a , 3, π v.b sayılardır.

Transkript

1 . BÖLÜM: TEMEL KAVRAMLAR. A RAKAM VE SAYI KAVRAMI Rkm: Syılrı ife etmek için kullnıln { 0,,,,,,6,,8, 9} semollerinen her irine rkm enir. ÖRNEK:, rkm olmk üzere; + = ise. nin lğı en üyük eğer neir? ÇÖZÜM:. nin en üyük eğer lilmesi için ile nin frklrının en z olmsı gerekmekteir. Bu neenle toplmlrı veren 6 ve olup;. = 6.= ır. ÖRNEK:, iririnen frklı rkm olmk üzere; + = ise. nin lğı en küçük eğer neir? ÇÖZÜM:. nin en küçük eğer lilmesi için ile nin frklrının en fzl olmsı gerekir. Bu neenle toplmlrı,rkmlrı frklı 9 ile olur..=9.= olur. Syı: Rkmlrın ir çokluk elirteek şekile ir ry getirilmesiyle oluşn ifeye syı enir. Her rkm syıır. Fkt her syı rkm olmz.. B SAYI KÜMELERİ. Sym Syılr: en şlyıp sonsuz kr evm een,,,... şekline gösterilir. syılrır. S = { } ÖRNEK:. iririnen frklı sym syılr olmk üzere; + = ise. nin en üyük eğeri neir? ÇÖZÜM: + = ise ile frklrı en z oln ile olup,.=.=6 ır. Doğl Syılr: 0 n şlyıp sonsuz kr gien syılrır. N = { 0,,,,...} şekline gösterilir. ÖRNEK:, frklı iki oğl syı olmk üzere; + = ise. nin en üyük eğeri ile en küçük eğerinin toplmı neir? ÇÖZÜM: + = ise =. = 9.8= 0 + =. = 0.= 0 olup toplmlrı: olur.. Tm Syılr: Z = {...,,,,0,,,....} kümesine tmsyılr kümesi enir. + Pozitif tmsyılr: Z = {,,,...} + Negtif tmsyılr: =,,,..., Z = Z { 0} Z ır. Z { } Sıfır ir tmsyıır. Fkt pozitif vey negtif eğilir. Yni işretsizir. ÖRNEK:,, tmsyı olmk üzere;. =,. = 0 ise.. en çok kçtır? ÇÖZÜM: =, =, = 0 lırsk;.. =.().(0)= 0 olur.. Rsyonel Syılr: Q= :, Z, 0} kümesine rsyonel syılr kümesi enir.. İrrsyonel Syılr: Rsyonel olmyn syılr irrsyonel syı enir.virgülen sonr üzensiz evreen syılrır. Q ile gösterilir.,, π v. syılrır. ÖSS Mtemtik- 6. Reel Syılr: Rsyonel syılr kümesi ile irrsyonel syılr kümesinin irleşimine reel syılr kümesi enir.r ile gösterilir. R= Q Q şekline ife eilir. Syı kümeleri rsın; S N Z Q R ğıntısı vrır. Tmsyılr İşlemler ) Toplm ve Çıkrm: Aynı işretli iki tmsyı toplnırken,syılr toplnır ve ortk işret yzılır.ters işretli iki tmsyı toplnırken syı eğeri üyük olnn küçük oln çıkrılır ve üyüğünün işreti verilir. Çıkrm işlemi toplmy çevrilerek ypılır. Yni çıkn syının işreti eğiştirilerek toplm ypılır. ) Çrpm ve Bölme: Çrpm işlemine ynı işretli syılr rtı,ters işretliler eksi işretini lır. Bölme işlemi e çrpm oluğu giiir. Biren fzl işlem gerektiren sorulr işlemler elirli sıry göre ypılır. Önelikle vrs prntez içineki işlem, sonr çrpm vey ölme en son toplm vey çıkrm ypılır. ( + = :.( ) = ( ). =. [ 0 : ) ( ) ] ( )?.?.?.,, pozitif tmsyılr olmk üzere; + + = 0 ise en fzl kç olur?., Z + olmk üzere, + = 00 ise nın lileeği kç eğer vrır? C SAYI ÇEŞİTLERİ kesrini tm syı ypn kç tne tm syısı vrır? ifesini tmsyı ypn kç pozitif tmsyısı vrır?. Çift Syılr: ile tm olrk ölüneilen syılr çift syı enir. Ç= {...,,,0,,,...} ir. Çift syılr genel olrk n ile gösterilir. (n Z ). Tek Syılr: ile tm olrk ölünemeyen syılr tek syı enir. T= {...,,,,,...} ir. Tek syılr genel olrk n- vey n+ şekline gösterilir. T+T=Ç TT=Ç T.T=T n Z + T+Ç=T TÇ=T T.Ç=Ç T n = T Ç+Ç=Ç ÇÇ=Ç Ç.Ç=Ç Ç n = Ç. Pozitif ve Negtif Syılr: Sıfırn üyük syılr pozitif, sıfırn küçük syılr negtif syılr enir. ) >0 ve >0 + > 0,. > 0, : > 0 ır. ) <0 ve <0 + < 0,. > 0, : > 0 ır. ) >0 ve <0. < 0, : < 0 ır. ) >0 ve n R n > 0 ır. ) <0 ve n tek syı n < 0 ır. 6) R ve n çift syı n > 0 ır.

