Orn - Orntı YILLAR 00 00 004 00 006 007 00 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - ORAN ORANTI Orn: En z iri sıfırn frklı ynı insten iki çokluğun ölümüne orn enir Orn irimsizir Orntı : iki ve h fzl ornın eşitliğine orntı enir orn wwwglolersom orntı ORANTININ ÖZELLİKLERİ ) ) ) 4) vey ± ± ) m 0 ve n 0 k ± ± n± m k n± m 6) m 0 ise k m m : m k, : m 7) m R, ± m ± m k e ) k ::e ::f k f 9) vey e f ise t t t t te f e tf yzılilir Not: (seleştirme) işlemlerimizin çoğun seleştirme oluğunn u konumuz seleştirme tekniklerini öğrenelim Aşğı kimlerin seleştirileileeği, kimlerin seleştirilemeyeeği çıklnmıştır Dikktle ineleyin ht ypmyın Kimler seleşir, kimler seleşmez,,, ÖRNEK( ) y z ve + + 4 ise + y + z? Öne, ve yi yrı yrı ullım y z y z y z y 7 z 7 z şimi u eğerleri + + ifesine 4 yzlım + + + + 4 4 y z y z + + 4 + y+ z 4 + y+ z 0 ulunur z
ÖRNEK( ),, Z + ve ise,, yi sırlyınız,, pozitif oluğunn ifesini + e eşitleyelim 7 7 7 şimi, ve yi yrı yrı ullım 7 7 7 7 7 şimi ulunn rsyonel eğerleri sırlylım 6,, 4 7 4 4 (7) () (7) pylrı eşit rsyonel syılrn pyı üyük oln h üyüktür O hle evp >> olur BİR DE SİZ ÇÖZÜN: ifeyi + yerine +4 seçseyik işimiz h koly oluru Siz u soruyu ir e 4 e eşitleyip çözün(seleştirme ypmyı unutmyın yoks iş h zorlşır) + + ÖRNEK( ) ise? Öne ile rsınki ğıntıyı ullım + + + oluğun göre yerine zılilir ( ) ( ) + + + 6 Orn - Orntı 4 olur ÖRNEK( 4),y,z Z + y z ve y-z 0 ise + z y? 4 Orn orntının u tip sorulrın genele uygulığımız yöntem orntıyı ir k eğişkenine(orntı siti) eşitlemektir y z k urn 4 k, y k, z 4k ulunurşimi u eğerleri enkleme yerine yzlım y-z 0 ( k)( k) ( 4k) 0 k(k 4) 0 k 60k 0 k 0 k 0 ve k-4 0 k 4,y,z Z + oluğunn k 0 ır u yüzen k 4 lınır Bu şmn sonr yol k4 için k 4 y k 4 0 z 4k 44 6 + z y +6-0 -0 olur yol + z y k+4k-k 7k-k k 4 olur ÖRNEK( ) ise? 4 ve + + 6 wwwglolersom
Orn - Orntı Öne verilen orntıyı ters çevirip k y eşitleyelim 4 k 4 ÖRNEK( 7) + y 7 y y 0 ise +y? k 4 k 4 4 k k k 4 şimi verilen u eğerleri enkleme yzıp k yı ullım k k k + + + + 6 4 6 (4) ()(6) () 4k k 6k 6 + + 4k+ k+ 6k 6 () () k k 6 k k k k k 6 6 6 olur ÖRNEK( 6) A) D) 4 y wwwglolersom ise B) y C) y 6 9 E) + 6 y+ k AHYnlıştır? y y A,B ve C şıklrı zten özelliklere vr D şıkkı 4 Herikitrfın kresilınırs 4 6 9 oğru geriye E şıkı klıyor ki orn orntı öyle ir özellik e işlem e yok o yüzen ynlış oln E şıkkıır Orntıyı k y eşitleyelim + y y y k yrı yrı k y 7 0 eşitleyelim + y y y k, k, k 7 0 + y 7k y k y 0k +y 7k + -y k 0k k ve y k y 0k oluğunn kk 0k 0k 0 k ulunur +y 7k 7 NOT:,, syılrı sırsıyl,,4 ile (oğru)orntılı ise k, k, 4k k k k Ters orntılı ise,, lınır 4 (k,orntı siti) ÖRNEK( ) Üç küpün yrıtlrı,,4 syılrıyl orntılıır Alnlrı toplmı 696 m ise en küçük küpün lnı kç m ir? Küplerin yrıtlrı,, olsun Orntı konusun orntı çeşii elirtilmeiği müetçe oğru orntı kul eileeğinen k, k, 4k lınırs (küpün ir yrıtı olmk üzere lnı 6² ir) küpün lnı 6(k)² 64k² 4k² küpün lnı 6(k)² 69k² 4k² küpün lnı 6(4k)² 66k² 96k² + 74k²
