10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI

10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI KONULAR HACİM VE HACİM ÖLÇÜLERİ KAVRAMI HACİM ÖLÇÜLERİ BİRİMLERİ 1. Metreküpün Katları As Katları 2. Birimlerin Birbirine Çevrilmesi ve Mesleki Uygulamaları SIVI ÖLÇÜSÜ BİRİMLERİ 1. Litrenin Katları As Katları 2. Birimlerin Birbirine Çevrilmesi ve Mesleki Uygulamaları PRİZMALAR 1. Prizmaların özelikleri ve Türleri 2. Prizmaların Alan, Hacimleri ve Mesleki Uygulamaları PİRAMİTLER 1. Piramitlerin Alan, Hacimleri ve Mesleki Uygulamaları SİLİNDİRLER 1. Dairesel Silindirin Alan, Hacmi ve Meslekî Uygulamaları KONİLER 1. Dairesel Koninin Alan, Hacmi ve Meslekî Uygulamaları KÜRELER 1. Küre Alanı, Hacmi ve Meslekî Uygulamaları

BU ÜNİTEYE NEDEN ÇALIŞMALIYIZ? Bu bölümü çalıştığınızda; Hacim ölçüsü birimlerinden yararlanarak mesleğinizde karşılaştığınız problemleri çözebilecek, Sıvı ölçüsü birimlerinden yararlanarak mesleğinizde karşılaştığınız problemleri çözebilecek, Prizmaların özelliklerinden yararlanarak mesleğinizde karşılaştığınız problemleri çözebileceksiniz.

BU ÜNİTEYE NASIL ÇALIŞMALIYIZ? Örnekleri dikkatle okuyunuz. Örnek soruları kitaba bakmadan çözmeye çalışınız. Anlamadan bir başka bölüme geçmeyiniz. Ünitenin sonundaki testte kendinizi deneyiniz, başarısız iseniz başarısız olduğunuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz. Bu konular ile ilgili Matematik kitaplarından yararlanabilirsiniz.

10. 1 HACİM VE HACİM ÖLÇÜLERİ KAVRAMI HACİM ölçüleri de uzunluk ölçüleri gibi metre sistemine göre düzenlenmiştir. Hacim ölçüsü birimi metre küp dür. m şeklinde gösterilir. Kenar uzunluğu 1 metre olan küpün hacmi 1 m dür. Hacim ölçüleri için uzunluk ölçülerinde olduğu gibi kullanılan ölçüler yoktur. Hacimleri bulunacak cisimlerin boyutları uzunluk ölçüleri ile ölçülür ve yapılan hesaplamadan sonra hacim bulunur. 10.1.1 Hacim Ölçüleri Birimleri Metre küp ün katları biner biner büyür ve askatları biner biner küçülür. Km Hm Dam m Büyür Küçülür Dm cm mm Metre küpün Katları Dekametre küp (dam ) : Metre küpün 1 000 katıdır. Hektometre küp (hm ) : Metre küpün 1 000 000 katıdır. Kilometre küp (km ) : Metre küpün 1 000 000 000 katıdır. Metre küpün Askatları Desimetre küp (dm ) : Metre küpün 1/1 000 katıdır. Santimetre küp (cm ) : Metre küpün 1/1 000 000 katıdır. Milimetre küp (mm ) : Metre küpün 1/1 000 000 000 katıdır. 175

