YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DATUM DÖNÜŞÜMLERİ Jeo. ve Fot. Müh. Aydın ÜSTÜN F.B.E. Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Anabilim Dalında hazırlanan YÜKSEK LİSANS TEZİ Tez Danışmanı : Prof Dr. Hüseyin DEMİREL İSTANBUL, 996
İÇİNDEKİLER İÇİNDEKİLER ŞEKİL LİSTESİ TABLO LİSTESİ KISALTMALAR LİSTESİ TEŞEKKÜR ÖZET ABSTRACT I IV V VI VII VIII IX. GİRİŞ. KOORDİNAT SİSTEMLERİ 3.. Doğal Koordinat Sistemleri 4... Global Astronomik Dik Koordinat Sistemi (X, Y, Z) 5... Doğal Eğri Koordinat Sistemi (Λ, Φ, H) 5..3. Yerel Astronomik Dik Koordinat Sistemi (e*, m*, n*) 6..4. Yerel Astronomik Kutupsal Koordinat Sistemi (α*, β*, l*) 7.. Referans Koordinat Sistemleri 8... Global Jeodezik Dik Koordinat Sistemi (U, V, W) 8... Global Jeodezik Eğri Koordinat Sistemi (ϕ, λ, h) 9..3. Yerel Jeodezik Dik Koordinat Sistemi (e, m, n) 9..4. Yerel Jeodezik Kutupsal Koordinat Sistemi (α, β, l).3. Referans Koordinat Sistemleri Arasındaki İlişkiler.3.. Dik Koordinat Sistemi İle Eğri Koordinat Sistemi Arasındaki İlişkiler.3.. Yerel Koordinat Sistemleri İle Dik Koordinat Sistemleri Arasındaki İlişkiler 4.4. Uydu Jeodezisinde Kullanılan Referans Koordinat Sistemleri 7.4.. Konvansiyonel Göksel Koordinat Sistemi (CIS) 8.4.. Konvansiyonel Yersel Koordinat Sistemi (CTS) I
.4.3. Uydu Koordinat Sistemleri Arasındaki Dönüşümler 3. JEOİT VE ELİPSOİT 7 3.. Jeoit 7 3.. Dönel Elipsoit 9 3.3. Jeoitle Elipsoit Arasındaki İlişki ve Jeodezik Datum 3 3.4. Referans Elipsoitlerinin Konumlandırılması 35 3.4.. WGS84 Elipsoidi 37 3.4.. Hayford Elipsoidi 39 4. DATUM DÖNÜŞÜMLERİ 4 4.. Üç Boyutlu Dönüşümler 4 4... Benzerlik Dönüşümleri 4 4... Bursa-Wolf Modeli 4 4... Moledensky-Badekas Modeli 46 4...3. Veis Modeli 47 4... Afin Dönüşüm 49 4..3. Üç Boyutlu Dönüşümde Büyük Dönüşüm Parametreleri 5 4.. İki Boyutlu Dönüşümler 53 4... Benzerlik Dönüşümü 54 4... Afin Dönüşüm 57 4..3. Küçük Bir Bölgede Elipsoidal Eğri Koordinatlarla Datum Dönüşümü 58 4.3. Tek Boyutlu Dönüşümler 6 4.3.. Yükseklik Sistemleri 6 4.3.. Yükseklik Dönüşümü 63 4.3... Yüksekliklerden Yararlanılan Dönüşüm 64 4.3... Yükseklik Farklarının Kullanıldığı Dönüşüm 65 5. DENGELEME MODELİ 66 II
6. SAYISAL UYGULAMALAR 69 7. SONUÇ VE ÖNERİLER 8 KAYNAKLAR 84 ÖZGEÇMİŞ 87 III
ŞEKİL LİSTESİ Şekil. Dik ve kutupsal koordinatlar 3 Şekil. Global astronomik dik ve eğri koordinat sistemleri 5 Şekil.3 Yerel astronomik dik ve kutupsal koordinat sistemleri 7 Şekil.4 Elipsoidal dik ve eğri koordinat sistemleri 9 Şekil.5 Elipsoidal yerel dik ve kutupsal koordinatlar Şekil.6 Elipsoidal dik ve eğri koordinatlar Şekil.7 Elipsoidal dik ve yerel koordinat sistemleri 5 Şekil.8 Konvansiyonel göksel koordinat sistemi 9 Şekil.9 Konvansiyonel yersel sistem ve kutup hareketi Şekil. Presizyon 3 Şekil. Nutasyon 4 Şekil 3. Eşpotansiyelli yüzeyler ve gravite vektörü 8 Şekil 3. Astronomik enlem 9 Şekil 3.3 Meridyen elipsi 3 Şekil 3.4 Yükseklikler arasındaki ilişki 3 Şekil 3.5 Jeoit ve elipsoit arasındaki ilişki 33 Şekil 3.6 Çekül sapması bileşenleri 34 Şekil 3.7 Yerel elipsoit 37 Şekil 3.8 WGS84 referans sistemi 38 Şekil 4. Üç boyutlu benzerlik dönüşümü 4 Şekil 4. Moledensky-Badekas Modeli 47 Şekil 4.3 İki boyutlu benzerlik dönüşümü 55 Şekil 4.4 Elipsoit üzerinde jeodezik azimut ve uzunluk 6 IV
TABLO LİSTESİ Tablo 3. Çeşitli uluslararası elipsoitler ve boyutları 3 Tablo 3. WGS84 için tanımlanmış parametreler 38 Tablo 4. Elipsoit üzerinde azimut ve uzunluk hesabı. 6 Tablo 5. WGS84 ve AD5 datumunda ortak noktaların jeodezik dik koordinatları 69 V
