Mtemtik üns, 2004 Güz Geometi Köflesi Mustf Y c gcimustf@hoo.com iklik Mekezi i üçgenin üç üksekli i dim tek noktd kesifli. u nokt üçgenin diklik mekezi deni. = iklik mekezi genelde ile gösteili. Üçgen dç l ise diklik mekezi üçgenin içinde, genifl ç - l ise d fl ndd. e üçgen dik ise diklik mekezi dik kenl n kesiflti i köfledi. Önce üksekliklein neden noktdfl oldu unu gösteelim, dh son d diklik mekezinin üçgenin içinde, üstünde ve d fl nd olms n n neden üçgenin ç l n l oldu un iliflkin i oum getielim. Teoem. i üçgende üç ükseklik noktdflt. Kn t: i üçgeni ll m. fl dki flekildeki gii üçgeninin tes-ot üçgeni oln ''' üçgenini çizelim, ni öle i ''' üçgeni çizelim ki üçgeni onun ot üçgeni (ken ot noktl n köfle kul eden üçgen) olsun. i üçgenin üç köflesinden i çeme geçti- inden (üçgenin çevel çemei) ve u çemein mekezi üçgenin üç ken n eflit uzkl kt oldu undn, i üçgenin ken ot dikmelei (çevel çemein mekezinde) kesiflile. u, özel olk ''' üçgeninde de öle. t üçgenin kenl s l üçgene dim plel oldu undn, ''' üçgeninin ken ot dikmelei üçgeninin ükseklikleidi. Teoemimiz kn tlnd. iklik Mekezi Üçgenin Neesinde? iklik mekezi üçgenin ne zmn içinde, üstünde ve d - fl nd olu sousunu n tll m flimdi: e üçgeni genifl/d ç l olsd üçgeni de üçgenine enze oldu undn genifl/d ç l olckt. öle üçgenlein çevel çeme mekezinin üçgenin d fl nd/içinde olc n iliouz. hlde diklik mekezi de üçgenin d fl nd/içinde olu. e i dik üçgen olsd, üçgeni de dik üçgen oludu ki çevel çeme mekezi hipotenüsünün ot nokts olckt, u d ot üçgeninin dik köflesidi. Üçgen flitsizli inin i Sonucu ilindi i üzee i üçgenin ln, tn ükseklik/2 di. emek ki kenl, ve c ve u kenl üksekliklei s s l h, h ve h c oln i üçgende, h = h = ch c eflitliklei geçelidi, ni ükseklikle kenll tes ont l d. ol s l, < c < + ve di e üçgen eflitsizlikleinden, 1/h 1/h < 1/h c < 1/h + 1/h, 1/h 1/h c < 1/h < 1/h + 1/h c, 1/h c 1/h < 1/h < 1/h c + 1/h. ç k. Sou. i üçgenin ükseklikleile he z- hc mn i üçgen h h olufltuulili mi? Yni, hehngi i üçgenin üç üksekli ini ie kiit çöpü gii elime lsm, uçl n ikifle ikifle iiine de dieek he zmn i üçgen pili miim? enze sou(l): Sou. i üçgenin kenotl l/içç - otl l he zmn i üçgen olufltuulili mi? 56
Teoem. i üçgende diklik mekezinin üksekliklei d pçl n uzunlukl - n n çp m sitti. Kn t: Üçgenimiz olsun. Yndki flekilden tkip edelim. i ve i üçgen enzelikleinden dol, = =. Teoemimiz kn tlnm flt. Üç flitlik h. ve ç l dik oldukl ndn,,,, noktl çemeseldi; dol s l m() = m() ve i. undn d, = eflitli ini elde edeiz. (u eflitli e fl Kuvvet Teoemi de deni.) uum simetik oldu undn, nen ukdki gii, = = eflitliklei de geçelidi. i üçgeninin ükseklik kl n köfle kul eden üçgene otik üçgen deni (kz. fl dki flekil). Çeve uzunlu u u oln üçgeninin iççeme çp, çevel çeme çp, d flte et çeme çpl, ve c ise ve c,, c kenl n inen ükseklikle s s l h, h, h c, üç ç s α, β ve γ ise, h = c sin β = c(/2) = c/2 = 2()/ = 2(u(u )(u )(u c)) 1/2 /, h = sin γ = (c/2) = c/2 = 2()/ h = 2( u(u )(u )(u c)) 1/2 /, = sin α = (/2) = c/2c = 2()/c = 2( u(u )(u )(u c)) 1/2 /c, 1/h + 1/h + 1/h c = 1/, 1/h + 1/h + 1/h c = 1/, 1/h 1/h + 1/h c = 1/, 1/h + 1/h 1/h c = 1/ c, 1/ + 1/ + 1/ c = 1/ = 1/h + 1/h + 1/h c. 57 Mtemtik üns, 2004 Güz Teoem. üçgeninin diklik mekezi oln, otik üçgeninin içte et çeme mekezidi. Kn t:, ve dötgenleinin ie kiifl dötgeni oldukl n ve üçgen enzelikleini kullnk, m() = m() = m() = m(), m() = m() = m() = m(), m() = m() = m() = m() elde edeiz. Öne in, iinci eflitlikten, ve içte et çemee te et oldukl ndn, nin içte- et çemein mekezinden geçti i ç k. n fle ve için de geçelidi. ol s l u üç do unun kesiflimi içte et çemein mekezidi. emek ki üçgeninin üksekliklei otik üçgenin içç otl d. n zmnd üçgeninin kenl n n d otik üçgenin d flç otl oldu u sonucun v l. u ilgii izdn kullnc z. Teoem (gnno). i üçgen olsun. e köflesi nin üç fkl ken üzeinde ulunn nin iç üçgenlei s nd en küçük çevee ship oln üçgenin otik üçgenidi. Kn t. ehngi i dç l üçgeni çizelim. Kenl üzeinde sgele,, noktl l p üçgenini olufltul m (fl d, soldki flekil). h son nün e göe simeti i oln ve nün e göe simeti i oln do u pçl n çizelim (otdki flekil). Çeve() = + + = + + oldu undn + + toplm n ne kd Yüksekliklele lgili nt l c h c c h
Mtemtik üns, 2004 Güz küçük tutsk üçgeninin çevesi de o denli küçük olu. u d,,, noktl n n do usll l mümkün. Yni k k çizgisini i do u pçs hline getimeliiz. i e ndn ç s sit ve m( ) = 2 m() oldu undn uzunlu unun en küçük olms = uzunlukl n n mümkün oln en küçük tutulms l mümkün. u uzunlukl n zmnd eflit oldu undn ve en küçük de eini h oldu u zmn ld ndn nokts d ken n it ükseklik olml. n ifllemlei di e köflele için de psk ve noktl n n d ulundukl kenl it ükseklik kl olms geekti ini uluuz (en s dki flekil). hlde çevece en küçük üçgen otik üçgendi. i flk Muhteflem Kn t. fiimdi n teoemin muhteflem i kn t n dh hz olun. ehngi i üçgeni çizelim ve köflelei u üçgenin fkl kenl üzeinde oln hehngi i üçgen dh çizelim. Ken uzunlukl,, olsun. c c c c Son flekilde gösteildi i üzee u üçgeni s s l fkl kenl üzeine ktll m (simetileini çizelim). eflinci ktlmdn son ken n n, ilk üçgeninin ken n plel i hl ld n göüüz. k k çizgisinin uzunlu unun 2 + 2 + 2, ni içede çizilen üçgenin çevesinin iki kt c c oldu un dikkt ediniz. fiimdi de n dönüflümlei, çizilen ilk üçgeninin otik üçgenile pl m. tik üçgeninin kenl d,, c olsun. üçgeninin kenl n n otik üçgenin ie d - flç ot oldu unu ulmufltuk, iflte u, k k çizgisini dosdo u i do u p (lt flekildeki do usu). 