10.1.2 Birimlerin Birbirine Çevrilmesi Ve Meslekî Uygulamaları Hacim ölçülerinin birbirine çevrilmesini de merdiven basamaklarına benzetebiliriz. Yukarıda ki birime çevrilecek bir sayı her basamak için 1000 e bölünür. Aşağıda ki birime çevrilecek bir sayı içinde her basamak için l000 le çarpılır. ÖRNEKLER: 5 m =? dm 5 m = 5000 dm 10.2 SIVI ÖLÇÜSÜ BİRİMLERİ Süt, zeytinyağı, sirke v.b. sıvı maddeleri ölçmekte kullanılan birime litre denir. Hacmi 1 dm tür. ( I ) harfi ile gösterilir. Litrenin Katları Dekalitre : Litrenin 10 katıdır. 1 dal =10l. Hektolitre : Litrenin 100 katıdır. 1 hl =100 l. Kilolitre : Litrenin 1000 katıdır. 1 kl = 1000 l. As Katları Desilitre : Litrenin 10 da biridir. 1 dl =0,1 l. Santilitre : Litrenin 100 de biridir. 1 cl = 0,01 l. Mililitre : Litrenin 1000 de biridir. 1 ml = 0,001l. 10.2.1 Birimlerin Birbirine Çevrilmesi ve Mesleki Uygulamaları 1 dm = 1 litredir. ÖRNEK: 10 m =...l? 10 m = 10 000 dm 10 000 m = 10 000 l 176

10. PRİZMALAR 10..1 Prizmaların Özelikleri Ve Türleri Tabanları herhangi bir çokgensel bölge olan yan yüzleri dikdörtgensel bölgeler den meydana gelen cisimlere dik prizma denir. Prizmaların alt ve üst yüzeylerine taban denir. Prizmalar tabanlarına göre; dikdörtgenler prizması, kare prizma, üçgen prizma diye isimlendirilirler. Dik prizmanın Özellikleri: 1. Tabanları eş ve paraleldir. 2. Yan yüzeyleri dikdörtgensel bölgelerdir.. Her bir köşede kesişen ayrıtları birbirine diktir. 4. Yan ayrıtları aynı zamanda yüksekliktir. 10..1.1 Dikdörtgenler Prizmasının Alanı ve Hacmi ABCD // EFGH EHAD // FBCG EFAB // HDCG Özelikleri 1. 6 yüzü, 12 ayrıtı ve 8 köşesi vardır 2. Karşılıklı ayrıtları dörder dörder paralel ve uzunlukları eşittir. Karşılıklı yüzleri birbirine paralel ve alanları eşittir. 4. Bir köşeden çıkan ayrıtlara, prizmanın boyutları denir. Bu boyutlar; en, boy, yüksekliktir. (a,b,c) 177

Taban Alanı = a.b Yan Alanları = 2 (ac + bc) = 2c ( a + b ) Bütün Alanı = 2 ab + 2( ac + bc ) = 2 ( ab + ac + bc ) Dikdörtgenler prizmasının alanı, bir köşeden çıkan üç ayrıtının ikişer ikişer çarpımları toplamının 2 katına eşittir. Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik V = a. b. c Dikdörtgenler prizmasının hacmi, bir köşeden çıkan üç ayrıtının uzunlukları çarpımına eşittir. ÖRNEK: Ayrıtları 4 cm, 5 cm ve 10 cm olan dikdörtgenler prizmasının tüm alanını ve hacmini bulunuz? a = 4 cm Bütün Alanı = 2.( ab + ac + bc ) Hacmi = a. b. c b = 5 cm = 2.( 4.5 + 4.10 + 5.10 ) = 4. 5. 10 c = 10cm = ( 40 + 80 + 100 ) = 200cm = 220cm 10..1.2 Kare Prizmanın Alanı ve Hacmi Tabanı kare, yan yüzeyleri dikdörtgen olan prizmalardır. Dikdörtgenler prizmasının bütün özelliklerini taşır. Taban Alanı = a 2 (Tabanı kare olduğu için) Yan Alanları = 4.a.h Kare dik prizmanın yanal alanı, taban çevresinin uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. Bütün Alanı = 2a 2 + 4(a.h) Kare dik prizmanın alanı, bir yan yüzünün alanının 4 katı ile iki taban alanının toplamına eşittir. Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik = a 2.h ABCD // EFGH 178

