeyen basit kirişe olan sehim oranı, yukarıdaki ifadelerden de anlaşılacağı gibi 1.6% dır. Bu örnekte verilen bağıntı, kirişin mahya derinliğinin mesnet derinliğinin katı olması ve kirişin kare kesitli olması koşullarının sağlanması halinde geçerlidir. Dolayısıyla, prefabrike makasların sehim hesabında kullanılamaz. Bu örneğin burada verilmesinin sebebi, diğer metodların gerçeğe uygunluğunu test etmektir. Bu örnekte verilen bağıntı yaklaşık değil gerçek sehim formülünü temsil ettiğinden, diğer metodların gerçeğe yakınlığı hakkında fikir edinmek için kullanılacaktır. 5
Şubat 01 Lawrence. Soltis Konuyla ilgili bir başka referans, Lawrence. Soltis tarafından kaleme alınan Structural nalysis Equations makalesidir. Bu makalede, izin verilen sehim sınırı için gerekli kesit derinliğinin bulunduğu tablolar verilmiştir: Figür. Eğimli kiriş kesitinin sehim sınırına göre belirlenmesi Bu tabloya göre, aşağıdaki ifade bulunduktan sonra, çift eğimli (simetrik) kirişler için olan γ değeri belirlenir. Yukarıdaki ifadede; B b( h h B Maksimum sehim b Kiriş genişliği h c -h o Mahya yüksekliği ile mesnet yüksekliğinin eğimden kaynaklanan farkı E Malzeme elastisite modülü W Kiriş üzerindeki toplam yük (düzgün yayılı yükten) L Kiriş hesap açıklığı c WL o ) E 6
Şubat 01 Yukarıdaki değer bulunup grafiğe girildikten sonra γ değeri belirlenir. Bu değer ise, aşağıdaki ifade kullanılarak gerekli mesnet yüksekliğinin bulunması için kullanılır. γ h h c Bir önceki örnekle karşılaştırmak için, aşağıdaki örnekte verilen kirişin sehimi tablodan bulunup daha sonra bir önceki örnekteki denklemle karşılaştırılacaktır. 50cm genişliğinde, 50cm mesnet yüksekliğinde olan 6.5% eğime sahip ve toplam 16.00m açıklık geçen bir prefabrike eğimli çatı kirişinin, C0 betondan üretildiğini ve üzerinde 0kN/m düzgün yayılı yük olduğunu düşünelim. h o o Tablodan; γ 50 1.0 50 b( h B c h ) WL o E B *50cm * (50cm) *00kN / cm (1600cm * 0.0kN / cm) * (1600cm) 0.05 B 1.6cm James M. Gere örneğinde bulunan denklemden: 0.0kN / cm* (800cm) 0.08 0.08 1. cm B EI 00kN / cm *50,8cm 0 7
Şubat 01 Nordik Glulam Enstitüsü Konuyla ilgili bir başka kaynak, Nordik Glulam Enstitüsü El Kitabı nda verilmiştir. Bu kaynağa göre, çift eğimli çatı kirişlerinin sehimi, aşağıdaki ifadeyle yaklaşık olarak belirlenebilir: Yukarıdaki ifadede; I e b*h e /1 h e h+(0.*l*tanα) α Eğim açısı G Kayma Modülü 5 8EI + 0.5 Gb( h h e + Not: Đkinci ifade kesmeden kaynaklanan sehimdir ve prefabrike makaslar için, aşağıdaki örnekte görülebileceği gibi, ihmal edilebilir. max ) Figür. Örnekte verilen kiriş boyutları Bu ifadeye göre, ilk örnekteki sehim bulunursa: h e 50 cm + 0.* 0.065*1600cm 8cm 5 8EI e 5* 0.0kN / cm* (1600cm) 8 *00kN / cm * 86cm.cm Kesmeden oluşan ilave sehim:.5 Gb( h + h 0.0kN / cm* (1600cm) 0.5 0.0cm ) 180kN / cm *50 *150cm 0 max 8
Şubat 01 SP000 Önceki kaynaklar için çözülmüş olan örnek, SP000 paket programında çözülmüş ve çıkan sonuç diğer kaynaklarla karşılaştırılmıştır. Figür. SP000 de çözülen örnek Figür.5 SP000 Kiriş Sehimi Yukarıdaki şekilden de görülebileceği gibi, kiriş açıklık ortasında 1.85cm sehim yapmaktadır. 9
Şubat 01 Jack Porteus Jack Porteus un Structural Timber Design to Eurocode 5 isimli kitabında, çift eğimli ahşap basit kirişler için sehim denklemleri verilmiştir. Buna göre; Yukarıdaki ifadede; 5M DL k 8EI hs δb k 1 19. * ( ) a 1 a + a + 1 * ( * ( ) * ln( ) + a 1 a + 1 ( a + 1) δ b a h mahya / h mesnet I hs bh mesnet /1 ) ynı örneği bu ifadeyle çözersek: 1 19.*( ) 1 * ( * ( ) * ln( ) + 1 () k δ b ) 0.1 0.0kN / cm* (1600cm) M D 6, 000kNcm 8 5M DL k 8EI hs δb 5* 6000 *1600 * 0.1.cm 8*00 *508 10
Şubat 01 Judith Stalnaker Judith Stalnaker ın Structural Design in Wood kitabında ise, yine yaklaşık bir yöntem önerilmiştir. Bu yönteme göre, eğimli kirişin sehim hesabında kullanılacak talet Momenti, eğimli kirişin mesnet yüksekliği bir katsayıyla çarpılarak elde edilen yükseklik kullanılarak bulunur: C dt, aşağıdaki tablodan seçilen bir katsayıdır. h C h dt mesnet Örneğimizi, bu yöntemle çözersek: ( h h ) / h 1 C 1+ (100 50)(0.66 / 50) 1.66 mahya mesnet mesnet dt 50 *8 h 1.66 *50cm 8cm I,8,6cm 1 5* 0.0 *1600 8 *00 * 86.cm Örneğimiz için 6 farklı metodla bulunan sehim aşağıdaki tabloda sunulmuştur: Metod Gere Soltis Nordik SP000 Porteus Stalnaker Sehim(cm) 1.0 1.6. 1.85.. Tablo.1 Metod Karşılaştırması Yukarıdaki tablodan da görülebileceği gibi, Gere formülünün gerçek çözüm olduğu kabul edilirse, gerçeğe en yakın sonucu Soltis Metodu vermektedir. 11
