011 RASYONEL SAYILAR AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 06.01.011
A.Tnım 3 B.Kesir 3 C.Kesir çeşitleri 3 1.Bsit kesirler 3.Birleşik kesirler 3 3. Tm syılr 3 D.Rsyonel syılrı sırlm 4 E.Rsyonel syılrd işlemler 5 1.Rsyonel syılr kümesinde toplm işlemi 5 1.1Rsyonel syılrd toplm işleminin özellikleri 5 1.1.1Kplılık özelliği 5 1.1.Değişme özelliği 6 1.1.3Birleşme özelliği 6 1.1.4 Etkisiz elemn 6 1.1.5Ters elemn 6.Rsyonel syılr kümesinde çıkrm işlemi 6 3.Rsyonel syılr kümesinde çrpm işlemi 7 3.1Rsyonel syılrd çrpm işleminin özellikleri 7 3.1.1Kplılık özelliği 7 3.1.Değişme özelliği 7 3.1.3Birleşme özelliği 7 3.1.4Etkisiz elemn 8 3.1.5Ters elemn 8 3.1.6Yutn elemn 8 3.1.7Dğılm özelliği 8 4.Rsyonel syılr kümesinde bölme işlemi 9 F.Rsyonel syılrl çok dımlı işlemler 9
RASYONEL SAYILAR A.Tnım A ve b tmsyı, b 0 olmk üzere b şeklinde ifde edilen syılr rsyonel syılr denir. Rsyonel syılr kümesi Q ile gösterilir. (py) kesir 0 =0(b b(pyd) b 0) =tnımsız 0 B.Kesir ve b birer tmsyı, b 0 olmk üzere b şeklindeki ifdelere kesir denir. C.Kesir çeşitleri 1.Bsit kesirler Pyı pydsındn küçük oln syılr bsit kesir denir. Örneğin ; 5,8 9,11 0,.Birleşik kesirler Pyı pydsındn eşit ve pydsındn büyük oln syılr birleşik syılr denir. Örneğin; 5 5, 8 7, 88 71, 3. Tm syılr,b,c birer doğl syı b<c ve e sıfırdn frklı olmk üzere b c şeklinde gösterilen kesirlerdir. Örneğin;1 5 6, 6 1, 379 84, 3
büyüktür. D.Rsyonel syılrı sırlm *Pydlrı eşit oln syılrdn pyı en büyük oln kesir en ÖRNEK: 5, 8, 6 11 11 11,11 11 sırlyınız. 5 < 6 < 8 < 11 11 11 11 11 büyüktür. rsyonel syılrını küçükten büyüğe doğru *Pyı eşit oln syılrdn pydsı en küçük oln syı en ÖRNEK: 11 5, 11 8, 11 6, 11 11 sırlyınız. 11 11 < 11 8 < 11 6 < 11 5 rsyonel syılrını küçükten büyüğe doğru Rsyonel syılrın pylrı ile pydlrı rsındki frk eşit ise; Şyet rsyonel syılr bsit kesir şeklinde iseler, pyı küçük oln dh küçüktür. ÖRNEK: 1, 14, 1 17 19 6 rsyonel syılrını büyükten küçüğe doğru sırlyınız. 1 6 > 14 19 > 1 17 -Şyet rsyonel syılr birleşik kesir şeklinde iseler pyı küçük oln dh büyüktür. ÖRNEK: 104, 359, 15 10 357 13 sırlyınız. 15 13 > 104 10 > 359 357 rsyonel syılrını büyükten küçüğe doğru *Rsyonel syılr, ondlık kesre çevrilerek de sırlnır. 4
ÖRNEK: 10, 100 11 111 rsyonel syılrını sırlyınız. A= 10 11 olsun. O zmn 1 = 11 10 = 1,1 B= 100 olsun. O zmn 1 = 111 111 b 100 = 1,11 burdn >b olur. NOT: Bütün pozitif rsyonel syılr, bütün negtif rsyonel syılrdn büyüktür. Negtif rsyonel syılr 0 yklşırken büyür, pozitif rsyonel syılr 0 yklşırken küçülür. E.Rsyonel syılrd işlemler 1.Rsyonel syılr kümesinde toplm işlemi Rsyonel syılrl toplm işlemi ypılırken; Pydlr eşit değil ise pydlr eşitlenir. Pylr toplnır. Pydy ortk pyd yzılır. 1.1Rsyonel syılrd toplm işleminin özellikleri 1.1.1Kplılık özelliği, c Q İçin b d ( + c ) olduğundn rsyonel syılr kümesi toplm b d işlemine göre kplıdır. ÖRNEK: 3 + 3 4 işleminin sonucunun rsyonel syı olup olmdığını bulunuz. + 3 = 8 + 9 = 17 Q olur. 3 4 1 1 1 5
