SAYILAR TEMEL KAVRAMLAR

YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - 1-1 - 1 Pozitif tmsyılr,negtif tmsyılr ve 0 ın ererce oluşturduğu kümeye Tmsyılr kümesi denir Z ile gösterilir SAYILAR TEMEL KAVRAMLAR Temel Kvrmlr: Rkm: Syılrı ifde etmeye yryn semollere rkm denir 0,1,,,4,,6,7,8,9 Z= Z U{0}UZ + Z= {,, 1,0,1,,,} Tmsyılr kümesi doğl syılr kümesini kpsr N Z vey Z N Syı: Bir çokluğu ifde edecek şekilde, rkmlrın ir ry getirilmesiyle 1 oluşturuln ifdeye syı denir,,, 4 sin 7 gii Not: Her rkm ir syıdır Am her syı ir rkm değildir SAYILARIN SINIFLANDIRILMASI DOĞAL SAYILAR: Sym işinde kullnıln ve sonu olmyn 1,,,gii syılrın her irine sym syısı, oluşn kümeye de sym syılr kümesi denir Sym syılr kümesi S vey N + ile gösterilir N + ={1,,,4,} N ={0,1,,,,4,} TAMSAYILAR: Bir termometrede 0 ın üstündeki sıcklıklr rtı (+) sıcklıklr denir Bu durumd pozitif syılr ihtiycımız olduğu gii negtif syılr d ihtiyç vrdır Sıfırdn üyük syılr ;+1,+,+, pozitif Tm syılr denir Z + ={+1,+,+,} Sıfırdn küçük syılr; 1,,, negtif Tm syılr denir Z ile gösterilir Z ={ 1,,,} Not: 0 sıfır ir tmsyıdır Fkt ne negtif nede pozitiftir RASYONEL SAYILAR:, Z, 0 ve, rlrınd sl olmk üzere olmk üzere şeklinde yzılilen syılr rsyonel sylr denir Q=, Z ve 0 dır 4 8 4,,,,, +,0, 7 Her tmsyı ynı zmnd ir rsyonel syıdır Z = Q Bun göre tmsyılr 1 kümesi Rsyonel syılr kümesinin lt kümesidir N Z Q vey Q Z N Syı ekseninde iki rsyonel syı rsınd sınırsız syıd rsyonel syı vrdır O hlde rsyonel syı u syı ekseninde sıktır Yni yoğundur Bun rğmen syı eksenini tmmen doldurmz Çünkü syı doğrusu üze rinde görüntüsü olduğu hlde rsyonel olmyn syılr d vr wwwglolderscom 1 rdışık dört çift tmsyının çrpımın 16 eklendiğinde dim ir tmsyının kresi elde edilir

ĐRRASYONEL SAYILAR (RASYONEL OLMAYAN) Syı ekseninde görüntüsü olup rsyonel olmyn,,, π, e gii syılr irrsyonel (rsyonel olmyn) syılr denir Q ı ile göst REEL SAYILAR Rsyonel syılr ile irrsyonel syılrın irleşimine Reel syılr dı verilir Bu tür sorulrd herhngi ir ilinmeyen çekilerek değer verilmesi zmn kyını önler + y = = y => = y y => = 6 (urd y ye nin ktı oln doğl syılrın verilmesi gerektiği görülür O hlde y 0 4 6 8 10 6 1 16 11 6 1 o hlde cevp 6 dır N + N Z Q R,, Q R,, Q Q = Ø Örnek( 1 ) Aşğıdki syılrı sınıflndırın (örneğin N,Z,Q,R gii),,, 4/7, (4), 0 Aşğıd her ir syının hngi kümelere it olduğu elirtilmiştir Z, Q, R Q /, R N, N +, Z, Q, 4/7 Q, 4/7 R (,4) Q, (,4) R 0 N, 0 Z, 0 Q, 0 R R Örnek ( ),yε N ve + y = ise kç tne (,y) ikilisi vrdır? Örnek ( ), Z olmk üzere =0 eşitliğinde + toplmının, ) En üyük değeri nedir? ) En küçük değeri nedir? c) En küçük doğl syı değeri nedir? + 10 1+0 = 1 10 +10 = 1 4 4+ = 9 ( 1)( 0) 1 0 = 1 ( )( 10) 10 = 1 ( 4)( ) 4 = 9 o hlde ) En üyük değeri (1) ) En küçük değeri ( 1) c) En küçük doğl syı değeri (9) olur PÜF NOKTA: Bu tür sorulrd tnım cümlesi çok önemlidir Soru çözülmeye şlnmdn önce u tnımlr çok dikkt etmek gerekir (tnım cümlesi sorud kullnıln değişkenlerin it olduğu kümelerin elirtildiği ve genellikle sorunun şınd yer ln ilk cümledir)(örneğin u sorud tnım cümlesi, Z olmk üzere dir) wwwglolderscom

