DÜZCE ÜN_IVERS_ITES_I FEN-EDEB_IYAT FAKÜLTES_I MATEMAT_IK BÖLÜMÜ 010-011 Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI 1. 0p x d y + dy + xy = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü x 0 = 0 düzgün tekil noktası civarında Frobenius yöntemi kullanarak bulunuz. Çözüm: Verilen diferansiyel denklemin genel çözümü biçimindedir. Buradan, y = c n x n+r dy = n + r c n x n+r 1 ve d y = n + r n + r 1 c n x n+r yazılır. Yukarıdakiler verilen denklemde yerine yazılırsa n + r n + r 1 c n x n+r 1 + n + r c n x n+r 1 + [ n + r n + r 1 + n + r] c n x n+r 1 + n= 1 [ n + r + 1 n + r + n + r + 1] c n+1 x n+r + n= 1 + [n + r + 1 n + r + 1] c n+1 x n+r n= 1 n=1 c n x n+r+1 = 0 c n x n+r+1 = 0 r r c 0 x r 1 + r + 1 r + 1 c 1 x r x n+r = 0 n=1 x n+r = 0 [n + r + 1 n + r + 1] c n+1 + } x n+r = 0 i- r r c 0 = 0 r 1 =, r = 0, c 0 0, ii- r + 1 r + 1 c 1 = 0 c 1 = 0, iii- c n+1 = n + r + 1 n + r + 1, n 1, elde edilir. r = r 1 = için cn+1 = n + + 1 n + 1
bulunur. Böylece, olur. O halde, dır. Şimdi, r = r = 0 için dir. Öyleyse, bulnur. O halde, = n + 5 n + 1 = n + 1 n + 5 c = c 0 16, c = 0, c 4 = c 56 = c 0 896, c 5 = 0, y 1 x = c 0 x / 1 x 16 + x4 896 c n+1 = n + 1 n + 1, n 1 c = c 0 8, c = 0, c 4 = c 40 = c 0 0, c 5 = 0, y x = c 0 1 x 8 + x4 0 dir. y 1 x ve y x fonksiyonları lineer bağımsız olduğundan, verilen diferansiyel denklemin genel çözümü y = C 1 y 1 x + C y x = C 1 x / 1 x 16 + x4 896 dir. Burada, C 1 ve C herhangi iki sabittir. + C 1 x 8 + x4 0. 0p x d y + xdy + x 81 y = 0 Bessel denkleminin x 0 = 0 civarındaki genel çözümünü bulunuz. Çözüm: Verilen diferansiyel denklemin genel çözümü biçimindedir. Buradan, y = c n x n+r dy = n + r c n x n+r 1 ve d y = n + r n + r 1 c n x n+r yazılır. Yukarıdakiler verilen denklemde yerine yazılırsa n + r n + r 1 c n x n+r + n + r c n x n+r + [n + r 1 n + r + n + r 81] c n x n+r + [ n + r 81 ] c n x n+r + c n x n+r+ 81 c n x n+r = 0 c n x n+r = 0 n= c n x n+r = 0 n=
r 81 c 0 x r + [ r + 1 81 ] c 1 x r+1 + [ n + r 81 ] } c n + c n x n+r = 0 n= i- r 81 c 0 = 0 r 1 = 9, r = 9, c 0 0 ii- [ r + 1 81 ] c 1 = 0 c 1 = 0 elde edilir. r = r 1 = 8 için c n iii- c n = n + r 81, n olur. Böylece, bulnur. O halde, c n c n = n + 9 81 = c n n + 18n + 81 81 c n n n + 18, n c = c 0 40, c = 0, c 4 = c 88 = c 0 50, c 5 = 0 y 1 x = c 0 x 9 1 x 40 + x4 50 dir. Burada, c 0 herhangi sabittir. c 0 = 1 olsun. Bu durumda, 9 9! y 1 x = 1 1 9 9! x9 x 40 + x4 50 = x 9 1 m x m m+9 m! m + 9! = J 9 x Bessel fonksiyonu elde edilir. Bilindiği gibi J 9 x ve J 9 x fonksiyonları lineer bağımlıdır. Dolayısıyla, diğer özel çözümü, yani y x i bulmak için mertebe indirgeme yöntemi kullanılmalıdır. Bu yönteme göre, y x = vj 9 x y x = v J 9 x + vj 9 x y x = v J 9 x + v J 9 x + vj 9 x dir. O halde, x [v J 9 x + v J 9 x + vj 9 x] + x [v J 9 x + vj 9 x] + x 81 vj 9 x = 0 v [ x J 9 x + xj 9 x + x 81 J 9 x ] + x v J 9 x + [ x J 9 x + xj 9 x ] v = 0 elde edilir. v = w, v = w dönüşümü yapılırsa, m=0 x J 9 x dw + [ x J 9 x + xj 9 x ] w = 0 dw w + x J 9 x + xj 9 x dw J = 0 x J 9 x w + 9 x J 9 x + 1 x ln w + ln J 9 x + ln x = ln c w = c xj 9 x bulunur. c herhangi bir sabittir. Kolaylık için c = 1 olsun. Bu durumda, 1 w = xj9 x ve v = xj9 x olur. Böylece, y x = J 9 x xj 9 x = d ln c
