DAĞILMA (Dispersiyon) Geri çağırıcı kuvvetin mekanik dalgalardaki yer değiştirmeyle tam olarak orantılı olmadığı bazı sürekli ortamlarda, sinüzoidal dalganın hızı frekansa bağlıdır. Frekansla hızın değişimi dispersiyon (dağıtkanlık) olarak adlandırılır. Bir kompleks dalganın bileşiminde bulunan farklı sinüzoidal dalgalar biraz farklı hızlarla hareket ederler. Bunun sonucu olarak, kompleks bir dalga içinde hareket ettiği dispersif ortamda şekil değiştirir. Fakat korunumsuz kuvvetler (sürtünme gibi) yoksa saf bir sinüs dalgası bu şartlar altında şekil değiştirmez. Dispersiyon yoksa, kompleks bir doğrusal dalga da şekil değiştirmez. Genelde bir ip üzerindeki dalgalarda, kısa dalga boylu (yüksek frekanslı) saf sinüzoidal dalgalar uzun dalga boylu dalgalara nazaran daha küçük hızlarda hareket ederler. Bu durum dispersiyon (dağılım) adı verilen dalga boyu ile dalga hızının değişimi olayına bir örnektir. Dispersiyon olayı birçok fiziksel mekanizmanın temelini teşkil eder. Dağılma (Dispersiyon) sözcüğü ilk anda bir ayrılma anlamını çağrıştırır. Yandaki şekilde görüldüğü gibi, bir beyaz ışığın bir prizmadan geçtiği zaman değişik renklere ayrıldığını biliyoruz. Cam içindeki kırmızı ışık dalgalarının hızı mavi ışık dalgalarının hızından daha büyüktür. Bir prizmaya gelen ışık Snell kanununa göre kırılmaya uğrar; Şekil 19. Beyaz ışığın üçgen prizmadan geçerken dağılmasını gösteren şekil. Şekil 20. a) Camın ışığı kırmasının şematik gösterimi. Şekil 20.b) Camının kırma indisinin dalga boyuna bağlı değişimi. Grafiğe göre dalga boyu arttıkça azalmaktadır, nin azalması nin artması ile mümkündür. Yani dalga boyu arttıkça hız da artmaktadır. Bu nedenle kırmızı ışığın cam içindeki hızı mavi ışığınkinden büyük olacaktır. Böylece kırılma açısı hızın değişimine karşılık gelen renk ile değişir. Bir boyutlu dalgalarda dağılma, başlangıçta birbiri üstüne binmiş farklı dalga boylarına sahip uzun fakat sınırlı dalga katarlarının zaman ilerledikçe ayrılmalarına karşılık gelir. Aynı zamanda hafifçe farklı hızlardaki saf sinüs dalgalarının bir karışımından meydana gelen her bir bireysel dalga katarı zamanın ilerlemesi ile bozulmaya ve dağılmaya uğrar. 1
Tek bir dalga boyu ve frekansa sahip sadece sonsuz genişlikteki bir saf sinüs dalgası dağıtıcı ortamda tanımlanmış tek bir hıza sahip olabilir. (Şüphesiz dağılma bazı özel durumlarda ihmal edilebilir ve ışığın özel bir durumu için vakumda dağılma sıfırdır.) Dağılma olayını daha somut açıklayabilmek için bir maddesel ortamda aynı yönde ilerleyen ve dalga boyları çok hafif birbirinden farklı olan iki sinüzoidal dalganın hızlarını (grup ve faz hızı) inceleyelim. FAZ VE GRUP HIZI Dağılma sonuçlarını daha somut tartışmak için, bir ip boyunca aynı yönde (belki farklı hızlarda) hafifçe farklı dalga boylarına sahip iki sinüzoidal dalga için ortaya çıkacak durumu göz önüne alalım. Basitlik olsun diye bu iki dalganın genliklerinin eşit olduğunu kabul edelim. Bu iki dalga (1a) (1b) ifadeleri ile tanımlanabilir. Burada ve dir. Burada ve frekanslarının çok az farklı olduğunu kabul edeceğiz (. Bu iki dalganın üst üste gelmesiyle aşağıdaki dalga ortaya çıkar: (2) veya ve (3) ve (4) diyelim. Burada ve dalga sayısının ve frekansın ortalama değeridir. Başlangıçta ile arasındaki farkın küçük olduğunu kabul etmiştik. Bu nedenle ile arasındaki fark da küçük olacaktır. Bu durumda ve (5) alabiliriz. Bunları (2) denkleminde kullanırsak ( ) (6) yazabiliriz. Bu denklemi ( ) (7) alarak yeniden (8) formunda yazabiliriz. Denklem (8) açısal frekansı, dalga sayısı k ve hızı olan bir dalgayı gösterir. Burada (9) olup, faz hızı olarak adlandırılır. 2
