Matematik Dünas, 0-III Kapak Konusu: İntegral IV Hiperbolik Fonksionlar sinh olarak a z - lan kosinüs sinüs hiperbolik fonksionlar ndan geçmiflte k saca sö zet mifltik Bu az da bu fonksionlardan biraz daha de rin ce sözedece iz Tan mlardan bafllaal m: e e e sinh e e e e e Tan mlardan da anlafl ld üzere bu fonksionlar temel de il, ard mc fonksionlar, çünkü ne de olsa bilinen e fonksionu cinsinden az l orlar Nitekim bu fonksionlar kullanarak birçok fonksionun integralini kolal kla alabiliriz fiunu da söleelim ki matematikçiler genellikle sinh fonksionlar n pek bilmezler bu fonksionlara çok gereksinim dumazlar Ama her kes haat nda bir defa bu fonksionlar görmüfl olmal d r Ugulamada, özellikle integral almada ararl olabilirler Önce fonksionlar biraz ak ndan tan al m, örne in grafiklerini çizelim Daha sonra integrale ugulamalar n görürüz sinh Hiperbolik Fonksionlar Fonksionlar n tüm R de tan ml olduklar bel li Ar ca tan mdan hemen sinh () sinh () ç kar Yani sinh tek bir fonksiondur, ani (0, 0) noktas grafi inin simetri noktas d r; an flekilde çift bir fonksiondur, ani ekseni grafi inin simetri eksenidir sinh 0 0 0 eflitlikleri de kola fonksionunun pozitif oldu u da tan mdan hemen anlafl l or çok büükken, e çok küçük olur e sinh - - olur Demek ki sinh fonksionlar asemptotiktirler eksponansiel olarak büürler Benzer flekilde, a giderken, e e - sinh - olur Fonksionlar n grafi ini çizmek için türevlerini hesaplaal m Kola bir hesapla, sinhʹ ʹ sinh bulunur Buradan sinh fonksionunun sürekli art t, dola s la 0 ise sinh sinh 0 0 oldu u dola s la fonksionunun 0 için artt ç kar sinh in 0 iken pozitif oldu u asl nda tan m n kendisinden de oldukça çabuk ç - kar kinci türevleri alal m: sinhʹʹ sinh ʹʹ (Demek ki a sinh b fonksionlar ƒʹʹ ƒ diferansiel denkleminin çözümleridir) Buradan fonksionunun her erde, sinh fonksionunun ise R 0 üstünde d flbüke oldu u ç kar Bu bilgilerden hareketle sinh fonksionlar n n grafiklerini çizebiliriz: a() e / ƒ() sinh Bazen sinh erine sh erine ch az l r sinh fonksionunun sinfl die, fonksionunun ise kofl die okundu u olur b() e /
Matematik Dünas, 0-III a() e / a() sinh Yukarda bulduklar m zdan, ƒ() d sinh sinhd cos h ç kar sin cos fonksionlar sin cos eflitli ini sa lar Bu fonksionlar n hiperbolik rsionlar, sinh eflitli ini sa lar Bu eflitlik tan mlardan hemen ç kar Demek ki (cos θ, sin θ) noktas birim çemberin üstünde oldu u gibi, ( θ, sinh θ) noktas da birim hiperbolü nün üstündedir, daha do rusu sa ko lu nun üstündedir Bu üzden trigonometrik fonksionlara bazen çembersel fonksionlar dendi i de olur ƒ() h() e ƒ() () b() e / Nas l trigonometrik fonksionlar için sin( ) sin cos cos sin gibi toplama formülleri varsa, hiperbolik fonksionlar için de benzer eflitlikler vard r: ( ) sinh sinh sinh( ) sinh sinh Hatta bu eflitliklerin kan t çok daha kolad r, tan m lar dan hemen ç kar Bunlardan, () sinh sinh sinh() sinh eflitlikleri ç kar Ar ca sinh e eflitli i do rudur; bu da tan mlardan ç kar Yukarda rdi imiz in formülünden formülü bundan da, ç kar Benzer flekilde, 0 için sinh elde edilir Tan mlardan a da ukarda rilen türev for mül le rin den hiperbolik fonksionlar n Talor serilerini kolal kla hesaplaabiliriz Tan mdan, hiperbolik fonksionlar n Talor serilerine eflit olduk la r hemen ç kar: / sinh! 5 5! ( n g n 0 n )! / n!! g n 0 ( n)! sinh Fonksionlar n n Tersleri sinh: R R bir eflleflme oldu undan, bu fonk - si onun tersi vard r Bu fonksionun tersi asinh olarak az l r asinh fonksionun grafi i elbette sinh fonksionunun çapraz na göre simetri idir asinh fonk sionun grafiğini aşağıda bulabilirsiniz g() sinh sinh fonksionunun tersi bazen sinh, arsinh a da argsinh olarak da az l r Benzer az l m di er hiperbolik fonksionlar n birazdan tan mlaaca m z tersleri için de geçerlidir
