www.mustaaaci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustaa YĞCI, acimustaa@ahoo.com Parabol K onua çemberin tanımıla ireim de siz de Ne alaka! dein Nedir çemberin tanımı? Yuvarlak eometrik şekil değil elbet. Düna uvarlak örneğin, ama düna çember değildir. Futbol topu da uvarlak ama utbol topu da çember değil. Çember matematikte şöle tanımlanır: Sabit bir noktaa eşit uzaklıkta ve onla anı düzlemde olan noktalar kümesi. Şimdi, bir düzlem ve o düzlem üzerinde bir noktala bir doğru düşünün. ma nokta doğrunun üstünde olmasın. Düzlemi bu saanın üzei ibi düşünürsek, aşağıda temsili bir resim bulacaksınız. Noktaı noktası, doğruu da d doğrusu olarak aldık. Şimdi öle,, C, D, noktaları bulacağız ki; bu noktaların noktasına ve d doğrusuna uzaklıkları eşit olacak. öle dört noktaı ben bulup, aşağıdaki şekildeki ibi işaretledim. C D ' ' C' D' İşte bu noktaların dördü değil, tamamı, adına parabol dediğimiz bir raik çizerler. undan sonra bu noktasına parabolün odak noktası, d doğrusuna da parabolün doğrultmanı dieceğiz. ma maalese konumuz konikler dersi olmadığından aşağıdaki ibi bir tanımla etineceğiz. İkinci dereceden onksionların raiklerine parabol denir. 1 1 u tanıma sormuşlar Neren anlış? die, Nerem doğru ki? demiş d d Parabol nee benzer acaba? Madem ikinci dereceden onksionların raiğine denior, o halde en sade ikinci dereceden denklem olan = nin raiğini bir çizelim. Graiği çizebilmek için üzerinde birkaç nokta bilmemiz erekior. nalitik eometri ve onksion derslerinden de bilioruz ki, bir eğri bir noktadan eçiorsa, o nokta eğrinin denklemini sağlıordur. Tersi de mümkündü, bir nokta bir eğri denklemini sağlıorsa, o nokta o eğrinin raiği üzerindedir. u sebeple, = eşitliğini sağlaan birkaç tane (, ) noktası azıp bunları koordinat düzleminde işaretleerek raiği oluşturmaa çalışacağız. Sağda ördüğünüz üzere, (, ), (1, 1), ( 1, 1), (, ), (, ), (3, 9) ve ( 3, 9) noktaları işaretlendiğinde, az çok nee benzediği anlaşılıor. en daha kola haal edebilin die koordinatlarını şekilde azmadığım birkaç noktaı daha işaretledim. 9-3 --1 1 3 Şimdi bu şekli mümkün olduğunca arıntısıla irdeleeceğiz. azı sorulara cevaplar araacağız. Örneğin: Parabol acaba her zaman böle çukur şeklinde midir? Ters dönmüş hali, ani tümsek halini alabilir mi? Sola vea sağa atık olabilir mi? Dikkat ederseniz ekseni parabolün simetri ekseni konumunda, parabolün kolları her zaman böle simetrik midir? eksenine her zaman teğet midir, kesebilir mi? Keserse, ne zaman keser, kesmezse ne zaman kesmez? eksenini kestiği er özel mi? Daha birçok sorua cevap araacağız, ne mutlu ki hiçbiri cevapsız kalmaacak aşlıoruz: Parabolün Eksenini Kestiği Noktalar. Eğer varsa o noktaa dielim. noktası ekseni üzerinde olduğundan koordinatları ( 1, ) şeklinde olur. Nokta parabolün üstünde olduğundan denklemini sağlıor olmalı, ani erine 1 azdığımızda = olmalı. halde bu 1, düpedüz denklemin kökü! nlaşılan o ki; bir parabol eksenini köklerinde kesior. Eğer iki arklı reel kökü varsa iki arklı erde, tek reel kökü varsa tek erde kesior. Hiç reel kökü oksa da hiçbir erde kesmior. Peki, bir denklemin reel kökünün olup olmadığını nerden anlıorduk? Diskriminantından 1 99
