Doğrusal Fonksiyonlar, Karesel Fonksiyonlar, Polinomlar ve Rasyonel Fonksiyonlar, Fonksiyon Çizimleri

Transkript

1 Doğrusal Fonksionlar, Karesel Fonksionlar, Polinomlar ve Rasonel Fonksionlar, Fonksion Çizimleri

2 Bir Fonksionun Koordinat Kesişimleri(Intercepts). Bir fonksionun grafiğinin koordinat eksenlerini kestiği noktalara o fonksionun koordinat kesişimleri (intercepts) denir. Grafiğin -eksenini kestiği noktalara fonksionun -kesişimleri (-intercepts), varsa -eksenini kestiği noktaa da -kesişimi (-intercept) denir. -kesişimleri : f() = 0 olan (, 0) noktaları. -kesişimi : Varsa, ( 0, f(0)) noktası. -kesişimi = f() -kesişimleri

3 Doğrusal Fonksionlar(Linear Functions). m ve b reel saılar, m0 olmak üzere f() = m + b denklemi ile tanımlanan fonksiona bir doğrusal fonksion (linear function) denir. Her doğrusal fonksionun tanım kümesi ve görüntü kümesi R dir. f() = fonksionu bir doğrusal fonksiondur: m=1 ve b=0. Her doğrusal fonksion, f() = fonksionuna bazı elemanter transformasonlar ugulanarak elde edilebilir. Bu nedenle, her doğrusal fonksionun grafiği bir doğrudur. m m b (0,b) = = m = m+ b

4 Dolaısıla, bir doğrusal fonksionun grafiğini çizmek için iki farklı noktasını belirlemek eterlidir. Özel olarak, koordinat kesişimlerinin belirlenmesi, grafik çizimi için ararlı olur. Örnek. f() = + 4 doğrusal fonksionunun grafiği: Koordinat kesişimleri, -kesişimi : f() = 0 = - olduğundan, (-, 0). -kesişimi : (0, f(0)) = (0, 4) f() = + 4 (-, 0) (0, 4)

5 Sabit Fonksion(Constant Function). b her hangi bir reel saı olmak üzere, f() = b denklemi ile verilen, ani, her reel saısına anı b reel saısını karşılık getiren fonksiona, sabit fonksion denir. Sabit fonksionun grafiği bir ata doğrudur: (-1,b) (0,b) (,b) f() = b

6 Düzlemde Doğrular. Yukarıda, her doğrusal fonksionun ve her sabit fonksionun grafiğinin bir doğru olduğunu gördük. Aşağıda göreceğiz ki, her ata doğru (horizontal line) bir sabit fonksionun ve her eğik doğru (inclined line) da bir doğrusal fonksionun grafiğidir. Bu arada, dike doğru (vertical line) ların da denklemini belirleeceğiz. (0,b) (,b) (a,) (a,0) Yata Doğru : = b Dike Doğru : = a Fonksion değil! Dike doğru deimi erine düşe doğru deimi de kullanılır.

7 Eğik Doğru (, ) d (, ) (, ) 1 1 (0,b) Şekilde görülen benzer dik üçgenlerin dik kenarlarının oranları anı olacağından, b Bu oranların ortak değeri olan m saısına d doğrusunun eğimi (slope) denir. Bu eşitliklerden aşağıdaki denklemler elde edilir: Eğim -Kesişim Denklemi b 1 1 m m m b m( 1 ) 1 m (Slope - Intercept Form) Nokta - Eğim Denklemi (Point - Slope Form)

8 Elde ettiğimiz denklemleri tekrar görelim: m b Eğim -Kesişim Denklemi (Slope - Intercept Form) m( 1 ) 1 Nokta - Eğim Denklemi (Point - Slope Form) Bir (,) noktasının d doğrusu üzerinde olması için gerek ve eter koşul, o noktanın bu denklemlerden birini sağlamasıdır. Eğimi ve - kesişimi bilinen bir doğrunun denklemi m b ile verilir. Eğimi ve bir noktası bilinen bir doğrunun denklemi m( 1 ) 1 ile verilir. İki noktası bilinen bir doğrunun denklemi de nokta-eğim denklemi olarak azılabilir. Söz konusu iki nokta ( 1, 1 ), (, ) ise, doğrunun eğiminin m 1 1 olduğunu bilioruz. Noktalardan biri ve eğim kullanılarak denklem elde edilir.

