İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji... 2 1.2.1 Adi Diferensiyel Denklemlerde Mertebe ve Derece... 2 1.3. Birinci Mertebe Diferensiyel Denklemler... 3 1.4. Ayrıştırılabilen Diferensiyel Denklemler... 4 1.5. y f( x, y) nin Geometrik Manası. Doğrultu Alanları... 10 1.6. Ayrıştırılabilir Diferensiyel Denklem Uygulamaları... 14 1.7. Lineer Diferensiyel Denklemler... 29 1.8. Bernoulli Denklemi... 34 1.9 Tam Diferensiyel Denklemler... 44 1.9.1 İntegrasyon Çarpanı... 48 1.10 Homojen Diferensiyel Denklemler... 56 1.11 Riccati Denklemi.... 63 1.12 Abel Denklemi (İsteğe Bağlı)... 69 1.13 Dik Yörüngeler... 76 1.14 Ardıl Yaklaşımlar Yöntemi (Picard Yöntemi)... 79 1.15 Çözümlerin Varlığı ve Tekliği... 83 KISIM 2: İKİNCİ MERTEBE DİFERENSİYEL DENKLEMLER ÖNDEĞERLENDİRME... 87 2.1. Lineer Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması... 87 2.2. İkinci Mertebe Diferensiyel Denklemler... 89 2.2.1 y P( x) y Q( x) 0 Denklemi... 89 2.3. Mertebe İndirgeme Metodu... 98 2.4. Sabit Katsayılı Denklemler... 104 2.4.1. a 2 4b>0 Hali... 104 VII
2.4.2. a 2 4b=0 Hali.... 105 2.4.3. a 2 4b<0 Hali... 106 2.4.4. Kompleks Kökler Halinde Genel Çözümün Farklı Bir Gösterimi.... 107 2.4.5. Sınır Değer Problemleri... 110 2.5. Gayri Homojen Denklemler... 114 2.5.1. Belirsiz Katsayıları Yöntemi... 115 2.5.2. Parametrelerin Değişimi Metodu... 124 2.5.3. Süperpozisyon İlkesi... 128 2.6. İkinci Mertebe Diferensiyel Denklemleri Uygulamaları... 133 2.6.1. Sönümsüz Titreşimler... 133 2.6.2. Sönümlü Titreşimler.... 143 2.6.3. Sönümsüz Zorlanmış Titreşimler.... 148 2.6.4. Sönümlü Zorlanmış Titreşimler... 153 2.6.5. Elektrik Devrelerine Uygulamalar... 170 2.7. Euler Cauchy Denklemi.... 173 2.8. İkinci Mertebe Gayri Lineer Denklemler (Opsiyonel).... 178 y f x,y Tipindeki Denklemler.... 178 2.8.1. 2.8.2. y = f y,y Tipindeki Denklemler... 178 2.8.3. y = f y Şeklindeki Denklemler... 179 1 2.8.4. x x2n 1 0 Tipindeki Denklemlerin Periyodik Çözümleri (Mickens Metodu) ( Harmonik Balans Metodu).... 182 2.8.5. Taylor Seri Yöntemi... 184 2.9. İkinci Mertebe Denklemlerin Matlab ile Çözümü... 188 KISIM 3: YÜKSEK MERTEBEDEN DİFERENSİYEL DENKLEMLER...193 3.1. Temel Teori.... 193 3.2. Homojen Denklemler... 195 3.3. Sabit Katsayılı Homojen Denklemler... 198 3.4. Gayri Homojen Denklemler... 203 3.5. Belirsiz Katsayılar ve Yok Etme (Annihilation) Yöntemleri... 203 3.6. Yok Etme Yöntemi (Method of Annihilation).... 211 3.7. Parametrelerin Değişim Metodu.... 216 3.8. Operatör Yöntemi.... 226 VIII
KISIM 4: KUVVET SERİLERİ İLE ÇÖZÜM...229 4.1. Giriş... 229 4.2. Kuvvet Serileri... 230 4.2.1. Kuvvet Serileri Üzerinde Cebirsel İşlemler... 234 4.3. Başlangıç Değer Problemlerinin Kuvvet Serileri ile Çözümü... 238 4.3.1. Birinci Mertebe Denklemler... 238 4.3.2. İkinci Mertebe Denklemler... 240 4.4. Rekürans Bağıntılar Kullanarak Kuvvet Serileri ile Çözüm... 244 4.5. Adi ve Tekil Noktalar. Frobenius Yöntemi... 251 4.6. Frobenius Yöntemi... 253 4.7. Bessel Denklemi ve Fonksiyonları... 266 4.7.1. Gama Fonksiyonu... 267 4.8. Modifiye Bessel Fonksiyonları... 279 4.9. Bessel Denkleminin Uygulamaları... 