Bu dalganın genliği denklem (7) ile verilen ifadesi tarafından modüle edilir. Dispersif bir ortamda modüle edilmiş bir dalganın yayılması çeşitli zaman dilimlerinde Şekil 21 de verilmiştir. Şekil 21. Modüle edilmiş dalgasının dispersif bir ortamda yayılması. Modüle olmuş dalgasının e göre davranışı eşit zaman aralıklarında art arda çizilmiştir. Modüle olmuş dalga sürekli çizgi ile modülasyon nedeniyle oluşan zarf ise kesikli çizgi ile gösterilmiştir. Zarf eğrisi üzerinde seçilen işaretli nokta ve dalga üzerinde seçilen işaretli noktanın zamanla ilerlemesi grup ve faz hızını temsil etmektedir. Bu örnekte olduğu görülmektedir. Bu şekil dikkatle incelendiğinde zarf eğrisinin de ileri gittiği görülür. Zarf eğrisinin ilerleme hızına grup hızı denir ve ile gösterilir. Grup hızı genelde faz hızından farklı değerdedir. Şekil 21 de zarf eğrisi üzerinde bir nokta seçelim ( 3
işaretli nokta), aynı zamanda modüle dalganın üzerinde bir nokta seçelim ( işaretli nokta). Zaman ilerledikçe bu iki noktanın birbirine göre konumları değişmektedir. Eğer ile eşit olsaydı, bu iki noktanın birbirine göre konumları değişmezdi. Şekilde işaretli nokta modülasyon genliğinin hep aynı değerini göstermektedir yani bu noktalar için sabittir. olması ile mümkündür. Her iki tarafın zamana göre türevi veya yazabiliriz. Burada grup hızıdır. (10) Dispersif bir ortamda açısal hızı dalga sayısının fonksiyonu olduğundan yi (11) formunda yazabiliriz. Frekans değerleri birbirine çok yakın olduğunda grup hızı için ifadesi elde edilir. Burada sadece iki tek dalga boylu (monokromatik) dalganın üst üste gelmesi ile grup ve faz hızı ifadelerini elde ettik. Ancak çok daha fazla tek dalga boylu dalgaların üst üste gelmesi durumunda da bu ifadelere ulaşmak mümkündür. Sonuç olarak FAZ HIZI: GRUP HIZI: (15a) (15b) ifadelerini yazabiliriz. Grup hızı ifadesine yeniden bakalım: olduğunu biliyoruz (. Bu durumda (16) yazabiliriz. olduğuna göre (17) Bunu denklem (16) da yerine koyarsak, ( ) (18) elde ederiz. Bu ifadelere göre değişik koşullarda grup ve faz hızlarını karşılaştıralım. 4
i) Genel olarak pozitiftir. Bu durumda olur. Bu duruma NORMAL DİSPERSİYON denir. Örneğin, Şekil 21 de başlangıçta işaretli nokta işaretli noktanın önündedir. Ancak zaman ilerledikçe işaretli nokta öne geçmektedir. ii) Bazı durumlarda negatiftir. Bu durumda olur. Bu duruma ANORMAL DİSPERSİYON denir. iii) Eğer dispersiyon yok ise olacak ve olacaktır. Dalga ve atmanın grup ve faz hızı v f v g 5