Mustaa YĞCI www.mustaaaci.com.tr Parabol < = h > = a + b + c parabolü; < ise eksenini kesmez (üst şekildeki parabolü böledir), = ise eksenini tek noktada keser, ani eksenine teğettir (üst şekildeki parabolü böledir), > ise eksenini iki arklı noktada keser (üst şekildeki h parabolü böledir). Örnek. = + a + parabolü eksenine teğet olduğuna öre a ) ) C) ± D) E) ± Çözüm: ir parabol eksenine teğetse, tek reel kökü var demek olur, o halde denklem bir tamkaredir, ani diskriminantı dır. = a = die a = 16. Dolaısıla a = ± olarak bulunur. Doğru cevap: C. Örnek. = m + m m parabolü eksenini iki arklı noktada kesiorsa m için aşağıdakilerden hanisi sölenebilir? 1 1 ) m >, m ) m > C) m > 1 3 3 D) m >, m E) m >, m Çözüm: Diskriminantı pozitimiş ki iki arklı noktada kesior die düşüneceğiz. = m m ( m) = m + m 3 = m (1 + m) > 1 olmalıdır. halde m >. rıca m olmalı. Doğru cevap:. Örnek. () = + m 1 parabolünün raiği anda verilmiştir. = 3 olduğuna öre m ) 5 ) 7 C) 9 D) 11 E) 13 Çözüm: = 3 bilisinden kökün birinin diğerinden 3 azla olduğunu ani kökler arkının 3 olduğunu anlıoruz. Kökler toplamı ormülünden de kökler toplamı bulunduğundan 1 = 1/ ve = 7/ bulunur. Şimdi de kökler çarpımı ormülünden ardım isteeceğiz. 1 = 7/ = m 1 olduğundan m = 11/ olur. Doğru cevap: D. Örnek. = + (1 m) + n = 3 (m + 1) + n + parabollerinin eksenini kestiği noktalar anı ise m n çarpımı ) ) C) 8 D) 8 E) 1 Çözüm: ir parabolün eksenini kestiği noktalarının aslında kökleri olduğunu dealarca söledik. halde soruda bu iki parabolün de köklerinin anı olduğu anlatılmak istenior. Kökler toplamında iderek m i, kökler çarpımından iderek de n i bulacağız. (1 m) = m + 1 die m =, 3 n = n + die n = 1. 3 halde m n = 1 =. Doğru cevap:. Örnek. Yandaki şekilde () = + m 6 () = + 3 + n onksionlarının raikleri verilmiştir. una öre m + n toplamı ) 11 ) 9 C) 1 D) 1 E) 11 Çözüm: (5, ) noktası onksionunun kökü die buradan n i bulabiliriz. (5) = 5 + 3 5 + n = olduğundan n = 1 dur. u onksionun diğer kökü anı zamanda nin de köküdür. () = + 3 + 1 = ( + 5) ( + ) olduğundan diğer kökün olduğunu anlarız. Yani ( ) = ( ) =. halde ( ) = ( ) + m( ) 6 = die m = ani m = 1 dir. uradan m + n = 1 + 1 = 9 bulunur. Doğru cevap:. Örnek. () = + b + c () = + m + n parabolleri ekseni üstünde kesişiorlar. una öre b m arkı ) 6 ) 5 C) D) 3 E) Çözüm: İki parabolün ortak köküne p dielim. onksionunun kökler toplamı p, onksionunun ise p + 1 olur. nı toplamlar denklemlerinden de bulunursa p = b p + 1 = m eşitliklerine ulaşılır. İlk eşitliği 1 ile çarpıp, tara taraa toplarsak b m = 5 olarak buluruz. Doğru cevap:. - 1 5 1
Mustaa YĞCI www.mustaaaci.com.tr Parabol Örnek. Denklemi () = + m + olan parabolün raiği anda verilmiştir. = 6 birim olduğuna öre m ) 3 ) C) 5 D) 6 E) 7 Çözüm: Poziti köke 1, neati köke dielim. = 6 olması, kökler arkının 6 olması anlamına elir. Diğer andan parabolün denklemine bakınca da kökler toplamının olduğunu örüoruz. halde 1 = 6 ve 1 + = eşitliklerinden 1 = 5 ve = 1 olarak bulunur. 1 = m + = 5 olduğundan m = 7 dir Örnek. = 15 + 5m + 1 parabolü eksenini poziti tarata da, neati tarata de kessin. = olduğuna öre parabolün eksenini kestiği noktanın ordinatı ) 1 ) 7 C) 6 D) 6 E) 5 Çözüm: Neati köke 1, poziti köke dielim. = eşitliği bize = 1 olduğunu anlatır. Diğer andan, denklemden 1 + = 15 olduğunu anlıoruz. Her iki eşitlik birlikte çözülürse = ve 1 = 5 bulunur. Parabolün eksenini kestiği nokta, parabolün açık denkleminin sabit terimi olduğundan 5m + 1 cevaptır. 