74k² 696 k 4 km 74 74 ln negtif olmyğınn k lınır küp en küçük küptür ve lnı 4k²4²4496 ulunur Orn - Orntı ÖRNEK( ) Ali nin yşının Bekir in yşın ornı /, Bekir in yşının Leyl nın yşın ornı /6 ise Ali nin yşının Leyl nın yşın ornı neir? ÖRNEK( 9) :y:z? + y z z y+ z 7 6 ise Ali Bekir Ali,? Bekir Leyl 6 Leyl orntı yine k y eşitlenirse: + y z z y+ z k 7 6 +y-z 7k, -z k, y+z 6k istenmeyen Bekir oluğunn Bekir i yok eeek ir işlem ypmlıyız Bu yn yn çrpmkl olur Ali Bekir Bekir Leyl 6 Ali olur Leyl { z+ y 7k y4k k y+z 6k 4k+z 6k z k -z k -k k k o hle :y:z :4: ulunur ÖRNEK( 0),y,z syılrı sırsıyl,, ile orntılıır +y +z 0 ise ( 4y+z) ifesinin pozitif eğeri neir,y,z syılrı sırsıyl,, ile orntılı ise k, y k, z k lınırs +y +z 0 (k)²+(k)²+(k)²0 k²+4k²+9k² 0 4k² 0 4 4 k² km ÖRNEK( ) :y:z7:9: ise y z :? y z y z :y:z 7:9: k 7 9 7k, y 9k, z k olur urn y z 9k 7k k 7k : : y z 9k k k k : 9k k 9 4 ulunur y+z k-4(k)+(k)k-k+9k k ulunur sonuun pozitif olmsı isteniğinen k lınır k 0 olur wwwglolersom 4 ÖRNEK( ) e f e f 64 orntısın ise?
e e k k, k, k f f e e 64 64 kkk 64 f f k 6 k 6 k 4 o hle k 4 ulunur + ÖRNEK( 4) k ise? - (k insinen) k k+ (k+ ) nın insinen uluğumuz u eğerini soru yzlım + (k+ ) + (k+ + ) k+ - (k+)- (k+ ) k ele eilir + ÖRNEK( )? + İçler ışlr çrpımı ypmkl şlylım + + + + + + + 6 ulunur 6 Orn - Orntı ÖRNEK( 6) 94 grmlık krışımki me miktrlrı A,B,C ir A B, B C 4 9 ise A? Bu tür sorulr orn orntının klsik sorulrınnır İlk ypılk şey ortk oln eğişkenin krşılrı py eşitlenir gii eşitlenir Ortk oln B oluğunn, B lerin krşısı eşitlenir A 4 B 4 A B 0,, B 4 C 9 B 0 C 4 orntı siti evreye girsin Ak, B0k, C4k A+B+Ck+0k+4k94 77k 77 94 77 k sır A yı ulm A k 44 ulunur ORANTI ÇEŞİTLERİ ) DOĞRU ORANTI: Bir çokluk rtrken iğeri e rtıyor, y iri zlırken iğeri e zlıyors u iki çokluk oğru orntıır enir(ur k y orntı siti enir) wwwglolersom
Orn - Orntı ÖRNEK( 7) + ile y oğru orntılıır iken y ise 7 iken y? Öne orntımızı kurlım + k şimi e ilk eğerleri yzıp k yı y ullım + + k k k y son olrk i yerine yzıp y yi ullım + 7+ y y y 0 y y ulunur ÖRNEK( ) Bir üçgenin iç çılrı,4 ve ile oğru orntılıır en üyük ış çı kç olur? Bir üçgenin iç çılrı 0 ereeir Verilen üçgen çılrını k orntı sitiyle ife eelim Açılr : k,4k,k Bir üçgenini iç çılr toplmı 0 eree oluğunn k + 4k + k k 0 k en üyük ış çı en küçük iç çı oluğunn küçük çı k4 ve u çının ış çısı 0-4 tir ) TERS ORANTI: Bir çokluk rtrken iğeri zlıyor y iri zlırken iğeri rtıyors u çokluklr ters orntıır enir (ur k y orntı siti enir) ÖRNEK( 9) Grfik ters orntıy işret eiyor Grfik üstüneki noktlr grfiğin enklemini sğlyğınn; Grfik üstüneki noktlr 4 iken y ve m iken y 6 ır k y enklemine öne ilinen ve y eğerleri yerine yzılır ve k ulunur öne 4 ve y eğerlerini yzlım k y k y 4 64 son olrk m ve y6 eğerlerini kullnlım k y 6 6m 6 m m ulunur wwwglolersom 6
