- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını kullanarak bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bulur. Bir aracın t saatte aldığı yol (km) Fonksiyonu ile veriliyor. Aracın [ ] zaman aralığındaki ortalama hız Örneğin aracın [ ] aralığındaki ortalama hızı Örneğin aracın [ ] aralığındaki ortalama hızı Aşağıdaki tabloyu dolduralım: t t 3,5 4,5 4.5,5 4.9,5 5,5.1 5,5.5 5,6 5,7 1, 2 v ort (km saat) 66 74 Aracın 5. Saatteki hızını bulalım.bunun için [ ] [ ] aralığındaki ortalama hızına bakalım Sonuçlar : 1) Bir hareketlinin herhangi bir zaman anındaki hızı anlık hız olarak adlandırılır. 2) Bir nesnenin zamanda aldığı yol ise zamandaki anlık hızı ile hesaplanır. 3) Anlık hız bir fonksiyonun türevidir. Türev, ortalama değişim hızının limiti olarak tanımlanabilir.
- 2 - Örnek : Bir yörüngede hareket eden bir gezegenin saatte aldığı yol ise bu cismin 1. Saatteki hızı nedir? Tanım : ( Bir Noktada Türev ) : sürekli olmak üzere Limiti bir reel sayı ise ; bu limit değerine fonksiyonun noktasındaki türevi denir. f- fonksiyonun noktasındaki türevi; İle gösterilir. Örnek : f(x) fonksiyonun noktasındaki türevi; Örnek : f(x) fonksiyonun noktasındaki türevi; Örnek : f(x) fonksiyonun noktasındaki türevi; Tanım : (Türev ) : Bu durumda türev; İle hesaplanabilir. Türevde a yerine x alınırsa fonksiyonunun tanımlı olduğu herhangi bir x noktasındaki türevi Sembollerinden biri ile gösterilir. x e göre türev al komutudur. Örnek : f(x) fonksiyonun noktasındaki türevi; Örnek : fonksiyonunun noktasındaki türevini bulunuz Örnek : fonksiyonunun türevini bulunuz Kazanım 2 : Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevini bulur, soldan türev ve sağdan türev ile türev arasındaki ilişkiyi açıklar. SAĞDAN VE SOLDAN TÜREV Tanım : ( Sağdan Türev ) : sürekli olmak üzere Limiti bir reel sayı ise ; bu limit değerine fonksiyonun noktasındaki sağdan türevi denir. türev fonksiyonu elde edilir.
- 3 - Tanım : ( Soldan Türev ) : sürekli olmak üzere Limiti bir reel sayı ise ; bu limit değerine fonksiyonun noktasındaki soldan türevi denir. UYARI 1) Sağ ve sol türevler eşit ise türev vardır. Tanım : ( Kırılma Noktası ) :Fonksiyonun sürekli olduğu halde türevli olmadığı noktalara fonksiyonun kırılma noktaları denir. Örnek : 2) fonksiyonunun noktasında türevi varsa tektir. 3) Parçalı fonksiyonların sürekli olduğu kritik noktalardaki türevlerini bulmak için soldan ve sağdan türevlerine bakılır. Örnek : { fonksiyonunun noktalarındaki türevini hesaplayınız. Kazanım 3 : Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ile türevlenebilirliği arasındaki ilişkiyi açıklar. TÜREV SÜREKLİLİK İLİŞKİSİ olmak üzere, fonksiyonu x=a noktasında türevli ise, bu noktada süreklidir. Sonuçlar : 1) Bir fonksiyon verilen bir noktada (aralıkta) sürekli değilse türevli de değildir. 2) Bir fonksiyonun sürekli olduğu halde türevli olmadığı noktalar fonksiyonun kırılma noktalarıdır. (Grafiği sivri uçludur) Yukarıdaki grafiklerde; Fonksiyonun limiti olmasına rağmen sürekli olmadığı, Fonksiyonun sürekli olmasına rağmen türevlenebilir olmadığı noktalar bulunuz. Kazanım 4 : Bir fonksiyonun bir aralıkta türevli olması ifade eder.
