SINIF MATEMATİK İntegral Çemberin Analitik İnelenmesi
YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğuran AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim ile ters düşerse, bilimi seçin... M. Kemal Atatürk. BASKI Eylül 08 İLETİŞİM Ostim Mah. 07 Sokak No: /C D Ostim / Ankara Tel: 0 9 6 Fa: 0 9 0 0 www.yariap.om yariapyayinlari@gmail.om twitter.om/yariapp faebook.om/yariapyayinlari instagram.om/yariapyayinlari Bu kitabın her hakkı Yarıçap Yayınlarına aittir. 86 ve 96 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası na göre Yarıçap Yayınlarının yazılı izni olmaksızın, kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz, bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz.
SUNU Sevgili Gençler, Matematik ve geometri hem okul derslerinde hem de üniversiteye giriş sınavlarına hazırlıkta en önemli yere sahiptir. Yarıçap Yayınları olarak eğitim - öğretim hayatınızda bu derslerle ilgili sorunlarınızı temelden çözebilmeniz için TAMAMI VİDEO ANLATIMLI olan kitaplarımızı sizlere sunuyoruz. Yarıçap Yayınları matematik ve geometri fasikülleri konuları en temelden kavramanızı ve öğrendiklerinizi pekiştirebilmenizi sağlamak amaıyla birbirini bütünleyen BİLGİ - BİRLİKTE ÇÖZELİM - SIRA SİZDE - ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM - KONU TESTİ olmak üzere bölümden oluşmaktadır. BİLGİ bölümünde kazanımlarla ilgili açıklayıı ve öğretii bilgiler verilmiştir. BİRLİKTE ÇÖZELİM bölümleri BİLGİ ile ilişkilendirilmiş örneklerin bulunduğu alandır. SIRA SİZDE bölümlerinde konuyu kavramayı ve pekiştirmeyi sağlayaak sorular verilmiştir. ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM bölümünde çoktan seçmeli sorular araılığıyla öğrendiklerinizin daha sağlam hâle getirilmesi amaçlanmıştır. KONU TESTİ bölümlerinde konuyla ilgili çoktan seçmeli sorular verilmiştir. Başlamak, başarmanın yarısıdır. sloganıyla çıktığımz yolulukta sizlere başarılar dileriz. Oğuz GÜMÜŞ Devrim ÖZATA Seçkin KARAASLAN
İÇİNDEKİLER BÖLÜM : İntegral... Belirsiz İntegral... 6 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... 8 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... Değişken Değiştirme Tekniği... Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... 8 Belirli İntegral... 0 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... 0 Net Alan... Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 6... 6 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 7... Konu Testi,,,,... 6 BÖLÜM : Çemberin Analitik İnelenmesi... 7 Çemberin Standart Denklemi... 9 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... 6 Çemberin Grafiği... 6 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... 68 Çemberin Genel Denklemi... 70 Çember İle Doğrunun Birbirine Göre Durumları... 7 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... 7 Konu Testi... 76 Cevap Anahtarı... 78
İntegral BÖLÜM
İNTEGRAL BİLGİ SIRA SİZDE - Belirsiz İntegral y F() f() Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.. 90d 0 a b [a, b] aralığında sürekli ve pozitif bir y = f() fonksiyonunun grafiği ile ekseni arasında kalan alanı veren fonksiyon f() olmak üzere, F'() = f() veya (F() + ) ı = f() tir. Buradan, f() d = F() + Belirsiz integral İntegral Sabiti İntegrali. md f() d = F() + Türevi Belirsiz İntegral Alma Kuralları. n+ n d = + n ( ) " n +. d = +. ad = a +. d BİRLİKTE ÇÖZELİM Aşağıda verilen integrallerin eşitlerini bulunuz. a) d b) d ) d a) d = + b) d = + " ) d = + 7. d İNTEGRAL 6
BİLGİ SIRA SİZDE - Belirsiz integrallerde in üssü negatif veya rasyonel olduğunda da aynı kural geçerlidir. Eğer li ifade paydada ise 'in üssü ( ) kullanılarak paya alınır ve integral alma kuralı uygulanır. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.. d. " d d BİRLİKTE ÇÖZELİM. d integralinin eşitini bulunuz. " - + d = + + = + = +. d. d integralinin eşitini bulunuz. " " + d = d = + + = + = +. d. d integralinin eşitini bulunuz. % + d= d = + + = + = + 7 İntegral
ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM Aşağıdaki integrallerin eşitlerini bulunuz.. d A) B) C) + D) E) + 7. d 6 A) 6 6 + B) + C) + 6 6 7 D) 6-7 + E) 7 + 7. bd A) b B) b C) b. bjdk D) b + D) b + A) bjk + B) bjk + C) bj + D) bj + E) bj + 6. " 9 d 8 A) + B) 8 8 8 + C) 8 8 + D) 7. d A) 8 8 + E) 8 8 + + B) D) + C) + E) + +. d A) B) + 8. A) d + B) C) C) E) + D) + D) E) İntegral 8
BİLGİ SIRA SİZDE - Belirsiz İntegralin Özellikleri. k Œ R olmak üzere, kf.() d= k fd ( ) + = +. [() f g ( )] d fd () gd (). [() f g ( )] d = fd () gd () Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.. d BİRLİKTE ÇÖZELİM. ( 6) d Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.. d d =. + = +. ( + ) d. ( 6 + ) d ( + ) d= d + d =. + + = + +. ( ) d. ( + ) d ( - ) d = - + = + 9 İntegral
BİLGİ SIRA SİZDE - Belirsiz İntegralin Özellikleri. " df (()) d = f () + d. df (()) = f() + d 6. fd () m= f () d. Aşağıda verilen ifadelerin eşitlerini bulunuz. d( 7 9) d d BİRLİKTE ÇÖZELİM. d m Aşağıdaki integrallerin eşitlerini bulunuz. d. ( + ) d d d d ( + ) d = + dir.. d ( + ). d ( 7 + ) 7 7 d ( + ) = + + d 6. ( 7 + ) d d. d( ) d d " d ( ) d = + d İntegral 0
BİLGİ İçinde türev veya integral bulunan eşitliklerde her iki tarafın türevi veya integralini almak gerekebilir.. fd () = + olduğuna göre, f() kaçtır? SIRA SİZDE -. f() d= + + 90 olduğuna göre, f() kaçtır? BİRLİKTE ÇÖZELİM. f.() d= + olduğuna göre, f( ) kaçtır? Her iki tarafın türevi alınırsa, d d d f.() d ( = + + 90 ) d.f() = + 0 f() = + 0 f() =. + 0 = olur.. f'() = + ve f(0) = olduğuna göre, f( ) kaçtır?. f'() = + ve f(0) = olduğuna göre, f() kaçtır? Her iki tarafın integrali alınırsa, f () d = ( + ) d& f() = + + f(0) = = ve f() = + + f() = + + = 8 bulunur.. f'() = + ve f() = olduğuna göre, f() kaçtır? İntegral
ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM. ve 9. sorulardaki verilenlerin eşitlerini bulunuz.. d A) + B) + C) + D) + E) +. ( ) d A) C) + B) + D) E) + + +. ( 8+ ) d A) + + B) + + D) + + E) + + E) + +. ( 6 ) d A) 6 + B) + C) + D) + E) + 6. ^ hd A) B) C) D) E) 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 + + + + +. ( 6 + ) d A) 6 + + B) + + C) + + D) + + E) + + d 7. ( ) d d A) B) + C) D) E) + + İntegral
8. d ( + ) A) + B) + + C) + D) + +. f() d= + olduğuna göre, f() kaçtır? A) 9 B) 7 C) D) E) E) + + 9. d ( + 6) d d A) + 6 B) + 6 + C) + D) + +. f'() = + ve f(0) = olduğuna göre, f() kaçtır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E) E) + + 0. fd () = + olduğuna göre, f() kaçtır? A) 8 B) 6 C) D) E) 0. f'() = 6 + ve f() = olduğuna göre, f( ) kaçtır? A) B) C) D) E) 6 İntegral
BİLGİ SIRA SİZDE - 6 Değişken Değiştirme Tekniği Bazı fonksiyonların belirsiz integrali, doğrudan temel integral alma formülleri ile bulunmaz. Bu fonksiyonların integrallerini bulmak için değişken değiştirme tekniği kullanılabilir. f ve g fonksiyonları [a, b] aralığında türevlenebilir fonksiyonlar olsun. fg ( ( )). g ( d ) integralinde u = g() değişken değiştirmesi uygulandığında u = g() du = g'()d olur. fg ( ( )). g'() d= f( udu ) şeklinde daha basit bir integral elde edilir. fudu ( ) integrali hesaplandıktan sonra, u yerine g() yazılarak çözüm tamamlanır. Aşağıda verilen integrallerin eşitlerini bulunuz.. ( + ). d. ( + ). d Not: Değişken değiştirme yapabilmek için u ile ifade edilen değişkenin türevi çarpan olarak integralde bulunmalıdır.. ( + + 7).( + ) d BİRLİKTE ÇÖZELİM. ( + + ).( + ) d integralinin eşitini bulunuz. + + = u ( + )d = du " u ( + + ) u du= + = 6 6 6 6 +. ( + )( + 8) d İntegral
BİLGİ SIRA SİZDE - 7 (a + b) n şeklinde verilen ifadelerin integralleri de değişken değiştirme tekniği ile bulunabilir. Aşağıda verilen integrallerin eşitlerini bulunuz.. ( + ) d BİRLİKTE ÇÖZELİM Aşağıda verilen integrallerin eşitlerini bulunuz.. ( + ) d. ( ) d + = u d = du " u ( ) u du= + = + +. ( + ) d. d ( ) + = u d = du d = du ( + ) = +. ( + ) d + = u d = du d = du du. = u du " u. d ( - ) = u + = ( + ) + İntegral