2 ., oğl syı olmk üzere; = ise şğıkileren hngisi oğruur? tek syıır çift syıır tek syıır çift syıır tek ise tektir. n+9 syısı çift syı ise hngisi kesinlikle tek syıır? n +n n+ n-8 n -n n +n+.,, pozitif tm syılrır. + 6 = ise şğıkileren hngisi oğruur? tek ise tektir tek ise çifttir çift ise tektir çifttir tektir.,, sıfırn frklı irer tmsyı ve += oluğun göre; ++ toplmı şğıkileren hngisine eşit olilir? 0.. tek syı ise + toplmı ne olilir? 0 6., ve pozitif tm syılr olmk üzere;. = 8,. = ise ++ toplmının en üyük ve en küçük eğerinin frkı neir? ,y,z çift syılr olmk üzere şğıkileren hngisi tek syıır? y y z +y+z +y+z+ 8.,, pozitif tm syı olmk üzere; + ( + y) z = ise hngisi kesinlikle oğruur? tek ise tektir tek ise çifttir çifttir çift ise e çifttir çift ise çifttir 9.,, pozitif tm syılr ve =, = oluğun göre ++ toplmının en küçük eğeri kçtır? (ÖSS-99) m 0. m ve n tm syı olmk üzere, oluğun göre şğıkileren hngisi ir çift syıır? = n + m + m+ m +m+ m -m m+..+ = eşitliğine ve tmsyılrır.eşitliği sğlyn kç tne tmsyı ikilisi vrır? , Z olmk üzere.+=-6 eşitliğini sğlyn en üyük tmsyısının eğeri kçtır? 0 8. Üç smklı 9KM syısı iki smklı KM syısının ktıır. Bun göre K + M kçtır? 6 9. ir tmsyı oluğun göre, şğıkileren hngisinin sonuu kesinlikle çift syıır? (ÖSS-00) , y, z irer tmsyı ve y > 0, z > 0 ır..y = ve.z = oluğun göre, + y + z toplmının eğeri neir? 0 6. <<0< oluğun göre, şğıkileren hngisi kesinlikle negtiftir?.. (+) ()... 8., oğl syılrı için; = 9 ise + =? 8 8. D FAKTÖRİYEL en n ye kr oln oğl syılrın çrpımın n fktöriyel enir ve n! içimine yzılır. n! = n.(n-).(n-)... n! = n.(n).(n)! (n)! = (n).(n)! (n+)! = (n+).(n+)(n+)!!=...=0! =.! yzılilir. Bzı oğl syılrın fktöriyeli: 0! =! = 0 ( Birler smğı sıfırır.)! = 6! = 0 ( Birler smğı sıfırır.)! = 9! = 0 ( Birler smğı sıfırır.)! = 6! = n olmk üzere n! syısının irler smğı sıfırır...! =? 6! 9! + 8! =? 9! 8! ( n + )! = 0 n = ( n + )!.0! +! = 9!!.0! = 0.0 ise pozitif tmsyısı kçtır?.?.?.! 6.!= A oluğun göre;!! ifesinin A insinen eğeri neir? 8.! syısının sonn kç smğı sıfırır? ,,6,,9 rkmlrını kullnrk yzıln, rkmlrı iririnen frklı, eş smklı KMPTS syısın K + M = T + S ir. Bu koşullrı 8.! m. n sğlyn kç tne eş smklı KMPTS syısı vrır? (ÖSS-000) ÖSS Mtemtik- = oluğun göre, en üyük m oğl syısı kçtır?

3 9.! +! +! + + 0! syısının irler smğı kçtır? 0 6! 0., N ve = oluğun göre; 8 oğl syısının en üyük eğeri neir? 6.! + 6! +! toplmının sonn kç smğı sıfırır? !! frkının son iki smğı şğıkileren hngisiir? ! +! Toplmının sonn kç smğı sıfırır? 6. E ARDIŞIK SAYILARIN TOPLAMI Belli ir kurl göre rtrk eğişen syı izilerine rışık syılr enir. n tm syı olmk üzere; Arışık tm syılr : n,n+,n+,... Arışık çift syılr : n,n+,n+,... Arışık tek syılr : n-,n+,n+,... Arışık in ktlrı : n,n+,n+0,... şekline gösterilir. Arışık syılrın sonlu toplmlrı. Arışık syılr: n= n( n +) ir.. Arışık çift syılr: n=n.(n+) ir.. Arışık tek syılr: (n-) =n ir.. Genel toplm formülü: r ilk terim, n son terim ve rtış miktrı olmk üzere; r ( n + r)( n r + ) ( r + ) + ( r + ) n = n r + ir. n.( n + ).(n + ) n = ır. 6.! +.! +.! n. n! = ( n + )! ir. + ir.. Terim syısı = toplmı kçtır? toplmı kçtır? toplmı kçtır? =?..! +.! +.! + +.! toplmının irler smğınki rkm kçtır? işleminin sonuu kçtır? Arışık 9 oğl syının toplmı 6 ır.bu syılrın en küçüğü kçtır? 8. Arışık 0 pozitif tek syının toplmı 80 ise en küçük syı neir? 9 9. T = olsun.t toplmının her ir teriminin ikini çrpnı irer zltılırs T toplmı kç zlır? = = ise kçtır? X= Y= oluğun göre; Y toplmı X toplmının kç ktıır? n ir oğl syı olmk üzere; en n ye kr oln oğl syılrın toplmı X, 0 n n ye kr oln oğl syılrın toplmı Y ile gösteriliyor. X +Y = oluğun göre X kçtır? en n ye kr oln n tne oğl syının kreleri toplmı; T= n ir. Bu n tne oğl syının her iri rtırılığın T kç rtr? n n n(n+) n(n-) n(n+) = ise eğeri hngisiir? 