OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur. n sonlu bir sayı olmak üzere n adet elemandan oluşan bir örnek grubu içinde belirli bir A özelliğe sahip olan eleman sayısı ise eşit şanslı ve tamamıyla tesadüfi seçilmek şartı ile bir elemanın A özelliğini taşıması (A olayının ortaya çıkma olasılığı P(A)) P(A) = şeklinde ifade edilir. n 1
Olasılığın iki temel özelliği; 1.Bir olayın olasılığı daima 0 ile 1 arasında değerler alır ( ). İmkansız olayın olasılığı 0, kesin olayın olasılığı 1 dir. 2. Örneklem uzayındaki örneklem noktalarının olasılıkları toplamı 1 dir. P(E) 1 2
Bir deneyin tüm olası sonuçlarının oluşturduğu kümeye örneklem uzayı denir ve S harfi ile gösterilir. Bu örnek uzaydaki her bir elemana örneklem noktası denir. Örneklem uzayın, her bir alt kümesine de olay denir. Para atma deneyi için; Örneklem uzayı: S = { Yazı, Tura } Yazı ve Tura örneklem noktalarıdır. Zar atma deneyi için; S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Belirsizliğin bir ölçüsü olarak düşünülen olasılıkta kesinlikten çok tesadüfilik (rassallık) söz konusudur. Birden fazla basit olayın bir araya getirilmesi suretiyle «bileşik olay» meydana gelir. Bunun için birleşim, kesişim ve tamamlayıcı kümelerden faydalanılır. Örneğin; verilen 100 ampulden sağlamların ayrılması istenirse, her deneyin sağlam veya bozuk olma gibi iki sonucu yani basit olayı vardır. Bunlara A ve B denilirse, örneklem uzayı şöyle tanımlanabilir; S = {A, B}, gözlem sayısı 100 dür. Örneklem uzay «sınırlı» veya «sınırsız» olabildiği gibi «sürekli» veya «süreksiz» de olabilir. Sınırlı veya sınırsız olmakla birlikte sayılabilir sayıda olay içeren örneklem uzay süreksizdir. Örneklem uzaydaki olaylar 3 sayılamayacak kadar olursa, sürekli örneklem uzayı olarak adlandırılır.
Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir? A: Çekilen bir bilyenin sarı olması n(s): Örnek uzayı eleman sayısı = 15 n(a): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5 n( A) 5 P( A) n( S) 15 1 3 4
Rassal Deney Belirsizliğin bir ölçüsü olarak düşünülen olasılıkta kesinlikten çok rassallık (tesadüfilik) söz konusudur. Rassal deney şartları: Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak, Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. İstatistikte bir rassal deneyin sonuçlarını gerçek sayılarla ilişkilendiren fonksiyona «rassal değişken» adı verilir. Rassal değişkenler sürekli veya kesikli olabilirler. Eğer iki rassal değişken değeri arasına sonsuz sayıda değişken yerleştirilebiliyorsa bu rassal değişken sürekli, aksi taktirde kesiklidir. 5
Toplam ve Çarpım Olasılıkları Toplam kanunu: A veya B aynı anda olamayan iki bağımsız olay ise A veya B nin meydana gelme olasılığı P( A B) P( A) P( B) P( A B) Çarpım kanunu: A ve B gibi iki bağımsız olayın aynı anda meydana gelme olasılığı P( A B) P( A). P( B) 6
Objektif Olasılık Tekrarlanabilen rastgele bir deneye bağlıdır. Örnek: Rus ruletinin döndürülmesi, zar atılması gibi. Subjektif Olasılık Kişisel inançlara ve deneyimlere dayanmaktadır. (Tekrar edilemeyen bir deneye bağlıdır). Örnek: Geçmiş meteoroloji verilerine dayanarak yarın yağmur yağma ihtimalinin tahmini subjektif olasılık değerlerini sunan bir deneydir. 7
