ŞUBAT KAMPI SINAVI99. Yatay bir düzlede açılan bir yuvada düşey duruda bulunan bir çubuk bilineyen bir açısal hızı ile döndürüleye başlıyor. k Çubukla beraber çubuğun alt ucunda bulunan yay sabiti k ve gerileiş haldeki uzunluğu olan bir yay da dönektedir. Yayın öbür ucunda, yatay düzle üzerinde kütlesi olan bir cisi bulunuyor. Çubuğun ve yayın kütleleri ve tü sürtüneler ihal ediliyor. Yayın döne sonucu yavaşça kadar uzadığı gözlenektedir. a) Bu duruda cisin döne yönündeki hızı nedir? b) Sistein bu durua getirilesi için yapılan iş nedir? c) Bir anda yay çubuktan kopuyor ve kütleli cisi çubuktan belli uzakta bulunan kütleli cisi ile esnek olarak çarpışıyor. Bu çarpışadan sonra her iki cisin hızı nedir? h g h a. Yatay yolda a ivesiyle gitekte olan bir vagonun tavanına her biri h uzunlukta iplerle iki ucundan hoojen, kütlesi ve uzunluğu olan bir çubuk asılıdır. Belirli bir süre sonra soldaki ip kopuyor. O anda sağdaki ipteki gerile kuvvetini bulunuz. F. a) Sürtünesiz bir düzle üzerinde bulunan dinaoetreye F değerinde yatay yönde bir kuvvet uygulanıyor. Yayın kütlesi, dinaoetre kutusunun kütlesine eşittir. Dinaoetrenin gösterdiği kuvvet değeri nedir? F Şekil a b) Dinaoetre kutusunun kütlesi F, içindeki yayın kütlesi olsun. Dinaoetrenin sol ve sağ tarafından F ve F kuvvetleri uygulanıyor ise dinaoetrenin gösterdiği kuvvet değeri nedir? Şekil b h. Yarıçapı ve yüksekliği h<< olan dielektrik bir diskin tabanları yüzeysel yük yoğunluğu olan yük ile yüklüdür. Disk erkezinden geçen dikey eksen etrafında sabit açısal hızı ile döndürülektedir. a) Diskin ekseni üzerinde oluşan elektrik alanı ve elektrik potansiyeli diske olan x uzaklığına bağı olarak bulunuz. b) Diskin erkezindeki anyetik alanı bulunuz. c) Oluşan anyetik dipol oentini bulunuz. q p. a) yarıçaplı dielektrik bir halkaya hoojen bir şekilde q yükü veriliyor ve erkezine halkanın ekseni boyunca p elektrik dipol oentine sahip kütleli bir dipol yerleştiriliyor. Dipol serbest bırakıldığında ulaşacağı aksiu hızı bulunuz. b) Dipolün yapacağı titreşiin periyodunu bulunuz. 6. Sığaları,, üç kondansatör ve özindüktans katsayıları ve olan iki özdeş bobin bir devre oluşturaktadırlar. Başlangıçta kondansatör yüklüdür. Sistein yapacağı titreşilerin frekanslarını duruu için bulunuz.
* b O P Şekil a) J J bsin Şekil b) 7. Tek yarık kırını olayında ekrandaki bir P noktanın aydınlaası sin bsin JJ, olduğunu gösteriniz. Burada b yarık aralığı, ışık kaynağının dalga boyu, J erkezi noktanın aydınlanası, ise erkezi doğru ile ekran üzerindeki istediğiiz nokta arasındaki açıdır. (Şekil a) Ekrandaki aydınlana dağılıı ise şekil b) deki gibidir. a) Yarık aralığı (b)'nin iki katına çıkarıldığı duruda aydınlana dağılıı ifadesini bulunuz ve yukarıdaki grafiğin nasıl değişeceğini gösteriniz. b) Yarık aralığı b ile yarıklar arası d uzaklığının eşit olduğu (bd) çift yarıklı düzeneği ile oluşturulan kırını olayındaki aydınlana dağılıı ifadesini türetiniz ve ilk durula karşılaştırınız. 8. Belirsizlik prensibi kullanarak aşağıda verilen probleleri sizin seçtiğiniz sabitler cinsinden çözünüz. a) Hidrojen ve helyu atolarındaki elektronların bağlana enerjilerini bulunuz. b) Molar kütlesi olan güüş atoları T sıcaklığında buharlaştırılarak, bir yarıktan geçip uzaklıkta bulunan ekran üzerindeki ekrana düşektedirler. Ekranda oluşacak güüş kaplı bölgenin iniu çapı nedir? Bunu gerçekleştirek için yarığın çapı ne olalıdır? c) Nötron yıldızların kütleleri Güneşin M. kütlesi ile ukayese edilecek kadar büyüklüktedir, aa yarıçapları r k çok küçüktür. Yıldızı oluşturan nötronların kinetik enerjilerini bulunuz. d) Beta ışıası yapan radyoaktif bir addeden çıkan ışınların soygaz olan sıvı helyua nüfüs eteleri ükün değildir. Ancak helyu atolarının elektronları iterek o bölgede bir boşluk oluşturaları ükündür. Bu boşluğun yarıçapı nedir? Bu boşluktan dışlanan helyu atoların sayısı nedir? Helyuun özkütlesi, olar kütlesi ve Avogadro sayısı veriliyor. e) Metallerde valans elektronların oluşturan gazın, kuantu ekaniksel hareketinden dolayı eydana gelen basıncını bulunuz. Metalin özkütlesi ve olar kütlesi veriliyor. f) Kuantu ekaniksel osillatörün iniu enerjisini bulunuz.
