Ölçme Bilgisi DERS 3 ÖLÇÜ HATALARI Kaynak: İ.ASRİ
Çizim Hassasiyeti Haritaların çiziminde veya haritadan bilgi almada ne kadar itina gösterilirse gösterilsin kaçınılmayacak bir hata vardır. Buna çizim hassasiyeti denmektedir. Normal insan gözünün ayırma hassasiyeti 0.2 mm (milimetrenin 5 te biri) dir. Topoğrafyada çizim hassasiyeti 0.2 mm olarak kabul edilmektedir.
Örnek: 1/25.000 ölçekli bir haritanın çizim hassasiyeti kaç metredir? (Cevap: 5 m)
Ölçü Hataları Yeryüzünde ister bir kenar, ister bir açı birkaç kez ölçüldüğünde her ölçü değeri arasında az çok farkların olduğu görülür. Aynı büyüklüğe ait yapılan her geometrik veya fiziksel ölçünün sonucunu aynı bulmak neredeyse imkânsızdır. Geometrik ya da fiziksel büyüklüklerin ölçülmesi sonucunda elde edilen değerler hata ile yüklüdür. Söz konusu hatalar; - Ölçme işini yapan kişiden (kişinin duyu organlarının yetersizliğinden) - Ölçü aletlerinden (Aletler hatalı olabilir, yeterli ölçme inceliğine sahip değildir) - Fiziksel çevre koşullarından (Sıcak-soğuk, nem, rüzgâr vs.) kaynaklanabilir.
Hatasız ölçü olmaz Hatalar oluşma nedenlerine göre genelde üçe ayrılır. 1. Kaba hata 2. Düzenli (sistematik) hata 3. Düzensiz (rastlantı, tesadüfî) hata
1-Kaba Hatalar: Kaba hatalar genellikle dikkatsizlikten kaynaklanan hatalardır. Uzunluk ölçmelerinde bir şerit boyunun unutulması, açı ölçmelerinde 65g yerine 95g okunması ve yazılması gibi. Kaba hatalar ölçü tekrarı ile giderilebilirler
2-Düzenli (sistematik) hatalar: Bu tür hatalar ölçüyü aynı yönde ve aynı miktarda etkileyen küçük hatalardır. Ölçü tekrarı ile giderilemezler. Yirmi metrelik bir çelik şerit metrenin uzunluğunun gerçek değerden 1 mm eksik olması, nivelmanda mira ölçek hatası, teodolitlerde daire bölme hataları gibi düzenli hatalar çoğunlukla tanınamaz. Ölçü aletleri ayarlanarak ve en uygun ölçme yöntemleri uygulanarak etkileri azaltılabilir. Belirlenebildikleri durumlarda ölçü sonucuna düzeltme getirilerek etkileri giderilebilir.
3-Düzensiz (rastlantı, tesadüfî) hatalar: Küçük miktardaki hatalardır. Ölçüleri bazen (+) bazen de (-) yönde etkilerler. Bu hatalar insan yeteneklerinin sınırlı olması, aletlerin ayarlarının tam yapılamaması, sıcaklık, rüzgâr gibi dış etkenlerin değişken olması gibi nedenlerden ortaya çıkar. Kaba hatalarda olduğu gibi ölçülerin tekrarı ile ya da düzenli hatalarda olduğu gibi ölçü sonucuna düzeltme getirilerek giderilemezler.