MEKANİK DALGALARDA ENERJİ VE GÜÇ Mekanik dalgalar ortam parçacıklarının yer değiştirmesi sonucu oluştuğundan, hareket enerjisi içerirler. Kütle, dalganın ilerleme sürecinde dalga ile birlikte taşınmaz. İlerleyen, ard arda gelen kütlelerin birbirlerine aktardığı enerjidir. Dolayısıyla dalga bir enerji taşıyıcısıdır. Şimdi gerilimi altında bir ipin noktasındaki kadarlık bir parçası kadar enine yer değişme yapıldığında elemanın herhangi bir andaki kinetik enerjisini hesaplayalım: Gerilmiş ipin homojen olduğunu kabul edeceğiz. İpin boyca kütle yoğunluğu olsun. Bu durumda diferansiyel elemanın kütlesi olacaktır. Bu elemanın enine hareketi nedeniyle hızı ise dir. Bu durumda elemanının kinetik enerjisi için ( ) (1) yazabiliriz. Potansiyel enerjiyi, göz önüne alınan küçük ip parçasının düzgün olan ilk konumuna göre deformasyondan sonra boyundaki uzamayı hesaplayarak yazabiliriz. İpin boyundaki uzama miktarı ile sabit T gerilim kuvvetinin çarpımı deformasyon için yapılan işe eşittir. Böylece göz önüne alınan diferansiyel ip parçası için potansiyel enerji (2) olacaktır. diferansiyel elemanın enine kadar çekilmesi nedeniyle boyunda oluşacak değişimdir. Küçük bir uzama için [ ( ) ] (3) yazabiliriz (Bir eğrinin diferansiyel yay elemanı). (4) Binom serisini kullanarak [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) (5) yazabiliriz (daha yüksek mertebeden terimlerin katkısı ihmal edilebilecek kadar küçüktür). ifadesini de kullanırsak, yay elemanı için veya ( ) 6
( ) (6) yazabiliriz. Bu ifadeyi (2) denkleminde kullanırsak diferansiyel elemanı kadar yer değişimi nedeniyle oluşacak potansiyel enerji için ( ) (7) yazabiliriz. Denklem (1) ve (7) de verilen kinetik enerji ve potansiyel enerji ifadelerinden enerji yoğunluklarına geçmek mümkün. Kinetik enerji yoğunluğu olarak adlandıracağımız birim uzunluk başına kinetik enerji ifadesi (bir boyutlu bir ortam için), ( ) (8a) Benzer şekilde potansiyel enerji yoğunluğu ise, ( ) (8b) şeklinde verilir. Burada dir. İki enerji yoğunluklarının bu eşitliği her zaman geçerli olmasına rağmen, ifadeler lineer geri çağırıcı kuvvetlere maruz kalan mekaniksel sistemlerin toplam enerjilerinin eş bölüşümü hakkında bilgiler içermektedir. Şimdi bu denklemleri ile tanımlı x- ekseni boyunca ilerleyen bir dalgaya uygulayalım. Bu dalganın enine hızı 'ye eşittir. Bunu ile gösterirsek (9) olacaktır. Enine hızın maksimum değeri 'ya eşittir. Bunu ile gösterelim. ip üzerinde seçilen elemanın kütlesi olacaktır. Bu küçük parçanın kinetik enerjisi ( ) (10) olacaktır. Şimdi bir dalga boyu kadar uzunluğunda ipin kinetik enerjisi için (11) (12a) 7
Bir dalga boyu içinde toplam kinetik enerji sabittir. diferansiyel elemanın potansiyel enerjisi ise (7) ifadesinden ( ) [ ] dir. Buradan bir dalga boyu içindeki potansiyel enerji için ( ) (12b) yazılabilir. (12a) ve (12b) eşitliklerinden bir dalga boyu içinde toplam kinetik enerjinin, toplam potansiyel enerjiye eşit olduğu görülür. Bu durumda bir dalga boyu içinde toplam enerji için (12c) yazabiliriz. Toplam enerjinin genliğin karesi ve frekansın karesi ile orantılı olduğuna dikkat ediniz. Bu eşitlikler tüm değerlerinde geçerlidir. Şekil-3'de bir dalga boyluk bölgede uzanımın enine hızın, anlık kinetik ve potansiyel enerjisinin 'e göre değişimi verilmiştir. y x t Asin kx wt Şekil-3 a) Belli bir anda, ilerleyen bir sinüs dalgasının bir dalga boyluk ( ) kısmı. b) Enine dalga hızının anlık değerinin ( y/ t 'e göre değişimi. c) İp üzerinde uzunluğundaki elemanın kinetik enerjisinin ( e göre değişimi. d) İp üzerinde uzunluğundaki elemanın anlık potansiyel enerjisinin 'e göre değişimi. 8