KISALTMALAR LİSTESİ AD5 Avrupa Datumu 95 BIH The Bureau International de l Heure CEP Celestial Ephemeris Pole CIO Conventional International Origin CIS Conventional Inertial System CTP Conventional Terrestrial Pole CTS Conventional Terrestrial System DMA Defence Mapping Agency GAST Greenwich Apperent Sideral Time GPS Global Positioning System GRS8 Geodetic Reference System 98 IAU International Astronomy Union IERS International Earth Rotation Service IUGG International Union of Geodesy and Geophysics İTÜ İstanbul Teknik Üniversitesi KTÜ Karadeniz Teknik Üniversitesi LLR Lunar Laser Ranging NAVSTAR Navigation System with Time and Ranging NNSS Navy Navigation Satellite System SLR Satellite Laser Ranging UTM Universal Transverse Mercator VLBI Very Long BaseLine Interferometry YTÜ Yıldız Teknik Üniversitesi WGS6 World Geodetic System 96 WGS66 World Geodetic System 966 WGS7 World Geodetic System 97 WGS84 World Geodetic System 984 VI
TEŞEKKÜR Kendisi ile çalışma fırsatını bulduğum ve çalışmalarım süresince yardım ve ilgilerini eksik etmeyen Danışmanım Sayın Prof. Dr. Hüseyin DEMİREL e, başka bir üniversitede yüksek lisans yapmama olanak veren hocalarıma, yine çalışmalarım süresince her türlü yardımlarını gördüğüm çok değerli arkadaşlarıma ve bana maddi, manevi her türlü imkanı sağlayan, kendilerine lâyık olmaya çalıştığım aileme sonsuz teşekkürlerimi bir borç bilirim. VII
ÖZET Jeodezik amaçlar için üretilen harita, plan, grafik ve benzeri sayısal üretimlerin anlam kazanmasında en büyük faktör, kullanılan koordinat sistemleridir. Normal olarak tüm bu amaçlara yönelik koordinat bilgilerinin ortak bir referansa dayanması beklenir. Ancak gerek ülkesel ve gerekse bölgesel anlamda jeodezik çalışmalar için çeşitli referans sistemleri temel alınmıştır. Bu farklılık, hem yeryuvarının hem de onun yerine hesap yüzeyi olarak kullanılan referans yüzeylerinin özelliklerinden kaynaklanmaktadır. Yeryuvarının bir hesap yüzeyi olarak kullanılamaması yardımcı yüzeyleri gerektirmiş, farklı bölgelere ya da genel olarak yeryuvarına uyan dönel elipsoit boyutları belirlenmeye çalışılmıştır. Elipsoidin boyutlarının belirlenmesi kadar, çalışma amacına göre yeyuvarına bağlı olarak konumlandırılması datum problemini ortaya çıkarmıştır. Buna bağlı olarak üretilen veriler de seçilen sistemlerin datumunu taşırlar. Eğer farklı veriler bir arada değerlendirilmek istenirse, bu durum sistemlerin birbirlerine dönüştürülmesini gerektirir. Özellikle Global Konumlama Sistemi (GPS) datum dönüşümlerinin çok konuşulan bir konu haline gelmesine neden olmuştur. Bu çalışmada çeşitli koordinat sistemleri ve aralarındaki dönüşüm modelleri incelenmiş, referens yüzeyleri olarak jeoit ve elipsoit üzerinde durulmuş ve sayısal uygulamalar verilmiştir. VIII
ABSTRACT Gaining a meaning of the digital results of the map, plan, diagram etc. produced for geodetical aim, the main factor is the coordinate system used. Normally all coordinate data hoped to be based on the same reference systems. But geodetical works have done over the country as well as locally the coordinate systems based on different reference systems. These differences are coused by compenent of the earth and reference globe used for computation. The irregular surface of the solid earth is incapable of being represented by a simple mathematical relation, it is therefore described mathematical figures instead. Rotational ellipsoid s parameters approximated locally or mean earth ellipsoid are tired to determine. As its computation positioning of the ellipsoid relatively to the earth aimed of work, datum problem was introduced. Then the collected data have to be on the datum selected systems. If the data on the different datum are processed together, systems have to transform to each other. Especially Global Positioning Systems has been in use, is coused to discuss of datum tansformation. In this study, which properties of objects have to be kept in projection from one surface to the other and transformation models related to dimention of coordinate systems are investigated and explained by numerical examples. IX