olur. Dolayısıyla, verilen Bessel diferansiyel denkleminin genel çözümü y x = c 1 J 9 x + c y x = c 1 J 9 x + c J 9 x xj9 x dir.. 15p Diferansiyel denklem sistemi için = x + y, x 0 = 1 dy = x + y, y 0 = 4 başlangıç-değer problemini operatör yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Öncelikle verilen sistem D 1 x y = 0 x D y = 0 şeklinde operatör gösterimi ile yazılır. Burada, D d dir. Daha sonra y yok edilerek D D 1 x D y = 0 6x + D y = 0 D D + 4 x = 0 denklemi bulunur. Yani, d x + 4x = 0 diferansiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin genel çözümü x t = c 1 e t + c e 4t dir. Şimdi, sistemdeki birinci denkleme geri dönelim. Bu denklem D 1 x y = 0 y = 1 Dx x olduğuna göre, y t = 1 c1 e t + 4c e 4t c 1 e t c e 4t = c 1 e t + c e 4t elde edilir. Son olarak, x 0 = 1 ve y 0 = 4 başlangıç koşulu kullanılarak c 1 + c = 1 c 1 + c = 4 c1 = 1 c = bulunur. Dolayısıyla, verilen başlangıç değer probleminin çözümü x t = e t + e 4t dir. 4. 15p Diferansiyel denklem sistemi için y t = e t + e 4t 4
= x + y, x 0 = 1 dy = x + y, y 0 = 4 başlangıç-değer problemini matris yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Öncelikle, verilen sistem dx = AX şeklinde matris formunda yazılır. Burada, 1 x A =, X = ve dx / y = dy/ dir. Şimdi, A matrisinin özdeğer ve özvektörlerini bulmamız gerekir. Öyleyse, A λi = 0 1 λ λ = 0 λ1 = 1 λ = 4 dür. λ 1 = 1 özdeğerine karşılık gelen özvektör α 1 = Aα 1 = λ 1 α 1 1 α α olsun. Bu durumda, = α ya da + α = α 1 α 1 + α = α elde edilir. Böylece, α 1 = = α α 1 α = α 1 α = α 1 α = α 1 = α 1 1 1 α 1 = 1 1 özvektörü bulunur. Benzer şekilde, λ = 4 özdeğerine karşılık gelen özvektör α = Aα = λ α 1 α α = 4 α olsun. O halde, veya + α = 4α 1 α 1 + α = 4α α = α 1 α = α 1 α = α 1 elde edilir. Bu denklemin en sade çözümü α 1 = ve α = olduğundan, α = özvektörü bulunmuş olur. Dolayısıyla, matris denkleminin genel çözümü 1 X = c 1 α 1 e λ1t + c α e λt = c 1 e t + c 1 e 4t 5
dir. O halde, denklem sisteminin genel çözümü x t = c1 e t + c e 4t y t = c 1 e t + c e 4t dir. Son olarak, x 0 = 1 ve y 0 = 4 başlangıç koşulları kullanılarak c1 + c = 1 c 1 + c = 4 c1 = 1 c = 1 bulunur. Dolayısıyla, verilen başlangıç-değer probleminin çözümü x t = e t + e 4t y t = e t + e 4t dir. } 5. 15p L 1 s + ters Laplace dönüşümünü bulunuz. s 15s + 6 Çözüm: Öncelikle, verilen fonksiyon biçiminde yazılarak, bulunur. Böylece, elde edilir. } L 1 s + s 15s + 6 s + s 15s + 6 = A = 5 11 A s + ve B = 16 11 B s 1 = 5 } 1 11 L 1 + 16 } 1 s 11 L 1 s 1 = 5 11 et + 16 11 e1t 6. 15p d y + 4dy 5y = 0, y 0 = y 0 = başlangıç-değer problemini Laplace dönüşümü yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Eşitliğin her iki tarafına Laplace dönüşümü uygulanırsa } } d y dy L + 4L 5L y t} = 0 ya da s L y t} sy 0 y 0 + 4sL y t} 4y 0 5L y t} = 0 elde edilir. L y t} = Y s olsun. O halde, s + 4s 5 Y s s 8 = 0 Y s = s 1 yazılır. Şimdi, Y s fonskiyonuna ters Laplace dönüşümü uygulanması gerekir. Böylece, } 1 y t = L 1 = e t s 1 verilen başlangıç-değer probleminin çözümüdür. Yrd.Doç.Dr. Yıldırım ÖZDEM_IR 6