ÖRNEK( 0) + ile y ters orntılıır iken y4 ise y iken? Yine öne orntıyı yzlım (+)(y-)k yine öne ilinen eğerlerle şlylım için y4 yzlım (+)(y-)k (+)(4-)k k40 son olrk y için i ullım (+)(y-)0 (+)(-)0 + 0 9 ulunur ÖRNEK( ) işçi ir işi 0 güne yprs işçi ynı işi kç güne ypr? Orntı çeşiini elirlemek u sorulr çok önemli u soru işçi syısı rttıkç işin itme süresi zlığınn ters orntı vrır işçi 0güne işçi güne Ters Orntı 0 6 güne ypr ) KARIŞIK ORANTI syısı ile oğru, ile ters orntılı ise k yzılır(k, orntı siti) ÖRNEK( ) syısı + ile oğru, ile ters orntılıır ve iken 7 ise ve iken kçtır? Orntıyı kurlım ( ) k (+ ) ilk işimiz k yı ulmk wwwglolersom 7 Orn - Orntı, ve 7 için ( ) (7 ) 0 k k k k (+ ) (+ ) 6 şimi e yı ullım ve ise ( ) ( ) (+ ) (+ ) olur 4) BİLEŞİK ORANTI: İçine ikien fzl orn ulunn orntılr ileşik orntı enir Çözüm yollrı ) Orntı iş elli ise İş Diğerleri İş Diğerleri ) İş elli eğilse orntılrın çeşiine krr vermeli h sonr kim neyle çrpılk onu elirlemeli Belirleyii iye yzığımız sütun ile öne sütunu kptıp ikini sütunun orntısın krr veririz Aynı işlemi iğer sütun için e yprız Yni sütun kptılıp sütunun orntısın krr verilir Orntılr krr verikten sonr yine sütun kptılıp sütun ile elirleyii sütun rsınki çrpım çizgilerine krr verilir ynısı iğer sütun için e ypılır Çizgiyi çizmeye inmeyenen şlnır Çizilenler keni rsın, çizilmeyenler keni rsın çrpılır Aşğıki örnekleri ineleyin örnek Isütun sütun sütun e Doğru Or Doğru Or (elirleyii) Isütun sütun sütun e Doğru Or Doğru Or (elirleyii) Şimi ikisini ğlyğız öne ile sonr ile çrpılmsı gerektiğinen çizgimiz öne ye orn y gitmeli
Isütun sütun sütun e Doğru Or Doğru Or (elirleyii) İşlemimiz : e örnek yukrıki yollrı izleiğimize Isütun sütun sütun e Ters Or Doğru Or (elirleyii) (sütunki ile in çrpılmsı için in ilk çrpılığı en sonr ile çrpılmsı gerekir İşlemimiz : e ÖRNEK( ) Eş güçte işçi 0 metre knlı güne tmir eiyor Bun göre ynı nitelikteki işçi 4 metre knlı kç güne tmir eer? ÖRNEK( 4) işçi 0 m güne işçi 4 m güne ypıln iş elli oluğunn orntı çeşitlerini ulmy hi gerek yoktur Direk çözüme geçeriz İş Diğerleri 0 İş Diğerleri 4 (rtık seleştirmeyi öğreniğinize göre siz seleştirmeye şlyın iz evı yzlım ) Cevp ulunur ÖRNEK( ) k tne işçinin st çlışmsıyl 0 güne itirileilen ir iş, işçi syısı rttırılrk ve güne 0 st çlışılrk 0 güne itiriliyor Bun göre k şğıkileren hngisi olilir? A) B) 0 C) 9 D) E) 7 (ÖSYS 000) Orn - Orntı K işçi işi s 0 güne H işçi işi 0 s 0 