9. Arışık iki tek oğl syının kreleri toplmı 80 oluğun göre u iki syının toplmı kçtır? İki smklı iki syının çrpımı ile u iki syının her ir rkmının er rttırılığınki çrpımı rsınki frk 06 ise u syılrın toplmı kçtır? 9 9. Arışık iki pozitif tmsyın küçük olnın ktı ile üyük olnın ktının toplmı 0 ir. Bun göre küçük syı kçtır. (ÖYS-99) BÖLÜM: BASAMAK KAVRAMI VE TABAN ARİTMETİĞİ. A SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ Bir oğl syıyı oluşturn rkmlrn her irine u syının smğı, u oğl syının tnımlnığı sym sistemine e syının tnı enir.,,, irer rkm olmk üzere; = 0. + = = içimine çözümlenir.. ve iki smklı syılrır.+=66 oluğun göre; + toplmı kçtır? 6 8. İki smklı ir syının,rkmlrının yerleri eğiştirilirse syı üyüyor. Bun göre, u syının rkmlrı rsınki frk neir? ÖSS Mtemtik-

4 . Aşğı verilen ikişer smklı ört syının toplmı 6 ve K L oluğun göre KL syısının en küçük eğeri neir? KK LK KL + LL üç smklı syısı syısının kç ktıır?.,, üç smklı syılrın toplmı oluğun göre; ++ kçtır? 6 6. İki smklı ir syı rkmlrı toplmının ktı oluğun göre, u syılrn kç tne vrır? 6 () ()., rkm olmk üzere; =? = 6 + ise nin en üyük eğeri ile en küçük eğeri rsınki frk kçtır? Her iri,en z üç smklı oln eş syının her irinin irler smğınki rkm küçültülür,onlr smğınki rkm küçültülür ve yüzler smğınki rkm üyültülürse, u eş syının toplmı ne kr rtr? Rkmlrı ve kenileri frklı iki smklı ört syının toplmı ir. Bu syılrın en küçüğü en z kçtır? 6 8. Üç smklı,frklı ört syının toplmı 69 ür.bunlrn en üyüğü en fzl kç olilir? Üç smklı en üyük pozitif tek syı ile üç smklı en üyük negtif çift tm syının toplmı kçtır? en 6 y kr oln rkmlr kullnılrk yzıln, rkmlrı iririnen frklı,ltı smklı ABCDEF syısın A+B=C+D=E+F ir. Bu koşulrı sğlyn en üyük ABCDEF syısının irler smğınki rkm kçtır? (ÖSS-99). Üç smklı AB syısı,iki smklı BA syısının ktınn fzlır. Bun göre, BA syısı kçtır? (ÖSS-99) 9 9. Üç smklı ABC syısı iki smklı AB syısınn fzl ise, A + B + C toplmı kçtır? (ÖSS-99) 6. B TABAN ARİTMETİĞİ Doğl syılrı genel olrk on tnın göre yzığımız gii şk tnlr göre e yziliriz.bir oğl syı tnın göre yzılmk isteniyors tne ve ten küçük rkm kullnrk in kuvvetleri içimine yzılır. 0 ( ) t =. t +. t +. t +. t şekline çözümlenir. tnın kullnıln rkmlr ten küçük olur ve u tn rkmlr {0,,,,} tür. ÖRNEK: syısı tnın; (0) şekline yzılır. NOT: Her hngi ir tnn 0 tnın çevirme ypılırken syı çözümlenir. On tnınn herhngi ir tn çevirirken ölme işlemi ypılır. En son ölümen şlyrk klnlr yzılrk istenilen tn çevrilmiş olur. Her hngi ir tnn şk tn çevirirken öne 0 tnın sonr istenilen tn çevrilir.. tnınki 66 syısının 0 tnınki yzılışı neir? n tnınki 0 syısı 0 tnın göre 0 ye eşit ise n neir? 6 8. ve tn olmk üzere,() = () ise kçtır? 0. ve syı tnını göstermek üzere; () = (0) oluğun göre kçtır? 0. tnınki 6 syısının ir fzlsı ynı tn nsıl yzılır? , syı tnı olmk üzere; () () = frkı kçtır? 0 0., syı tnı olmk üzere; () () sonuu tnın göre hngisiir? 8. syı tnı () () =? Aynı tn neye eşitti? ve syı tnlrı () 0 () frkı 0 tnın göre kçtır? kesrini tnın göre yzınız? Çözüm: 96 = 8 + = (,) 0 = = Rkmlrı iririnen frklı oln ve yüzler smğınki rkm ile irler smğınki rkm yer eğiştiriğine syı eğeri 69 rtn, üç smklı kç tne ABC oğl syısı vrır? (ÖSS-99) ÖSS Mtemtik-. (,) = () 0 ise kçtır?. Tnınki rkmlrı iririnen frklı ört smklı en üyük tek syının tnki eğeri neir? ( C: 0)