. GİRİŞ Jeodezi ya da yer ölçmesi biliminin doğmasına neden olan iki unsurdan birincisi ve en önemlisi insanların üzerinde yaşadığı yeryuvarını veya onun bir parçasını tanıma merakı, ikincisi ise mekâna dayalı çeşitli faaliyetlerin gerçekleştirilebilmesi, gereksinimlerin karşılanabilmesi için yeryüzünün tanımlanması zorunluluğudur. Yeryüzü koordinat sistemleri ile tanımlanır. Jeodezik astronomi ve uydu jeodezisi dışında, bir nesne; üç boyutlu, iki boyutlu veya tek boyutlu bir koordinat sisteminde değerlendirilir. Jeodezik astronomi ve uydu jeodezisinde bu sistemlere ayrıca zaman boyutu eklenir. Sözü edilen bu koordinat sistemlerinin kaynağı, yeryuvarı ya da onu simgeleyen jeoit ve elipsoittir. Yeryuvarının modeli olarak jeoit ve elipsoit alınmasının temel nedeni homojen olmayan yapısı ve düzensiz topoğrafyasıdır. Klasik yersel ölçmeler fiziksel bir ortamda yapılır ve ölçüler bu ortamın etkisi altındadırlar. Bu nedenle gözlemleri tanımlayabilecek koordinat sistemleri biz farkında olmadan kendiliğinden oluşmaktadır. Bu tür sistemlere doğal koordinat sistemleri, gözlenen elemanlara da doğal koordinatlar adı verilir. Tüm ölçülerin tek bir yüzey üzerinde değerlendirilmesi istenir. Bu yüzey elipsoit ya da jeoit olabilir. Yatay konum ağları için jeoit, düzensiz bir yüzey niteliğini taşımakta, geometrik olarak ona en çok benzeyen elipsoit tercih edilmektedir. Çünkü gözlemleri etkileyen fiziksel doğa olaylarını ve ölçüleri, yeterince tanımlanamamış jeoit yüzeyi üzerinde modellendirmek ve değerlendirmek olanaksızdır. Bu nedenle yatay konum için hesap yüzeyi olarak elipsoit alınır. Yükseklikler için referans yüzeyi olarak elipsoit yerine jeoit kullanılmaktadır. Elipsoidal yüksekliklerin kullanılabilmesi için jeoit ile elipsoit arasındaki aykırılıkların, yani jeoit ondülasyonlarının bilinmesi gerekir. Günümüzde, gelişen ölçme teknikleri
sayesinde jeoit ondülasyonlarının belirlenmesi kolaylaşmıştır. Jeoit yüzeyi tanımı gereğince durgun deniz yüzeyi ile çakışır.yatay konum belirlemedeki gibi düşey konum belirlemede de her ülke farklı datum kullanmıştır. Yani tüm ülkeler tek bir noktayı yükseklikler için başlangıç noktası olarak kullanmamış, her ülke kendisine en uygun olanını seçerek kendi datumunu oluşturmuştur. Dünyadaki küreselleşme, jeodezi açısından da yaşanmaktadır. Bu çerçevede farklı datumların birleştirilmesi ve verilerin bir arada değerlendirilmesi gerekli olmaktadır. Uydu jeodezisi tekniğinin uygulamaya girmesi ve yeryuvarının uzaktan değerlendirilmesiyle ülke sınırlarını aşan geniş alanlarda veri üretimine geçilmiştir. Özellikle Global Konumlama Sistemi (GPS) ile tek bir referans sisteminde (WGS84 elipsoidi) bağıl konumlamada yakalanan yüksek doğruluk yeni jeodezik ağların oluşturulmasına, eskilerin de yenilenmesi ve iyileştirilmesine olanak tanımıştır. Uydular aracılığıyla üretilen konum bilgileri ülke sistemlerine dönüştürülerek yersel veriler ile bütünleştirilebilmektedir. Ancak burada karşılaşılan kimi sorunlar vardır. Yukarıda açıklandığı gibi kullanılmakta olan ülke sistemi üç boyutlu bir sistem değildir. Yatay ve düşey konum koordinatları farklı referans yüzeylerine dayanır. Uydu tekniğiyle üretilen koordinatlar (başka referans sisteminde) ise üç boyutludur. Geçerli ülke koordinat sistemiyle bağlantı için özellikle ortometrik yüksekliklerin elipsoit yüksekliklerine (ya da tersi), dönüştürülebilmesi gerekir. İşte bu sorunlar çeşitli dönüşüm modelleriyle çözülebilmektedir. Ancak uygulanan dönüşüm modeli eldeki verilerin özelliğine ve amaca uygun olmalıdır.