güne İş Diğerleri k0 İş Diğerleri h00 k h h ir tmsyı oluğunn k nın ile ölünmesi yni in ktı olmsı gerek Şıklrın içine ir tek B şıkkı ile tm ölünür Cevp B şıkkıır ) DÖRDÜNCÜ ORANTILI: orntısın ele eilen e örünü orntılı enir ÖRNEK( 6) 4, ve syılrının örünü orntılısı kçtır? Kurl uygulnırs 4 6 ulunur ÖRNEKLER ÖRNEK( 7) kın güne 6 hlı okurs, 4 kın güne kç hlı okur kın güne 6 hlı 4 kın güne hlı ypıln iş hlı okum oluğunn İş Diğerleri 6 seleştirmeler İş Diğerleri 4 ypılığın ulunur wwwglolersom
ÖRNEK( ) trktör 0 önüm trlyı güne st çlışrk 6 güne sürüyor 7 trktör önüm trlyı güne st çlışrk kç güne sürer? trktör 0 öntr s 6 güne 7 trktör öntr s güne ypıln iş trl sürme işi oluğunn İş Diğerleri 0 6 İş Diğerleri 7 seleştirmeleri yprsk 9 uluruz ÖRNEK( 9) Üç kişi ir miktr evizi keni rlrın,4 ve syılrıyl orntılı olk içime pylşıyorlr En çok eviz ln kişi 6 eviz lığın göre en z eviz ln kç eviz lmıştır? See orntılıır iyors u oğru orntı emektir Kişiler,, olsun k, 4k, k en çok eviz ln oluğunn k 6 k 7 olur En z eviz ln oluğunn k 7 eviz lmıştır z + z ÖRNEK( 0) 0, y t 6y+ 6 ise t? n± m Bu soru k k n± m özeliğini kullnğız Ylnız ufk ir sorunumuz vr o pyki ktsyılr py uymuyor uyurğız Orn - Orntı + z + z 0, 0, 6y+ 6 (y+ ) + z 4 ( 0,) 0,4 y+ 0 + z şimi olu y+, ile çrpılmış, y e ile çrpılmış z, ile çrpılmış t e ile çrpılmlı ki orntı siti ozulmsın Yni şöyle olmlı + z + z y+ y+ t kın yerine t gelmeliyieşitleyelim t t 4 ulunur ÖRNEK( ), ve 0 yşlrınki üç kreşe ir miktr pr yşlrı ile ters orntılı olrk pylştırılktır En küçük ile en üyük kreşin lıklrı prlrın toplmı 000 ise ortnnın lığı pr kç lirır? Orntı sitimiz her zmnki gii k olsun Kreşler Küçük : k Ortn : k Büyük : k 0 k + () k 0000 () k 000 60 00 k 6000 90000 Ortn : k 90000 000 ulunur ÖRNEK( ),0, yşlrınki üç kreşe yşlrı ile orntılı olrk hrçlık veren ir 99 milyon pr ğıtıyors ortn kreş kç lir lır? wwwglolersom 9
Küçük : k Ortn : 0k + Büyük : k kreşler : k k 99 k Ortn : 0k 0 0 lmıştır ÖRNEK( ),, Z + olmk üzere; ise ++ şğıkileren hngisi olilir? A) B) C) 4 D) 6 E) 06 (özelliklerimizi kullnlım Orntıyı ters çevir) k k k,, irer tmsyı iseler k k py,, klmmlı k k yni k;,, ile ölünmeli (k syısı,, nin ir ktıır) o hle Okek(,,)0 oluğunn k0 seçilir(u tutmzs sıryl 0,60,90 eneriz) k 0 0 k 0 0++ k 0 tutmıe o zmn 60 ı eneyelim k, iki ktın çıktığın(yni 60 oluğun) toplm iki ktın çıkr yni 06 olur ki u E şıkkını işret eer ÖRNEK( 4) ::? + + + k 4 Orn - Orntı + + + ise 4 ++ k + k - 4k şimi enklemleri kullnrk,, leri k insinen ullım + { + k k k - 4k k- 4k k + k +kk k o hle :::: ulunur ÖRNEK( ),y,z R olmk üzere; 4 ise,y,z nin sırlnışı? 4 y z,y,z negtif oluğu için orntıyı - e eşitleyip,y,z yi çekelim 4 4 y z 4 4 y y 4 4 z z kesirleri sırlmk için pylrını eşitleyelim 4, y, z 4 (4) () () 4 4 4, y, z 6 0 Bu kesirler pozitif olsyılr pysı küçük oln h üyük oluru z>y> Ank u kesirler negtif oluklrınn z<y< olur wwwglolersom 0
