BÖLÜM 6 KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ DAĞILIMLARI

BÖLÜM 6 KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ DAĞILIMLARI

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Kesili Üniform Dağılımı 2. Bernoulli Dağılımı 3. Binom Dağılımı 4. Negatif Binom Dağılımı 5. Geometri Dağılım 6. Hipergeometri Dağılım 7. Poisson Dağılımı 2

Kesili Üniform Dağılımı Kesili bir şans değişeni tanımlı olduğu tüm notalarda eşit olasılı değerine sahip ise bir başa ifadeyle tanımlı olduğu değerlerin hepsinde olasılı fonsiyonun aldığı değer sabit ise bu esili şans değişeni üniform dağılımına uygundur. Üniform dağılımı gösteren bir şans değişeni farlı notada tanımlı ise olasılı dağılımı; P( X ) şelinde ifade edilir. 0,2,3..., d. d 3

4 Kesili Üniform Dağılımının Belenen Değer ve Varyansı 2 2 ) ( ) ( ) ( P E i i i 2 ) )( ( ) ( Var

Örne: Hilesiz bir zar atıldığında şans değişeni ortaya çıabilece farlı durum sayısını ifade ettiğine göre in olasılı dağılımı oluşturara belenen değerini ve varyansını bulunuz. S = { /,2,3,4,5,6 } Ortaya çıan olaylar eşit olasılılı olaylar şans değişeninin dağılımı = 6 olan esili üniform dağılımına uygundur. P( X ) 6 0,2,3,4,5,6 d. d 6 E( ) 2 3,5 (6 )(6 ) Var ( ) 2 35 2 5

Bernoulli Dağılımı Bir şans değişeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının sağlanması gerelidir. Bernoulli Deneyinin Varsayımları:. Deneyler aynı oşullarda terarlanabilirli özelliğine sahip olmalıdır. 2. Deneylerin yalnız ii mümün sonucu olması gerelidir. 3. Başarı olasılığı (p), deneyden deneye değişmemelidir. (Başarısızlı olasılığı q = -p ile gösterilir) 4. Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır. 6

Örneler: Bir fabriada üretilen bir ürünün hatalı veya sağlam olması, Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı veya tura gelmesi, Hilesiz bir zar atıldığında zarın te veya çift gelmesi, Bernoulli deneyinde ortaya çıan sonuçlardan biri tanesi başarı durumu diğeri ise başarısızlı olara ifade edilir. Bernoulli şans değişeninin dağılımı ifade ediliren deneyin sadece ez terarlanması gerelidir. 7

Bernoulli dağılışında şans değişeni başarı durumu için, başarısızlı durumu için ise 0 değerini alır. S = { / 0, } Bernoulli Dağılımının Olasılı Fonsiyonu; P( X ) p ( 0 p) 0, d. d m = E ( ) = p s 2 = Var ( ) = p (-p) = pq 8

Örne: Bir deste isambilden çeilen bir ağıdın as olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı olara ifade edildiği durum için olasılı fonsiyonunu oluşturunuz. = 0 (as gelmemesi) = ( as gelmesi) S = { / 0, } P( X = 0 ) = 48 / 52 P( X = ) = 4 / 52 P( X ) 4 52 0 48 52 d. d 0, 9

Binom Dağılımı Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir araya gelmesi sonucunda binom dağılımı ortaya çıar. Binom deneyinin gerçeleşmesi için bernoulli deneyinin bütün varsayımlarının sağlanması gerelidir. n denemede en az 0, en fazla n adet başarı gözlenebileceğinden S = { / 0,,2,,n } olur. 0

Binom Modelinin Özellileri Deneylerin aynı oşullarda terarlanabilirli özelliği vardır. Deneylerin yalnız ii mümün sonucu vardır. Başarı olasılığı p, deneyden deneye değişmez. Başarısızlığın olasılığı q=-p olara gösterilir Denemeler birbirinden bağımsızdır Binom Şans Değişeni, n denemede gözlenen başarı sayısıdır. Parametreleri n ve p dir.

Binom Olasılı Fonsiyonunun Elde Edilmesi Gerçeleştirilen her bir Bernoulli deneyi birbirinden bağımsızdır. Bernoulli deneyi n defa terarlanır ise bu durumda toplam adet başarı olmasının olasılığı adet başarı olasılığı(p) ile n- adet başarısızlı olasılığının (q) çarpımıdır. P() p.q n 0,,..., n

Başarı ve başarısızlıların oluşum sırası yani sıralama önemsiz ise n farlı şeilde ortaya çıtığı n için ; C P( X ) n.p 0.( p) n d. d 0,,2,..., n olara elde edilir. 3

Örneler: Bir fabrianın deposundan seçilen 0 üründen 2 sinin hatalı olması, Bir madeni para 5 ez atıldığında üst yüze hiç tura gelmemesi Hilesiz bir zar 4 ez atıldığında zarın en ço ez çift gelmesi, 4