3. KOORDİNAT SİSTEMLERİ Yeryüzündeki bir nokta ancak bir koordinat sisteminde tanımlanabilir. Klasik ya da uydu ölçmeleriyle elde edilen koordinat bilgileri yardımıyla nokta, sistemin başlangıç noktasından geçen düzlemlere göre, ya düzlemlere olan dik uzaklıklarla ya da noktayı orjine bağlayan doğrultuda uzunluk ve bu doğrultunun düzlemlerle yapmış olduğu açılarla gösterilir. Sırasıyla bu gösterim türlerine Dik Koordinat Yöntemi ve Kutupsal Koordinat Yöntemi adı verilir (Şekil.). z P β o α s z x y y P x Şekil. Dik ve kutupsal koordinatlar Uzaydaki bir nokta ister dik, ister kutupsal koordinat yöntemiyle gösterilsin her şeyden önce bu tanımlamanın yapılacağı bir koordinat sistemi gereklidir. Jeodezi biliminde önemli konulardan biri de koordinat sistemi oluşturmaktır. Bu konudaki çalışmalar, hem yeni sistemlerin hem de var olanların geliştirilmesi yönünde günümüzde halâ sürmektedir. Yeryuvarının homojen bir yapıya sahip olmaması ve bir takım fiziksel etmenlerden etkilenmesi, yeryuvarına bağlı bir koordinat sisteminin tanımını güçleştirmektedir. Bu zorluk gerçeğe yakın olmak koşuluyla, yapay koordinat sistemlerinin tanımlanmasını gerektirmiştir. Klasik yersel gözlemler yeryuvarına
4 dayandığından, fiziksel bir doğa olayı olarak kabul edilirler ve somut anlamda yeryuvarına bağlı bir koordinat sistemiyle ilişkilidirler. Bu nedenle doğal sistemi yok sayarak, yapay sistemi kullanmak ya da onu yeğ tutmak kabul edilemez. Model koordinat sistemi, fiziksel yeryüzünde yapılan gözlemlerin ilgili referans sisteme indirgenmesiyle gerçekleştirilir. dayanır: Bu çerçevede, jeodezide kullanabileceğimiz koordinat sistemleri iki ana temele - Fiziksel gözlemlere dayanak olan doğal koordinat sistemleri - Hesaplamalara dayanak olan yapay koordinat sistemleri. Her iki durumda koordinat sistemlerinin başlangıçları ve eksenlerinin yönleri farklıdır. Bu sistemler yeryuvarına fiziksel açıdan en çok benzeyen jeoit ve yine yeryuvarına geometrik açıdan en çok benzeyen dönel elipsoidin datumunu taşırlar. Bunlardan ayrı olarak yine yeryüzüne bağlı olmak üzere, uydu ve diğer gök cisimlerinin koordinatlandırılmasında kullanılan koordinat sistemleri de vardır. Konumuz gereği bu koordinat sistemleri de tanıtılmaya çalışılacak ve bu sistemlerin birbirleriyle olan ilişkileri incelenecektir... Doğal Koordinat Sistemleri Fiziksel anlamda var olan, yeryuvarının ağırlık merkezinin ya da yeryüzündeki bir noktanın başlangıç olarak kabul edildiği üç boyutlu dik koordinat sistemleri olarak tanımlanabilir. Ölçmeciler tarafından yapılan jeodezik gözlemler bu koordinat sistemleriyle ilişkilidir. Sistemin başlangıç noktasının yeryuvarının ağırlık merkezinde ya da yeryüzündeki bir noktada seçilmesi, tanımlanacak nesnelere bağlıdır. Bir ülke veya yeryuvarı ölçmesi yapılacaksa ağırlık merkezli koordinat sistemi, yerel anlamda küçük
5 bir bölge ölçmesi yapılacaksa yeryüzündeki bir noktanın merkez olarak kabul edildiği koordinat sistemi kullanılır.... Global Astronomik Dik Koordinat Sistemi (X, Y, Z) Koordinat sisteminin başlangıcı yeryuvarının fiziksel olarak tanımlanan ağırlık merkeziyle çakışır. Z ekseni yeryuvarının ortalama dönme eksenidir ve pozitif yönü ortalama kuzey kutup doğrultusudur. X ekseni, dönme eksenine yeryuvarının ağırlık merkezinde diktir ve ortalama astronomik ekvator düzlemi ile Greenwich meridyen düzlemine paralel sıfır astronomik meridyen düzleminin arakesitidir. Y ekseni de bir sağ sistemi oluşturmak üzere, X ekseninden ekvator üzerinde 9 o doğuya açılan bir doğrultudadır. Şekil. Koordinat sistemini ayrıntılı bir biçimde göstermektedir. Şekil. Global astronomik dik ve eğri koordinat sistemleri... Doğal Eğri Koordinat Sistemi (Λ, Φ, W) Yeryüzündeki bir P noktasının doğal eğri koordinatları; astronomik boylam Λ, astronomik enlem Φ ve potansiyel W global astronomik dik koordinat sistemiyle ilişkili büyüklüklerdir (Şekil..).