- 4 - Tanım : ( Aralıkta Türevli ) : 1) olmak üzere fonksiyonu nın her noktasında türevli ise f fonksiyonu aralığında türevlidir. 2) olmak üzere fonksiyonu tanım kümesinin her noktasında türevli ise f fonksiyonu tanım kümesinde türevlidir. Örnek : fonksiyonunun tanım kümesinde türevli olduğunu bulunuz. olduğundan f fonksiyonu tanım kümesinin her noktasında türevlidir. TEMEL TÜREV KURALLARI 1) SABİT FONKSİYONUNUN TÜREVİ fonksiyonunun türevini bulalım. O halde 2) FONKSİYONUNUN TÜREVİ 3) SABİT SAYI İLE BİR FONKSİYONUN ÇARPIMININ TÜREVİ [ ] Örnek : { 4) İKİ FONKSİYONUN TOPLAMININ TÜREVİ Fonksiyonunun x=1 de türevli olması için a+b=? x=1 de sürekli olmalı yani Sağdan ve soldan türevleri eşit olmalı yani Buradan b=0 olur. a+b=1 bulunur. [ ] 5) İKİ FONKSİYONUN ÇARPIMININ TÜREVİ [ ] 6) İKİ FONKSİYONUN BÖLÜMÜNÜN TÜREVİ [ ] [ ] 7) BİR FONKSİYONUN KUVVETİNİN TÜREVİ Kazanım 5 : Türev tanımını kullanarak sabit fonksiyonun fonksiyonunun, iki fonksiyonun toplamının, çarpımının ve bölümünün türevine ait kuralları bulur ve bunlarla ilgili uygulamalar yapar. [ ] [ ]
- 5-1) Aşağıdaki fonksiyonların türevini alınız. 2) Aşağıdaki fonksiyonları bölümün türevinden yararlanarak türevini alınız. 3) Aşağıdaki fonksiyonları fonksiyonların kuvvetinin türevinden yararlanarak türevini alınız. 2) Aşağıdaki fonksiyonları çarpımın türevinden yararlanarak türevini alınız.
- 6-4) fonksiyonları veriliyor. Buna göre; a) 6) Düz bir yol boyunca hareket eden cismin t saatte aldığı yol ile veriliyor. Bu cismin 5. Saatteki anlık hızını bulunuz. b) c) 7) fonksiyonunun türevinin sıfır olması için a=? d) 8) 5) 9)
- 7-10) İse a=? 15) f(x) doğrusal fonksiyondur. 11) Veriliyor. A+B=12 ise m=? 16) ise a=? 12) 13) 17) fonksiyonu için şeklinde tanımlanan f 14)
- 8-18) 22) İse 19) Veriliyor ise a=? 23) 20) 24) Olarak verilsin buna göre İpucu : türevini al.(25/4) her iki tarafın 21)
- 9 - MUTLAK DEĞER FONKSİYONUN TÜREVİ Kazanım 6 : Parçalı fonksiyonun ve mutlak değer fonksiyonunun bir noktadaki türevini bulur. Parçalı fonksiyonların ve mutlak değer içeren fonksiyonların bir noktadaki türevi bulunurken fonksiyonun bu noktada sürekli olup olmadığına bakılır. Eğer fonksiyon sürekli ise bu noktadaki soldan ve sağdan türevler incelenir. Fonksiyonun soldan ve sağdan türevleri birbirine eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir, aksi halde türevsizdir. Örnek : { { fonksiyonunun noktalarındaki türevini hesaplayınız. (x=2 de sürekli fakat türevsiz, x=4 de sürekli ve türevli) Örnek : fonksiyonunun noktasındaki türevini inceleyiniz. { Örnek : fonksiyonunun noktalarındaki türevini inceleyiniz. { { de sürekli ancak türevsiz de sürekli ve türevli Örnek : fonksiyonunun noktasındaki türevini inceleyiniz. x=2 de sürekli ve türevli UYARI : mutlak değer fonksiyonunda denkleminin kökü olan x=a, tek katlı kök ise türev yoktur. denkleminin kökü olan x=a, çift katlı kök ise türev var ve sıfırdır. Örnek : Fonksiyonunun x=3 noktasındaki türevini bakınız. x=3 kritik nokta değil. x=3 için fonksiyon: Ve olur. { için sürekli ancak türevsizdir. Not : mutlak değer fonsiyonu için { Olduğundan { Kritik noktada türev için sağdan ve soldan değerlerine bakılır. Kazanım 7 : Bir fonksiyonun grafiğinin bir noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini yazar.
- 10 - TÜREVİN GEOMETRİ İLE İLİŞKİSİ f(x) B d Not: 1) doğrularının eğimleri a) b) A 2) a x t AB krişininin eğimi Diğer yandan B noktası, eğri üzerinde A noktasına yaklaşırken, [AB] kirişlerinin limiti A noktasındaki d teğeti olur. Bu durumda; Öyleyse f nin grafiğinin x=a noktasındaki teğetinin eğimi x=a daki türevine eşittir. d doğrusuna paralel olan teğetin değme noktası (A noktası) eğrisinin d doğrusuna en yakın noktasıdır. 3) noktaları arasındaki uzaklık 4) Eğimler TEĞET DENKLEMİ eğrisinin ( ) noktasındaki teğetinin denklemi NORMAL DENKLEMİ Teğete değme noktasında dik olan doğruya, eğrinin bu noktadaki normali denir. olduğundan Normal doğrusunun denklemi UYARI : Anlatımlara dikkat ediniz. 1) noktası üzerindedir. 5) Bazı trigonometrik değerler 6) noktasının doğrusuna olan uzaklığı 2) eğrisi üzerindeki noktasından çizilen teğetin eğimi 5 tir.