ÖRNEK: Taban ayrıtı 10 cm ve yüksekliği 14 cm olan kare dik prizmanın taban alanı, bütün alanını ve hacmini bulunuz? Taban Alanı = Bütün Alanı = 2 a 2 + 4.(a.h) Hacmi = a 2. h A = 10 2 = 100cm 2 dir. = 2. 10 2 + 4.(10.14 ) = 10 2.14 = 200 + 560 = 100.14 = 760cm 2 dir. = 1400 cm dür. 10..1. Küpün Alan ve Hacmi Bütün ayrıtları birbirine eşit olan prizmaya küp denir. Dikdörtgenler prizmasının tüm özelliklerini taşır. Bütün yüzleri birbirine eş karesel bölgelerdir. Taban Alanı = a 2 Bütün Alanı = 6a 2 Küpün bütün alanı, bir ayrıtı karesinin 6 katıdır. Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik V= a 2.a V=a Küpün hacmi, bir ayrıtının küpüne eşittir. ÖRNEK: Bir kenarının uzunluğu 5cm olan küpün; taban alanını, bütün alanını ve hacmini bulunuz? Taban Alanı = a 2 Bütün Alanı = 6.a 2 Hacmi = T. Alanı x Yükseklik A = 5 2 = 6.5 2 V= a A= 25cm 2 dir = 150 cm 2 V= 5 =125cm 179

10.4 PİRAMİTLER 10.4.1 Piramitlerin Alan, Hacimleri ve Mesleki Uygulamaları Bir düzlem ve bu düzlemin dışında bir nokta alınır. Bu noktadan düzlemdeki bir çok- gensel bölgenin her noktası birleştirildiğinde oluşan doğru parçalarının birleşimi piramidi oluşturur. Piramitler taban şekillerine göre adlandırılır. Yüksekliği taban ağırlık merkezinden geçen piramitlere düzgün piramit denir. Düzgün Piramidin Özellikleri 1) Yan ayrıtları eşit uzunluktadır. 2) Yan yüzeyleri,eş ikizkenar bölgelerdir. ) Yan yüzeylerinin yüksekliklerinin uzunlukları eşittir. Kare Dik Piramidin Alanı ve Hacmi Taban Alanı = a2 (Tabanı kare olduğu için) Yanal Alanı = 2.a.h(h cismin yüksekliği) Bütün Alanı = a2 + 2a.y Taban Alanı x Yükseklik Hacmi = V= a 2 x h y = yan yükseklik ÖRNEK: Taban uzunluğu 6cm ve yan yüz yüksekliği 9cm olan kare dik piramidin; taban alanı, bütün alanını ve hacmini bulunuz? a Taban Alanı = a 2 Bütün Alanı = a 2 +2.a.h Hacmi = 2 x h A = 6 2 = 6 2 + 2.6.9 V= 6 2 x 5 A = 6cm 2 dir = 6+108 = 144cm 2 V= 6 x 5 V= 60cm 180

10.5 SİLİNDİR 10.5.1 Dairesel Silindirin Alan, Hacmi ve Mesleki Uygulamaları Bir dikdörtgensel bölgenin kenarlarından biri etrafında 60 döndürülmesiyle oluşan cisme, dik silindir denir. Taban Alanı = π.r2 Yanal Alanı = 2.π.r.h Bütün Alanı = 2π.r2 + 2.π.r.h Hacmi = Taban alanı x Yükseklik V= π.r2.h ÖRNEK: Taban yarıçapı 7cm ve yüksekliği 10cm olan silindirin; taban alanını ve hacmini bulunuz? ( π = 22 ) 7 Taban Alanı = π.r 2 Bütün Alanı = 2π.r 2 + 2.π.r.h Hacmi = π.r 2.h 22 22 A = 7.7 2 = 2.π.r(r+h) V = 7.7 2.10 A = 154cm 2 dir = 2. 22.7(7+10) V = 1540cm 7 = 748 cm 2 10.6 KONİLER 10.6.1 Dairesel Koninin Alan, Hacim ve Mesleki Uygulamaları Bir dik üçgensel bölgenin dik kenarlarından birinin etrafında 60 0 döndürülmesi ile oluşan şekle koni denir. 181