ŞUBAT KAMPI SINAVI SOUAIN ÇÖZÜMEİ99. a) kütleli cisi sabit açısal hızı ile döndürülürse yarıçapı r olan dairesel yörüngeyi izleektedir. Bu duruda kxk yazabiliriz. Buradan cisin açısal hızı ve hız k k ; v b) Sistein bu durua getirilesi için yapılan iş v k k A+ + c) kütleli cisi çubuktan uzaklaşaya v hızı ile başlar. kütleli cisi ile esnek çarpıştığında oentu ve enerji korunuu yasaları geçerlidir. v v v vv +v ; + Buradan hızlar v v v ; v. a ivesiyle gitekte olan vagona göre çubuk için g T h gtsina y ; Tcosaa x yazabiliriz. Çubuğun kütle erkezine oent alabiliriz. a A Tsin J; J a A Buradan kütle erkezinin etrafında çubuğu döne açısal ivesi 6T sin Çubuğun A ucunun ivesi T cos T sin T sin T sin a Ax a x a; aay a y g g olarak yazılabilir. Bu bileşke ivenin ipe dik olası gerekir, çünkü bu uç dairesel yörünge takip etektedir. Buradan T cos a a Ax tg (g sin a cos ) ; T a Ay T sin g sin x. a) Sürtünesiz düzle üzerinde bulunan dinaoetreye F değerinde yatay F yönde kuvvet uygulandığında dinaoetre F a ive ile hareket eder. Yaydaki gerile kuvveti uçtan x uzaklığına bağlı olarak x F T(x)F x af F x ESd dx şeklinde yazılabilir. Burada dx x uzaklıkta seçilen küçük bir yay parçasının uzunluğu, d ise bu parçanın uzaa iktarıdır. Buradan yayın topla uzaası d F x SE dx F SE Dinaoetrenin gösterdiği kuvvet SEF F ES k ; k SE
F k x F b) Dinaoetre kutusunun kütlesi, içindeki yayın kütlesi, dinaoetrenin sol ve sağ tarafında uygulanan kuvvetler F ve F ise sürtünesiz düzle üzerinde bulunan dinaoetre F F a ive ile hareket eder. Yaydaki gerile kuvveti uçtan x uzaklığına bağlı olarak x F T(x)F ( + x )af F ESd dx şeklinde yazılabilir. Burada dx x uzaklıkta seçilen küçük bir yay parçasının uzunluğu, d ise bu parçanın uzaa iktarıdır. Buradan yayın topla uzaası d ES F x F F dx (F F ) (F F ) F ES ( ) Dinaoetrenin gösterdiği kuvvet k (F F ) (F F ) ( )(F F ) k F F ES ( ) ( ). a) Disk üzerinde yarıçapı r, kalınlığı dr olan ince kabuklu bir z silindir seçeli. Bu silindirin tabanın alanı x dsrdr yükü de dr qds dq rdr r dq q olur. Bu seçilen yüzey diskin erkezinden x uzaklıkta elektrik alan için dq x xrdr de x decos z z (x r ) yazabiliriz. Tü diskin bu noktada oluşturduğu elektrik alan xrdr E x x (x r ) x Potansiyel ise x x E x dx dx x x x b) Diskin erkezindeki anyetik alanı bulak için seçilen yüzeyin üzerindeki yük aslında dairesel bir akı oluşturduğunu hesaba katalıyız. Akan akı dq rdr d rdr T bu akıın diskin erkezinde oluşturduğu anyetik alan ve tü anyetik alan db d dr dr ; B r c) Seçilen yüzeyin dairesel akıının çerçevelediği alandan oluşan anyetik dipol oenti ve oluşan tü anyetik dipol anyetik oent dp dr r dr p r dr