Marjinal Olasılık Başka bir olayı göz önüne almaksızın hesaplanan, tek bir olayın hesabıdır. Marjinal olaya ayrıca «basit olasılık» da denir. 8
9
10
11
Örnek : Büyük bir firmaya iş başvurusu yapan 20 kişi ile ilgili bilgiler: Devlet üniversitesi mezunu Özel üniversite mezunu Toplam Erkek 10 2 12 Kız 5 3 8 Toplam 15 5 20 a) Seçilen kişinin erkek olma olasılığı b) Seçilen kişinin kız olma olasılığı c) Seçilen kişinin devlet üniversitesi mezunu olma olasılığı d) Seçilen kişinin özel üniversite mezunu olma olasılığı e) Seçilen kişinin erkek ve devlet üniversite mezunu olma olasılığı f) Seçilen kişinin erkek ve özel üniversite mezunu olma olasılığı g) Seçilen kişinin kız ve devlet üniversite mezunu olma olasılığı h) Seçilen kişinin kız ve özel üniversite mezunu olma olasılığı i) Bileşik ve marjinal olasılıkları bir tabloda gösteriniz. 12
13 0,6 20 12 (E) P 4 0, 20 8 (E) P 0,75 20 15 (E) P 25 0, 20 5 (E) P 0,5 20 10 (E) P 1 0, 20 2 (E) P 0,25 20 5 (E) P 15 0, 20 3 (E) P a)- c)- e)- g)- b)- d)- f)- h)-
i)- Devlet üniversitesi mezunu Özel üniversite mezunu Marjinal olasılık Erkek 0,5 0,1 0,6 Kız 0,25 0,15 0,4 Marjinal olasılık 0,75 0,25 1 14
15 Diğer bir olayın gerçekleştiğini bildiğimizde bir olayın gerçekleşme olasılığına koşullu olasılık denir. E, S örnek uzayda bir olaydır. E den sonra A nın olma olasılığı şeklinde ifade edilebilir. P(A)0, P(B)0 A ve B örneklem uzayında iki olay ve olasılıkları 0 dan farklı ise bunlarla ilgili koşullu olasılığı, şeklinde yazılır. ) ( ) ( ) / ( E P E A P E A P ) ( ) ( ) / ( A P B A P A B P ) ( ) ( ) / ( B P B A P B A P Koşullu (Şartlı) Olasılık
Örnek: filmlerin 16
Eğer bir deneyde A ve B olayları birbirlerini engellemeyen türden olaylar ise A veya B olaylarının ortaya çıkış olasılığı: P(A veya B)= P(A) + P(B) - P(AB) Örnek: Örnek: 17
Örnek Uzayı ve Olay Sayısının Büyük Olduğu Durumlar Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri; Permütasyon Kombinasyon 18
Permütasyon Eğer bir kümenin elemanlarının bir kısmı veya hepsi belli bir düzen içerisinde sıralanıyorsa buna permütasyon denir. Yani n elemanlı bir kümeden r eleman çekilerek sıra önemli olmak kaydıyla sıralanırsa buna permütasyon adı verilir. Permütasyon bir olaylar topluluğunun belirli bir sıraya göre dizilmiş şeklidir. n farklı eleman içeren bir gruptan seçilme sırasını da dikkate alarak seçilen r adet elemandan oluşan grup sayısını aşağıdaki formülle buluruz: P(n,r) = n! n r! 19
Permütasyon birçok probleme uygulanabilmekle birlikte, uygulamada dikkat edilmesi gereken bazı durumlar vardır. Eğer bir problemde şu üç şart gerçekleşiyorsa permütasyon uygulamak mümkündür: 1- Kümedeki bütün elemanlar birbirinden farklı olmalıdır, 2- Herhangi bir eleman için hiçbir kısıtlama olmamalıdır, 3- Hiçbir eleman bir defadan fazla kullanılmamalıdır. Kullanıldığı durumlar İadesiz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemli 20
Örnek: 20 kişinin katıldığı bir yarışmada ilk üç dereceye girenler farklı şekillerde ödüllendirileceklerdir. Yarışma kaç değişik şekilde sonuçlanabilir? Çözüm: Örnekte sıra önemli olduğuna göre permütasyon uygulanması gerekir. 20! 20! 20 19 1817! 20P3 20 19 18 (20 3)! 17! 17! 6840 21