Taban Alanı = π.r 2 Yanal Alanı =π.r.y Bütün Alanı = π.r 2 + π.r.y ÖRNEK: Taban yarıçapı 5 cm. ve ana doğrusu 12 cm. olan koninin bütün alanını bulunuz? A = π.r.(r+y) =.14. 5 ( 5+12) = 266,9 cm 2 ÖRNEK: Taban yarıçapı 6 cm. ve yüksekliği 8 cm. olan koninin hacmini bulunuz? V= π x r 2 x h = 22.,14. 6 2. 8 = 01,44 cm 7 10.7 KÜRE 10.7.1 Küre Alanı, Hacmi ve Mesleki Uygulamaları r pozitif bir reel sayı olmak üzere; uzayda sabit bir O noktasından r birim kadar uzaklıkta olan noktaların kümesine, küresel yüzey denir. Bu yüzey ile iç bölgesindeki tüm noktaların oluşturduğu kümeye (cisme) de küre denir. O noktasına kürenin merkezi, her birimle belirtilen r sayısına da kürenin yarıçapı denir. Küre yüzeyinin bir düzlemle ara kesiti bir çember oluşturur. Kürenin merkezi O ve yarıçapının uzunluğu r ise; 182

( O,r ) çemberine, kürenin en büyük çemberi denir. ( O,r ) dairesine de kürenin en büyük dairesi adı verilir. Kürenin Alanı: Yarıçapının uzunluğu r olan kürenin alanı, en büyük dairesinin alanının 4 katına eşittir. A = 4. π. r 2 Kürenin Hacmi: Yarıçap uzunluğu r olan bir kürenin hacmi, 4 x π x r V= ÖRNEK: Yarıçap uzunluğu 6cm olan bir kürenin alanını ve hacmini bulunuz? 4 A = 4. π. r 2 V=. π. r A = 4.,14. 6 2 V= 4.,14. 6 A = 452,16 cm 2 V= 904.2 cm 18

ÖZET Tabanları herhangi bir çokgensel bölge olan yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerden meydana gelen cisimlere dik prizma denir. Prizmalar tabanlarına göre; dikdörtgenler prizması, kare prizma, üçgen prizma diye isimlendirilirler. Dik Prizmaların Özelikleri: 1) Tabanları eş ve paraleldir 2) Yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerdir. ) Her bir köşede kesişen ayrıtları birbirine diktir. 4) Yan ayrıtları aynı zamanda yüksekliktir. Dikdörtgenler Prizmasının Alanı ve Hacmi: Bütün Alanı = 2 ab +2( ac + bc) veya 2 ( ab + ac + bc) Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik V = a. b. c Kare prizmasının alanı ve hacmi: Bütün Alanı = 2 a 2 + 4 (a.h) Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik V = a 2. h Küpün Alanı ve Hacmi: Bütün Alanı = 6 a 2 Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik V = a Kare dik piramidin alanı ve hacmi: Bütün Alanı = a 2 + 2.a.y Hacmi; Taban alanı ile cisim yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir. a V= 2 x h Silindirin alanı ve hacmi: Bütün Alanı : π.r 2 + 2.π.r.h Hacmi = Taban alanı x Yükseklik V= π.r 2.h Koninin alanı ve hacmi: Bütün Alanı : π.r 2 + π.r.y Hacmi : V= π x r 2 x h 184

Kürenin Alanı: A = 4. π. r 2 Kürenin Hacmi: Yarıçap uzunluğu r olan bir kürenin hacmi, V= 4 x π x r bağıntısı ile bulunur. 185

DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Boyu metre, Eni 4 metre ve yüksekliği 5 metre olan bir dükkanın hacmini bulunuz? a. 0 m b. 45 m c. 60 m d. 90 m 2. Bir kenarının uzunluğu 5 m olan küpün hacmi aşağıdakilerden hangisidir? a. 25 m b. 75 m c. 125 m d. 225 m. Uzunluğu metre, genişliği 4 metre ve yüksekliği 2 metre olan bir havuzun içi kaç litre su alır? (1 litre = 1 dm ) a. 14000 b. 20000 c. 2400 d. 240000 4. Aynı tabanlı prizma ile piramitin hacimlerinin karşılaştırması aşağıdakilerden hangisidir? a. Piramitin hacmi, prizmanın hacminin 1/ üne eşittir. b. Piramitin hacmi, prizmanın hacminin 1/2 sine eşittir. c. Prizmanın hacmi, piramitin hacminin 1/ üne eşittir. d. Prizmanın hacmi, piramitin hacminin 1/2 sine eşittir. 5. Bir silindirin yüksekliği 8 cm. ve hacmi 628 cm ise taban yarıçapı kaç cm. dır? (π =,14 alınacak) a. 10 b. 8 c. 6 d. 5 186