5m + 1 anı zamanda kökler çarpımı olduğundan 1 = 1 olarak bulunur. Doğru cevap:. Örnek. k bir reel saı olmak üzere () = 3 + k parabolünün raiği anda verilmiştir. Kökleri ve iken = 1 br olduğuna öre k ) 6 ) 5 C) D) 3 E) Çözüm: ( 1, ) ve (, ) olsun. 1 < olduğundan 1 = 1 ve > olduğundan = olur. 1. = 1 = 1 olarak verilmiş. Kökler çarpımı ormülünden 1 = k/ = 1 bulunur ki k = dir. Parabolün Eksenini Kestiği Noktalar. Eğer varsa o noktaa C dielim. C noktası, ekseni üzerinde olduğundan koordinatları (, 1 ) şeklindedir. Yine denklemi sağlaması erektiğinden denklemde ördüğümüz erlere azdığımızda = 1 olmalıdır. uradan anlaşılan; = a + b + c = 1 parabol eksenini, denkleminin sabit terimi olan c noktasında kesior. Örnek. + = doğrusu, = + b + c parabolünü eksenler üzerindeki ve noktalarında kesmektedir. una öre b ) 3 ) 8/3 C) 7/ D) E) 15/ Çözüm: Doğru denkleminden (, ) ve (, 1) olduğunu bulalım. u noktalar anı zamanda parabolün üstünde de olduklarından, parabol denklemini de sağlamalıdırlar. nin koordinatları erlerine azılırsa c = 1 bulunur. (, ) için = ( ) + b ( ) + 1 olduğundan = 16 b + 1 olur ki buradan b + 1 = 16 ani b = 15/ bulunur. T Parabolün Kollarının Yönü. Parabolün kollarının çok çok büük saılarda hani öne doğru ittiğini merak edioruz. nalitik düzleme öre düşünürsek, ukarı mı, aşağı mı, sola mı, sağa mı? halde değerine çok çok büük saılar verdiğimizde, nin alacağı değerleri bulmalıız. Peki, nin alacağı değerleri, daha çok li terim mi etkiler, li terim mi, sabit terim mi? Sabit terim, adı üstünde hep sabit, e etkisi de hep sabittir. saısının da, saısından kat be kat hızlı arttığını hepimiz biliriz. halde bizim için li terim önemli olmalı. ma li terimin olmadığı parabol ok ki, ani anlatmak istediğimiz nin katsaısı önemli olmalı. Eğer nin katsaısı olan a > ise, çok çok büük ler için a de çok çok büük olur, b + c iadesindeki b ve c neati olsa dahi a i neati apmaa üçleri etmez, durmadan büür, o halde kollar ukarı doğru olur. ma a < ise a terimi daima neati olur, çok çok büük ler için b + c saısı a saısını neati olmaktan kurtaramaz, o halde a < durumunda parabolün kolları aşağı doğru olur. Parabolün kolları sağa vea sola doğru olabilir mi? Evet olabilir, () = = a + b + c şeklindeki ikinci dereceden onksionların raikleri o şekildedir ama mutlu haber, onlar bizim konumuz değil! Örnek. = a + 6 + 9a parabolü eksenine teğet olup, parabolün kollar aşağı doğrudur. una öre a ) 6 ) 5 C) D) 3 E) 1 Çözüm: = 6 a 9a = eşitliğinden a = 1 bulunur. Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan başkatsaı olan a neati olmalıdır, o halde a = 1. 11
Mustaa YĞCI www.mustaaaci.com.tr Parabol Tepe Noktası ve Simetri Ekseni. urada işleeceğimiz parabol çeşitleri demin bahsettiğimiz üzere hep çukur vea tümsek şeklinde olanlar olacak. Çukur şeklindeki parabollerin azalmaktan artmaa eçtiği noktaa, tümsek şeklindeki parabollerin de artmaktan azalmaa eçtiği noktaa parabolün tepe noktası denir. Her parabolün bir tepe noktası mutlaka vardır. Çukur parabollerde onksionun minimum değeri, tümsek parabollerde de onksionunun maksimum noktası tepe noktasıdır. Tepe noktasından eçip, eksenine paralel olan doğrua parabolün simetri ekseni denir. Simetri ekseninin varlığını, mutlak değeri anı olan neati ve poziti saıların karelerinin eşit olmasına borçluuz. = parabolünde 1 = ( 1) = 1, = ( ) =, 3 = ( 3) = 