2 + 2 + 2c toplm n n 2 + 2 + 2 toplm ndn küçük oldu u flik oldu u gii olilecek en küçük de e oldu u d gözle önünde. nokts ndn nokts n dh k s i ol olili mi? tik Üçgenin Çevesi. u en küçük çevenin de ei, ni otik üçgenin çevesi ne c? Son flekil üzeinde iz onm pc z. α h β β θ θ q Uzunlukl ve ç l uk dki flekildeki gii dlnd ls n. Çok ilinen tigonometik eflitlikleden ve üçgeninde sinüs teoeminden, (p + q + )/2sin(α)cos(α) = (p + q + )/sin(2α) = (p + q + )/sin(2β + 2θ) = h /sinα, ni, (p + q + )/2sin(β + θ) = (p + q + )/2cos α = h elde edeiz; demek ki, üçgeninin çevesi p + q + = 2h sin (β + θ) = 2h sin olu. enze flekilde üçgeninin çevesi 2h sin = 2h c sin di. lginç i flitlik uldu umuz u sonuçll iz onl m. ln() = S = h /2 ve /sin = 2 eflitlikleinden h ve sin de eleini çekip ukd uldu umuz çeve fomülünde eleine zsk; Çeve() = 2S/ ulunu. i e ndn S = c/4 oldu undn üstteki fomülde eine c/4s zsk, Çeve() = 8S 2 / c = (2S/) (2S/) (2S/c)/S = h h h c /S uluuz. üzenlesek ilginç i eflitlik uluuz: h h h c = Çeve() ln(). p h p α 58
m β γ d γ β β γ -n c m ƒ e α αα α γ β n tik Üçgenin Kenl. eki otik üçgenin kenl n c s l üçgenin kenl cinsinden zmk mümkün mü? üçgeninin kenl, ve c olsun. c, = m ve = n olsun. tik üçgen oln üçgeninin kenl d s s l d, e ve ƒ olsun. ç l n flekildeki gii oldukl n sf 57 de gömüfltük. m() = 90 β = α + γ = m() ve otk oln ç s ndn ötüü ile üçgenlei enze oldu undn, d/ = m/ = n/c. i e ndn n/c = cos (β + γ) = cos. hlde d = cos. enze flekilde e = cos ve ƒ = c cos fomüllei geçelidi. nin Simetilei Ne Âlemde? iklik mekezi oln nokts n n üçgenin kenl n göe simetilei dim üçgeninin çevel çemei üzeindedi. Yni, ükseklikle çevel çemei flekildeki gii K, L, M noktl nd kesios, = K, = L L ve = M eflitliklei M geçelidi. iz = K kn tll m, di elei enze flekilde kn tlnili. K ile üçgenleinin ikifle ç s eflit oldu- undn m() = m(). i e ndn K ile K n göen çeve ç l oldu undn, m(k) = m(k). hlde m() = m(k). m o zmn, K üçgeninde hem ükseklik hem de ç otd, ni K ikizkend, dol s l = K. Çevel Çemele. i üçgeninin otik üçgeninin çevel çeme - çp, üçgeninin çevel L çeme çp n n - M s d. unun çok sit i kn t v: K, L, M noktl uk d K tn mlnn nokt- l olsun. 59 Mtemtik üns, 2004 Güz üçgenine üçgeninin iinci otik üçgeni, KLM üçgenine de ikinci otik üçgeni desek, üçgenile ikinci otik üçgeninin çevel çemeleinin n oldu u âflik. ile MK üçgenleinin enzeli inden (K--K); MK// di. enze flekilde ML// ve KL// di. le KLM üçgenleinin enzelik on 1:2 oldu undn çevel çeme çpl n n on d 1:2 di. fiekilden ç kilece imiz i di e sonuç ise nokts n n he iki otik üçgeninin de iççeme mekezi olms. i