Matematik Dünas, 0-III sinh() asinh() asinh fonksionunun türevini bulal m E er ƒ bir efllemese, ƒ(ƒ ()) oldu undan, eşitliğin her iki tarafının türevini alarak sol tarafın türevini almak için zincir kuralını ugulaarak, ƒʹ(ƒ ()) (ƒ )ʹ() buluruz Bulduğumuz bu eşitliği ƒ sinh fonksionuna ugulaacak olursak, (asinh ) asinhʹ () elde ederiz Arzulanan asinhʹ değerini bulmak için, (asinh ) de erini cebirsel bir biçimde ifa de edelim: (asinh ) sinh (asinh ) eflitli inden fonksionunun pozitif ol mas n dan, (a sinh ) ( ) ederiz Geçmiş saılarımızda çözdüğümüz bu integrali bir kez daha çözelim: tan u sin tan mlar la, d d sin sin du u a u k u du u u sin sin sinarctan sinarctan ( ) ( )( ) ( ) ( ) Demek ki bir sabiti için, a sinh a k ç kar Demek ki () () den asinhl (a sinh ) ( ) E er 0 de erini rirsek, 0 bulunur Dola s la, a sinh a k ( 5) bulunur Dola s la, d a sinh ( ) bulunur Bu son formül akl m za eni fikirler getirebilir, çünkü d integralini öneski sa lar m zda çözmüfltük Bö lece muhtemelen asinh i ren ilginç bir eşitlik el de elde edilir Belki beklenmedik bir eşitlik Öte andan sinh in ep li tanımı göze alındığında, belki de böle bir eşitlik beklemek gerekirdi fonksionu R nin bir efl lefl me si de ildir çünkü her için () olur, ama fonksionu [0, ) aral ndan [, ) ara l na giden bir eflleme rir Bu fonksionun tersi a olarak az l r: a : [, ) [0, ) Yukardakine benzer hesaplar, için, 5
Matematik Dünas, 0-III sinh( a ), ( 6) a ( 7) sinh( a ) ƒ() tanh() a a k ( 8) eflitliklerini rir Bunların kanıtlarını okura alıştırma olarak bırakıoruz a fonksionunun grafi i flöle: coth() () a() sech Di er Hiperbolik Fonksionlar Anen trigonometrik fonksionlarda oldu u gibi, sinh fonksionlar ndan hareketle baflka hiperbolik fonksionlar tan mlan r İflte bu fonksionlar n bir listesi: csch() sinh e e e tanh, e e e e e e coth, sinh e e e e sech, e e e e csch sinh e e e Bu fonksionlara s ras la hiperbolik tanjant, hiperbolik kotanjant, hiperbolik sekant, hiperbolik kosekant ad rilir Bu tan mlardan, tanh, coth csch fonksionlar n n tek, sech fonksionunun ise çift oldu u ç kar Grafiklerinin çizimleri şöle: Tahmin edilece i üzere tanh coth fonk sion la r n n toplam formülü vard r: tanh! tanh tanh(! )! tanh tanh coth coth! coth(! ) coth! coth tanh 6
Matematik Dünas, 0-III Bir önceki altbölümde ap lanlardan tanh / için kimi zaman gerekebilecek hofl bir formül bulunur: sinh tanh, ( 9) nitekim, sinh sinh sinh tanh Al flt rmalar Afla daki formülleri kan tla n: sinh sinh sinh tanh tanh tanh tanh sinh 8sinh sinh 8 8 tanh tanh tanh 6tanh tanh Afla daki formülleri kan tla n: sinh sinh sinh sinh sinh ( ) ( ) sinh sinh sinh( ) sinh( ) sinh Bu hiperbolik fonksionlar n türevlenebilir ol duk la rı bariz, kolaca gösterilebileceği üzere türev le ri flöledir: tanhl tanh sec h cothl coth csc h sinh sechl tanh sec h cschl coth csc h Bunlar n kola hesaplar n okura b rak oruz sech tanh coth csch eflitliklerini de kan tlamak kola Al flt rmalar e sinh d integralini bulun ƒ tanh fonksionunun ƒ m ƒ ƒ diferansiel denklem ini sa lad n gösterin 5 sinh de iflikli ine giderek d integralini hesapla n Di er Hiperbolik Fonksionların Tersleri tanh: R (, ) bir eflleme oldu undan, tersi de vard r tersi atanh: (, ) R olarak az l r coth fonksionunu (0, ) aral na k s tlarsak, bu aral kla (, ) aral aras nda bir acoth: (, ) (0, ) efllemesi elde ederiz sech fonksionunu [0, ) aral na k s tlarsak, [0, ) ile (0, ] aral aras nda bir eflleme elde ederiz Bu