Kurl: Çrpımı sit oln iki doğl syının; toplmının en küçük olilmesi için u iki syı rsındki frk en z, toplmının en üyük olmsı için rdki frk en çok olmlıdır Toplmı sit oln iki doğl syının çrpımının en çok olilmesi için iki syı rsındki frk en z olmlıdır Örnek ( 4) ve doğl syı olmk üzere +=10 ise en çok kç olur? en z kç olur? + 0+1 0 1+11 11 +10 0 +9 7 4+8 +7 6+6 6 o hlde en çok 6 ve en z 0 olur Örnek ( ),,c,pozitif tmsyı = 4 ve c = 1 ise ++c nin en küçük değeri nedir? Bu tür sorulrd ortk oln değişkene, eşitlikte verilen syılrı ölen değerler verilmelidir c ++c 1 4 1 17 6 10 4 1 8 O hlde cevp 8 dir 99) (ÖSS- Örnek(6),,c,d pozitif tmsyılr ve 7 14 : = c ve : = d 10 4 olduğunu göre, c+d nin lileceği en küçük değer kçtır? Önce her iki ornd ynı oln ornını çekelim ve iririne eşitleyelim 7c 14d = ve = urdn 10 4 7 c 14d = 10 4 ornı elde edilir Gerekli sdeleştirmeler ypılırs c 4 = elde edilir d 9 O hlde 4+9=1 olur (ÖSS 00) Örnek(7) 6 klem, lik, 6 lık ve 8 lik guruplr yrılrk pketlenmiştir Toplm pket syısı 11 olduğun göre, içinde klem oln pket syısı en çok kçtır? lik gurup syısı, 6 lık grup syısı y 8 lik grup syısı z olsun +y+z=11 olcğındn y ve z ye küçük değer verilmelidir ki üyük olsun o hlde y =1 ve z= için = 8 olur (ÖSS 00) Örnek(8) 1 den 4 e kdr oln tmsyılr soldn sğ doğru yn yn yzılrk = 1 4 6 7 8 9 10 11 1 4 şeklinde 99 smklı ir syı elde ediliyor Bun göre soldn 0 Rkm kçtır? Bir smklı syılr 1 9 => 9 tne 0 9 =41 rkm kldı 9 dn sonrki syılr rkm içeriyor 0 syı 0=40 rkm eder önceden de 9 syı vrdı etti 9 sonrki syımı 0 ve izim ir rkm ihtiycımız vr od tür (ÖSS 00) wwwglolderscom