5 . () 8 syısın rkmlrın yerleri eğiştiriliğine syı rtmktır. Bu özellikte yzılileek kç tne () 8 iki smklı syısı vrır? 6. ( + + ) syısı tnın göre yzılığın kç smklı ir syı ele eilir? 6. 8 syısı tnın kç smklı ir syıır? (ÖSS-00) 6. BÖLÜM: BÖLME BÖLÜNEBİLME, EBOB - EKOK NOT: m smklı ir syı ile n smklı ir syının çrpımının smk syısı; En z (m + n) smklı, en çok m + n smklıır smklı ir syı ile smklı ir syının çrpımı en çok kç smklıır? A syısının B ile ölümü 6,klnı ir.b syısının 8 ile ölümünen kln oluğun göre A syısının ile ölümünen kln kçtır? 0 0. İki smklı ile ölününe klnını veren en üyük ile en küçük syının toplmı kçtır? A DOĞAL SAYILARDA BÖLEN KALAN İLİŞKİLERİ A, B, C, K oğl syı ve B 0 olmk üzere; A B K C Yukrıki ölme işlemine A: Bölünen, B: Bölen, C: Bölüm D: Kln olup u syılr rsın şğıki ğıntılr yzılilir.. A = B.C + K ır.. K < B ir.. K = 0 ise A, B ye tm olrk ölünür.. K < C olmk üzere, B ile C nin yerleri eğiştirilirse A ve K ynı klır. A n + n. 00 syısının 6 ile ölümünen ele eilen ölüm kç smklıır? 6. A syısının ile ölümüne, ölüm 8 ve kln ise A kçtır? Yukrıki ölme işlemine ölünen A, ölen, ölüm n + ve kln n ir. A ve n oğl syı oluğun göre; A nın lileeği en üyük eğer kçtır? syısı iki smklı syısın ölünüğüne ölüm 6, kln oluğun göre neir? ört smklı syısı iki smklı syısın ölünüğüne ölüm kçtır? A syısının B ile ölümüneki ölüm ve kln 6 ır. B syısının C ile ölümüneki ölüm ve kln ır.a syısının ile ölümünen kln kçtır? Toplmlrı oln gerçel iki syın üyüğü küçüğüne ölünüğüne ölüm, kln ır. Küçük syı kçtır?. B BÖLÜNEBİLME KURALLARI Bir syının sıfır ölümü tnımsızır.sıfırın syıy ölümü sıfırır. 0 = 0 0 ır. = tnımsızır. Sıfırn şk tüm syılr kenisine tm ölünür.bütün syılr ile ölünür. ile ölüneilme: Syının irler smğı {0,,,6,8} olmlıır. ile ölüneilme: Syının rkmlrı toplmı ün ktı olmlıır. ile Bölüneilme: Son iki smğı 0 y ün ktı olmlıır. İle ölüneilme: Birler smğı {0,} olmlıır. ile çrpm: Syı 0 ile çrpılır sonr ye ölünür. ile ölme: Syı öne 0 ile çrpılır sonr ye ölünür. 6 ile ölüneilme: Hem, hem e ile ölünmeliir 8 İle ölüneilme: Syının son üç smğı 8 e ölünmeliir. 9 İle ölüneilme: Syının rkmlrı toplmı 9 un ktı olmlıır. İle ölüneilme: (+) (+) = 0 vey in ktı olmlıır ye ve e ölünen syılr 0 ölünür. e ve e ölünen syılr e e ölünür. ye ve 9 ölünen syılr 8 e e ölünür. e ve e ölünen syılr 0 ye e ölünür.. < olmk üzere üç smklı syısının ile ölümünen kln ir. Bu syının ile ölüneilmesi için A nın lğı eğerler toplmı kçtır? (ÖSS-99) Bir syısının rkmlrının syı eğerlerinin toplmı tir. Bun göre syısının 9 ile ölümünen kln kçtır? (ÖSS-99) 8 6.! + 6! syısı şğıkileren hngisine tm ölünemez? 9. olmk koşulu ile, syısı ile tm ölüneilmekteir. Bu özellikte yzılileek üç smklı kç syı vrır?. 9! + 0! syısı şğıkileren hngisine tm olrk ölünemez? (ÖSS-000) 6 6. içimine yzılmış üç smklı ir syı 9 ile ölüneilmekte ve 0 ile ölünüğüne klnını vermekteir. + toplmının u şrtlrı sğlyn kç eğeri vrır? 6 8 ÖSS Mtemtik-

6 . eş smklı syısı ve 9 ile ölünüğüne klnını veren çift syıır. Bun göre + toplmı ne olur? syısı ile ölüneiliğine göre; kçtır? eş smklı syısının ile ölümünen kln ir. Bu syı ile tm ölüneiliğine göre + nin en üyük ve en küçük eğeri toplmı kçtır? ( kkkkmmmk ) okuz smklı syısının ile ölümünen kln ise k nın lğı eğerler toplmı kçtır? 8 8. A6B syısı ile klnsız ölüneilen ört smklı ir syıır. Bun göre A nın lğı eğerler toplmı kçtır? (ÖSS-9) Üç smklı syısı 6 ile klnsız ölüneilmekteir. Aynı syı ile ölünüğüne kln oluğun göre, nın lğı eğerler toplmı kçtır? (ÖSS-98) 6 8. Üç smklı 8 syısının 6 ile klnsız ölüneilmesi için, syısı kç frklı eğer lilir? (ÖSS-9). Beş smklı 6 syısı 0 ile ölüneiliğine göre, yerine geleileek en üyük rkm kçtır? (ÖSS-9)., ve 8 ile klnsız ölüneilen 000 en küçük syılrın en üyüğünün onlr smğınki rkm kçtır? (ÖSS-00) ve ört smklı irer oğl syıır. syısı ile ölünüğüne kln 6 oluğun göre, syısı ile ölünüğüne kln kç olur? (ÖSS-00) 6.! +! +! ! toplmının 0 ile ölümünen kln kçtır? 