9 olduğunu hatırlaınız. undan dolaı çukur vea tümsek şeklindeki her parabol, eksenine paralel olan bir doğrua öre simetriktir. Örnek. = + parabolünün simetri ekseni aşağıdakilerden hanisidir? ) = 1 ) = C) = 3 D) = E) = 5 Çözüm: rdinatı anı olan iki nokta bulsak etecek. u noktaların ortası bize simetri ekseni hakkında ikir verir. = () = + = ( ) + eşitliğinden () = () = olduğunu anlarız. (, ) ve (, ) noktalarının orta noktası simetri ekseni üzerinde er alacağından simetri ekseni = 1 doğrusudur. Doğru cevap:. Örnek. Yanda raiği verilen parabolü eksenini ve 8 apsisli noktalarda, eksenini de 3 ordinatlı noktada kestiğine öre (6) - -3 ) 6 ) 5 C) D) 3 E) Çözüm: Dedik a parabol simetrik bir şekildir, işte ondan dolaı, soldaki kökten sağa birim ittiğimizde 6-8 değeri 3 azalıorsa, sağdaki kökten sola doğru birim ilerlediğimizde de değeri 3 azalır. Diğer bir deişle, -3 (6,-3) şekildeki taralı böleler eştir. halde (6) = 3 olmalıdır. Doğru cevap: D. 8 Örnek. = + m parabolünün eksenini kestiği noktalardan birile = + n parabolünün tepe noktası anı noktadır. una öre m + n toplamı ) ) 3 C) D) 5 E) 6 Çözüm: Demek oluor ki, = + n parabolünün tepe noktası ekseni üzerindemiş. u üzden denklemi tamkare olmalı ve bu sebepten dolaı n = olmalıdır. n = ise = = + = ( ) olur ki tek kök olan = değerinin = + m denklemini sağlaması erekir. uradan da m = ve m + n = + = olur. Doğru cevap:. Örnek. = parabolünün raiği anda verilmiştir. Parabol ile ekseni arasında kalan bölee şekildeki ibi çizilen CD karesinin bir kenarı kaç birimdir? ) 8 1 ) 8 C) 8 3 D) 18 E) 1 Çözüm: = = ( ) olduğundan parabolün kökleri ve dir. DC = t denirse, D = t olur ki anı zamanda D = t olduğundan noktasının koordinatlarının, t olduğu örülür. u nokta parabol t üstünde die parabol denklemini sağlaması erekir. t t t = t+ t t = + t ( t) = t + t 8 8t = t + t t + t = bulunur. u denklemin poziti kökü cevap olacağından + 1 ( ) + t = = 1 = + = + 8 Doğru cevap:. Örnek. () = 9 onksionu (, a] aralığında birebirdir. una öre a nın alabileceği en büük değer ) 3 ) C) 1 D) E) 3 Çözüm: Paraboller simetri eksenlerinin herhani bir taraında birebirdir ama iki taraı birden düşününce birebir olmazlar. Simetri ekseni = olduğundan a en çok olabilir. Doğru cevap: D. D C 1
Mustaa YĞCI www.mustaaaci.com.tr Parabol CEVPLI TEST 1 1. = 5 15 + 1 parabolünün eksenini kestiği noktaların apsisleri hani şıkta doğru olarak verilmiştir? 6. = 7 + parabolünün eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaça eşittir? ) 3 ) C) 5 D) 6 E) 7 ) ve 1 ) 5 ve 1 C) 1 ve D) 1 ve E) ve 1. = a + 3 parabolü eksenini 1 apsisli noktada kestiğine öre a kaça eşittir? ) 1 ) C) 3 D) E) 5 7. = 3a + parabolünün eksenini kestiği noktalardan biri + 1 = parabolünün eksenine teğet olduğu nokta olduğuna öre a kaça eşittir? ) 5 ) C) 3 D) 5 3 E) 1 3. = 3m + 1 parabolü eksenine teğet olduğuna öre m nin alabileceği değerler toplamı ) ) 1 C) D) 1 E) 8. = 3 m + 1 parabolünün raiği eksenini şekildeki ibi (1, ) noktasında kesmekte olduğuna öre m kaça eşittir? ) 1 ) 15 C) D) 5 E) 3 1. = + m + parabolünün eksenine değmemesi için m hani aralıkta olmalıdır? ) (, ) ) [, ) C) [, ] D) (, ) (, + ) E) (, ] [, + ) 9. = 5 + a parabolünün raiği eksenini şekildeki ibi 1 ve 1 + 3 apsisli noktalarda kesmekte olduğuna öre a kaça eşittir? ) 1 ) C) 3 D) E) 5 +3 1 1 5. = a 3 + a parabolünün eksenini arklı iki noktada kestiği ve kollarının aşağı doğru olduğu bilindiğine öre a nın alabileceği tam saı değeri 1. = 8 parabolünün eksenini kestiği noktaların koordinatları toplamı kaça eşittir? ) ) C) 3 D) E) 5 ) ) 1 C) D) E) 3 13