9 Örnekler. Şimdi doğru denklemlerine örnekler verelim. Eğimi m = 3 ve kesişimi b = 4 olan doğrunun denklemi: Eğim Kesişim Denklemi: 3 4 Eğimi m = 3 olan ve (-, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi: 3( ( )) 3 3 Nokta Eğim Denklemi: 9 (-, 3) ve (1,4) noktalarından geçen doğrunun denklemi : Bu doğrunun eğimi 4 3 m 1 ( )) 1 3 olacağından, (-, 3) noktası kullanılarak 1 ( ( )) denklemi elde edilir.

10 Doğrusal Denklemler. olmak üzere, A, B ve C reel saılar, A ve B den en az biri sıfırdan farklı A + B = C denklemine bir doğrusal denklem (linear equation) denir. A ve B e bu denklemin katsaı (coefficient) ları, C e de sağ taraf sabiti (right hand side constant) denir. ve sembollerine bu denklemin değişkenleri (variables) denir. Bundan önceki çalışmalarımız, bir doğrusal denklemin grafiğini belirlememize ardımcı olur: A 0, B 0 A C B B doğrusal fonksion, eğik doğru A 0, B 0 C B sabit fonksion, ata doğru A 0, B 0 C A fonksion değil, düşe doğru

11 Elemanter Fonksionlar (Elementar Functions). Bu derste ve benzeri matematik derslerinde en çok karşılaşacağınız fonksionlar, elemanter fonksionlar olarak bilinen fonksionlardır. Aşağıda, elemanter fonksionları, grafiklerile birlikte listelioruz: Birim Fonksion: Her reel saıa kendisini karşılık getiren fonksion. f() = Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : R = Mutlak Değer Fonksionu: Her reel saıa o saının mutlak değerini karşılık getiren fonksion. f ( ) Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : [0,),, 0 0 =

12 Kare Fonksionu: Her reel saıa o saının karesini karşılık getiren fonksion. f ( ) Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : [0,) = Küp Fonksionu: Her reel saıa o saının küpünü karşılık getiren fonksion. f ( ) Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : R 3 = 3

13 Karekök Fonksionu: Her reel saıa o saının karekökünü karşılık getiren fonksion. f ( ) Tanım Kümesi : [0,) Görüntü Kümesi : [0,) Küpkök Fonksionu: Her reel saıa o saının küp kökünü karşılık getiren fonksion. 3 f ( ) Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : R 3

14 Hiperbolik Fonksion: Her reel saıa o saının çarpımsal tersini karşılık getiren fonksion. f ( ) 1 Tanım Kümesi : R\{0} 1 Görüntü Kümesi : R\{0}

15 Düşe Kama. h() = f() + b = f() + b i sağlar b > 0 ise h()=f() + b (,h()) = f() i sağlar f() (,f()) b < 0 ise h()=f() + b (,h()) = f() + b i sağlar = f() + b nin grafiğinin = f() in grafiğinden elde edilişi: Eğer b > 0 ise, = f() + b nin grafiği = f() in grafiğinin b birim ukarıa kadırılmasıla elde edilir. Eğer b < 0 ise, =f() + b nin grafiği = f() in grafiğinin -b birim aşağıa kadırılmasıla elde edilir.

16 Örnek. = f() = in düşe kamaları.

17 Örnek. = f() = nin düşe kamaları. = + 1 = 1 birim birim ukarıa aşağıa (0,1) = - = (0,-)

18 Örnek. = f() = in düşe kamaları. = +1 = 1 birim ukarıa birim aşağıa (0,1) = - = +1 - (0,-)

19 Yata Kama. g() = f(+a) g()=f(+a) (+a,g()) a > 0 ise = f(+a) ı sağlar = f() i sağlar g() = f(+a) (,g()) (+a,g()) a < 0 ise +a +a = f(+a) nın grafiğinin = f() in grafiğinden elde edilişi: Eğer a > 0 ise, = f(+a) nın grafiği = f() in grafiğinin a birim sola kadırılmasıla elde edilir. Eğer a < 0 ise, = f(+a) nın grafiği = f() in grafiğinin -a birim sağa kadırılmasıla elde edilir.

20 Örnek. = f() = in ata kamaları.