nokt dh n mstl m: i dik üçgen ise ikinci otik üçgeni oluflmz, sdece i do u oluflu. l Vesile lck. fiimdi, volufl nedeni izdn nlfl lck ve önemli sonuçl vesile olck hofl i polem çözece iz. Önsv. ehngi i üçgeni veilsin ve u üçgenin çevel çemei çizilsin. Üçgenin hehngi i köflesinin diklik mekezine oln uzkl, üçgenin çevel çeme mekezinin seçilmifl köflenin kfl s nd- ki ken oln uzkl n n iki kt d. Yni ukdki flekle göe, = 2 T di. T Kn t: köflesinden geçen çp, çevel çemei de kessin. Tles Teoemi nden dol çp göen çeve ç l dikti: m() = m() = 90º. = ve T = T oldu undn, üçgeninde T ot tnd. 2 ol s l, T = ise 2 = 2 olu. Öte ndn // T ve // oldu undn, i plelkend. hlde = = 2 ti. Sonuç 1. üçgeninde =, = ve = c olsun. diküçgeninde isgo Teoemi ni ugulsk, 2 + 2 = 4 2 uluuz. = oldu undn 2 + 2 = 4 2. enze flekilde 2 + 2 = 4 2 ve 2 + c 2 = 4 2 di. u üç eflitlik tf tf topln s tüm üçgenlede s lnn güzel i eflitli e ulflm fl oluuz: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + c 2 = 12 2.
Mtemtik üns, 2004 Güz Sonuç 2. Yine udn do n i eflitlik: 2 + 2 + 2 + c 2 = 9 2. ( pucu: Kenot Teoemi.) Sonuç 3. = = = ( 2 + 2 + c 2 )/2 4 2. unu d oku l flt m olk k ouz. l k Mekezi Teoem. i üçgende kenotl ( l k mekezi d veilen) i noktd kesiflile. Kn t: üçgeninde ve köfleleinden fl dki flekildeki gii kenotl çekelim. unl n kesiflimi G olsun. G nin i tm otd kesti ini kn tlml z. ve plel oldukl ndn, ; dol s l = 2 G 2. undn ve G G enzeli inden, G = 2 G ve G = 2 G ç k. unldn ve G G ve G G enzelikleinden, = 2 ve = 2 ç k. emek ki flekildeki, 2, ve 2 do u konmufl. Öte ndn, ve. unldn d s s l, /2 = / = / = / = /2, 2 2 = 2 2 ve = ç k. unldn koll kl, G = 2G ve = 3G ç k. Yni G = 2 /3. enze içimde, G = 2 /3 ve G = 2 /3. fiimdi i önceki sfdki flekille iz onc z. l T i ilefltiip fl dki flekilden tkip edelim. T = T oldu undn T kenotd. n flekilde N kenotd. emek ki kesifltiklei nokt G, üçgeninin l k mekezidi. (kz. ukdki gi ke.) Öte ndn, //T plelli i sesinde T kelee i oluflu. = 2T oldu undn keleekteki enzelik on 2:1 di. emek ki ile T nin kesiflim nokts üçgenin l k nokts oln G di. fl dki teoemi kn tld k: 2 2 G T N Teoem. i üçgende diklik mekezi, l k mekezi G ve d flçeme mekezi do usld. nlc özel nokt dh üzeinde nd n u do u ule do usu deni. h Nele Nele! fiimdi de üksekliklein içç ot ve kenotll iliflkisine i kc z. Teoem. i üçgenin hehngi i içç s n it içç ot, n köflee it ükseklikle çp n s ndki ç n n d ç ot d. Kn t: Yndki flekle göe m(n) = m(nt) oldu unu göstememiz lz m. T çp oldu undn T ç s dikti. n göen çeve ç iliflkisinden, m() = m(t) di. hlde m() = m(t). Sonuçt N T m(n) = m(n) oldu undn m(n) = m(nt) eflitli i ulunmufl oldu. u kul dik üçgenlede dh fl k i hl l o: ehngi i dik üçgende dik köflee it ç ot, n köflee it ükseklik ile kenot s nd olufln ç n n d ç ot d. un i kn t pmm z geek ok, zi dik üçgende dik ç it çp zten kenot d tfl. i üçgenin iç ölgesinde isteksel olk l nn i nokts ndn üçgenin kenl n inen dikme kl n köfle kul eden üçgene nokts n n pedl üçgeni deni. Yn flekildeki üçgeninden hsediouz. ule do usu 60
