11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin bir lineer birleşimi olarak yazınız. olduğuna göre 11.2. Gram-Schmidt metodu 11.2.Teorem (Gram-Schmidt metodu): V bir iççarpım uzayı ve { } bir V nin m-boyutlu bir altuzayı olsun. Bu taktirde W için bir { } ortonormal bazı vardır. İspat: İlkiönce W için bir { } ortogonal bazını buluruz. W için herhangi bir baz { } olsun. S deki vektörlerden herhangi birini seçerek başlayalım. Örneğin bu olsun ve ile gösterelim. Böylece dir. { } tarafından gerilen W nın altuzayında e ortogonal olan bir vektörü arıyoruz. olduğundan altuzayı { } tarafından da gerilir. Böylece dir. olacak şekilde katasıları bulmalıyız. Buradan olduğundan dir. ye sıfırdan farklı keyfi bir değer verebiliriz. Böylece alnırsa elde edilir. Buradan Bu noktada W nın bir dik { } altkümesine sahip oluruz. Şimdi, { } tarafından gerilen W nın altuzayında ve vektörlerinin her birine ortogonal olan bir vektörü arıyoruz. Elbette { } sistemi tarafından gerilen bir altuzaydır. 1
Böylece dir. ve olacak şekilde katasıları bulmalıyız. Buradan olduğundan dir. e sıfırdan farklı keyfi bir değer verebiliriz. Böylece alnırsa Şimdi, { } tarafından gerilen W nın altuzayında, vektörlerinin her birine ortogonal olan bir vektörü bulacağız. altuzayı { } sistemi tarafından da gerilir. Benzer metotla elde edilir. Bu işleme { } ortogonal sistemini bulana kadar devam edilir. W için bir baz olur. Eğer için alırsak, o zaman { } W için bir ortonormal baz olur. 2.Ö.: Üzerinde standart iç çarpım tanımlı { } olsun. Burada uzayının altuzayı W ve W nın bir bazı. S bazını { } ortonormal bazına dönüştürünüz. Çözüm: alalım. Bu taktirde Kesirlerden kurtulmak için yi 3 ile çarparsak, elde edilir. Bunu şimdi olarak kullanabiliriz. vektörünü hesaplarsak 2
Kesirlerden kurtulmak için i 5 ile çarparsak, elde edilir. Böylece, { } { } W için bir ortogonal bazdır. S deki her bir vektörü uzunluğuna bölmek suretiyle W için { } ortonormal bazını elde ederiz. { [ ] [ ] [ ]} 3.Ö.: V, iç çarpım uzayı olsun. W, bir { } bazına sahip ün altuzayı olsun. W için bir ortonormal baz bulunuz. Çözüm: alalım.. O zaman Burada olduğundan, W için bir ortonormal baz { } olur. 3
11.3.Teorem: V, n boyutlu Öklid uzayı ve { } de V için bir ortonormal baz olsun. Eğer ve ise, o zaman olur. İspat: İlk önce, sıralı S bazına göre verilen matrisini hesaplamalıyız. { Böylece. Teoreme göre 11.3 QR-Ayrışımı 11.4.Teorem: A, mxn tipinde lineer baqğımsız sütun vektörlerine sahip ise, o zaman A=QR olarak ifade edebiliriz. Burada Q, A nın sütun uzayı için bir ortonormal bazdan elde edilen sütun vektörlerine sahip mxn tipinde bir matris ve R de singüler olmayan olmayan üst üçgen matristir. İspat: ler A nın sütun uzayı için bir baz olan lineer bağımsız sütun vektörlerini göstersin. G-Schmidt metodunu kullanarak A nın sütun uzayı için bir ortonormal bazını elde edebiliriz. elde edilir. Sonuçta, için için olur. Şimdi her bir u vektörü lerin linee birleşimi olarak yazılabilir. j>i için { } uzayina dik olduğundan ye de diktir. Böylece bu halde. Q, sütun matrisleri olan bir matris olsun. 4
. O zaman matris formunda şeklinde yazabiliriz. Böylece, Şimdi R nin singüler olmadığını gösterebiliriz. lineer sisteminin bir çözümü olsun. Buna göre Ax=0 homojen sistemi şekilde yazabiliriz., x vektörünün bileşenleridir. A matrisinin sütun vektörlerinin lineer bağımsız olduğundan elde edilir. 4.Ö.: Çözüm: matrisinin QR ayırışımını bulunuz. [ ] [ ] O zaman [ ], 5
[ Kısaca A=QR. ] 11.KONU: Ödevler 1. Öklid uzayında verilen { } bazını Gram-Schmidt metodunu kullanarak bir ortonormal baza dönüştürünüz. 2. Öklid uzayının W altuzayı için { } bazını Gram-Schmidt metodunu kullanarak bir ortonormal baza dönüştürünüz. 3. Öklid uzayında verilen { } bazını Gram-Schmidt metodunu kullanarak bir ortonormal baza dönüştürünüz. 4. { } Öklid uzayının bir W altuzayı için bir ortonormal baz bulunuz. 5. Öklid uzayı için { } bazına Gram-Schmidt metodunu kullanarak bir ortonormal baz bulunuz. 6. matrisinin QR ayırışımını bulunuz. 7. matrisinin QR ayırışımını bulunuz. 8. matrisinin QR ayırışımını bulunuz. 9. matrisinin QR ayırışımını bulunuz. 10. Öklid uzayının formundaki tüm vektörlerini içeren altuzayı için bir ortonormal baz bulunuz. 6