- 11-1) eğrisine apsisi 4 olan noktadan çizilen teğet ve normal denklemlerini bulunuz. Teğet denklemi normal denklemi 7) parabolü ile Doğrusu arasındaki en kısa uzaklık kaç birimdir? 2) eğrisinin hangi noktasındaki teğeti doğrusuna paraleldir. d : 3) eğrisinin Ox ekseni ile pozitif yönde 135 0 lik açı yapan teğetinin değme noktası nedir? 4) eğrisinin doğrusuna noktasında teğet olması için m=? 5) fonksiyonunun noktasındaki teğetinin eğimi m=4 ise a ve b değerlerini bulunuz. 6) doğrusu fonksiyonunun grafiğine teğet olduğuna göre k=? 10 Kazanım 8 : Doğru boyunca hareket eden bir cismin, t zamanı içinde aldığı yol ile t anındaki hızı ve ivmesi arasındaki ilişkiyi örneklerle açıklar.
- 12 - TÜREVİN FİZİK İLE İLİŞKİSİ zamanda aldığı yol denklemiyle verilen bir hareketlinin anındaki hızı : Yolun zamana göre türevidir. Yani İvmesi : Hızın zamana göre türevidir. Yani [ ] Örnek : Doğru boyunca hareket eden bir cismin t saniyede aldığı yol Olarak veriliyor. buna göre a) Cismin 6 saniyede aldığı yol b) Cismin 6. saniyedeki hızı c) Cismin ivmesini bulunuz. (6) Örnek : Yukarı doğru düşey olarak atılan bir okun t saniyede aldığı yol Olarak veriliyor. buna göre a) Okun 2 saniyede aldığı yol b) Okun 2. saniyedeki hızı c) Okun ivmesi d) Okun çıkabileceği maksimum yüksekliği bulunuz (hız sıfır olur.türevi sıfıra eşitle Kazanım 9 : Bileşke fonksiyonun, parametrik fonksiyonların, kapalı fonksiyonların ve ters fonksiyonun türevine ait kuralı bulur ve bunlarla ilgili uygulamalar yapar.
- 13 - BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ te türevlenebilen de türevlenebilen Birer fonksiyon olmak üzere de türevlidir. Bu türev ( [ ]) [ ] 1) olduğuna göre (4) 2) Olduğuna göre (30) 3) Olduğuna göre ZİNCİR KURALI ve PARAMETRİK FONKSİYONUN TÜREVİ verilsin Olur. Parametrik fonksiyonlarda } 1) } 2) } 4) 5) } 3) } 4) } şeklinde tanımlanan fonksiyonu için 30 0 d Şekilde d doğrusu fonksiyonuna A(1,3) noktasında teğettir. olduğuna göre 6) olduğuna göre
- 14 - KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ denkleminden gibi bir fonksiyon elde edilebiliyorsa, bu fonksiyona kapalı fonksiyon denir. i bulmak için 1. yol denkleminde y çekilir ve türev alınır. 2. yol eşitliğinin her iki tarafını x e göre türev alınır ve elde edilen eşitlikten çekilir. 3. yol x e göre türevidir. ( y sabit düşünür ) y e göre türevidir. ( x sabit düşünür ) İle bulunur. 1) kapalı fonksiyonunun türevini bulunuz. (1.yoldan) 2) kapalı fonksiyonunun türevini bulunuz. (2.yoldan) TERS FONKSİYONUN TÜREVİ, fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyon olsun. O halde ters fonksiyonu vardır. nin x de türevi varsa de y de türevi vardır ve bu türev ( ) İle bulunur. İSPAT : [ ] her iki tarafın türevi alınırsa [ [ ]] ( ) ( ) 1) [ ] [ ] 3) kapalı fonksiyonunun türevini bulunuz. (3.yoldan) 4) Eğrisinin (1,1) noktasından geçen teğetinin eğimi kaçtır? 5) Bir bitkinin x. Günde boyundaki uzama miktarı fonksiyonu ile modelleniyor. Bitkinin 4. Gündeki uzama hızını bulunuz. 2) ( ] [ ) [ ] 3) [ ] 4) [ ] Kazanım 10 :
- 15 - fonksiyonunun türevini bulur ve köklü ifadelerin türevlerine ilişkin uygulamalar yapar. RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ [ ] [ ] KÖKLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ olmak üzere fonksiyonunun türevi 1) 2) 1) 2) 3) 4) 5) 6) ise 7) ise 8) ( ) Not : [ ]
- 16 - Kazanım 11 : Trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların türevine ait kuralları bulur ve bunlarla ilgili uygulamalar yapar. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ 8) 9) 10) TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ SONUÇ : te türevlenebilsin. [ ] [ ] 1) 2) 3) 4) 5) [ ] [ ] olmak üzere [ ] [ ] olmak üzere [ ] [ ] olmak üzere [ ] [ ] olmak üzere SONUÇ : te türevlenebilsin. 6) 7)