21 Örnek. = f() = nin ata kamaları. = (-3) 1 birim sola birim sağa 3 birim sağa (-1,0) (,0) (3,0) = (+1) = = (-) = (+1) (-) (-3)

22 Örnek. = f() = in ata kamaları. = -3 1 birim sola birim sağa 3 birim sağa = +1 (-1,0) = (,0) (3,0) = - =

23 Yansıma. k() = - f() f() (,f()) = f() i sağlar - f() (,- f()) = -f() i sağlar = - f() in grafiği, = f() in grafiğinin ekseni etrafında ansıtılmasıla elde edilir.

24 Örnek. = f() = ve = in ansıması = = -

25 Örnek. = f() = in ansıması. = = -

26 Germe ve Büzme. k() = c f(), c > 0. c >1 ise c f() (,c f()) f() (,f()) = c f() i sağlar = f() i sağlar 0 < c < 1 ise c f() (,c f()) = cf() i sağlar = c f() in grafiği, = f() in grafiğindeki her noktanın ordinatı c ile çarpılarak elde edilir. Eğer 0 < c < 1 ise, = c f() in grafiği, = f() in grafiğinin düşe doğrultuda büzülmüş bir biçimi olur. Eğer c > 1 ise, = c f() in grafiği, = f() in grafiğinin düşe doğrultuda gerilmiş bir biçimi olur.

27 Örnek. = f() = nin gerilme ve büzülmeleri. = gerilme büzülme (1, ) = = (1/) (1,1) (1,1/) = (1/) =

28 Örnek. = f() = in büzülme ve gerilmeleri. = 3 gerilme büzülme (1, 3) = = (1/3) (1,1) (1,1/3) (1/3) = 3

29 Kama, Yansıma, Gerilme ve Büzülmelerin Art Arda Ugulanması. Pratikte karşılaştığımız fonksionlardan pek çoğu, elemanter fonksionlara daha önce gördüğümüz transformasonların art arda ugulanmasıla elde edilir. Örnek. = nin grafiği, = in grafiğinden elde edilebilir. = = - 1 = 3-1 = -(3-1 ) = -(3-1 ) +

30 (1,) (1,1) (, 3) (, 1) = 3-1 = = -1 (1,0) = = - 3-1

31 Örnek. = in grafiği, = nin grafiğinden elde edilebilir. = +1 1 = (-1) 1 olduğu göz önüne alınarak, = = (-1) = +1 = (-1) 1 = = (-1) = (1,0) (1,-1) =

32 Aşağıdaki denklemlerle tanımlanan g, h ve k fonksionlarını ele alalım: g( ), h( ) 1, k( ) 3 Bu fonksionlar f ( ) fonksionu cinsinden ifade edilebilir: g() = f(-), h() = f() 1, k() = 3 f(). Aşağıda göreceğimiz üzere, g, h ve k fonksionlarının grafikleri de f fonksionunun grafiği cinsinden elde edilebilir. g, h ve k fonksionlarının f fonksionu cinsinden tanımı en genel biçimile şöle verilebilir: a, b ve c reel saılar olmak üzere g() = f(+a), h() = f() + b, k() = c f(). Yata kama Düşe kama c = -1 : Yansıma c >1 : Germe 0 < c <1 : Büzme

33 Karesel Fonksionlar. a, b ve c reel saılar, a 0 olmak üzere, f() = a + b + c denklemi ile verilen fonksiona bir karesel fonksion (quadratic function) denir. Bazı kitaplarda karesel sözcüğü erine kuadratik sözcüğü de kullanılır. Karee tamamlama denilen işlemle a c a b a c b a f ) ( a b c a b a a b a c a b a b a ve son ifadede a b c k, a b h 4 azılarak her karesel fonksion k h a f ) ( biçimine dönüştürülebilir.

34 Varılan sonucu özetleelim: f ( ) b a b 4a a b c, h, k c f ( h) f ( ) a h k Son ifadeden görüoruz ki, her karesel fonksion = kare fonksionuna elemanter transformasonlar ugulanarak elde edilebilir. Dolaısıla, karesel fonksionun grafiği de = nin grafiğinin kadırılması, -ekseni etrafında ansıtılması vea büzülüp gerilmesile elde edilir. Karesel fonksionun grafiği parabol (parabola) olarak adlandırılır. h a h a h k Sağa vea sola kama Germe, büzme vea ansıma Yukarı vea aşağı kama