Binom Dağılımının Karateristileri Aritmeti Ortalama m E ( X ) Varyans np P(X).6.4.2.0 n = 5 p = 0. 0 2 3 4 5 X s 2 np( p) npq P(X).6.4.2.0 n = 5 p = 0.5 0 2 3 4 5 X 5

Örne: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6 sının hatalı olduğu bilinmetedir. Rasgele ve iadeli olara seçilen 5 üründen, a) tanesinin hatalı olmasının olasılığını, b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını hesaplayınız. p = 0,06 - p = 0,94 n = 5 a)p ( X = ) =? b)p ( X 4 ) =? P( X P ( X 4 ) = P ( X = 4) + P ( X = 5 ) 5 ). (0,06).(0,94) 4 0,23 5 4 4.(0,06).(0,94) 5.(0,06) 5 5.(0,94) 0 6

Örne Bir alıcı partiler halinde batarya almatadır. Bir parti 500 bataryadan oluşmatadır ve her bir partiden 0 ar batarya rastgele alınara test edilmetedir. Eğer test edilen bataryalardan en fazla 3 ü bozu çıarsa parti iade edilmetedir. a) Partidei bataryaların %5 inin bozu olması durumunda partinin abul edilmesi olasılığı nedir? b) Partidei bataryaların %25 inin bozu olması durumunda partinin abul edilmesi olasılığı nedir? Cevap: a) P(abul) = 0,9885 tir. b) P(abul) = 0,5256 dır.

Negatif Binom Dağılımı Bernoulli deneyinin tüm varsayımları negatif binom dağılımı içinde geçerlidir. Binom dağılımında n denemede adet başarı olasılığı ile ilgileniliren, negatif binom dağılımında ise şans değişeni ( ) ncı başarıyı elde edinceye adar yapılan deney sayısına arşılı gelir. Örneler: Bir parayı 5 ez tura gelinceye adar attığımızda 5 nci turayı elde ettiğimiz deneme sayısı, Bir basetbolcunun 3 sayılı atışlarda 0 ncu sağlaması için gereli olan atış sayısı. isabeti 8

: deney sayısı : başarı sayısı p : başarı olasılığı S = { /, +, +2, +3 } 2 3. - 2 3.... - Binom dağılımını ullanara - denemede - adet başarı olasılığını hesaplanır ve nci denemedei ncı başarıyı elde etme olasılığı p ile bağımsız olaylar olduğundan çarpılara aşağıdai olasılı fonsiyonu elde edilir. P( X ) 0 p p,, d. d 2,... 9

Negatif Binom Dağılımının Belenen Değer ve Varyansı ( E( ) m Var( ) 2 p p p) Yandai histogram p = 0,5 ve = 8 parametreli negatif binom dağılım gösteren bir populasyondan alınmış 00 hacimli bir örne için oluşturulmuştur. 30 20 0 0 8,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 20,0 22,0 24,0 20

2 Örne: Bir işinin hilesiz bir zarı 0 ez atması sonucunda, 0 ncu atışında 5 nci ez 6 gelmesi olasılığını hesaplayınız. p = / 6 - p = 5 / 6 = 0 = 5.... X P 0 5 5 5 6 5 4 9 ) 6 5 ( ) 6 ( 5 0 5) 0; ( Zarın açıncı ez atılması sonucu 5 nci ez 6 gelmesini belersiniz? 30 6 5 ) ( p E

Geometri Dağılım Bernoulli deneyinin tüm varsayımları geometri dağılım içinde geçerlidir. Negatif Binom dağılımının özel bir durumudur. = olduğunda negatif binom dağılımı geometri dağılımı olara ifade edilir. Geometri dağılım gösteren şans değişeni X, il başarıyı elde edinceye adar yapılan deney sayısını ifade eder. Örneler: Bir parayı tura gelinceye adar attığımızda tura gelmesi için yapılan atış sayısı, Bir işletmenin deposundan il hatalı ürünü bulana adar alınan örne sayısı. 22

23 : deney sayısı p: başarı olasılığı S = { /, 2, 3, 4.. } d d p p X P. 0 2,...,, ) ( ) ( p p X P Negatif Binom dağılımında = alındığında; d d p p X P. 0,2,3,... ) (

Geometri Dağılımının Belenen Değer ve Varyansı E( ) m p Var ( ) p 2 p 200 Yandai histogram p = 0,5 parametreli geometri dağılım gösteren populasyondan alınmış 250 hacimli bir örne için oluşturulmuştur. 00 0 2.0 4.0 6.0 8.0 0.0 2.0 24

Örne: Bir avcı hedefe isabet sağlayana adar ateş etmetedir. Avcının hedefi vurma olasılığı 0,75 olduğuna göre avcının hedefi il ez 8 nci ez atış yaptığında isabet ettirmesinin olasılığını hesaplayınız. = 8 P ( X = 8) =? P( X ) 0,75 0,75 0,2,3... d. d 8 0,75 0,75 0,750, 25 7 P( X 8) ÖDEV: Avcının hedefi il ez vurma olasılığı 0,05 den az olması için hedefe en az aç ez ateş etmelidir? 25