- 17 - ( ) fonksiyonunun türevine ilişkin uygulamalar yapar. 1) 2) 3) LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ { } olmak üzere 4) 5) Olur. SONUÇ : te türevlenebilsin. 6) 7) 8) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) y=lnx x ise y =? Kazanım 12 : Logaritma fonksiyonunun türevine ait kuralı belirtir, üstel fonksiyonun türevine ait kuralı bulur ve
- 18 - ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ { } olmak üzere LOGARİTMİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ olmak üzere SONUÇ : te türevlenebilsin ( ) logaritmik fonksiyonu verilsin Her iki tarafın logaritması alınırsa [ ] Logaritma özelliği gereği [ ] Her iki tarafın türevini alırsak 1) 2) [ ] 3) ( ) [ ] 4) 5) 6) Yada [ ] Örnek : Örnek :
- 19 - Kazanım 13 : Bir fonksiyonun ardışık türevlerini bulur. ARDIŞIK TÜREVLER Örnek : fonksiyonu tanım kümesinde türevli bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun; Birinci basamaktan türevi İkinci basamaktan türevi Üçüncü basamaktan türevi.. n. basamaktan türevi Olarak tanımlanır. Örnek : Örnek : Örnek : Fonksiyonunun 4. Basamaktan türevi kaçtır?0 Örnek : Örnek : veriliyor. 1/9 Örnek : fonksiyonunun 8. türevini bulunuz.
- 20 - TÜREV FORMÜLLERİ Öyleyse f nin grafiğinin x=a noktasındaki teğetinin eğimi x=a daki türevine eşittir. TEĞET DENKLEMİ eğrisinin ( ) noktasındaki teğetinin denklemi NORMAL DENKLEMİ Teğete değme noktasında dik olan doğruya, eğrinin bu noktadaki normali denir. x e göre türev al komutudur. Sağdan Türev Soldan Türev [ ] [ ] olduğundan Normal doğrusunun denklemi Not: 1) doğrularının eğimleri a) b) 2) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] UYARI : mutlak değer fonksiyonunda denkleminin kökü olan x=a, tek katlı kök ise türev yoktur. denkleminin kökü olan x=a, çift katlı kök ise türev var ve sıfırdır. TEĞET OLMA t d doğrusuna paralel olan teğetin değme noktası (A noktası) eğrisinin d doğrusuna en yakın noktasıdır. 3) noktaları arasındaki uzaklık 4) Eğimler 5) Bazı trigonometrik değerler
- 21-6) noktasının doğrusuna olan uzaklığı x e göre türevidir. ( y sabit düşünür ) y e göre türevidir. ( x sabit düşünür ) TÜREVİN FİZİK İLE İLİŞKİSİ zamanda aldığı yol denklemiyle verilen bir hareketlinin TERS FONKSİYONUN TÜREVİ ( ) anındaki hızı : Yolun zamana göre türevidir. Yani İvmesi : Hızın zamana göre türevidir. Yani [ ] BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ ( [ ]) [ ] ZİNCİR KURALI ve PARAMETRİK FONKSİYONUN TÜREVİ verilsin Parametrik fonksiyonlarda } KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ denkleminden gibi bir fonksiyon elde edilebiliyorsa, bu fonksiyona kapalı fonksiyon denir. i bulmak için 1. yol denkleminde y çekilir ve türev alınır. 2. yol eşitliğinin her iki tarafını x e göre türev alınır ve elde edilen eşitlikten y çekilir. 3. yol RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ Not : fonksiyonunun türevi [ ] [ ] [ ] KÖKLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ SONUÇ : te türevlenebilsin. [ ]
- 22 - [ ] TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ [ ] [ ] olmak üzere [ ] [ ] olmak üzere [ ] [ ] olmak üzere [ ] [ ] olmak üzere ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ { } olmak üzere SONUÇ : te türevlenebilsin LOGARİTMİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ olmak üzere ( ) logaritmik fonksiyonu verilsin Her iki tarafın logaritması alınırsa [ ] SONUÇ : te türevlenebilsin. ( ) [ ] Yada [ ] LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ { } olmak üzere ARDIŞIK TÜREVLER Birinci basamaktan türevi İkinci basamaktan türevi Üçüncü basamaktan türevi.. n. basamaktan türevi SONUÇ : te türevlenebilsin. Olarak tanımlanır.