efllemenin tersi asech: (0, ] [0, ) olarak gösterilir csch fonksionunu R \ {0} kümesinin bir efllefl me si dir Bu eflleflmenin tersi acsch : R \ {0} R \ {0} olarak gösterilir Örnek olarak asech sonksionunun türevini bu la l m Her zamanki gibi sech(asech ) eflitli inin türevini alaca z (Elbette (0, ] olma l ) sechʹ(asech) asechʹ (0) elde ederiz Demek ki sechʹ(asech ) ifadesini an lad m z bir dilde ifade etmeliiz: sechl ( asech ) tanh( asech ) $ sech ( asech ) tanh( asech ) sinh( asech ) ( asech ) sinh( asech ) sech ( asech ) sinh( asech ) eflitli inden, sinh(asech ) ifadesini anlad m z da ha basit bir dile tercüme etmemiz gerekti i anla fl l r u sinh u eflitli ini u a bölersek, ani sech u ile çarparsak, 7
Matematik Dünas, 0-III sinh u sech u sech u elde ederiz Burada da u asech al rsak, sinh (asech), ani sinh( asech ) ( ) elde ederiz Bölece ukardaki hesaplara devam eder sek, sechl ( asech ) sinh( asech ) buluruz Buradan da asechl sechl ( asech ) buluruz Bu son eflitlikten de d asech ( ) elde edilir Bulunan bu integral bize bir fikir rmeli, çünkü d integralini alman n baflka ollar da olmal İki integ ra li eflitleerek bir eflitlik bulabiliriz Nitekim, e er integralde, [0, π/) için de i flikli i ne gidersek, d sin sin buluruz ki, en sa daki integrali bu az da birkaç safa önce bulduk: d d cos Sa daki ifadei cinsinden azal m: sin sin d sin sin sinarccos sinarccos Demek ki bir sabiti için, asech eflitli i do ru olmal ki taraf da de de erlen di rir sek 0 buluruz Demek ki asech ( ) Hiperbolik fonksionlar n n terslerinin türevleri de benzer öntemle bulunabilir flte liste: atanh acoth asech acsch Sa taraftaki ifadelerin daha aflina oldu umuz öntemle antitürevini bularak, atanh acoth asech acsch f p eflitliklerini elde ederiz Bu eflitliklerden kolaca asech a acsch asinh acoth atanh ç kar Henüz bir e rinin uzunlu unu görmedik ama okura gene de ç tlatal m: fonksionunun al t nda kalan a dan b e kadar olan A alanı, an böl ge e k s tlanan e risinin a dan b e kadar olan uzunlu una eflittir, ani b alan d a b ( sinh ) d grafi in uzunlu u a olur 8
A ntegral Örnekleri I d integralini hesapla n Birinci Çözüm: Tan m kullanal m: e e I d c m d ^e e hd e e c m buluruz kinci Çözüm: () eflit li- i ni kullanal m Anen ukardaki gibi buluruz ( ) I d d sinh( ) Afla daki integrali hesapla n I d Birinci Çözüm: Bu integrali önce eski öntemlerle apmaa çal flal m de iflikli ine gidelim O zaman, sin d d a k d sin sin I d Matematik Dünas, 0-III sin sin d sin d d elde ederiz Bu integralin sonunu getirebiliriz, hem bu sa da hem de önceki sa larda defa lar ca gör dük Ama devam etmeece iz, çünkü hi per bo lik fonk sion lar la bu integral çok daha ko la biçimde al n r kinci Çözüm: de iflikli ine gidelim O zaman d sinh sinh sinh ( 0 olmak zorunda) Demek ki, I d sinh ( ) sinh( ) sinh( a ) a sinh( a ) ( a ) a a Genel bir kural olarak ikinci öntemi an t biçimini tercih etmek gerekir Afla daki integrali bulun I d Çözüm: Önce standart de iflikliklere gidelim:, z z sinhu de iflikliklerile, Örnek de bulunanla, olur 9
Matematik Dünas, 0-III I d a ) k d d z dz z dz udu u sinh( u) c m a sinh z sinh( a sinh z) c m a sinhz sinh(a sinhz) (a sinh z) c m asinh z z z c m elde ederiz gerisi kola Afla daki integrali hesapla n I d ( ) Çözüm: Önce karekök içindeki ifadei karee tamamlaal m: I d ( ) d ( ) a k Karekök içindeki ifadee bak nca de ifliminin arar anlafl l or Bu de iflimle, integral, I sinh a k sinh integraline dönüflür E er (9) eflitli ini an msarsak gerisini biraz hesapla kolal kla getirebiliriz: I d tanh sinh (Son satırda gereken küçük hesaplar: a buradan sinh ( ) ( )) 0