Hipergeometri Dağılım Varsayımları, n deneme benzer oşullarda terarlanabilir. Her denemenin 2 mümün sonucu vardır. Sonlu populasyondan iadesiz örneleme yapılır. Örneleme iadesiz olduğundan başarı olasılığı ( p ) deneyden deneye değişir. 26

27 Hipergeometri Dağılımın Olasılı Fonsiyonu n : örne hacmi N : anaütle eleman sayısı B : populasyondai başarı sayısı : örnetei başarı sayısı S = { / 0,, 2, 3,..,n } d d n n N n B N B X P. 0 0,,2,3..., ) (

Hipergeometri Dağılımın Karateristileri p = B/N için 60 E( ) n p Var ( ) np( p) N N n Yandai histogram N = 0000 ve B = 2000 parametreli hipergeometri dağılım gösteren populasyondan alınmış 250 hacimli bir örne için oluşturulmuştur. 50 40 30 20 0 0 35.0 37.5 40.0 42.5 45.0 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 62.5 65.0 67.5 X 28

Örne: Yeni açılan bir bananın il 00 müşterisi içinde 60 tanesi mevduat hesabına sahiptir. İadesiz olara rasgele seçilen 8 müşteriden 5 tanesinin mevduat hesabına sahip olmasının olasılığı nedir? N= 00 B = 60 n = 8 = 5 P( X P(X ) 5) 60 00 60 8 00 8 0 60 40 5 3 00 8 0,,2,3...,8 d. d ÖDEV: En ço işinin mevduat hesabına sahip olmasının olasılığını hesaplayınız. 29

Örne Bir firma 0 lu partiler halinde eletri motorları satın almatadır. Firma bu ürünlerin giriş alite ontrolu aşamasında 4 tanesini rastgele seçmete ve fonsiyonelli testine tabi tutmatadır. Eğer bu motorlardan 3 tanesi bozu ise, alınan örne içerisinde 2 tanesinin bozu çıması olasılığı nedir?

P ( X ) ( )( ) 3 2 0-3 4-2 ( ) 0 4 0.30

Poisson Dağılımı Kesili Şans değişenlerinin olasılı dağılımlarından en önemlilerinden biri Poisson Dağılımıdır. Günlü hayatta ve uygulamada ço sayıda ullanım alanı bulunmatadır. Ünlü Fransız matematiçisi Poisson tarafından bulunmuştur. Belirli bir alan içerisinde rasgele dağılan veya zaman içerisinde rasgele gözlenen olayların olasılılarının hesaplanabilmesi için ço ullanışlı bir modeldir. 32

Poisson Sürecinin Varsayımları. Belirlenen periyotta meydana gelen ortalama olay sayısı sabittir. 2. Herhangi bir zaman diliminde bir olayın meydana gelmesi bir öncei zaman diliminde meydana gelen olay sayısından bağımsızdır.(periyotların esişimi olmadığı varsayımı ile) 3. Mümün olabilece en üçü zaman aralığında en fazla bir olay gerçeleşebilir. 4. Ortaya çıan olay sayısı ile periyodun uzunluğu doğru orantılıdır. 33

Örneler Bir şehirde bir aylı süre içerisinde meydana gelen hırsızlı olayların sayısı, Bir telefon santraline d. içerisinde gelen telefon çağrılarının sayısı, Bir itap içindei bası hatalarının sayısı, İstanbul da 00 m 2 ye düşen işi sayısı, Ege Bölgesinde 3 aylı sürede 4,0 şiddetinden büyü olara gerçeleşen deprem sayısı. 34

Poisson Dağılımının Olasılı Fonsiyonu l : belirlenen periyotta ortaya çıan olay sayısı : ortaya çıma olasılığı araştırılan olay sayısı S = { / 0,, 2, 3,.., } P( X ) e l! 0 l 0,,2,... diger durumlarda 35

Poisson Dağılımının Belenen Değer ve Varyansı Belenen Değer E() m l Varyans Var() l Belenen değeri ve varyansı birbirine eşit olan te dağılıştır. 36

Freans Freans 400 l n = 000 300 200 00 0 0 2 3 4 5 6 40 l n= 000 20 00 80 60 40 20 0 3 6 9 2 5 8 2 37

Örne: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 daiada ortalama olara 4 müşteri gelmetedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya, a) 5 daia içinde müşteri gelmesi olasılığını, b)yarım saate 2 den fazla müşteri gelmesi olasılığını, a) l 4 P ( = ) =? P( X ) e 4 4! 4e 4 b) 5 d da 4 müşteri gelirse, 30 d da 24 müşteri gelir. l 24 P ( > 2 ) =? P( > 2 ) = [P(=0)+P(=)+P(=2)] e 24 24 0! 0 e 24 24! 24 ÖDEV: saatte en ço müşteri gelmesinin olasılığını hesaplayınız. e 24 2! 2 33e 24 38