q r x p x Açı için. a) Halkanın erkezinden x uzaklıkta elektrik alan x qx E x Ecos q r r (x ) olarak yazılabilir. Denge duruunda de x dx olalıdır. Buradan bu şartı gerçekleşen uzaklık için tg ; sin yazabiliriz. x uzaktaki elektrik alan tg tg 6 ; cos tg q E x 8 bu uzakta dipolün elektrik potansiyel enerjisi kazanılan kinetik enerjiye eşit olur. x pe x Buradan dipolün kazandığı hız qp 8 v qp v ak 9 b) x uzaklıkta elektrik alanın gradienti işaret değiştirektedir. Bu sebeple bu noktaya kadar dipol hızlanır, bu noktadan sonra yavaşlar, yani titreşi hareketi yapaktadır. Dipol denge duruundan saparsa dipole etki eden kuvvet de Fp x pq( x ) dx (x ) uzaklıkta xx +x pq[ (x x) ] F [(x x) ] pq( (x x ) ) pqx (x x Bu kuvvetin etkisi ile dipol a ive kazanır. pqx a Titreşiin hareketinin titreşi frekansı ve titreşi periyodu pq ; T ) pq pqx
6 + q + q + q I I I 6. kondansatörün boşalası ile akı akaya başlar. Birinci Kirchhoff yasasından + ; yazabiliriz. Birinci ve ikinci hücre için ikinci Kirchhoff yasası dt d q + q ; dt d q + q şeklinde yazabiliriz. Bu denkleleri türevleyip dt d + ; dt d + denkleleri elde ederiz. Birinci Kirchhoff yasasından yazarsak + ; + denkleleri elde ederiz. Akan akıların çözüleri t ; i e t ; i e t ; i e t i e şeklinde arayabiliriz. + olur. Bu sistein çözüü ya ya da terilerden oluşan deterinant sıfır olalıdır. Buradan titreşi açısal frekansları + + denklein kökleri gibi bulunur.
b bsin 7 7. a) Tek yarığın uçlarından çıkan ışınların arasındaki faz farkı olsun. Faz farkı he açı he de esafe ve dalga boyu cinsinden yazılabilir. b b sin ; b kbsin; k Yarığın içinde N çok büyük sayı olak koşulu ile N tane kaynak olduğunu varsayalı. Her artarda yerleştirilen iki kaynak arasında b N faz farkı eydana gelektedir. Bu kaynaklardan yayılan dalgaların N genliklerinin vektörel toplaı N Asin ; A sin A N b b sin sin sin AA A NA sin NA A b b sin N A ise N tane birbirine paralel olan titreşii toplaalıyız. Bu duruda A ANA olur. Işık şiddeti JA erkezdeki ışık şiddeti J N A A olarak yazılabilir. ise sin JJ ; b J J Yarık genişliği iki katına çıkarsa yeni şiddet dağılıı sin () J J J (sin cos) () bsin sin J cos Jcos olur. Yeni şiddet dağlıı erkezde aynı değerde, erkezden uzaklaştıkça azalaktadır. b) Yarık aralığı b ile yarıklar arası d uzaklığının eşit olduğu (bd) çift yarıklı düzenekte he her yarıkta he de iki yarık arasında d kdsin b faz farkı eydana gelir. Her yarıktan eydana gelen titreşiin topla genliği sin A A A olarak yazalı. İki yarıktan eydana gelen titreşiin genliği ışık şiddeti A A A AA cos d A ( cos d ) sin A cos b sin A cos sin JJ cos
8. a) Hidrojen atodaki elektronun enerjisi için v W+ Ze r p e 8 r yazabiliriz. Belirsizlik prensibine göre p.r olarak yazılabilir. Fiziksel büyüklüklerin küçük değerlerin değişii bu büyüklüklerin ertebesinden pp; rr; pr yazılabilir. Buradan enerji için e W r r yazabiliriz. Bu ifadenin r yarıçapına göre türevi sıfır olalıdır. dw e + dr r r Bu şarttan yarıçap r e ve enerji e W y,6 ev Helyu atolarındaki elektronların bağlana enerjisi için v e e p 7e W+ + r r 8r yazabiliriz. Belirsizlik prensibine göre p.r olarak yazılabilir. Buradan enerji için 7e W r 8r yazabiliriz. Bu ifadenin r yarıçapına göre türevi sıfır olalıdır. dw 7e + dr r 8r Bu şarttan yarıçap ve enerji 6 9e 9 y r ; W 8 ev 7e 6 8 Gerçek değer 79 ev olduğuna göre bulunan sonuç oldukça iyi sayılabilir. b) Güüş atoları yarıktan geçerken belirsizlik ilkesi gereği hareketin dik yönünde v y hız kazanaktadır. uzaklıkta bulunan ekran üzerindeki oluşacak güüş kaplı bölgenin çapı D E D+v y t olarak yazılabilir. Burada D yarığın çapıdır. Atoların ekrana kadar ulaşa süresi t v atoların hızları kt v olur. Belirsizlik prensibine göre p y y olarak yazılabilir. Fiziksel büyüklüklerin küçük değerlerin değişii bu büyüklüklerin ertebesinden p y v y ; yd; v y D yazılabilir. Buradan çap için