8.! +! + 6! ! syısının ile ölümünen kln kçtır?. C ASAL SAYILAR ve kenisinen şk öleni olmyn en üyük oğl syılr sl syı enir. {,,,,,,,9,,9, } syılrı sl syılrır. En küçük sl syı olup en şk çift sl syı yoktur.. Arlrın Asl Syılr syısınn şk ortk öleni olmyn syılr rlrın sl syılr enir. ile 9; ile ; 6, ve v. Arlrın sl iki syıy ölüneilen ir syı u iki syının çrpımın ölünür. SORU: (-y) ile (+y) syılrı rlrın sl iki syı ır. y = oluğun göre (+y) + y y eğeri neir? 0. Asl Çrpnlr Ayırm Verilen oğl syılrı sl syılrın çrpımı içimine yzılmsın sl çrpnlr yırm enir. Örneğin; 8=.9=., 6=.9=. şekline yzılır =. şekline yzılır. 9. Bir Doğl Syının Tm Bölenleri Örneğin; 8 syısının pozitif tm ölenleri;,,,6,9,8 ir. Syı üyüükçe u işlemin ypılmsı hyli güç olktır. Bunun için verilen syı sl çrpnlrın yrılır. Asl çrpnlrının kuvvetlerine ir eklenerek çrpılır, sonuç pozitif tm ölenlerinin syısını verir =. (+).(+)=.=6 tne pozitif öleni vrır..6= tne tm öleni vrır. Asl ölenlerinin syısı, sl olmyn ölenlerinin syısı: 6- = tür. Herhngi ir A syısının iririnen frklı sl çrpnlrı,, olsun. m n p A =.. içimine ise A syısının; Pozitif tm ölenlerinin syısı: (m+).(n+).(p+) ir. Tüm tmsyı ölenleri syısı:.(m+).(n+).(p+) ir. Asl ölenleri,, ir. Pozitif tm ölenlerinin toplmı: m+ n+ p+ T= Pozitif tm ölenlerinin çrpımı: A = ( m + )( n + )( p + ) ir. ir.. syısının pozitif tm ölenlerinin syısı kçtır?. 00 syısının kç tne sl çrpnı vrır? (C: ). 60 syısının kç tne tmsyı öleni vrır? (C: ). 0! +! syısının sl ölenlerinin syısı kçtır? (C: ). syısının sl olmyn kç tne tmsyı öleni vrır? (C: 6) n nın pozitif tm ölenlerinin syısı oluğun göre n=? n. A =. 6 syısının sl olmyn tmsyı ölenleri 6 tne oluğun göre n kçtır? (C: ) 8. n Z olmk üzere, n + 9 n + ifesi ir tmsyı oluğun göre, n nin lileeği kç frklı eğer vrır? (C: ) + 9. A =.. 6 in pozitif tm ölenlerinin syısı 6 ise kçtır? 0. n n.. 0 A = syısının pozitif ölenlerinin syısı 86 ise n neir? ÖSS Mtemtik- 6

7 . D E.B.O.B E.K.O.K. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (e..o.) En z iri sıfırn frklı oln, iki y h fzl tmsyının ortk ölenlerinin en üyüğüne, u syılrın en üyük ortk öleni enir. ile nin en üyük ortk öleni ise, e..o.(,) = ile gösterilir. KURAL: Verilen syılrın ortk ölenlerinin en üyüğü ulunurken; Syılr sl çrpnlrın yrılır. Ortk oln sl çrpnlrn üssü küçük olnlrın çrpımı u syılrın eo unu verir. Örnek: ile 90 syılrının eo unu ullım. = =.. yzılır. Bun göre;. eo(,90)= =.9 = 8 ir. Soru:,, iririnen frklı sl syılrır. A =. B =... C =... EN KÜÇÜK ORTAK KAT (e.k.o.k) oluğun göre eo (A,B,=? Hepsi sıfırn frklı oln, iki y h fzl tmsyının pozitif ortk ktlrının en küçüğüne u syılrın en küçük ortk ktı enir. ile nin en küçük ortk ktı ise, e.k.o.k (,) = ile gösterilir. KURAL: Verilen syılrın en küçük ortk ktı ulunurken; syılr sl çrpnlrın yrılır. Ortk oln sl çrpnlrn üssü en üyük olnlr ile ortk olmyn sl syılrın çrpımı u syılrın ekok unu verir. Örnek: ile 90 syılrının ekok unu ullım. =. 90 =.. yzılır. Bun göre;.. ekok (,90) = =.. = 0 ir. Soru:,, iririnen frklı sl syılr olmk üzere; A =. B =.. C =.. oluğun göre, ekok (A,B, =? NOT: Verilen syılr irlikte sl çrpnlrın yrılrk eo ve ekok kıs yoln ulunilir. Bunu ir örnek ile gösterelim. Örnek: ile 90 nın eo ve ekok unu ullım. KURAL: Yn işreti ulunn syılrın çrpımı eo u, Bütün ölenlerin çrpımı ekok u verir. Bun göre; eo (, 90) =.. = 8 ir. ekok (,90) =... = 0 tir.. ile rlrın sl iki oğl syı ise; eo (,) = ve ekok (,) =. ir.. İki pozitif tmsyının eo u ile ekok u çrpımı u iki syının çrpımın eşittir. Bun göre. = eo(,). ekok(,) ir.., 60, 0 syılrını ölüğüne klnını veren en üyük oğl syı kçtır?. Kenr uzunluklrı 6 m ve 98 m oln ikörtgen şeklineki ir hçenin köşelerine ve kenrlrın eşit rlıklrl ğç ikileektir. Bu iş için en z kç ğç gerekir? 