6 P noktasındaki çekül doğrultusu (gravite vektörünün doğrultusu) ile P nin astronomik meridyen düzlemi içinde ölçülen ekvator düzlemi arasındaki açı, astronomik enlem Φ ve ortalama Greenwich meridyen düzlemi ile P nin astronomik meridyen düzlemi arasındaki açı, astronomik boylam Λ dır. Λ ekvator düzleminde doğu yönünde artar ( Λ< Π). Yeryüzü noktaları arasındaki potansiyel farkları da ölçüler yardımıyla belirlenebilir. Bunun için nivelman geçkileri boyunca ayrıca gravite ölçüleri gereklidir. Φ, Λ, W yeryuvarının gravite alanının doğal koordinatları olarak adlandırılır. Bir P noktasının konumu ona ilişkin Φ p, Λ p, W p parametreleriyle saptanabilir. P birbirine dik olmayan eğrisel Φ=Φ p =sabit, Λ=Λ p =sabit, W= W p =sabit koordinat yüzeylerinin kesişim noktasıdır. Astronomik enlem ve boylam (astronomik koordinatlar), uzayda çekül doğrultusunu tanımlayan parametrelerdir. İlk iki koordinat, astronomik gözlemler ile bulunabilir. Yıldızlara yapılan gözlemlere almanaklar yardımıyla getirilecek düzeltmeler neticesinde noktanın enlem ve boylamı elde edilir. Jeodezik amaçlar için büyük önemi olan bu noktalar yeryüzünde her ülke için yeterli yoğunluk ve dağılımda belirlenmiştir. Jeodezik açıdan bu noktalar; - Ülkeler için ulusal datum belirleme çalışmalarında, - Astrojeodezik jeoit belirlemelerinde, - Ülke nirengi ağlarının yöneltilmesinde, - Doğrultu gözlemlerinin indirgenmesi gibi çalışmalarda kullanılırlar...3. Yerel Astronomik Dik Koordinat Sistemi (e*, m*, n*) Yeryüzündeki bir noktanın başlangıç kabul edildiği bir sistemdir. P noktasından geçen nivo yüzeyinin bu noktadaki normali ya da çekül doğrultusu, koordinat sisteminin n* ekseni kabul edilir. Eksenin pozitif doğrultusu, noktaya kurulan
7 jeodezik aletin başucu doğrultusudur ki, aynı zamanda önceki koordinat sistemlerinden tanıdığımız Z eksenine karşılık gelir. Koordinat sisteminin dayandığı esas doğrultu noktadan geçen nivo yüzeyinin bu noktadaki normalidir. Noktadan geçen nivo yüzeyine bu noktada teğet düzlem içerisinde kalan ve kuzeye yönelen doğrultu e* eksenini (astronomik kuzey doğrultusu); bu teğet düzlemde e * eksenine dik, yönü astronomik doğuya yönelik doğrultu da m* eksenini gösterir...4. Yerel Astronomik Kutupsal Koordinat Sistemi (α*, β*, l*) e * n * P P β * α * l * P m * Şekil.3 Yerel astronomik dik ve kutupsal koordinat sistemleri Bir önceki koordinat sisteminde hedef noktasını başlangıç noktasına bağlayan doğrultuya göre tanımlanan elemanlardan yararlanılır. Astronomik azimut α*; yatay düzlem üzerinde astronomik kuzey doğrultusu ile hedef doğrultusunun yataydaki izdüşümü arasındaki açı, zenit uzaklığı β*; başucu doğrultusu ile başlangıç noktasını hedefe bağlayan doğrultu arasındaki açı ve son olarak da başlangıç noktası ile hedef arasındaki l * uzunluğu, noktayı tanımlayan parametrelerdir. olmasıdır. Koordinat sistemini doğal dik koordinat sisteminden ayıran özellik, sol sistem
8.. Referans Koordinat Sistemleri Matematiksel olarak ifade edilemeyen yeryüzünün ve bu yüzeyde gerçekleşen çeşitli doğa olaylarının etkisindeki gözlemlerin bundan önceki başlıklar altında tanıtılmış olan koordinat sistemlerinde değerlendirilmesi zordur. Bu sistemlerin kullanılması, bozucu etkilerin yeterli doğrulukla modellendirilebilmesi durumunda olanaklıdır Ancak karmaşık yeryüzü modellendirilse bile bu, ona geometrik açıdan çok benzeyen dönel elipsoitten daha sade bir yüzey olmayacak ve matematiksel ifadeler daha karmaşık hale gelecektir. Yaşanan bu güçlük, ancak yeryuvarına çok benzeyen, matematiksel olarak kolay ifade edilebilen bir yüzeyle çözülebilir. Jeodezinin tarihsel gelişimi içerisinde bu konu hep güncel kalmıştır. Yeryuvarı yerine kutuplarda basık bir meridyen elipsinin kendi etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel elipsoidin kullanılması gerektiği anlaşılmıştır. Yapılan hesapların bu yüzeye dayandırılması nedeniyle yapay koordinat sistemlerinin de elipsoide göre tanımlanması gerekir.... Global Jeodezik Dik Koordinat Sistemi (U, V, W) Boyutları belirlenmiş olan bir dönel elipsoidin merkezi, koordinat sisteminin başlangıcıdır. Doğal dik koordinat sistemine karşılık gelmesi açısından, dönel elipsoidin merkezi ve küçük ekseni, bu sistemi büyük oranda tanımlar. Dönel elipsoidin dönme ekseni veya küçük eksenin merkezden kuzey kutup noktasına doğru olan kısmı, sistemin pozitif W eksenini oluşturur. Elipsoit yüzeyinde Greenwich e karşılık gelen meridyen düzlemi ile elipsoidin ekvator düzleminin arakesiti U eksenini ve ekvator düzlemi üzerinde sağ el koordinat sistemine uygun olarak U ekseninden doğuya doğru 9 o açılan doğrultu V eksenini oluşturur. Sistemin koordinat parametreleri u, v, w olup Şekil.4 te gösterilmiştir.