281 4.10. Bessel Fonksiyonlarının Özellikleri... 283 4.11. Legendre Polinomları ve Diferensiyel Denklemi... 295 4.12. Legendre Polinomları... 297 4.13. Legendre Polinomları Arasındaki Rekürans Bağıntı... 300 4.14. Legendre Polinomları İçin Generasyon (Üretgen) Fonksiyonu ve İntegral Formülü... 301 4.15. Sturm Liouville Problemi. Dik Fonksiyonlar... 304 4.15.1. Özfonksiyon Açılımı... 310 KISIM 5: LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ...313 5.1. Laplace Dönüşümü, Ters Laplace Dönüşümü, Lineerlik Özelliği, Kaydırma... 313 5.2. Laplace Dönüşümü ile Başlangıç Değer Probleminin Çözümü... 326 5.3. BasamakFonksiyonları, İmpuls Fonksiyonları, Periyodik Fonksiyonlar... 338 5.3.1. Birim Basamak Fonksiyonu... 338 5.3.2. Birim İmpuls Fonksiyonu.... 346 5.4. Periyodik Fonksiyonların Laplace Dönüşümü... 352 5.5. Konvolüsyon İntegrali... 362 5.5.1. Volterra İntegral Denklemi....367 5.6. Diferansiyel Denklem Sistemlerinin Çözümü İçin Laplace Dönüşüm Metodu.. 370 IX
KISIM 6: LİNEER DİFERENSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ...381 6.1. Bağlı Sıvı Havuzlar... 381 6.2. Sabit Katsayılı Denklem Takımı İçin Yok Etme Yöntemi... 385 6.3. Determinant Metodu... 394 6.3.1. Homojen Denklem Sisteminin Matris Formda Yazılması... 399 6.3.2. Vektörler, Matrisler, Özdeğerler... 399 6.3.2.1. Matrisler Arasında İşlemler.... 400 6.4. Homojen Olmayan Denklem Takımları... 408 6.4.1. Belirsiz Katsayılar Yöntemi... 409 6.4.2. Parametrelerin Değişimi Yöntemi... 412 6.4.3. Dikleştirme Yöntemi... 415 6.5. Yüksek Mertebeden Diferensiyel Denklemlerin Denklem Sistemine indirgenmesi....419 6.6. Matlab ile Diferensiyel Denklem Sistemi Çözümü... 424 6.6.1 Sembolik Çözüm.... 424 6.7. Bazı Denklem Takımlarının Çözümleri... 430 KISIM 7: FOURIER SERİLERİ VE SINIR DEĞER PROBLEMLERİ...437 GİRİŞ... 437 7. 1. Fourier Serilerini Kullanma Gerekçesi....437 7. 2. Periyodiklik ve Dik Fonksiyonlar... 441 7.2.1. Periyodiklik... 441 7.2.2. Dik Fonksiyon Cümleleri... 446 7.2.2.1. Bir Ağırlık Fonksiyonuna Göre Diklik... 448 7.3. Bir Fonksiyonun Fourier Açılımı....451 7.3.1. Tek ve Çift Fonksiyonlar... 458 7.4. Fourier Cosinüs ve Sinüs Serileri... 461 7.4.1. Bir Fonksiyonun Fourier Cosinüs Serisi... 461 7.4.2. Bir Fonksiyonun Fourier Sinüs Açılımı... 463 7.5. Fourier Serilerinin Uygulamaları... 467 7.6. Fourier Serilerinin Yakınsaklığı... 470 7.7. Genelleştirilmiş Fourier Serileri... 474 7.8. Fourier Serilerinin Türetilmesi ve İntegrasyonu... 475 7.8.1. Fourier Serilerinin İntegrasyonu... 476 7.9. Kompleks Fourier Serileri (İsteğe Bağlı)... 478 7.9.1. Frekans Spektrumu....480 X
7. 10. Gibbs Olayı... 485 7.11. Toplam Kare Yaklaşımı ve Parseval Özdeşliği... 487 7.11.1. Parseval Özdeşliği... 490 7. 12. Matlab Programı Yardımıyla Fourier Serilerinin Çizimi... 491 KISIM 8: KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER...495 8.1. Giriş Tanımlar... 495 8.2. Birinci Mertebe Kısmi Diferensiyel Denklemlerin Çözümü... 498 8.2.1. Sabit Katsayılı Denklemler... 498 8.2.2. İntegral Yüzeyler... 500 8.2.3. Kuazi Lineer Denklemler... 