Hata, Gerçek Hata, Görünen Hata Hata = Ölçü Değeri ( L ) Olması Gereken Değer ( X ) olarak tanımlanır. Ölçünün gerçek değeri ( Y ) önceden biliniyorsa ( çoğu zaman bilinmez) bulunan hataya gerçek hata ( ε) denir. ε= L Y
Gerçek hata: Ölçülerin gerçek değerlerinin bilindiği durumlarda söz konusudurlar. Bir düzlem üçgenin iç açılarının toplamının gerçek değeri 200g dır. İç açıların ölçülen değerlerinin toplamından 200g çıkarılırsa gerçek hata bulunur. Gerçek değerinin bilindiği durumlar çok azdır.örneğin bir üçgenin iç açıları ölçülmüş ve iç açılar toplamı 200g. 0060 bulunmuş ise burada 60cc lik hata gerçek hatadır( ε). Çünkü burada gerçek değer belli ve 200g dır
Gerçek değer çoğunlukla bilinmez ve hata hesabında buna en yakın olan kesin değer ( X ) kullanılır. Bu büyüklüğe ait ölçülerin aritmetik ortalaması kesin değeri vermektedir. Kesin değer kullanılarak hesaplanan hataya görünen hata ( V ) adı verilir. V = L X Bir ölçü dizisindeki V hatalarının toplamı sıfır olmaktadır. [ V ] = 0
Örneğin, Bir uzunluk 4 kez ölçülmüş ve aşağıdaki ölçü değerleri elde edilmiştir
Düzeltme, Tolerans Hata ile düzeltme ters işaretlidir. Bir üçgenin iç açıları toplamı 200.0060 grad olarak ölçülmüş ise üçgen açıları 60cc lik hata ile ölçülmüştür. Düzeltme -60cc olacaktır.yani açılar toplamının 200g olması için üçgen açılarının 20cc çıkarmak gerekecektir. Bu işleme Hatanın dağıtılması ya da Ölçülerin Dengelenmesi denir. Ölçmelerde yapılan hataların dağıtılabilmesi için hatanın belirli bir değeri aşmaması gerekir. Bu sınır değere Tolerans adı verilir. Tolerans değeri, ölçmede aranan hassasiyete ve ölçmenin büyüklüğüne göre değişir.
Ölçü Dizilerinin Doğruluk Derecesi Ölçütleri Bir uzunluğun iki ayrı ölçü ekibi tarafından beşer kez ölçüldüğünü ve her bir ölçü ekibi tarafından belirlenen kesin değerlere ( X1, X2 ) göre V hatalarının ayrı ayrı hesaplandığını düşünelim. Hangi ekibin daha doğru veya hassas çalıştığını V değerlerine göre bulmak ve iki ölçü dizisini karşılaştırmak oldukça güçtür. Bu güçlük nedeniyle karşılaştırmada ölçülere ait hataların fonksiyonları kullanılır. Bu fonksiyonlardan en çok kullanılanları; a) Mutlak Hatalar Ortalaması b) Karesel Ortalama Hata c) Muhtemel Hata d) Rölatif Hata olarak sayılabilir.
Mutlak Hatalar Ortalaması (t) Aynı şartlar altında yapılmış n sayıdaki ölçülerin gerçek hataları ε1,ε2,.εn ise mutlak hatalar ortalaması t= ± [ ε] / n
Karesel Ortalama Hata ( m ) Gauss tarafından tanımlanan karesel ortalama hataya çoğu zaman sadece Ortalama Hata da denir. Ölçülerin doğruluk derecesi hakkında en isabetli fikri verir. Görünen hatalar cinsinden karesel ortalama hata; m=± ( [ vv ] / ( n-1 ) ) şeklinde ifade edilir. Doğruluk derecesi ölçütleri içinde en çok kullanılanı karesel ortalama hatadır. Çünkü hataların kareleri alındığı için büyük hataların etkisi daha fazladır ve küçük hatalarla büyük hatalar aynı derecede ele alınmamaktadır.
Karesel Ortalama Hata ( m ) Gauss tarafından tanımlanan karesel ortalama hataya çoğu zaman sadece Ortalama Hata da denir. Ölçülerin doğruluk derecesi hakkında en isabetli fikri verir. Görünen hatalar cinsinden karesel ortalama hata; m=± ( [ V² ] / ( n-1 ) ) şeklinde ifade edilir. Doğruluk derecesi ölçütleri içinde en çok kullanılanı karesel ortalama hatadır. Çünkü hataların kareleri alındığı için büyük hataların etkisi daha fazladır ve küçük hatalarla büyük hatalar aynı derecede ele alınmamaktadır.