9 Greenwich meridyenine paralel W P nin jeodezik meridyen düzlemi h P Elipsoit normali w U λ v ϕ u V Şekil.4 Elipsoidal dik ve eğri koordinat sistemleri... Global Jeodezik Eğri Koordinat Sistemi (ϕ, λ, h) Dönel elipsoit üzerindeki noktaların konumları meridyen elipsleri ve paralel daireler ile tanımlanır. P noktası bu noktadan geçen elipsoit normali ile P den W eksenine çizilen paralelin belirlediği jeodezik meridyen düzlemi içinde bulunur (Şekil.4). P noktasından geçen elipsoit normalinin P nin jeodezik meridyen düzlemi içinde ekvator düzlemi ile yaptığı ϕ açısına jeodezik enlem, P den geçen meridyen düzleminin Greenwich e karşılık gelen meridyen düzlemi ile U ekseninden itibaren doğuya doğru yaptığı ekvatoral açı, jeodezik boylam λ ve üçüncü koordinat olarak da P noktası ile normalin yüzeyi deldiği nokta arasındaki h uzunluğuna elipsoidal yükseklik adı verilir...3. Yerel Jeodezik Dik Koordinat Sistemi (e, m, n) Astronomik yerel dik koordinat sistemine karşılık olarak oluşturulmuş bir sol sistemdir. Başlangıcı yeryüzünde bir noktadır. P noktasından geçen elipsoit normalinin elipsoidin dışına doğru uzanan jeodezik başucu doğrultusu n ekseni, P nin jeodezik meridyen düzlemi ile P de elipsoit normaline dik düzlemin arakesiti e ekseni (yönü jeodezik kuzey doğrultusunda), n ve e eksenlarine dik jeodezik doğuyu gösteren
doğrultu m eksenidir. Astronomik yerel dik koordinat sisteminde olduğu gibi yüzey üzerindeki her nokta bu sistemin başlangıcı olabilir (Şekil.5)...4. Yerel Jeodezik Kutupsal Koordinat Sistemi (α, β, l) Jeodezik kuzey W e P Jeodezik baþucu Jeodezik doðu n m n e P λ ϕ V P β α l P m U Şekil.5 Elipsoidal yerel dik ve kutupsal koordinatlar Jeodezik kutupsal koordinatlar yerel dik koordinat sisteminde hedef noktasını merkeze bağlayan doğrultu yardımıyla tanımlanır. Bu koordinatlar elipsoit üzerinde hesap yaparken karşımıza sıkça çıkar. Başlangıç noktasından geçen meridyen veya kuzey ekseni ile hedef doğrultusunun yatay düzlemdeki izdüşümü arasındaki α açısı jeodezik azimut, elipsoit normali ile hedef doğrultusu arasındaki β açısı, jeodezik zenit uzaklığı ve başlangıcı hedefe bağlayan doğrunun l uzunluğu noktayı tanımlayan kutupsal parametrelerdir..3. Referans Koordinat Sistemleri Arasındaki İlişkiler.3.. Dik Koordinat Sistemi İle Eğri Koordinat Sistemi Arasındaki İlişkiler Bir noktanın, X, Y, Z dik koordinatlarıyla ϕ, λ, h eğri ya da başka bir deyişle coğrafi koordinatları ve elipsoidal yükseklik arasındaki ilişkinin önemi büyük
olduğundan aralarındaki dönüşüm bağıntılarının ortaya konması gerekir. Şekil.6 ya göre coğrafi koordinatlardan dik koordinatlara, Z P h b N Z Y a λ ϕ X X Y P Şekil.6 Elipsoidal dik ve eğri koordinatlar X= ( N+ h) cosϕ cosλ (.a) Y= ( N+ h) cosϕ sinλ (.b) b Z = N + h sinϕ (.c) a bağıntıları ile geçilebilir. Burada, a: Meridyen elipsinin büyük yarıekseni b: Meridyen elipsinin küçük yarıekseni ve N = a (.) a cos ϕ + b sin ϕ
elipsoit normalinin elipsoit yüzeyini deldiği nokta ile normalin Z eksenini kestiği nokta arasındaki uzunluk, meridyen eğrilik yarıçapıdır. Problemin tersi ele alındığında yani elipsoidal dik koordinatlardan coğrafi koordinatlara geçilmek istenirse, çözüm, kapalı formüller ve iterasyon olmak üzere iki yolla gerçekleştirilebilir. Kapalı formüller yardımıyla problem tek işlem adımıyla çözülmesine karşın, iterasyonla çözüme gitmek jeodezide sık başvurulan bir yöntemdir. Burada da gösterildiği gibi iterasyon yöntemi bir yazılım için oldukça uygundur. Ancak iterasyon sadece ϕ elipsoidal enlem değerinin hesaplanmasında kullanılır ve kesin enlem bulunduktan sonra h elipsoidal yüksekliği en son değer olarak hesaplanır. Kapalı bağıntılar, ϕ = arctan, Z+ e bsin 3 θ X + Y e acos 3 θ (.3a) λ=arctan Y X (.3b) h = X + Y cosϕ N (.3c) ile verilir. Eşitliklerde geçen büyüklükler, e a = b a (.4a) e, a = b b (.4b) sırasıyla kullanılan elipsoide bağlı. ve. eksentrisite değerleridir. Ayrıca, θ= arctan X Z a + Y b (.5)