Orn - Orntı KURAL; D, Doğru orntı --- T, Ters orntı yı göstersin ile y D, y ile z D ile z D ile y T, y ile z T ile z D ile y D, y ile z T ile z T ile y T, y ile z D ile z T ilişkisi vrır ÖRNEK( 6) 9, 4,, e oluğun göre AHDoğruur? A) ile oğru orntılıır B) ile e ters orntılıır C) ile e ters orntılıır D) ile e oğru orntılıır E) ile oğru orntılıır B ile oğru, ile ters ile ters B ile ters, ile e ters ile e oğru O hle evp D şıkkıır ORTALAMA ÇEŞİTLERİ ) ARİTMETİK ORTA n tne syının ritmetik ortsı; + + + n AO n ÖOSAO + ) GEOMETRİK ORTA n tne syının geometrik ortsı G O n n ÖOSGO (iki syının geometrik ortlmsın özel olrk ort orntı enir) wwwglolersom ) HARMONİK ORTA n tne syının hrmonik ortsı; HO + n + + ÖO S HO + n NOT: ( GO) ( AO)( HO) NOT: iki syının herhngi iki ortlmsı eşit ise u iki syı eşittir ÖRNEK( 7),y R olmk üzere ; ( y ) ile ( 6-0y-9) + + syılrının ritmetik ortsı geometrik ortsın eşitse +y? ²+y²+ 6-0y-9 ² 44 6+ 9+ y² + 0y+ 0 444 (-)² + (y+)² 0 iki syının kreleri toplmı sıfır ise u syılr y zıt işretli vey ikisi e sıfır olmlı irinen iri negtif olmyğın göre (çift kuvvet ) ikisi e sıfırır - 0, y+ 0 y - o hle +y - - olur NOT: iki syının ritmetik ortsı, geometrik ortsınn im üyük vey eşittir İSP: 0 + 4 4 ( ) ( ) ( + ) ( + ) 4 4 +
+ ÖRNEK( ) eğeri kçtır? ifesinin en küçük Orn - Orntı İfeyi iki syının ritmetik ortsı şekline göstermeye çlışlım + + + + şimi ele eilen ife ve in ritmetik ortsın önüştü + + o hle en küçük eğer olur ÖRNEK( 9) ve sıfırn frklı pozitif syılrır +, + ise? + + + 6 { + 67 } + + 9 9 6 u eşitliği sğlmsı için ve seçilirse 9 4 4 4 ulunur Syılrımız m ve n olsun mn mn mn ( ) ır ÖRNEK( 4) 0 kişilik ir sınıfın / i kız ır Kız öğrenilerin mtemtik ersi not ortlmsı 6, erkek öğrenilerin mtemtik ersi not ortlmsı ir Bu sınıfın mtemtik ersi not ortlmsı neir? Kız öğreniler : 6 0 kişi Erkek öğreniler : 0 kişi KızNotTop KızNotOrt Kız öğr syısı Kız Not Top 6 KızNotTop 0 Erkek Not Top Erkek Not Ort Erkek öğr syısı Erkek Not Top ErkekNotTop 96 ErkekNotTop+ KızNotTop Sınıf Not Ort Tüm ÖğrSyısı 96+ 0 04 6,ulunur 0 0 ÖRNEK( 4) ve 7 yşlrın iki kreş ir miktr pryı küçüğü yşı ile oğru, üyüğü yşı ile ters orntılı olrk ölüşüyorlr Pylrı ornı kçtır? ÖRNEK( 40) İki syının geometrik ortsı, ile u iki syının geometrik ortsı ise neir? wwwglolersom
Orn - Orntı Orntı sitimiz k olsun Küçük k, Büyük k 7 Pylrı ornı : k k 7 ulunur k k 7 ÖRNEK( 4) kişinin yş ortlmsı ir Üç sene sonr kç olur? Üç sene sonr herkes yş üyüyeeğinen ortlm yş rtr + olur YAZAN İBRAHİM HALİL BABAOĞLU Mtemtik Öğretmeni wwwglolersom e-mil: irhimhlil@mynetom wwwglolersom