Tekrarlı Permütasyon: Bir küme içindeki elemanlardan bazıları tekrarlanıyorsa permütasyonu direk olarak hesaplamak yanlış olur. İSTATİSTİK kelimesinin permütasyonunu bulmak için toplam permütasyon sayısını tekrar edilen (İ, T ve S) harflerin permütasyonuna bölmek gerekir. İ = 3, T = 3, S = 2 defa tekrar edilmiş n = 7 olduğuna göre bulunur. 7! 72 3!3!2! 22
Kombinasyon n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı nc x ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. Bu sayı şu şekilde hesaplanır: n! n C x n x! x! Kullanıldığı durumlar; İadesiz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemsiz 23
Kombinasyon, n elemanı olan bir kümeden her biri r eleman içeren birbirinden farklı alt kümelerin kaç farklı şekilde seçilebileceğini gösteren sayıdır ve bu sayı; n r n! ( n r)! r! ncr = = C(n,r)= formülü ile hesaplanır. Bu kombinasyon sayısına aynı zamanda binom katsayısı adı da verilmektedir. 24
25
Örnek: 50 transistörden 40 ı sağlam 10 u bozuktur. Bunlar içinden 3 ü sağlam 2 si bozuk toplam 5 transistör kaç değişik şekilde seçilebilir? Çözüm: 40 3 x 10 2 40! 10! x (40 3)!3! (10 2)!2! 40.39.38.37! 10.9.8! x 37!3! 8!2! 444600 26
Örnek: 1,2,3,4 rakamlarını kullanarak yapılacak 3 lü permütasyon ve kombinasyonları hesaplayınız? P(n,r) = n! n r! = 4!! 4 3 24 n! C(n,r) = = 4!!. 3! n r!.r! 4 3 4 27
OLASILIK DAĞILIMLARI Olayın veya değişkenin taşıdığı şartlara bağlı olarak olasılık hesaplanması için teorik olasılık dağılımları veya kısaca olasılık dağılımları olarak adlandırılan matematiksel kalıplar kullanılabilmektedir. Teorik dağılımlar rassal değişkenlerin olasılık dağılımlarıdır ve bu dağılımlar öncelikle kesikli ve sürekli rassal değişkenlere göre iki ana grupta incelenebilir. Kesikli rassal değişkenlerin teorik dağılımlarına örnek olarak, Poisson, Hipergeometrik ve binom dağılımları; sürekli rassal değişkenlere örnek olarak normal dağılım verilebilir. 28
Hipergeometrik Dağılım Bu dağılım bir örnek grubunda iadesiz olarak seçim yapılması halinde uygulanır. Seçimler birbirinden bağımsız değildir. Seçim iadesiz yapıldığı için her elemanın seçilme olasılığı kendinden önce seçilenlerin cinsine bağlıdır. N adet bir yığında a adet parça sağlam, b adet bozuk parça bulunsun. N adet bir yığından alınan n adet örnek grubu içinde k adet sağlam parça bulunma olasılığı hipergeometrik dağılımla hesaplanabilir. P(k) h(k,n,b,a) C(a, k).c(b, n C(N, n) k) 29
30
Örnek: Bir torbada 6 kırmızı 4 beyaz bilye vardır. Torbadan iadesiz olarak 2 bilye çekiliyor. a) Çekilen bilyelerin 2 kırmızı b) Çekilen bilyelerin 2 beyaz c) Çekilen bilyelerin 1 kırmızı, 1 beyaz olma olasılıklarını hesaplayınız. (a=6, b=4, N=10, n=2) a)- C(6,2). C(4,0) P( 2kırmızı ) C(10,2) C(4,2). C(6,0) C(10,2) 0,33 b)- P( 2beyaz ) 0, 133 c)- P( 1kırmızı,1beyaz) C(6,1).C(4,1) C(10,2) 0,533 31
Örnek 1: İçinde 10 sağlam ve 4 arızalı mal bulunan bir topluluktan 5 mal alınmıştır. Bunlardan üçünün sağlam çıkma olasılığı nedir? (0,35) Örnek 2: 4 sınıfta 30 erkek 20 kız öğrenci vardır. Bunların arasından 9 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. a) Komisyonda 2 kız olma olasılığı (0,154) b) En az bir kız olma olasılığı nedir? (0,99) 32