6. Alanı 14 m 2 olan bir kürenin yarıçapı kaç m. dir? a. 6 b. 5 c. 4 d. 2,5 7. Yüksekliği 12 cm. tabanının bir kenarı 5 cm olan bir kare piramidin hacmi kaç cm dir? a. 100 b. 240 c. 00 d. 40 8. Taban çapı 10 cm, yüksekliği 12 cm olan koninin hacmini bulunuz? (π = alınacak) a. 200 b. 250 c. 00 d. 50 9. Taban ayrıtı 5 metre ve yüksekliği 8 metre olan kare prizma şeklindeki bir büronun hacmini bulunuz? a. 40 b. 100 c. 160 d. 200 10. Hacmi 125 m olan küpün bir ayrıtının uzunluğunu bulunuz? a. 4 b. 5 c. 15 d. 25 187

KARMA TEST SORULARI-2 1. Yandaki şekilde bütün kenarları birbirine dik olan çokgen veriliyor. LK = 9 cm, AL =4 cm ve BC =6 cm olduğuna göre. çokgenin çevresi kaç cm dir? L A.. 4 cm B 9 cm. K a. 8 b. 40 c. 42 d. 44 6 cm C. E. D. F 2. Yandaki şekilde bütün kenarlar birbirine dik olduğuna göre; şeklin çevresinin uzunluğu kaç cm dir? a. 6 b. 8 2 cm c. 40 d. 42 A. ABC üçgeninin çevresinin uzunluğu 2 cm. dir. BC =? a. 15 b. 18 c. 21 e. 24 4. ABCD dikdörtgeninin çevresinin uzunluğu 20 cm dir. CD =? a. 12 b. 10 c. 7 d. B A cm 6 cm cm 8 cm C D A D 52 X.... B E C 5. ABCD dikdörtgeninde s(aed) = s(dec) s(bae)=50º ise x kaç derecedir? a. 10 b. 20 c. 0 d. 40 188

6. Bütünler iki açının oranı 7 ise küçük açının tümleri kaç derecedir? 8 a. 12 b. 10 c. 8 d. 6 7. Her bir karenin bir kenarı 1 m. ise boyalı bölgenin çevresi kaç m. dir? a. 4 b.,2 c. 4,2 d.,6 I. Köşegen uzunlukları birbirine eşittir. II. Köşegenler birbirine diktir. III. Köşegenler birbirini ortalar. IV. Köşegenler ait oldukları köşedeki açıyı ortalar. 8. Yukarıdaki ifadelerden hangileri dikdörtgen için daima doğru değildir? a. I-II b. II-III c. III-IV d. II-IV I. Bütün dörtgenler aynı zamanda düzgün çokgendir. II. Her kare aynı zamanda paralelkenardır. 9. Yukarıdaki ifadelerden hangileri dikdörtgen için daima doğru değildir? I II a. Doğru Doğru b. Doğru Yanlış c. Yanlış Yanlış d. Yanlış Doğru 189

10. Yandaki ACD üçgeninde verilenlere göre b, d, e kenarlarının büyükten küçüğe doğru sıralanışı hangi şıkta doğru verilmiştir? a. d > e > b b. b > e > d c. b > d> e d. d > b> e h a a a 11. Yandaki şekilde açık hali verilen kare dik prizmanın yüzey alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir? a. 4ah b. 6a 2 c. 2a 2 + 4ah d. 2h 2 +4a C b A 5 d e 7 D 12. Yandaki O merkezli dairede s(bac) = 0 0 OB = 6 cm olduğuna göre taralı alan kaç cm 2 dir? a. b. π c. 6 d. 6π D C 1. Yanda gösterilen ABCD paralel kenarında AB = 10 cm ve CD = 5 cm olduğuna göre A(ABCD) kaç cm 2 dir? A. B a. 20 cm 2 b. 0 cm 2 c. 40 cm 2 d. 50 cm 2 14. Taban yarıçapı cm, yüksekliği 5 cm olan bir dik silindirin yarıçapı 1 cm artırılır, yüksekliği 1 cm azaltılırsa hacmindeki değişim aşağıdakilerden hangisi olur? (π =) a. Değişmez b. 40 cm azalır c. 57 cm azalır d. 57 cm artar 190