Örnek( 11 ) En üyük negtif tmsyı, en küçük pozitif tmsyıdn kç küçüktür? En üyük negtif tmsyı 1 En küçük pozitif tmsyı 1 O hlde 1 ( 1)= olur Örnek( 1 ),y,z iririnden frklı doğl syılr, +4y +z toplmının en küçük değeri kçtır? Sorud iririnden frklı dediği için en üyük ktsyılı değişkene en küçük değer verilmelidir O hlde z=0, y=1 ve = seçilirse sonuç: +41+0=10 olur Örnek( 1 ) ve kesirleri irer tmsyı elirtiyors in lileceği değerler toplmı nedir? Çrpmy göre tersi de ir tmsyı oln sdece 1 ve -1 syılrı vrdır Bu kesirleri 1 ve -1 e eşitleyerek i ullım =1 = = = 1 =- =7 o hlde +7=4 olur Örnek( 1 ),,cε Z + ve =1, c= ise ++c nin en üyük değeri en küçük değerinden kç fzldır? ÇÖZÜM :ortk oln olduğundn önce ye 1 ve i ölen değerler vermeliyiz c ++c 1 1 41 1 41 1=8 eder Örnek( 16 ),ε N olmk üzere +=18 şrtını sğlyn kç (,) ikilisi vrdır? yi çekecek olursk = 18 =6 18 = urd y ün ktı oln syılr verilmelidir O hlde ; 0 6 9 6 4 0 Dikkt: syısının er er,rttığını, un krşın nin şer şer zldığın dikkt edin O hlde 4 tne (,) ikilisi vrdır diyeiliriz Örnek( 14 ),y,zε Z ve y=, yz= 14 ise +y+z en z kçtır? ortk oln y olduğundn, y ye ve 14 ü ölen syılr verilmelidir y z +y+z 1 14 9 11 7 6 1 14 9 11 7 6 Tlodn d görüleceği üzere cevp -9 dur wwwglolderscom 4 Örnek( 17 ),yε N + için y = ise in en üyük değeri kçtır? ÇÖZÜM 1: = y + urd y ye değer vererek in lileceği en üyük değer ulunur Y eğer 16 seçilirse = 6+ = 89 olur ki 17 = 89 olduğund =17 çıkr (u yol uzun ve zhmetli olduğu için tvsiye etmem)

ÇÖZÜM : y ifdesi iki kre frkındn çılırs (u konu ilerde nltılcktır) ( y)(+y)= 1 (1) 11 () (1) den -y=1 ve +y= denklemleri çözülürse y = 1 +y = =4 =17 () den y=1 ve +y= denklemleri çözülürse -y = +y =11 =14 =7 olur görüldüğü gii in en üyük değeri 17 dir 8 Örnek( 18 ),ε N için + = 1 ise nın lileceği değerler toplmı kçtrı? Burd ye 8 i ölen syılr verilmelidir 4 8 10 11 1 4 8 Bu duruml nın lcğı değerler toplmı olur TEK VE ÇĐFT SAYILAR ile tm ölünen syılr çift syı, ölünemeyenlere de syı denir n Z olmk üzere çift syılr : n Tek syılr : n-1 yd n+1 T={-,-,-1,1,,,n-1,n+1} Ç={-6,-4,-,0,,4,6n,n+} t = syılr, ç = çift syılr Özellikleri: t ± t = ç t t = t n N + için t ± ç = t t ç = ç t n = t ç ± t = t ç t = ç ç n = ç dir ç ± ç = ç ç ç = c Kurl: Bir çrpm işleminde sonuç ise ütün çrpnlr tir Sonuç çift ise; çrpnlrdn en z iri çifttir Örnek( 19 ) ² 11= ise tir +47 9 = ise çift syıdır Örnek( 0 ) ir tmsyı ise;, 0, +,, 4 ifdelerinin hngileri hkkınd kesin ir şey söyleneilir? ifdesi içinde olduğundn çifttir 0 ifdesi içinde 0 olduğundn çifttir + çift ve tirudurumd çift + olur nın ne olduğu ilinmediğinden hkkınd, dolyısıyl hkkınd işey söylenemez 4 ifdesi içinde 4 olduğundn çifttir Örnek( 1 ),,c pozitif tmsyılrdır c+ 7 = ise AHD? A) c ise tir B) ise c çifttir C) çift ise c tir D) çifttir E) tir Bu tür sorulr içler dışlr çrpımı ypılrk şlnır wwwglolderscom c +7 = 10