Örnek : İş için başvuran her 10 adaydan 6 sının üniversite mezunu olduğu bilinmektedir. Rassal olarak seçilen 4 aday arasından a. Üçünün b. En çok üçünün üniversite mezunu olma olasılığını bulunuz. a. b. P(X 3) = 1-0,071= 0,92 33
34
denemeden 35
36
Binom dağılımı ihtimal dağılımları içinde en yaygın olarak kullanılan süreksiz olasılık dağılımlardan biridir. Deneylerin tekrarlandığı durumlarda ve bir örnek grubundan iadeli olarak seçim yapılması halinde uygulanır. Örneğin (n) adetlik bir grup içinden bozuk bir parça seçme olasılığı, 1 Sağlam çekme olasılığı da olsun. Herhangi bir sıraya göre x adet bozuk parça seçme olasılığı binom dağılımını temsil eden b( n, x, n ( ).p x x nx ) C( n, x). (1 ) yada x x q n formülü kullanılır. f (x) p: elverişli hal (başarı olasılığı) x: 0,1,2...n q: elverişsiz hal (başarısızlık olasılığı) x: elverişli hal sayısı n: mümkün hal sayısı n x: elverişsiz hal sayısı p=1-q. 37
Binom dağılımının uygulanması bazı şartlara bağlıdır: 1. Olayda bir tek karakterin olumlu ve olumsuz durumu söz konusu olmalıdır. Örneğin, bir mamül hatalıdır veya hatasızdır gibi. 2. Olayda deneme n defa, sonlu sayıda tekrarlanmalıdır. 3. Denemeler (tekrarlar) birbirinden bağımsız olmalıdır (iadeli seçim gibi). 4. Denemelerden sonra olasılık (p) ve ters olasılık (q) değişmemelidir. 5. Binom dağılımında olasılık genellikle 0.05 veya daha büyük olacaktır. P 0.05 Bernoulli dağılımı bir rassal deney yapıldığında yalnızca iyi, kötü, olumluolumsuz, başarılı-başarısız gibi sadece iki sonuç elde edildiğinde kullanılır. Eğer deney bir defa değil, n defa peş peşe birbirinden bağımsız olmak üzere tekrarlandığında yine olumlu veya başarılı sonuçla ilgileniyorsa, Bernoulli dağılımının özel bir genel hali ortaya çıkar ve bu dağılıma Binom dağılımı denir ve kullanım alanı oldukça geniştir. 38
Örnek : Bir basketbol oyuncusunun, topu basket yapmasının ortalaması 0,25 tir. Her atışın bir diğerinden bağımsız olduğu varsayımı altında, yapılan bir maçta bu oyuncu dört defa atış yaparsa, a. Bir tanesinde başarılı olma b. En az bir tanesinde başarılı olma olasılıklarını bulunuz. Çözüm : X, topun potaya girme olayını göstersin. P = ¼ ve n = 4 olduğuna göre a. b. 39
Örnek : Yazı gelmesi olasılığı 0.48 olan para 6 kere atılıyor. a. 4 yazı gelmesi b. 1 tura gelmesi c. Yazı gelmemesi olasılıklarını hesaplayınız. a) n = 6 p = 0.48 q = 1-p = 1 0.48 = 0.52 p(x = 4) = c(6, 4) (0.48) 4 (0.52) 6-4 p(x 4) 6! 4!(6 - x0.48 4)! 4 x(0.52) 2 0.2153 40
b) 2 farklı hesaplama yapılabilir. 1 tura gelmesi için 5 yazı gelmelidir. p(x = 5) = c(6, 5) (0.48) 5 (0.52) 1 = 0.0794 yada p(x = 1) = c(6, 1) (0.52) 1 (0.48) 5 =0.0794 c) p(x = 0) = c(6, 0) (0.48) 0 (0.52) 6 = 0.0197 41
Örnek: Bir üretim prosesi sonucunda yapılan kontrollerde ürünlerin %5 inin hatalı olduğunu kabul ettiğimizde bu partiden alınan 10 birimlik tesadüfi örnekte, a) Hiç hatalı ürün olmaması b) Bir hatalı ürün olması c) İki hatalı ürün olması d) En fazla iki hatalı ürün olma olasılığını hesaplayınız. (n=10, p=0.05, q=0.95) a) f(0) = C(10,0).(0,05) 0.(0,95) 10-0 = 10!.1.(0,95) 10 0, 5987 0!.10! b) f(1) = C(10,1).(0,05) 1.(0,95) 10-1 = 0,3151 c) f(2) = C(10,2).(0,05) 2.(0,95) 10-2 = 0,0746 d) P(x 2)=f(0) + f(1) + f(2) = 0,9885 42