Mustaa YĞCI www.mustaaaci.com.tr Parabol CEVPLI TEST 1. () = (m + ) + m onksionunun raiği eksenine teğet olduğuna öre m ) 3 ) C) 1 D) E) 3 6. () = m + n () = 7 p onksionlarının raikleri verilmiştir. una öre m + n + p toplamı ) 6 ) 8 C) 1 D) 1 E) 1-1. = - (m + 1) + m parabolünün eksenini iki poziti değerde kesebilmesi için m nin bulunabileceği en eniş aralık aşağıdakilerden hanisidir? ) ( 1, ) ) ( 7, ) C) (, ) D) (-7, 1) E) (-, -7) 7. Tepe noktasının ordinatı olan parabolün eksenini kestiği noktalar 1 ve, eksenini kesiği nokta da (, 3) olsun. Parabolün simetri ekseni = doğrusu olduğuna öre 1 çarpımı ) 1 ) 5 C) D) E) 1 3 =() 3. () = (m 1) + m + parabolünün eksenini iki neati değerde kesebilmesi için m nin bulunabileceği en eniş aralık aşağıdakilerden hanisidir? 8. Şekilde verilen parabolün denklemi = + b+ c olup d doğrusunun denklemi de = + 6 olduğuna öre b + c toplamı =() d ) < m < 1 ) m < 1 C) m > D) < m < 1 E) 1 < m <. () = (a + 1) + parabolü eksenini kesmediğine öre a nın alabileceği en küçük tam saı değeri ) ) 1 C) D) 3 E) ) ) 5 C) 6 D) 9 E) 1 9. Şekildeki raik = a + b + c onksionuna aittir. una öre aşağıdakilerden hanisi anlıştır? ) b ac > b ) < a C) a c < D) c > E) b c < =() T 5. k bir reel saı olmak üzere anda raiği verilen =() = 9 + k + 1 P parabolünün eksenini kestiği nokta P, eksenini kestiği noktalar ve dir. = olduğuna öre P üçensel bölesinin alanı kaç birimkaredir? 1. () = a + b + c onksionuna ait örüntü anda verilmiştir. una öre aşağıdakilerden hanisi doğrudur? c ) a < ) b b ac < C) < a D) a < E) c < =() ) 9 ) 18 C) 7 D) 36 E) 5 1
Mustaa YĞCI www.mustaaaci.com.tr Parabol CEVPLI TEST 3 1. = m + m 3 parabolü ile = doğrusu ekseni üzerinde kesişmektedirler. una öre parabolün eksenini kestiği diğer noktanın apsisi 6. = 6 + parabolünün simetri ekseni aşağıdakilerden hanisidir? ) = 3 ) = 6 C) = 3 D) = 6 E) = ) 1 ) 1 C) 1 D) 1 E) 7. = () parabolü için (1) = (7) olduğu bilinmektedir. u parabolün simetri ekseni aşağıdakilerden hanisidir?. () = 8 + m parabolünün raiği anda österildiği üzere eksenini ve noktalarında kesmektedir. = 6 br olduğuna öre m ) 5 ) 6 C) 7 D) 8 E) 9 ) = 1 ) = 3 C) = D) = 7 E) = 8 8. = 1 ( 6) parabolünün raiği anda verilmiştir. Parabol ile ekseni arasında kalan bölee şekildeki ibi çizilen CD karesinin bir kenarı kaç birimdir? D C 3. = 9 + a + 1 parabolü eksenine teğet olduğuna öre a ) 1 ) 1 C) D) 5 E) 3 ) 6 ) 6 C) ± 6 D) 3 E) ± 3. = + (1 m) + n = (m + 1) + n + 6 parabollerinin eksenini kestiği noktalar anı olduğuna öre m n çarpımı ) 6 ) C) 6 D) 8 E) 1 5. = a + 8 + 16a parabolü eksenine teğet olup kolları aşağı doğrudur. una öre parabolün eksenini kestiği noktanın ordinatı 9. a ve p birer reel saı olsun. = 9 + p + a 1 parabolünün simetri eksenile = a + p doğrusunun belirttiği dar açının ölçüsü 5 o olduğuna öre a ) 1 ) 1 C) ± 1 D) 9 E) ± 9 1. Yanda raiği verilen parabolü eksenini 1 ve 3 apsisli noktalarda, eksenini de ordinatlı noktada kestiğine öre, aşağıdaki iadelerden hanisi parabolün denklemi bulunmadan hesaplanabilir? ) ( 1) ) () C) () D) (5) E) (6) 1 3 =() ) 16 ) 8 C) D) 3 E) 16 15