0. Bir simitçi, simitlerini er er, 6 şr 6 şr ve şer şer syığın im simiinin rttığını görüyor. Bu simitçinin en z kç simii vrır? 8 86.,, sym syılrır. T= + = + = koşulunu sğlyn en küçük T syısı kçtır? ve oğl syılrır.. +. = oluğun göre + en çok kçtır? , 60 ve sniye r ile çln yrı zil, ilk kez irlikte çlıktn en z kç kik sonr ikini kez irlikte çlrlr? 6 9. Bir torki ilyeler eşer eşer, ltışr ltışr y sekizer sekizer syılığın her seferine ilye rtıyor. Torki ilye syısı 0 en z oluğun göre, u tor en fzl kç ilye olilir? Boyutlrının uzunluklrı 0 m, m ve 60 m oln ikörtgenler prizmsı içimineki ir kutunun içine, hiç oşluk klmyk içime özeş küpleren en z kç tne yerleştirileilir? ve oğl syılrır. eo (,) = 9 ekok (,) = oluğun göre,. çrpımı kçtır? ile ölünüğüne 8, 6 ile ölünüğüne 0 ve ile ölünüğüne klnını veren en küçük oğl syı kçtır? Ortk ktlrının en küçüğü 0 oln frklı iki syının toplmı en çok kçtır? (996-ÖSS). Bir kutuki klemlerin syısının en z 8 en çok 0 oluğu ilinmekteir. Kutuki klemler er, 6 şr, şer syılığın her seferine klem rtmktır. Bun göre kutu kç klem vrır? (996-ÖSS) İki syının toplmı 69 ve en küçük ortk ktlrı 6 oluğun göre en üyük ortk ölenleri kçtır? 9 6.,, sym syılrı için. =. = 6 oluğun göre nin en üyük eğeri için + + toplmı kçtır? ÖSS Mtemtik-

8 . BÖLÜM: RASYONEL SAYILAR. A KESİR VE ÇEŞİTLERİ. Tnım:, tmsyı ve 0 olmk üzere; ifesine rsyonel syı y kesir enir. y kesrin pyı, ye e kesrin pysı enir. 9 Örneğin:,,,, 0,,, 0, syılrı irer rsyonel syıır.. Bir Kesrin Genişletilmesi vey Seleştirilmesi 8 Bir rsyonel syının py ve pysı ynı syı ile çrpılır vey ölünürse kesrin eğeri eğişmez. Ypıln u işlemlere sırsı ile kesrin genişletilmesi vey seleştirilmesi enir. Kesrin genişletilmesi vey seleştirilmesi sonuun ele eilen yeni kesir ilk kesre enktir. Değeri ise eşittir. Örnek: : 8 kesrini 8 ile seleştirelim. : Örnek: kesrini ile genişletelim.. KURAL: Örnek:. =. = ir. = ele eilir. = ele eilir.. =. =. yzılır. Burn = = 0. Bsit Kesir Bileşik Kesir. İşlem Öneliği Toplm, çıkrm, çrpm, ölme ve üs lm işlemlerinen ir kçının irlikte ulunuğu rsyonel syılr işlemler, şğıki sıry göre ypılır. I. Prntezler ve kesir çizgisi işleme yön verir. II. Üslü işlemler vrs sonuçlnırılır. III. Çrpm - ölme ypılır. IV. Toplm - çıkrm ypılır. Toplm ile çıkrm ve çrpm ile ölme keni rsın önelik tşımz. Özellikle çrpm ile ölmee önelik söz konusu ise u, prntezle elirlenir.. C RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA Pozitif kesirlere sırlm ypılırken şğıki yollrn iri kullnılır. I. Pylrı eşit oln (eşitlenen) kesirleren pyı üyük oln h üyüktür. II. Pylrı eşit oln (eşitlenen) kesirleren pysı küçük oln h üyüktür. III. Pyı ile pysı rsınki frkı eşit oln sit kesirlere, pyı üyük oln h üyüktür. IV. Pyı ile pysı rsınki frkı eşit oln ileşik kesirlere, pyı küçük oln h üyüktür. NOT: Yukrı verilen yöntemler pozitif kesirlere geçerliir. Negtif kesirlere ise urum tersineir. ÖRNEKLER: Pyı pysınn mutlk eğere küçük oln kesirlere sit kesir, pyı pysınn mutlk eğere üyük vey pyı pysın eşit oln kesirlere ileşik kesir enir. Örnek:,, 0 9,,,,... kesirleri sit kesirir. Örnek:, 6,... kesirleri ileşik kesirir.. B RASYONEL SAYILARDA DÖRT İŞLEM... <, >, > < < < ir. 6 > > > ir., < 8. Toplm Çıkrm : Toplm ve çıkrm işlemlerine, eğer pylr eşit eğilse pylr eşitlenir. Pysı eşit oln kesirlerin pylrı toplmı (frkı) py olrk lınır. Ortk py py olrk lınır.. +. =. +,.. =. ir.. Çrpm : Çrpm işlemine; pylrın çrpımı py, pylrın çrpımı py olrk yzılır.. =. ir.. Bölme : Bölme işlemine; ölünen kesir ynen yzılır, ölen kesir ters çevrilerek çrpm ypılır.. = =. ir. İki Rsyonel Syı Arsınki Syılr ile rsın syılmyk çoklukt rsyonel syı vrır. Bunlrn zılrını ulmk için ile nin ekok u ulunur. Verilen kesirlerin pylrı ulunn ekok t eşitlenir. İstenen koşulki syıyı ulmk için kesirler genişletileilir. ile kesirlerinin tm ortsınki ( ort nokt) syı ise; = + ile rsyonel syılrının ortsın 0 = + = = ir. Örnek: syısı vrır. ÖSS Mtemtik- 8