3 dir (Hofmann et al, 99). ϕ, λ, h koordinatlarının iterasyon yöntemiyle hesabı için (.) bağıntıları kullanılır. (.) eşitlikleriyle ϕ ϕ ) cos ( sin h N h N a b Y X Z + + = + oluşturulursa + + + = h N a b Y X h N Z ) ( tanϕ (.6) elde edilir. Meridyen eğrilik yarıçapının enleme bağlı olması nedeniyle bu eşitlikten enlemin hesaplanması olanaklı değildir. Bunun için, b a a b a e = = (.7) eşitliğinden yararlanılır ve bu eşitlik (.6) da yerine konulursa, tan + + = + + = h N N e Y X Z h N N e Y X Z ϕ (.8) çıkar. Meridyen eğrilik yarıçapının elipsoidal yüksekliğe göre çok büyük olması nedeniyle N/(N+h) değeri e oldukça yakındır. (.8) de N/(N+h) alınırsa, tan ( ) ( ) ϕ = + Z X Y e (.9)
4 ilk yaklaşık ϕ değeri hesaplanır. Bundan sonra (.) ve (.3c) ile N ve h değerleri hesaplanır ve (.8) e göre yeni bir ϕ değeri elde edilir. Bu ϕ değeriyle bir önceki arasındaki fark öngörülen sınır değerinden küçük kalıncaya dek iterasyona devam edilir. İterasyonda yakınsama N/(N+h) büyüklüğünün e yakınlığına bağlıdır. Elipsoidal yükseklik h büyüdükçe iterasyon sayısı da artacaktır..3.. Yerel Koordinat Sistemleri İle Dik Koordinat Sistemleri Arasındaki İlişkiler Yerel jeodezik dik koordinatlar ile kutupsal koordinatlar arasındaki ilişki e cosα sin β = m l sinα sin β n cos β (.) Şekil.7 den kolayca yazılabilir. Kutupsal koordinatlardan yerel dik koordinatlara geçildikten sonra P noktasının global jeodezik dik koordinatlarının bulunması istenebilir. Başlangıç noktaları ve eksen doğrultuları birbirinden farklı olan bu iki koordinat sisteminin önemli bir özelliği birinin sağ (global jeodezik dik koordinat sistemi) diğerinin sol sistem (yerel jeodezik dik koordinat sistemi) olmasıdır. Dönüşümün yapılabilmesi için öncelikle her iki sistemin eksenleri aynı yöne ve doğrultuları paralel duruma getirilmelidir. Yerel dik koordinat sisteminin global jeodezik dik koordinat sisteminin merkezine ötelenmesiyle de dönüşüm tamamlanır.
5 W e h P n P α β l P m U λ V ϕ W U V dönme matrisi Şekil.7 Elipsoidal dik ve yerel koordinat sistemleri Yerel dik koordinat sistemi n ekseni etrafında (8-λ) kadar döndürülürse, cosλ sin λ R 3(8 λ) = sin λ cosλ (.) olur ve e ekseni U ekseninin yönüne gelir. İkinci adımda m ekseni etrafında (9-ϕ) kadar döndürme ya da sinϕ cosϕ R = (9 ϕ) (.) cosϕ sinϕ dönme matrisi ile sistemlerin eksenleri birbirlerine paralel duruma getirilir. Ancak m ekseninin yönü V ekseni ile zıt durumda kalmıştır. m ekseninin yönü yansıma matrisi,
6 S = (.3) ile V ekseninin yönüne çevrilir. Uygulanan tüm işlemler bir arada toplanırsa, yerel jeodezik dik koordinat sistemindeki bağıl koordinat vektörünü global dik koordinat sistemine dönüştüren cosλ sinϕ sin λ cosλ cosϕ A = S = R ( 9 ϕ) R 3 (8 λ) sin λ sinϕ cosλ sin λ cosϕ (.4) cosϕ sinϕ matrisi elde edilir. Global jeodezik dik koordinat sistemindeki bağıl koordinat vektörüne ΔU denirse, e ΔU = A m (.5) n olur. Yerel dik koordinat sisteminden global jeodezik dik koordinat sistemine, U = U U U + ΔU = V V W W e + A m n (.6) eşitliğiyle geçilir. Burada, U :Dönüştürülen noktanın global jeodezik dik koordinat sistemindeki koordinat vektörü, U : Yerel dik koordinat sisteminin başlangıç noktasının global jeodezik dik koordinat sistemindeki koordinat vektörüdür.