DALGA TARAFINDAN TAŞINAN ENERJİ İp boyunca hareket eden sinüzoidal bir dalga oluşturmak için oldukça uzun bir ipin ucundan enine titreştirmek gerekir. Bu titreştirme işi sisteme sürekli bir enerji vermek demektir. İpin her yeni uzunluğu için daha önce hesapladığımız kadarlık enerji sisteme temin edilmelidir. Dolaysıyla bu enerjiye eşit bir iş, ipin sol ucuna uygulanan kuvvet tarafından sağlanmalıdır (Şekil-1) (1) Şekil -1 Gerilmiş bir ip üzerinde sinüzoidal bir dalganın meydana getirilmesi ve herhangi bir anda uygulanan kuvvetinin görünüşü. Sağa doğru hızı ile ilerleyen (2) dalgayı ele alalım. İpin 'daki ucu bir dış kuvvetin etkisinde kalsın (Şekil-1). gerilmesine eşit olan dış kuvvet, şekilde görüldüğü gibi ipe teğet olarak uygulanmalıdır. Saf enine olarak salınan uç noktasının hareketi, (3) ifadesi ile verilir. Bu enine hareket yönündeki 'nin bileşeni ise, ( ) (4) şeklindedir. (2) denklemindeki fonksiyonun türevini alarak, (5) yazabiliriz. Bunu (4) ifadesini yerine yazarak (6) ifadesi elde edilir. Şimdi kuvvetinin da kadar yer değiştirmesi durumda yapılan diferansiyel işi (7) 9
yazabiliriz. Buradan (8) (3) ifadesinden yazabiliriz. Bunu (8)'de yerine yazarsak (9) Bu integrali ile ( arasında alalım (Burada gerilim T ile periyot T karışmasın diye periyodu ile gösterdik) (10) (10) ifadesi ile verilmiş iş, bir periyotluk sürede sisteme sağlanan enerjidir. Birim zamanda sisteme verilmesi gereken enerji yani güç (P) için yazabiliriz. Burada birim uzunluk başına toplam enerjidir. Buradan iş yapma hızının yani gücün, dalga hızı ile ip üzerindeki birim uzunluk başına toplam enerjinin çarpımı olduğu anlaşılır. Enerji kaynakta alıkonamaz, dalga hızına eşit bir hız ile ortam içinde bir noktadan diğerine aktarılır. Burada ortamın dağıtkan (dispersif) olmadığını varsayıyoruz. Eğer ortam dağıtkan ise enerji grup hızı ile taşınır. İpin belli bir kısmı dalga hareketine başlamış ise bu parçanın enerjisi değişmeden kalır. Bu sonuçlar bir ipte ilerleyen dalgalar için bulunmuş olsa da enerjinin taşınma hızının, gücün veya enerji yoğunluğunun, genlik ve frekansının karesiyle doğru orantılı olması bütün dalgaların genel bir özelliğidir. Kararlı dalgaların enerji yoğunluğunun genliğe ve frekansa bağımlılığı, ilerleyen dalgaların toplam enerji yoğunluğunun genliğe ve frekansa bağımlılığı ile aynıdır. Ancak, uzayda ilerlemedikleri için, kararlı dalgalarla güç aktarılamaz. 10
DALGA PAKETİ Pozitif x yönünde ilerleyen bir düzlem dalgayı (yani sinüs ya da kosinüs dalgası) göz önüne alalım. Düzlem dalga tüm uzaya yayılmış bir dalgadır. Burada dalga sayısı, açısal frekanstır. (1) { Düzlem dalganın genliğini bir Gauss eğrisiyle modüle edersek bir dalga paketi oluşturabiliriz. (2) Bu fonksiyonun grafiği Şekil-1'deki gibi olacaktır. Şekil-1. Birim dalga paketi. Daha kullanışlı diğer bir yol ise, çok sayıda farklı dalga boyunda düzlem dalgalar olup bunları öyle uygun genliklerle toplarız ki (süperpozisyon), küçük bir bölge hariç, diğer yerlerde birbirlerini yok ederler. Her bir dalga (1) formunda olacaktır. Bunların süperpozisyonu ise olacaktır. (2) Basit olması bakımından, dalga sayıları birbirine çok yakın ve ve yine açısal frekansları da birbirine çok yakın ve olan aynı genlikli iki düzlem dalgayı ele alalım: (3) [ ] (4) Bu dalgaların üst üste gelmesi (süperpozisyonu) 11