9 D E D+ D+ Dv D kt yazılabilir. Çapın iniu olası için bu ifadenin D çapına göre türevi sıfır olalıdır. dd E dd D kt Bu şarttan iniu çapı gerçekleştirek için yarığın çapı ve ekran üzerindeki iniu çap D ; D E D kt kt c) Nötron yıldızın nötron sayısı ifadesinden bir nötrona düşen hacinin boyutu bulunulabilir. M V yıldız N V ; r nötron r M Belirsizlik prensibine göre pr olarak yazılabilir. Fiziksel büyüklüklerin küçük değerlerin değişii bu büyüklüklerin ertebesinden pp; rr; p.r yazılabilir. Buradan oentu p r yıldızı oluşturan nötronların kinetik enerjileri p M N 6 J d) Beta ışıası sonucu helyuun içine giren elektronların ve oluşturdukları boşluk bölgenin topla enerjisi v W+ +r p +r olur. Burada r oluşturulan boşluğun yüzey geriliinden kaynaklanan yüzey gerilii enerjisi. Belirsizlik prensibine göre p.r olarak yazılabilir. Fiziksel büyüklüklerin küçük değerlerin değişii bu büyüklüklerin ertebesinden pp; rr; pr yazılabilir. Buradan enerji için W +r r yazabiliriz. Bu ifadenin r yarıçapına göre türevi sıfır olalıdır. Bu şarttan yarıçap dw +8r; r dr r 8 Sıvı helyuun olar kütlesi, özkütlesi ise bir atoa düşen hacin boyutu bulunulabilir. V ; NA N A Oluşturulan boşluktan dışlanan helyu ato sayısı r N A N 8 Soruyu basınçlardan yola giderek de çözebiliriz. Elektronun oluşturduğu basınç n P e N ; n V r r elektronun kinetik enerjisi
p r aplace basıncı P r olarak yazılabilir. İki basıncın eşit olası gerekir. Buradan ; r r r r 8 Elektronun basıncı başka yoldan da bulunulabilir. Boşluğun hacinin dv kadar arttırak için yapılan iş kinetik enerjinin değişiine eşittir. P e dvp e r dr dr d ; P e r r e) Metalin olar kütlesi, özkütlesi ise bir elektrona düşen hacin boyutu bulunulabilir. V ; NA N A Elektronun oluşturduğu basınç n P e N A N ; n A N A V elektronların etaldeki konsantrasyonudur. Belirsizlik prensibine göre p x.x; p y.y; p z.z olarak yazılabilir. Fiziksel büyüklüklerin küçük değerlerin değişii bu büyüklüklerin ertebesinden p x p; x; p; p yazılabilir. Sietri sonucu ortalaa değerler için <p x ><p y ><p z >; <p ><p x >+<p y >+<p z ><p x > p p x yazılabilir. Buradan elektronun kinetik enerjisi p olarak yazılabilir. Elektronun oluşturduğu basınç NA P e r f) Kuantu ekaniksel osilatörün enerjisi W+ p x kx + N olarak yazılabilir. Belirsizlik prensibine göre p x.x A olarak yazılabilir. Fiziksel büyüklüklerin küçük değerlerin değişii bu büyüklüklerin ertebesinden p x p; xx; px yazabiliriz. Buradan enerji için kx W + x yazabiliriz. Bu ifadenin x yarıçapına göre türevi sıfır olalıdır. Bu şarttan x ve enerji dw k +kx; x ; W dr x k