Mtemtik üns, 2004 Güz üçgenin üksekliklei s s l h, h, h c ise /h + /h + /h c = 1 eflitli i de ilginçti. Kn tll m: ln() = S olsun. h = h = ch c = 2S oldu unu iliouz. Öte ndn, üçgenin ln n üç pç sk, + + c = 2S eflitli i göülü. lk uldu umuz eflitlikten,, c de eleini çekip son eflitlikte eine zsk istenen eflitli e koll kl eifleiliiz. iklik kseni Teoem. i üçgeninin kenl n n uznt l l n üçgenin otik üçgeninin ( ) kenl n n uznt l n n kesiflti i,, noktl do udflt l. l flt m. üçgeni i üçgeninin otik üçgeni olsun.,, üçgeninin diklik mekezle 1 s s l 1, 2, 3 ise üçgenile 3 1 2 3 üçgeni dim enzedi. 2 Yüksekliklei içeen i çizim polemile z m z son veelim. Üç üksekli i de ilinen i üçgenin sdece cetvel ve pegel d m l ns l çizileilece ini gösteece iz: h = h = ch c oldu unu ln hes ndn iliouz. flitlikteki he teimi h h çp m n ölesek, : : c = h : h : h h /h c uluuz. Üç ken uzunlu u d ilinen üçgenlein çizimini dh önce ö enmifltik. Ken uzunlukl h, h ve h h /h c oln i üçgen çizelim. u üçgene dielim. ile üçgenleinin enze oldukl n unutm n. = h, = h ve = h h /h c olsun. köflesinden i dik kesen ve uzunlu u h oln i L do u pçs çizelim. flte u L nokts üçgeninin ken n it üksekli idi. e plel olk L den geçen i do u çizili ve u do u ve ile kesifltiilise üçgeni çizilmifl olu. Soul. 1. Yükseklikleinin toplm 68, çevesi 80 ve ln 300 2 oln i üçgenin ken uzunlukl n ulunuz. 2 h, h, h c i üçgenin fkl üç üksekli i olsun. h h + h h c > h h c eflitsizli ini gösteiniz. 3. ç l i üçgeninin tüm kenot noktl ndn di e iki ken ie dikme indiilio. lufln lt gensel ölge ln n n üçgensel ölgesinin ln n n s oldu unu gösteiniz. 4. Çeflitken i üçgeninin kenotl n n kesiflim nokts G, içte et çemeinin mekezi I ve diklik mekezi olsun. GI ç s n n genifl oldu unu gösteiniz. Teoem. nlitik düzlemde çevel çeme mekezi fllng ç nokts (oijin) oln i üçgeninin köfle koodintl (, ), (, ) ve ( c, c ) ise üçgeninin diklik mekezinin koodintl ( + + c, + + c ) di. Kn t: Köfle koodintl veilen i üçgensel ölgenin l k mekezinin koodintl - n n, üçgenin köfle koodintl toplm n n üçte ii oldu unu iliouz. i üçgende he zmn G ule do usu u do u üçgeninin diklik ekseni ve diklik do usu deni. Yukdki teoemi gelecek s m zd kn tlc z. G = 2 G oldu unu kn tlm flt k. hlde = 3 G oldu undn diklik mekezi oln nokts n n koodintl, üçgenin köfle koodintl n n toplm n eflitti. 61