Örnek : Bir işletmenin ürettiği ampullerden %6 sının kusurlu olduğu bilinmektedir. Buna göre rassal olarak seçilen 5 ampulden a) 2 tanesinin kusurlu b) Tamamının kusursuz c) En az iki tanesinin kusurlu olması olasılıklarını hesaplayınız. (n=5, p=0.06, q=0.94) a) b) c) P(2) = C(5,2).(0,06) 2.(0,94) 5-2 = 0,029901 P(0) = C(5,0).(0,06) 0.(0,94) 5 = 0,733904 P(x 2) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) P(x 2) = 0,029901 + 0,001909 + 0,000061 + 0,000001 = 0,031872 43
Poission Dağılımı En çok kullanılan dağılımlardan birisidir. Küçük olasılıklar dağılımı da denir. Belli ve çok dar bir zaman aralığında az rastlanan olaylar bu tür dağılım gösterirler. Çok fazla incelenecek numune varsa uygulanır. Poission dağılımı binom dağılımının özel bir halidir. b(x,n,) ifadesinde 0 veya n olması durumunda poission dağılımı ifadesi kullanılır. P( x, ) n. p n. x x! e 44
Örnek: Bir atölyede imal edilen civataların %3 ü kusurlu çıkmaktadır. Civatalar 10.000 lik partiler halinde teslim edilmekte ve alıcı firma her bir partiden tesadüfi olarak seçtiği 100 civatayı kontrol ederek parti hakkında karar vermektedir. 3 kusurlu civata bulunma olasılığını hesaplayınız. p = 0,03 λ = n. P = 100. 0,03 = 3 n = 100 P(3) P( x, ) 3 3 3! e 3 x! 27 6 x x e e 1 3 0.2240 Hiç kusur bulunmama olasılığı; P(0) 0 3 e 0! 3 0.04979 45
Örnek: Bir imalat prosesinde hatalı miktarı %0,01 ve çekilen örnek hacmi n=100 ise bu numune hacminde 0 hata olması durumunda partinin kabul edilme olasılığı nedir? P( x, ) n. p n. x x! n.p P(0) e 100. (0,01) 0! 0 0,01 100 e 0,01 0,01 0,99 46
Örnek: Bir milimetre sıvıdaki bakteri sayısının ortalama olarak 4 olduğu bilinmektedir. Bakterilerin sayısının Poisson dağılımı gösterdiği kabul edilerek 1 milimetrede, a. Hiç bakteri olmaması b. 4 bakteri olması c. 3 den az bakteri olması olasılıklarını bulunuz. 47
Ödev 1: Bir tezgahta üretilen parçaların %1 i hatalı olduğuna göre partiden çekilen 200 adetlik örnek grubunda a) Hiç hatalı ürün olmaması (0,135) b) Bir hata olması (0,27) c) En fazla bir hatalı ürün olması (0,4) d) En fazla iki hatalı ürün olması (0,67) e) En fazla üç hatalı ürün olması durumunda partinin kabul görme olasılığını hesaplayınız. (0,85) Ödev 2: Bir avcının atışlarda hedefe isabet kaydetmesi olasılığı %1/5 tir. Bu avcının yaptığı 9 atışta a) 3 defa b) En az 2 defa isabet kaydetmesi olasılığı nedir? Hesaplayınız. 48
Ödev 3: İÇİNDE 10 SAĞLAM VE 4 ARIZALI MAL BULUNAN BİR TOPLULUKTAN 5 MAL ALINMIŞTIR. BUNLARDAN ÜÇÜNÜN SAĞLAM ÇIKMA OLASILIĞI NEDİR? (0.3596) Ödev 4: BİR FABRİKADA ÜRETİM YAPAN MAKİNALARDAN BİRİNİN ÜRETTİĞİ ÜRÜNLERİN 0,09 U KUSURLU OLARAK ÜRETİLMİŞ BULUNMAKTADIR. BU ÜRÜNLERDEN 4 ADEDİ RASTGELE SEÇİLMİŞTİR. HİÇ ÖZÜRLÜ ÜRÜN SEÇİLMEMİŞ OLMA OLASILIĞI NEDİR? (0.6857) Ödev 5: BİR FABRİKADA ÜRETİLEN ÜRÜNLER 0,001 OLASLIKLA BOZUKTUR. RASTGELE ÖRNEKLEME İLE 2000 ADET ALINMIŞTIR. 4 ADET ÜRÜNÜN BOZUK OLMA OLASILIĞI NEDİR? (0.09) 49