[ ] [ ] [ ] (5) olacaktır. Burada ve olduğundan [ ] [ ] (6) yazabiliriz. 'nin 'e bağlı grafiği anında Şekil-2'de verilmiştir. Şekil-2. Dalga sayıları ve açısal frekansları birbirine çok yakın iki dalganın t=0 anında süperpozisyomu (. anında için (7) yazabiliriz. 'nin ikinci faktörü olan yine bir düzlem dalgadır. Ancak birinci faktör olan ise genliğin periyodik bir zarla modüle olduğunu göstermektedir. Şekil-2'de iki farklı ilerleme hızı söz konusudur. 1) Faz hızı: Düzlem dalganın belirli bir noktasını ele alalım. faz ifadesi sabit olduğu sürece ifadesi aynı değeri verecek, yani aynı noktanın ilerlemesini takip etmiş olacağız. Bu noktanın hızını hesaplarsak Her iki tarafın t'ye göre türevi alınarak, (8) yazabiliriz. Burada, faz hızıdır, yani (9) olacaktır. 12
2) Grup hızı: Dalga paketi genliği modüle eden zarf tarafından oluşturulmuştur. Bu zarfın ilerlemesi paketin ilerlemesi demektir. Bu paket için yine faz bağıntısı yazılırsa yani veya (10) (11) yazabiliriz. Burada grup hızıdır yani (12) olacaktır. Bu örnekte dalga paketinin genliği modüle olmuştur, fakat yine sonsuza kadar uzanmaktadır. Yerel bir dalga paketi oluşturmak için çok sayıda düzlem dalga kullanmak gerekir. Ancak yukarda verdiğimiz kavramlar, sonsuz sayıda düzlem dalganın süperpozisyonu durumunda da geçerli olacaktır. Sonsuz sayıda ve birbirlerine yakın dalga sayılı düzlem dalga varsa, Eşitlik-1'de verilen toplam integral olarak yazılabilir: [ ] (13) Burada dalga paketinin her bir bileşenin ayrı frekansta olabileceğini gösterir. Bu durumda faz hızı için ve grup hızı için yazabiliriz. İLERLEYEN DALGA PAKETİ da bir sürücünün (vericinin) çıkışı Şekil 2 deki pulsa benzer bir hareketle tanımlanmış olsun. Sürücünün sınırlı bir süre için yaydığı ortalama dalgalar uzay içinde sınırlı büyüklükte bir dalga pulsu oluşturacaklardır. Bu pulsa bir dalga paketi ya da dalga öbeği, dalga kümesi, dalga çıkını denir. Dalga paketi grup hızı ile yayılır. ile birbirine dispersiyon bağıntısı ile bağlı olduklarına göre sürücünün çıktısı frekans kuşağı içinde bulunması zorunluluğu dalga paketindeki dalga sayılarının bir kuşağı içinde bulunmalarını gerektirir. ( ), (14) Burada ( ) dır. 13
Aynı zamanda denklem 14 ün birinci terim olarak dikkate alınabilmesi için dispersiyon bağıntısının Taylor serisine açılımında, yüksek terimleri ihmal edebiliriz. Dalga paketi uzunluğu ile dalga sayısı kuşak genişliğinin çarpımı: uzunluğundaki, bir dalga paketi, belirli bir noktasında grup hızıyla (15) bağıntısı gereğince bir Elde ederiz. Böylece süresinde geçer. Denklem (14) ve (15) in çarpımını alarak (16) olduğundan buluruz. (17) Şekil 2. Yukarıda verilen 1 (t) ve 2 (t) iki dalga fonksiyonunun toplamı ile elde edilen (t) nin t ye göre şekli. 14