7.4. Uydu Jeodezisinde Kullanılan Referans Koordinat Sistemleri Uzaya ilk uydunun fırlatılmasından bu yana geçen 4 yıllık süre içerisinde bugün için gelinen nokta, uyduların artık günümüzde hayatımızın ayrılmaz bir parçası olduğudur. Diğer tüm disiplinlerde olduğu gibi jeodezi bilimi de uydulardan yararlanmış ve sağladığı olanaklar bakımından klasik jeodezi anlayışını etkileyen bir değişim yaşanmıştır. Jeodezi açısından uydulardan beklenenler: - Jeodin belirlenmesi, - Tüm dünya için kullanılabilecek ortak bir referans yüzeyinin belirlenmesi, - Kara hareketlerinin izlenmesi, - Dünyayı kaplayan bir nirengi ağının oluşturulması, konumlandırılması ve yönlendirilmesi, - Kutup hareketleri gibi yeryuvarının kendine özgü hareketlerinin araştırılması gibi başlıcalarını sayabiliriz. Tüm bu araştırmalar noktaların mutlak ve bağıl koordinatlarının belirlendiği, çok büyük uzaklıkların ölçülebildiği uydu teknikleriyle gerçekleştirilir. Yapılan çalışmaların türüne göre ayrılan farklı uydu tekniklerinden bazıları SLR (Satellite Laser Ranging), VLBI (Very Long Baseline Interferometry), LLR (Lunar Laser Ranging) ve NAVSTAR GPS (Global Positioning System) dir. Önemli konulardan biri, uyduları da kapsayan göksel koordinat sistemi ile toplanan verilerin değerlendirildiği yersel koordinat sistemlerinin oluşturulması ve bunlar arasındaki ilişkinin kurulmasıdır. Bu amaçlar için kullanılacak sistemlerin birincisine Konvansiyonel Göksel Sistem (CIS), ikincisine Konvansiyonel Yersel Sistem (CTS) adı verilir.
8 Uydu teknikleriyle artan ölçme doğruluğu, buna uygun olarak referans sistemlerinin yüksek doğrulukla belirlenmesini gerektirmiştir. Yeryuvarı, ağırlık merkezi ve uydular gök cisimlerinin etkisi altındadır. Yersel ve uydu ölçmeleri ayrı referans koordinat sistemlerinde tanımlıdırlar. Bu sistemler arasındaki ilişki yeterli bir doğruluk ile bilinmelidir. Zamana bağlı olarak konumun ve yönün değişmesi nedeniyle gözlem zamanının kaydedilmesi ve modellenmesi ayrıca önemli bir rol oynar. Özel koordinat sistemlerine dayanan uydu jeodezisindeki farklı gözlem tekniklerinin kaydedilmiş olan sonuçları farklı özelliktedir. Çoğu kez bu sistemler arasındaki ilişki, gözlem tekniklerinin doğruluğundan daha düşük bir doğruluk ile belirlenmiştir. Bu sistemler arasındaki dönüşümlerin yüksek doğrulukla gerçekleştirilmesi uydu jeodezisinin en önemli görevlerinden birisidir (Seeber, 993)..4.. Konvansiyonel Göksel Koordinat Sistemi (CIS) Uyduların ve diğer gök cisimlerinin uzaydaki hareketleri, ivmesiz, sürtünmesiz ve düz hareketin sürekli korunduğu bir ortamda gerçekleşir. Newton ve Kepler gibi fizik ve astronomi bilginlerinin teorileri bu ortamda geçerlidir. Dolayısıyla bu teorilerle oluşturulacak sisteme inersiyal (hareketsiz) göksel koordinat sistemi demek mümkündür. Ancak yeryuvarının merkezine dayalı bir koordinat sistemine yarı hareketsiz de denilmektedir. Bunun nedeni yeryuvarının güneş etrafında farklı ivmelerde devinmesi, diğer gök cisimlerinin çekim vb. etkilerinin yeryuvarının merkezine yansımasıdır. Konvansiyonel göksel koordinat sistemi T anı olarak kabul edilen, Barisentrik Dinamik zamana ait Haziran yılı saat ye göre tanımlanmıştır. Bu epoktaki yermerkezi, koordinat sisteminin başlangıcıdır ve ortalama kutup noktası koordinat sisteminin Z ekseninin yönünü belirler. Ortalama kutup noktasının bağlı olduğu ortalama ekvator bu andaki ekinoks denklemi ile belirlenir. Sistemin X ekseni ortalama ekvator ve ekliptiğin kesişim noktası olan ilkbahar noktasından geçer. Üçüncü eksen de sağ el koordinat sistemini tamamlayacak şekilde yerini alır.