1.1.Değişme özelliği b,c Qiçin d ( + c = c + ) olduğundn rsyonel syılr b d d b kümesinde, toplm işleminin değişme özelliği vrdır. ÖRNEK: 4 3 + 1 6, 1 6 + 4 3 işlemlerini yplım ve sonuçlrını krşılştırlım. 4 + 1 = 8 + 1 = 9 ve 1 + 4 = 1 + 8 = 9 4 + 1 = 1 + 4 3 6 6 6 6 6 3 6 6 6 3 6 6 3 1.1.3Birleşme özelliği, c, e Q İçin b d f ( + c ) + e = + b d f b (c + e )olduğundn rsyonel d f Syılrın toplm işlemine göre birleşme özelliği vrdır. ÖRNEK:( 1 + 3 4 ) + 1 4, 1 krşılştırlım. 3 4 + 1 4 işlemlerini yplım ve sonuçlrını ( 1 + 3 4 ) + 1 4 = ( 4 + 3 4 ) + 1 4 = 6 4 ( 1 + 3 4 ) + 1 4 = 1 + (3 4 + 1 4 ) ( 3 4 + 1 4 ) + 1 = 4 4 + 4 = 6 4 1.1.4 Etkisiz elemn 0 tmsyısın rsyonel syılr kümesinde toplm işleminin etkisi elemnıdır. 1.1.5Ters elemn b, b Q İçin b + b = 0 olduğundn b ve b rsyonel syılrı, toplm işlemine göre birbirlerinin tersidir..rsyonel syılr kümesinde çıkrm işlemi İki rsyonel syının frkı bulunurken eksilen rsyonel syı, çıkn rsyonel syının toplm işlemine göre tersi ile toplnır. ÖRNEK: 9 4 5 3 = 7 1 0 1 = 7 1 6
3.Rsyonel syılr kümesinde çrpm işlemi İki rsyonel syının çrpm işlemi pylrın çrpımı py, pydlrın çrpımı pydy yzılır 1. NOT: Tm syılı kesir biçiminde verilen rsyonel syılr çrpılırken önce tmsyılı kesirler birleşik kesre çevrilir. Sonr çrpm işlemi ypılır. 3.1Rsyonel syılrd çrpm işleminin özellikleri 3.1.1Kplılık özelliği b,c Qiçin d ( c ) Q olduğundn rsyonel syılr kümesi, b d çrpm işlemine göre kplıdır. ÖRNEK: ( 5 )işleminin sonucu rsyonel syı olup olmdığını 3 bulunuz. 3 ( 5 ) = 5 3 Q Olur. 3.1.Değişme özelliği b, c d Q İçin b c d = c d b olduğundn rsyonel syılr kümesinde, çrpm işleminin değişme özelliği vrdır. ÖRNEK: 9 5 10 3, 10 3 9 5 sonuçlrını krşılştırlım. 9 5 10 3 = 6 ve 10 3 9 5 = 6 9 5 10 3 = 10 3 9 5 tir tir. 3.1.3Birleşme özelliği b,c, e Q için d f ( c ) e b d f = b (c e )olduğundn rsyonel d f syılr kümesinde, çrpm işleminin birleşme özelliği vrdır. 1 b c d = c b d 7
ÖRNEK:( 4 3 1 ) 5 7, 4 3 1 5 7 işlemlerini yplım ve sonuçlrını krşılştırlım. ( 4 3 1 ) 5 7 = 3 5 7 = 10 1 ( 4 3 1 ) 5 7 =4 3 (1 5 7 ) 4 3 (1 5 ) = 4 5 = 10 7 3 14 1 3.1.4Etkisiz elemn 1 rsyonel syılrl çrpm işleminin etkisiz elemnıdır. b Q Olmk üzere b 1 = 1 b = b 3.1.5Ters elemn Bir rsyonel syının çrpm işlemine göre tersi, o syının py ve pydsının yer değiştirmiş hline eşittir. b Q Olmk üzere b rsyonel syısının çrpm işlemine göre tersi b dır dır. b b = 1 ÖRNEK: 3 4 4 3 = 1, 3 3 = 1, 8 8 = 1 3.1.6Yutn elemn 0,rsyonel syılrl çrpm işleminin yutn elemnıdır. b QOlmk üzere b 0 = 0 b = 0 3.1.7Dğılm özelliği Rsyonel syılrl çrpm işleminin toplm işlemi ve çıkrm işlemi üzerine dğılm özelliği vrdır. b, c d, e f Q Olmk üzere b (c d + e f ) = b c d + b e f ÖRNEK: 5 (3 4 1 ) = 5 3 4 5 1 = 3 10 10 = 1 10 8
4.Rsyonel syılr kümesinde bölme işlemi Rsyonel syılrd bölme işlemi ypılırken birinci kesir ynen yzılır. İkinci kesrin çrpm işlemine göre tersi lınıp birinci kesirle çrpılır. ÖRNEK: 3 rsyonel syısının içinde 1 9 rsyonel syısındn kç tne bulunur ve modelleyiniz. 3 3 1 9 = 6 0 in bir rsyonel syıy bölümü 0,bir rsyonel syının 0 bölümü tnımsızdır. F.Rsyonel syılrl çok dımlı işlemler Çok dımlı işlemler ypılırken şğıdki sır tkip edilmelidir. Kesir çizgisinin ltınd ve üstünde bulunn işlemler ypılır. Bu işlemleri yprken py ve pydy en içteki prntezden bşlnır. Prntez içindeki işlemler ypılırken önce çrpm ve bölme işlemleri sonr toplm ve çıkrm işlemleri ypılır. ÖRNEK:7 + 3 1+ + 1 x = 8 denkleminde ki x değeri nedir? 3 = 1 1 + 1+ + 1 + 1 x x x= 1 = 3 + 1 x = + 1 x = 1 1 x = 1 9
KESİR ÇEŞİTLERİ AÇIKLAMASI ÖRNEK Bsit Kesir Birleşik Kesir <b, b b, b 1 13, 5 7, 3 49 48 17, 13 101, 19 15 Tm Syılı Kesir C 0, <b; c b 3 1 4, 6 5 1 8 3 = 1 3 1 = 30 1 = 5 + 1 b+ 1 c = 44 19 = 6 19 = b + 1 c = 19 6 = 3 1 6 b = 3 1 c = 1 6 c = 6 b-c=6-6=0 10