Şubat 01. Hesap Formülasyonu Bu bölümde, nci Bölüm de sunulan hesap metodları dört ayrı örnek için karşılaştırılmış ve bu hesap metodlarından gerçeğe en yakın olduğu düşünüleni eğimli çatı kirişlerinin sehim hesabı için sunulmuştur. James M. Gere in kitabındaki formülasyon, sadece kare kesitli ve mahya yüksekliği mesnet yüksekliğinin iki katı olan kirişler için geçerli olduğundan, dikkate alınmamıştır. Çözülen Örnekler Figür.1 Makas Boyutları (L: Makas Uzunluğu, ho: Mahya Yüksekliği, hc: Mesnet Yüksekliği) Figür. Makas Kesit Boyutları (hx: Mesnetten x uzaklıktaki kesit yüksekliği) 1
Şubat 01 Örnek q L h o h c Bust Balt Bw h1 h h h 1 0.0 1600 17 0 0 8 1 6 8 10 0.0 1000 17 0 0 8 1 6 8 10 0.0 1600 17 60 50 0 15 10 10 10 10 0.0 1600 190 0 0 8 1 6 8 10 Tablo.1 Farklı Örnek için Hesap Parametreleri (q:kn/cm, diğerleri cm) Örnek Sehim (cm) L.Soltis Nordik G. SP000 J. Porteus J. Stalnaker 1.87..71 7.57. 0. 0.5 0. 1.16 0.5 1.6 1.90 1.6.1.0 1.17 1.6 1.0.67 - Tablo. Farklı Örnek için Sonuçlar Yukarıdaki tablolar incelendiğinde, Soltis ve SP000 metodlarının gerçeğe en yakın metodlar olduğu gözlemlenir. Dolayısıyla, bu çalışmada prefabrike makasların sehiminin hesaplanmasında Soltis metodunun kullanılması tavsiye edilir. (Soltis metoduyla ilgili dikkat edilmesi gereken bir nokta, kiriş genişliğinin, I kesitin talet Momenti ni sağlayan (eşdeğer) kiriş genişliği seçilmesi gerektiğidir.) ncak, hesap programına entegre edilme kolaylığı açısından, S&TY tarafından geliştirilen yazılımda Nordik metodu kullanılmıştır. Bu hesap yöntemi kullanılırken, aşağıdaki noktalara dikkat çekmek isteriz: Sehim hesabı halen Betonarme teorisinde kesinlik kazanmadığından, karmaşık geometrik şekillere sahip prefabrike makasların sehimlerinin hesabında ciddi hata payları olduğu unutulmamalı, hesaplarda mühendislik sezisine göre emniyet katsayıları kullanılmalıdır. Önerilen hesapta, prefabrike kesitlerin mesnet kesitleri dolu değil, aynı yükseklikte I ya da T kesit olarak düşünülmüştür. Gerçeğe en yakın metod olarak Soltis metodu ve SP000 programının kullanılması tavsiye edilmiştir. ncak, yazılım programına entegre olma kolaylığı açısından, yazılımımızda Nordik Glulam Enstitüsü nün metodu kullanılmıştır. 1
Şubat 01. Örnek Hesap şağıda ölçüleri verilen makasın çerçeve aralığı 7.50m dir. 1.50m kar yükü olan bir bölgede kullanılacak makasın kar yükünden dolayı yapacağı mahya sehimini hesaplayınız. Figür.1 Makas Ölçüleri Figür. Makas Kesit Ölçüleri h e 0 cm + 0.* 0.108*1606cm 97. 5cm I e 1,565,59 cm 5 8EI e 5* 0.115kN / cm* (1606cm) 8 *00kN / cm *1,565,59 cm 1.95cm 1
Şubat 01 5. S&TY Hesap Programı S&TY, prefabrike tekil elemanların ve çerçevelerin hesabı için güncel teknik şartnameleri göz önünde bulundurarak hesap programları geliştirmektedir. macımız, SP000, ETBS gibi paket programlarının kullanımına gerek bulunmayan, ancak el hesabı oldukça zaman alıcı ve hesap hatalarına açık olan bu tür tekil prefabrike elemanları, bütün yönleriyle analiz edecek kapsamlı bir hesap programı geliştirmektir. Öngerilmeli ve Öngerilmesiz Makas nalizi programlarımız için çalışmalarımız sona yaklaşmaktadır. Tüm kontrolleri yapıldıktan sonra, programlarımız mühendislerin hizmetine sunulacaktır. şağıda, Öngerilmesiz Makas Programımızın na Girdi Menüsü nü görebilirsiniz. 15
Şubat 01 6. Referanslar - PCI Design Handbook, 7 th edition - Mechanics of Materials, James M. Gere - Wood Handbook, Lawrence Soltis - Nordic Glulam Institute Handbook - SP000 v1 - Structural Timber Design to Eurocode 5, Jack Porteus - Structural Design in Wood, Judith Stalnaker - S&TY Öngerilmesiz Prefabrike Makas nalizi Programı 16