Burd 10 çifttir c ve 7 ifdeleri hkkınd ise kesin hüküm verilemez Anck eşitliğin sğ trfı çift olduğundn c ve 7 y ikisi de çift, yd ikisi de olmlıdır Bu durumd cevp A şıkıdır Örnek(),,c irer tmsyı ve =c 1 olduğun göre, AH doğrudur? A) ve syılrdır B) ve çift syılrdır C) çift, syıdır D) syıdır E) + syıdır (ÖSS 00) = c-1 ifdesinde c çift( den dolyı) ve 1 de olduğundn eşitliğin sol trfı Ç+T=T olur Bu durumd sğ trfın d olmsı gerek (kurl: ir ifde ise ifdeyi oluşturn tüm terimler tir) o hlde ve olmlıdır yni Örnek( ) Bir sym syısı için 4+ ifdesi ise AH çifttir? Örnek( 4 ),yε Z için ise AH dim doğrudur? y çift + y+ 4 A) +4y çift C) y çift B) y+4 D) y çift E) + y Önce ve y nin lik çiftlik durumunu elirlemeliyiz y çift ise ve y den en z iri çift olmlıdır +y+4 ise +y olmlıdır Bu durumd d ve y den ylnız iri çift olmlıdır diyeiliriz O hlde ve y den irini irini çift seçerek denemeler yprız önce =1, y=0 sonr =0, y=1 değerlerini verelim A) 1+40= 1, 0+41=4 çift B) 0+41=4 çift, 1+40= 1 C) 1 0 = çift, 0 1 = 1 D) 1 0= çift, 0 1= E) 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1 u durumd her iki değer için de doğru oln şık E şıkkıdır A) 6 B) +7 C) + 4 D) + E) 7+9 4+ = TEK 4 çift ve olduğundn ifdesi çift olmlıdır Bu durumd çifttir y,0, gii çift değerler vererek şıklrdn doğru olnı uliliriz En kolyı 0 olduğundn 0 verelim Bu durumd 60 A) = 1 B) 0+7=7 C) 0 0+ 4= 4 çift D) 0 + = E) 70+9=9 O hlde cevp C şıkkı olur wwwglolderscom 6 Örnek( 4 ) ise AH dim çifttir? A) B) D) 1 C) E) + 1 + 1 ifdesinde çifttir Bu dıurumd, dolyısıyl olmlıdır y 1, gii değerler veririz 1 için doğruys için kontrol etmeliyiz A) 1 1 = 1 1 1 B) = 0 çift, = 1 ( 1) + 1 C) 1

1 1 D) = 0 çift 1 E) 1 1 + 1= O hlde doğru cevp D şıkkıdır Örnek( ) çift ir tmsyı olmk üzeri AH dim doğrudur? (I) (II) + + 1 + + (III) ( ) çift (IV) ( + ) çift A) I,II B) I,III C) II,III,IV D) I,IV E) Hepsi Bu soruyu diğerlerinden frklı olrk değer vermeden çözelim Ç(çift) olduğundn (I) doğru Ç + Ç+ 1 Ç+ 1--> dim (+ 1) (II) = + 1- -> Ç+ 1- -> nck çift olduğundn 0 d verileilir Bu durumd ifde tnımsız olcğındn (II) şıkkı dim doğru değil (III) negtif seçildiğinde ifde ir sit kesire döner ki o zmn d lik çiftlikten hsedilemez Çünkü lik ve çiftlik sdece tmsyılr hs ir durumdur yni u şıkt dim doğru değil (IV) Soru sdece lik çiftlik sorusu ise kuvvet pozitif tmsyı iken, kuvvet yokmuş gii işlem ypılilir (Ç+) Ç o hlde u şık dim doğrudur O hlde cevp D şıkkıdır Örnek( 6 ),y,z ε Z ve AHD doğrudur? y = z ise A) B) y ise z çift C) z D) ise y E) ise y çift içler dışlr çrpımı yprsk y =z y=z+ z+ Ç+ T tir O hlde y de tir Bu durumd ve y de olmlıdır Yni cevp D şıkkıdır Örnek( 7 ) + + 4 syısı doğl syı ise AHdim syıdır? A) + B) +1 C) +1 D) 4 + E) + +4 Ç+Ç Ç +Ç T ise T olmlıdır nin 0 olmsı hlinde nın yd çift olmsı mühim değildir, her hlükrd =1 olup tir B sıfır olmzs u durumd nin pozitif ve nın olmsı gerek Sonuç olrk hkkınd kesin ir hükmümüz olmdığındn; A) (+) Ç ( nın her durumu için) B) +1 elli değil C) +1 elli değil 4 + olrk düzenlersek D) 4 + ( ) ( ) 4 T ve Ç olduğundn T+Ç T olur E) + elli değil( nın ne olduğunu ilmiyoruz) POZĐTĐF VE NEGATĐF SAYILAR (+) + (+) = (+) (+) (+) = (+) (+) + ( ) Mutlk değerce (+) ( ) = ( ) ( ) + (+) üyük oln ( ) (+) = ( ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) ( ) = (+) (+) (+) = (+) (+) ( ) = ( ) ( ) (+) = (-) ( ) ( ) = (+) Pozitif syılrın tüm kuvvetleri pozitiftir Negtif syılrın kuvvetleri negtif, çift kuvvetleri ise pozitiftir wwwglolderscom 7