Karesel Ortalama Hata ( m ) Ör: Bir açı 6 defa ölçülerek aşağıdaki değerler bulunmuştur. Verilen bu değerlere göre ortalama değeri, bir ölçünün ortalama hatasını ve ortalama değerin ortalama hatasını hesaplayın. V V² 1-97 15 27 +0,5 0,25 2-97 15 39 +12,5 156,25 3-97 15 16-10,5 110,25 4-97 15 24-2,5 6,25 5-97 15 32 +5,5 30,25 6-97 15 21-5,5 30,25 V²=333,50 X = (L1+L2+.Ln)/n = (27+39+16+24+32+21)/6 X = 26,5
Karesel Ortalama Hata ( m ) m = ± V² / (n-1) M= ± V² / n(n-1) m = Ortalama hata V² = Düzeltme miktarı n = Ölçme günü/sayısı M = Ortalama değerin ortalama hatası m = 333,50 / (6-1) = ±8,16 M= 333,50 / 6(6-1) = ±3,34
Ör: Bir açı 1. gün 4, 2. gün 2, 3. gün 1 ve 4. gün 2 defa ölçülerek aşağıdaki değerler bulunmuştur. Verilen bu değerlere göre ortalama değeri, bir ölçünün ortalama hatasını ve ortalama değerin ortalama hatasını hesaplayın. P V V² P. V² 1-35 13 41 4-1,8 3,24 12,96 2-35 13 28 2-14,9 219,02 438,04 3-35 13 65 1 +22,2 492,84 492,84 4-35 13 50 2 +7,2 51,84 103,68 P.V²=1047,56
x= (P1.L1+P2.L2+ Pn.Ln) / (P1+P2+..Pn) = PL/P x= (4.41+2.28+1.65+2.50) / 9 = 42,8 m = ± P.V² / (n-1) M= ± P.V² / n(n-1) m = Ortalama hata P.V² = Düzeltme miktarı n = Ölçme günü/sayısı M = Ortalama değerin ortalama hatası m = 1047,56 / (4-1) = ±18,68 M= 1047,56 / 9(4-1) = ±6,23
Muhtemel Hata ( r ) Muhtemel hatanın hesaplanabilmesi için hatalar, mutlak değerlerine göre sıralanır. Hata sayısı tek ise ortadaki değer, çift ise orta durumda olan iki değerin ortalaması muhtemel hata olarak kabul edilir.
Rölatif (Bağıl) Hata Karesel ortalama hatanın kesin değere oranı rölatif hata olarak isimlendirilir ve paydaki değer 1 olacak şekilde oran oluşturulur. Örneğin 2 km lik bir uzunluk ± 2 cm incelikle ölçülmüş ise bunun bağıl hatası, 2cm 1 -------------- = ------------ 200 000cm 100 000 olarak hesaplanır.
Bir uzunluk 10 kez ölçülmüş ve aşağıdaki ölçü değerleri elde edilmiştir. Duyarlık ölçütlerini hesaplayınız.
Bir uzunluk 10 kez ölçülmüş ve aşağıdaki ölçü değerleri elde edilmiştir. Duyarlık ölçütlerini hesaplayınız.
Örnek: Uzunluğu 100.00 m olan bir ayar bazı, iki ayrı ölçme ekibince mm birimine kadar ölçü yapılarak çelik şeritle on kez ölçülmüştür. Hangi ölçme ekibi daha duyarlıklı sonuç elde etmiştir?
Sonuç: 1 numaralı ölçme ekibi için duyarlık ölçütleri daha küçük çıktığından bu ekibin ölçme doğruluğu diğer ekipten daha yüksektir.