503 8.3. Fizik ve Mühendisliğin Kısmi Diferensiyel Denklemleri... 506 8.4. İkinci Mertebe Lineer Denklemler ve Kanonik Forma İndirgeme... 508 8.5. Çözümlerin Süperpozisyonu (Lineerlik İlkesi)... 513 8.6 Fiziksel Olayların Modellenmesi... 515 8.6.1. Plastik Boyanın Duvardan Akışı: Vizkos Akış... 515 8.6.2. Bir Sicimin Enine Titreşimleri Dalga Denklemi... 517 8.6.3. Mesneti Hareketli Elastik Kirişin Titreşimleri... 520 8.6.4. Membran Titreşimleri... 523 8.7. Bir Boyutlu Dalga Denklemi Değişkenlere Ayrıştırma Yöntemi... 526 8.8. Dalga Denklemini İhtiva Eden Sınır Değer Problemlerinin Dönüşümü... 536 8.9. Zamana Bağlı Tahrik Kuvvetlerinin Maruz Dalga Denkleminin Çözümü: Normal Formlar Yöntemi... 538 8.10. Sonsuz Uzunluklu Çubuklar ve Laplace Dönüşümü....546 8.11. Bir Boyutlu Isı Denklemi... 551 8.11.1. Kalıcı Hal Sıcaklık Dağılımı... 557 8.11.2. Sıfır Olmayan Sınır Şartları (Homojen Olmayan Sınır Şartları)... 557 8.11.3. Farklı Sınır Şartları Halinde Isı Denkleminin Çözümü.....559 8.11.4. Non Homojen Isı Denklemi... 562 8.11.5. Yarı Sonsuz Çubuklarda Isı Yayılışı: Laplace Dönüşümü... 567 8.12. İki Boyutlu Dalga Denklemi: Membran Titreşimleri... 570 8.13. İki Boyutlu Isı Denklemi ve Çözümü... 576 8.14. Kartezyen Koordinatlarda Laplace Denklemi... 579 8.15. Poisson Denklemi... 589 XI
KISIM 9: SİLİNDİRİK VE KUTUPSAL KOORDİNATLARDA KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER...593 9.1. Dairesel elastik Membranın Titreşimleri: Simetrik Hal... 593 9.2. Dairesel Membranların Titreşimi: Genel Hal... 600 9.3. Dairesel Diskteki Kalıcı Durum Sıcaklığı... 606 9.4. Dairesel Silindir Etrafındaki Sıvı Akışı... 611 9.5. Bir Silindirdeki Kalıcı Durum Sıcaklığı....615 9.6. Poisson Denkleminin Disk Üzerinde Çözümü... 619 KISIM 10: FOURİER İNTEGRALLERİ VE FOURİER DÖNÜŞÜMÜ 10.1. Fourier İntegrali... 623 10.2. Fourier Cosinüs ve Sinüs İntegralleri... 623 10.2.1. Fourier Cosinüs İntegrali... 628 10.3. Fourier Dönüşümü... 632 10.4. Fourier Dönüşümlerinin İşlemsel Özellikleri... 638 10.5. Fonksiyonların Konvolüsyonu... 639 10.6. Gaussian Fonksiyonu... 640 10.7. Fourier Dönüşümünün Lineer Diferensiyel Denklemlere Uygulanması... 641 10.8. Fourier Dönüşümünün Kısmi Diferensiyel Denklemlere Uygulanması... 644 10.9. Isı Denklemi ve Gauss Çekirdeği... 649 10.10. Fourier Sinüs İntegrali... 629 KISIM 11: SAYISAL YÖNTEMLER...663 11.1. Birinci Mertebe Adi Diferensiyel Denklem İçin Euler Yöntemi... 663 11.2. Yerel Kesme Hatası... 667 11.3. Toplam Kesme Hatası... 669 11.4. İyileştirilmiş Euler Yöntemi... 670 11.5. Runge Kutta Yöntemi.... 674 11.6. Adams Bashforth ve Adams Moulton Yöntemleri (Opsiyonel)... 678 11.7. Diferansiyel Denklem Sistemlerinin Sayısal Çözümleri... 682 11.8. Sonlu Farklar Yöntemiyle Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü... 686 KISIM 12: PERTÜRBASYONLAR TEORİSİ...695 12.1. Giriş... 695 12.2. Düz açılım (Straigth Forweard Expansion)... 697 XII
12.3. Lindsteid Poincare Yöntemi... 701 12.4. Renormalizasyon Yöntemi... 703 12.5. Parametrelerin değişimi Yöntemi... 704 12.6. Ortalama Yöntemi... 706 KONU ÜZERİNE YAYINLANMIŞ KAYNAK ESERLER... 709 İNDEKS... 713 XIII