15. Taban ayrıtlarının uzunluğu 6 cm, 8 cm ve yüksekliği 12 cm olan dikdörtgenler prizmasının yanal alanı kaç cm 2 dir? a. 46 b. 6 c. 26 d. 16 16. Şekildeki üçgen dik prizmanın yüzey alanı kaç cm 2 dir? a. 160 b. 168 c. 172 d. 180 17. Aşağıdaki uzunlukları verilen çubukların hangisiyle bir üçgen oluşturulamaz? a. b. c. d. 18. Bir üçgen dik prizma açıldığında aşağıdaki şekillerden hangisi oluşur? a. 2 tane üçgen 2 tane dikdörtgen b. tane üçgen tane dikdörtgen c. 2 tane üçgen tane dikdörtgen d. tane üçgen 2 tane dikdörtgen 19. Yandaki şekilde verilenlere göre LN uzunluğunun alabileceği en küçük tam sayı K değeri kaç cm dir? a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 20. Yandaki şekilde ABKL ve ACGF karelerinin alanları sırasıyla 6 cm 2 ve 64 cm 2 dir. Buna göre BDEC karesinin alanı kaç cm 2 dir? a. 64 b. 81 c. 100 d. 121 cm 4 cm 5 cm cm 5 cm 7 cm 2 cm 5 cm 8 cm 4 cm 4 cm 4 cm L 1cm 7 cm N 191

21. Şekildeki dikdörtgenler prizması taban köşegeni boyunca kesilerek dik üçgen prizma elde ediliyor. Elde edilen bu üçgen prizmanın yüzey alanı kaç cm 2 dir? a. 6 b. 60 c. 80 d. 96 22. Yarıçapı 5cm yüksekliği ise 8cm olan silindirin hacmi kaç cm tür? (π= alınız) a. 00 b. 600 c. 900 d. 1200 2. Şekildeki ikizkenar dik üçgende BC =4cm. ABC dik üçgeni AB kenarının etrafında dönmesi ile oluşan şeklin hacmini hesaplayınız. (π= alınız) a. 2 b. 16 c. 64 d. 128 24. Taban kenar uzunlukları 10 cm olan kare dik piramidin yüksekliği 15cm olduğuna göre yanal alanı kaç cm 2 dir? a. 180 b. 270 c. 540 d. 600 25. Yandaki O merkezli çemberde s(aob)=120 o ise s(acb) kaç derecedir? a. 108 b. 216 c. 162 d. 60 C A C O A B B 192

26. Yarıçapı 4 cm olan dairenin alanı kaç cm 2 dir? (π= alınız) a. 12 b. 48 c. 6 d. 6 27. Yandaki şekilde AB // DE s(bac)= 40 0 ve s(adc) = 700 ise s(cde) kaç derecedir? a. 0 b. 5 c. 40 d. 45 A B 40 0 75 0? D E A 28. Şekildeki O merkezli, DC çaplı çemberde D O C a. 12 b. 48 c. 6 d. 6 s(bac) = 5 0 ise s(ac) kaç derecedir? 29. Taban yüzeyi yandaki gibi olan silindirin yanal yüzeyinin kenarlarından birinin uzunluğu kaç santimdir? (π= alınız) a. 2 b. 42 c. 49 d. 56 O 0. Yandaki bir kenarının uzunluğu 6cm olarak verilen karenin içindeki taralı alan kaç cm 2 dir? (π= alınız) a. 12 b. 48 c. 6 d. 6 19