9 . D ONDALIK SAYILAR. Onlık Syı Pysı 0 un pozitif tm kuvveti oln kesirlere onlık syı enir. ir tm syı ve n ir sym syı olmk üzere n 0 içimineki rsyonel syılr onlık syı enir. =, = yzılilir : işleminin sonuu kçtır? 00 = ?, syısın y tm kısım, ye e onlık kısım enir. Örnek: = 0, =, =, 0, 00 = syılrı irer onlık syıır.. Devirli Onlık Syı =. +? Bir onlıklı syı onlıklı kısım elli ir kurl göre tekrrlnıyors u syıy evirli onlıklı syı enir. Devreen kısım üzerine ( ) işreti konulur.,... =, ir. Örnek: 0,8 0, 0, 0, 0,. Aşğıki rsyonel syılrn hngisi ile rsınır? =,... =, = 0,... = 0, ir.. Onlık Syılr İşlemler. 9 9 : işleminin sonuu kçtır? I. Toplm - Çıkrm: Onlık kesirler toplnırken, virgüller lt lt geleek şekile yzılır ve oğl syılr toplm vey çıkrm işlemine oluğu gii işlem ypılır. Sonuç, virgüllerin hizsınn virgülle yrılır. II. Çrpm: Onlık kesirlerin çrpımı ypılırken, virgül yokmuş gii çrpm işlemi ypılır. Sonuç, çrpıln syılrın virgülen sonrki smk syılrının toplmı kr, sğn sol oğru virgülle yrılır. III. Bölme: Onlık kesirlerin ölme işlemi ypılırken, ölen virgülen kurtulk içime 0 un kuvveti ile çrpılır. Bölen e ynı 0 un kuvveti ile çrpılrk norml ölme işlemi ypılır işleminin sonuu kçtır?. Devirli Onlık Syının Rsyonel Syıy Dönüştürülmesi, Örnek: 990 = ır. 0, = = = ur Örnek:,9 = = = =, NOT: Devreen 9 ise, 9 n ir öneki rkmın syısl eğeri rtr.. =? sonsuz zinir kesrinin sonuu kçtır? Örnek:, =,9 = olur. Örnek: 0,9 = ir. 8 ÖSS Mtemtik- 9

10 , =, = = oluğun göre, şğıki sırlmlrn hngisi oğruur? << << << << << 0. + = eşitliğine eğeri kçtır?. işleminin sonuu kçtır? (ÖSS-99)., 0, işleminin sonuu kçtır? (ÖSS-00),, 0 0, 9,9 0,, : işleminin sonuu kçtır? (ÖSS-00) 6 < < oluğun göre, şğıkileren hngisi olilir? (ÖSS-00) 6 = 0, 0, 0, + 0, 0, 0,.? işleminin sonuu kçtır? (ÖSS-99),.,, pozitif reel syılr olmk üzere, 0. 8 : işleminin sonuu kçtır? (ÖSS-00) 8 + ifesineki her reel syı ile çrpılırs şğıkileren hngisi ele eilir? (ÖSS-99) ,,, pozitif syılr : =, = 0 : oluğun göre, + nin lileeği en küçük eğer kçtır? (ÖSS-00) 8 0., 0,, 0, + işleminin sonuu kçtır? (ÖSS-000),, 0, =? (ÖSS-00) 0, 0, 0, : işleminin sonuu kçtır? (ÖSS-000) 0, 0, 0 0, =? 0, 0 0, 00 0, 000 ( ÖSS-00) 0, 0, ( ) ( ) 0, ,. 0 =? (ÖSS-00) < < < sırlmsın iririni izleyen syılr rsınki frklr eşittir. Bun göre + toplmı kçtır? (ÖSS-00) ÖSS Mtemtik- 0

11 . BÖLÜM: BASİT EŞİTSİZLİKLER (SIRALAM. A EŞİTSİZLİK Eşitsizlik, eşit olmnın krşıtıır. ise ; > y < ir. Reel syı eksenine ( syı oğrusu ) herhngi ir syının sğın ulunn syılr im u syın üyük, solun ulunn syılr ise u syın küçüktür.. B REEL SAYI ARALIKLARI. Kplı Arlık. 0 < < ise, > > 0 ır. n n + < (n N ) ir.. < < 0 ise, 0 > > ir. n n > (n pozitif çift syı) olur. n n < (n pozitif tek syı) olur. < olsun. ve syılrı ile u syılrın rsınki tüm reel (gerçel) syılrı kpsyn rlık [, ] vey, IR içimine gösterilir ve, kplı rlığı iye okunur.. Açık Arlık ve Yrı Açık Arlık I.. < ve < < ir < < ise, > > >... olur.. > ise, < < <... olur. 8. > + > + > < < (, ) vey < <, IR ifesine çık rlık enir. II. (, ) çık rlığının uç noktlrınn herhngi irinin hil eilmesiyle ele eilen rlığ yrı çık rlık enir. 0 < < 0 <. <. 0.. < 0 ise, ile zıt işretliir... > 0 ise, ile ynı işretliir. [, ) vey < ifesine sğn çık rlık enir.. C EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ. Bir eşitsizliğin her iki ynın ynı syı eklenir y çıkrılırs eşitsizlik ynı klır. < olsun. + < + < ir.. Bir eşitsizliğin her iki ynı pozitif ir syı ile çrpılırs y ölünürse eşitsizlik ynı klır. Negtif syı ile çrpılırs y ölünürse eşitsizlik yön eğiştirir. < olsun. > 0 ise,. <. olur. < 0 ise,. >. olur. k > 0 ise, :k < :k olur. m < 0 ise, :m > :m olur..,, irer negtif tmsyıır. = = oluğun göre + + nin en üyük eğeri kçtır? < 0 ve. < 0 oluğun göre, için şğıkileren hngisi oğruur? > 0 < 0 < > <. < < 8 eşitsizliğini sğlyn oğl syı eğerleri toplmı kçtır? < eşitsizliğini sğlyn tmsyı eğerleri toplmı kçtır? eşitsizliğini sğlyn tmsyı eğerlerinin çrpımı kçtır? ÖSS Mtemtik-