4 -,,( ) (- ) pozitif ( ),- negtif u tür sorulrd çift kuvvetin en çok kullnıldığı seçenekten şlmlıdır Çünkü çift kuvvetli ifde dim pozitiftir(sıfır hriç) Örnek( 8 ) negtif çift tmsyı ise AH her zmn pozitif tmsyıdır? A) + B) ( ) D) ( ) + 6 4 C) E) + 1 y z< 0 ifdesinde negtiftir y> 0 ifdesinde de pozitiftir y pozitif olduğundn z pozitif olduğundn y = 4 seçelim A) 4+= 1 negtif B) ( 4 ) = ( 7) negtif C) ( 1)=-4( 4 1)=+0 pozitif çift D) ( ( 4) ) + 6= 4 + 6 pozitif çift E) ( 4) + 1=17 pozitif O hlde doğru cevp E şıkkıdır Örnek( 9 ) negtif ir tmsyı ise AH pozitiftir? A) ( ) B) ( ) C) ( ) = 1 olsun D) E) 4 A) ( ( 1)) = 1 negtif B) ( ( 1) ) C) ( ( 1) ) = ( ( 1))= 1 negtif = ( (+1))= ( 1)=+1 pozitif D) ( 1) = 1 negtif 4 E) ( 1) = 1 negtif O hlde cevp C şıkkıdır +y<0 ifdesinde y pozitif olduğundn sonucun negtif çıkmsı için in negtif olmsı gerek sonuç olrk cevp (,+ ) Örnek( 1 ),y,z pozitif tmsyı ve >y>z y olmk üzere + = 17 ise +y+z nin en z üyük değeri nedir? Burd z ye y yi ölen syılr verilmelidir ki sonuç tmsyı olsun Bu durumd en çok 1, y=14 ve z=7 seçilirse 1+14+7=6 olur Not: (Đşlem sırsı): Đşlemlere öncelikle prntez içlerinden şlnır sonr sırsıyl üslü syılr, çrpm ve ölme,toplm ve çıkrm işlemleri ypılr Örnek( ) 8: +4 6:=? Önce çrpm ve ölme ypılcğındn + y< 0 Örnek( 0 ) y z< 0 y> 0 işretleri sırsıyl nedir? ise,y,z nin 8: +4 6:= 4+8 =4 olur Örnek( ) Biririnden frklı pozitif,,c tmsyılrı için c=0 ve <<c ise kç frklı ++c vrdır? wwwglolderscom 8

c ++c 1 1 18 1 10 14 1 6 1 10 O hlde 4 frklı ++c vrdır Örnek( 4 ),,c,d tmsyılrı için cd=1 ise ++c+d nin en üyük ve en küçük değerlerinin toplmı nedir? c d ++c+d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Toplmlrı d 0(sıfır) olur Örnek( ) <0<y<z ise işretini ulun y - z z - y - z y zy y - y şğıdkilerin - z y - ( 1) 1001 negtif? ( ) = ( 1) 1000 pozitif, ( ) 0 = 0 Örnek( 6 ) Z + ve 4+1 + ir syı ise şğıdkilerden hngisi çifttir? A) 1 + B) +9 C) D) + E) + Tek çift sorulrınd kuvvet pozitif ir tmsyı ise ihml edileileceğini söylemiştik 4+1 + + +1 T ise Ç olmlıdır u d nın çift olmsı demektir = seçersek A) 1 +=1+= T B) +9=1 T C) = 1 T D) +=98 Ç E) +=16 T Cevp D şıkkı olur? = 1, y=1 ve z= olsun -1-1- (-1) y - z 1- = = 1-1 z - y -1 1 = = - - z -1- y -1 = = zy z y - y = - z = y - -11-1-1 = -1 - = = - 1 ( + ) (-) (-) ( + ) (-) YAZAN: ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU Mtemtik Öğretmeni wwwglolderscom NOT: şğıdki küçük örnekleri konunun iyi nlşılmsı için inceleyelim pozitif ( ) 4 pozitif ( ) negtif 4 negtif wwwglolderscom 9