35 Şimdi, a> 0, h > 0, k > 0 olması durumunda f() = a + b + c nin grafiğini çizelim : h b a, b k c 4a olduğunu unutmaalım. f ( h) h a h a h k Sağa kama (-h < 0 ) Germe vea büzme Yukarı kama (k > 0 ) (h,0) (h,0) (h,k) f nin minimum değeri f(h) = k

36 a< 0, h > 0, k > 0 olması durumunda f() = a + b + c nin grafiği: h b a, b k c 4a olduğunu unutmaalım. f ( h) h a h a h k Sağa kama (-h < 0 ) Germe vea büzme Yukarı kama (k > 0 ) (h,0) (h,0) (h,k) f nin maksimum değeri f(h) = k

37 = a(-h) ifadesinde (-h) nin alabileceği en küçük değer = h için sıfır değeri olduğundan, f()= a(-h) + k karesel fonksionu için f(h) = k değeri, a > 0 olması durumunda minimum, a < 0 olması durumunda maksimum değerdir. f()= a(-h) + k karesel fonksionunun a > 0 olması durumunda maksimum değeri, a < 0 olması durumunda da minimum değeri oktur. (h,k) noktasına karesel fonksionunun (vea onun grafiği olan parabolün) köşe vea tepe noktası denir. a > 0 olması durumunda, köşe noktası parabolün en alt, ani dip noktasıdır ve parabol ukarıa doğru açılır ; a < 0 olması durumunda, köşe noktası parabolün en üst, ani tepe noktasıdır ve parabol aşağıa doğru açılır. Bir karesel fonksionun grafiği, koordinat kesişimleri ve köşe noktası belirlenip ukarıdaki bilgilerden ararlanılarak çizilir.

38 f ( ) a b c, h b a, k c b 4a f ( ) a h k P A R A B O L -kesişimleri -kesişimi Burada, a > 0, h > 0 ve k < 0 (h,k) köşe(verte)

39 Örnek. f ( ) in grafiği. a 0.5, b 6, c 1 b 6 b 36 h 6 k c 1 3 a 1 4a f ( ) (0,1) Köşe : (6, 3) (6,3) -kesişimi : YOK -kesişimi : f (0) = 1, (0, 1) Yukarıa doğru açılan parabol ( a > 0)

40 Örnek. f ( ) 16 4 ün grafiği. a, b 16, c 4 b 16 h 4 b 56 k c 4 8 a 4 4a 8 f ( ) Köşe : (4, 8) -kesişimleri : f () = = 0 =, 6 (, 0), (6, 0) -kesişimi : f (0) =- 4, (0, -4) (4,8) (6, 0) Aşağıa doğru açılan parabol ( a < 0) (, 0) (0,-4)

41 Karesel fonksionlarla ilgili bilgileri özetleelim: f ( ) a b c, h b a, k c b 4a f ( h) f ( ) a h k f nin grafiği, köşe noktası (h, k) olan paraboldür. f nin -kesişimi (0, c ) noktasıdır; -kesişimleri a + b + c = 0 denklemi çözülerek belirlenir. Eğer a > 0 ise, parabol ukarıa doğru açılır ve f nin minimum değeri f(h) =k dir. Fonksionun görüntü kümesi, [k, ) aralığıdır. Eğer a < 0 ise, parabol aşağıa doğru açılır ve f nin maksium değeri f(h) =k dir. Fonksionun görüntü kümesi, (-, k] aralığıdır.

42 Ugulama. Bir firmanın gelir ve gider fonksionları, bin adet ürün için 100 5, ( ) 160 0, 1 16 G( ) bin TL olarak verilior. G ve nın grafiklerini anı koordinat düzleminde çizerek aşağıdaki soruları anıtlaınız: a) Gelir ve giderin eşit olduğu saılarını bulunuz. b) Kâr edilen ve zarar edilen bölgeleri ve en büük kârı belirleiniz. Çözüm. Gelir fonksionu, G( ) , 1 16 a 5, b 100, c 0, h 10, k 500 biçiminde ifade edilebilen karesel fonksiondur. Gider fonksionu da bir doğrusal fonksiondur ve grafikler şöledir:

43 G( ) (100 5) , 1 16 a 5, b 100, c 0, h 10, k 500 ( ) 160 0, (bin) G(1) G G gelir = gider (bin)

44 Kâr fonksionuna bakalım: G( ) K 0 K a 5, b 80, c 160, h 8, k 160 Maksimum kâr : TL. Kh K8 160 (bin TL).