12 6. < < ve < < oluğun göre, nin lileeği en küçük tm syı eğeri kçtır? 6. < ve 6 < y oluğun göre y nin lileeği en üyük tmsyı eğeri kçtır? < oluğun göre, y nin lileeği tmsyı eğerleri y = + toplmı kçtır? o < y < z ve + + = y z 6 < oluğun göre z nin en küçük tmsyı eğeri kçtır? ve y irer reel syıır. <.y > y oluğun göre, y için şğıkileren hngisi kesinlikle oğruur? y > 0 y < 0 0<y< y > y < 9. ve irer reel syıır. < < < < oluğun göre, nin lileeği en üyük tmsyı eğeri ile en küçük tmsyı eğerinin toplmı kçtır? ve irer tmsyıır. < < < < oluğun göre, nin lileeği en üyük eğer kçtır? Bir stıı liry lığı ir mlı y liry stmktır. ile y rsın y = ğıntısı vrır. ir tm syı oluğun göre, u stıının zrr etmemesi için mlı en z kç liry stmlıır? < 0, = y, y = z oluğun göre, şğıki sırlmlrn hngisi oğruur? y<z< y<<z z<<y z<y< <y<z., pozitif gerçel syıır. = = 0... oluğun göre, şğıki sırlmlrn hngisi oğruur? << << << << <<. < < oluğun göre, şğıkileren hngisi oğruur? < < < < 6 < < < < < <. <,. < 0, + = 0 ise şğıkileren hngisi ynlıştır? + < 0. < 0 + > 0 8 < 0 8. > 0, y > 0, z > 0 ve 9..y y.z.z = 6 şğıki sırlmlrn hngisi oğruur? = oluğun göre, (99 ÖSS) y<z< y<<z z<<y z<y< <y<z < eşitsizliğini sğlyn p oğl syısının lileeği en küçük P eğer kçtır? (99 ÖSS) 0. ve irer tmsyı olmk üzere, + 6 < + < 8 ve = oluğun göre, frkı en çok kçtır? (996 ÖSS) 8 0. < ve = oluğun göre, için şğıkileren hngisi oğruur? (998 ÖSS) < 8 < -8< - -< -< + +. > ve <,, frklı pozitif tmsyılr oluğun göre, + + toplmının en küçük eğeri kçtır? (999 ÖSS) > 0, < 0, ve. > 0 oluğun göre, şğıkileren hngisi kesinlikle oğruur? (000 ÖSS) +>0 >0 > > >. 0 < < y oluğun göre, şğıkileren hngisi ynlıştır? y < 0 y + y > y. < 0 < olmk üzere, y > 0 + y < göre, k syısı şğıkileren hngisi olilir? k y < (00 ÖSS) = gerçel syısı veriliyor. Bun (00 ÖSS) ÖSS Mtemtik-

13 6. BÖLÜM: MUTLAK DEĞER 6. A TANIM Syı oğrusu üzerine reel syısının orijine oln uzklığın in mutlk eğeri enir. içimine gösterilir., = 0,, > 0 ise = 0 ise < 0 ise Bütün reel syılrı için, 0 ır. 6. B MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ. = ir.. y = y ir... y =. y ir.. n = n ir.. y 0 olmk üzere, = ir. y y 6. y + y + y ir.. 0 ve IR olmk üzere, = = vey = ır. 8. = y = y vey = y ir. 9. eğişken ve sit irer reel syı olmk üzere, + ifesinin en küçük eğeri koşulun uygun ir eğeri için ulunn sonuçtur. 0. eğişken ve sit irer reel syı olmk üzere, ifesinin en küçük eğeri = için, en üyük eğeri ise = için ulunur.., pozitif sit ir reel syı olmk üzere,. < 0 eşitsizliğini sğlyn kç tne reel syısı vrır? 0. < 0 < olmk üzere, + +. ifesinin eğeri kçtır? < < olmk üzere, + + ifesinin eğeri neir? 0. = oluğun göre, in lileeği eğerler çrpımı kçtır? y = 0 oluğun göre, + y toplmı kçtır? 0 6. eşitsizliğini sğlyn in kç frklı oğl syı eğeri vrır? 0. + = 8 enklemini sğlyn eğerlerinin toplmı neir? ise in kç frklı tmsyı eğeri vrır? = ise in lileeği eğerlerin çrpımı kçtır? y + 0 oluğun göre, + y toplmı kçtır?. < 0 olmk üzere, 8 8 =? (99 ÖSS) oluğun göre, y + = 0 koşulunu sğlyn kç tne y tmsyısı vrır? (000 ÖSS) 6 I. < ise, < < ır. II. ise, ır.., pozitif sit ir reel syı olmk üzere, I. > ise, < vey > ır. II. ise, vey ır. ÖSS Mtemtik-.. + = eşitliğinin çözüm kümesi neir? (00-ÖSS) { -, - } { -, } { - } { } {, }. f() = ise f() + f(0) + f() =? (00-ÖSS) 0. 9 = ise in lileeği eğerlerin toplmı kçtır? (00-ÖSS)