HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların artan ve azalan oldukları aralıkları bulabilecek, Fonksiyonların maksimum ve minimum noktalarını ve değerlerini belirleyebilecek, Türevin geometrik anlamını kavrayabilecek, Türevin fiziksel problemlerdeki kullanımını öğrenebileceksiniz. ÜNİTE 11
GİRİŞ Bu bölümde fonksiyonların artan ya da azalan olmasının tanımı verilip fonksiyonun grafiğinden ya da birinci türevinin işaretinden faydalanarak fonksiyonun artan ya da azalan oluşu açıklanacaktır. Daha sonra maksimum ve minimum nokta tanımına geçilecektir. Maksimum ve minimum noktaların bir adı da extremum noktadır. Extremum noktaların birinci türevden nasıl bulunabileceği anlatılacaktır. Kritik noktanın tanımı yapıldıktan sonra fonksiyonun verilen bir aralıkta extremum noktalarını belirlemek için önce kritik noktaları belirlenecek ve birinci türev testi denen bir teste göre maksimum nokta ve minimum nokta ortaya çıkarılacaktır. Extremum noktaları belirlemek için fonksiyonun ikinci türevinin kullanıldığı ikinci türev testinden de faydalanılabilir. Bu testin kullanımı da bu bölümde ifade edilecektir. Daha sonra türevin geometrik yorumu yapılarak bazı geometrik problemlerde türevden nasıl faydalanılacağı incelenecektir. Son olarak ise hareket fonksiyonu bilinen cisimler için hız ve ivme hesaplaması türev kullanımı ile yapılarak fiziksel uygulamalara da yer verilecektir. ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR Bir fonksiyonu verilmiş olsun. özelliğindeki her için ( ) ( ) oluyorsa fonksiyonuna monoton artan(azalmayan), ( ) ( ) oluyorsa kesin artan fonksiyon denir. Benzer şekilde özelliğindeki her için ( ) ( ) oluyorsa fonksiyonuna monoton azalan(artmayan), ( ) ( ) oluyorsa kesin azalan fonksiyon denir. Şekil 11.1 de görüldüğü gibi geometrik olarak artan fonksiyonların grafikleri soldan sağa doğru yükselirken, azalan fonksiyonların grafikleri soldan sağa doğru alçalır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 2
Türevlenebilen bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu yerler o fonksiyonun birinci türevinin işaretinden ortaya çıkarılabilir. Kural: fonksiyonu türevlenebilen bir fonksiyon olsun. Her için ( ) ise fonksiyonu monoton artan, ( ) ise kesin artan olur. Her için ( ) ise fonksiyonu monoton azalan, ( ) ise kesin azalan olur. 11.1. ( ) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulalım. Çözüm: ( ) türev fonksiyonu için olduğunda olduğundan için bu fonksiyon artan olur. Ayrıca olduğunda olduğundan için bu fonksiyon azalan olur. 11.2. ( ) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulalım. Çözüm: ( ) ( )( ) türev fonksiyonunun işaretini inceleyelim. çarpanı için negatif, için pozitiftir. çarpanı için negatif, için pozitiftir. Bunların çarpımından oluşan türev fonksiyonu da ( ) için pozitif, ( ) için negatif ve ( ) için pozitif olacaktır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3
Tablo 11.1. ( ) fonksiyonunun türevinin işaret tablosu Böylece fonksiyonu( ) ve ( ) aralıklarında artan, ( ) aralığında azalandır. 11.3. ( ) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulalım. Çözüm: fonksiyonunun türevi ( ) olup bu fonksiyonun reel kökü yoktur. Ayrıca her için ( ) olacaktır. Böylece fonksiyon daima artandır. 11.4. ( ) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulalım. Çözüm: fonksiyonunun türevi ( ) olup türev fonksiyonunun işaretini inceleyelim. ( ) ( ) ( ) ( ) çarpanı için negatif, için pozitiftir. çarpanı için negatif, için pozitiftir. ( ) çarpanı için pozitiftir. Fakat bu fonksiyon paydada olduğundan türevi noktasında tanımsız yapar. Bu durum işaret tablosunda(tablo 11.2) çift çizgi ile gösterilmiştir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4
Bu fonksiyonların çarpımından ve bölümünden oluşan türev fonksiyonu da ( ) ve ( )için pozitif, ( ) ve ( ) için negatif olacaktır. Tablo 11.2. ( ) fonksiyonunun türevinin işaret tablosu Böylece fonksiyonu( ) ve ( ) aralıklarında artan, ( ) ve ( ) aralıklarında azalandır. FONKSİYONLARIN MAKSİMUMU VE MİNİMUMU fonksiyonu verilsin. noktasının, tanım kümesinde kalan uygun bir komşuluğundaki her için ( ) ( ) oluyorsa sayısına fonksiyonunun yerel maksimum noktası, ( ) sayısına da yerel maksimum değeri denir. Benzer şekilde noktasının, tanım kümesinde kalan uygun bir komşuluğundaki her için ( ) ( ) oluyorsa d sayısına fonksiyonunun yerel minimum noktası, ( ) sayısına da yerel minimum değeri denir. Burada yerel kelimesinin kullanılmasının nedeni belirtilen özelliklerin ya da noktalarının çok yakınında geçerli olduğunu, bu noktalardan biraz fazla uzaklaşınca bu özelliklerin sağlanmayabileceğini belirtmek içindir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5
Bu tanımdaki ( ) ( ) ya da ( ) ( ) eşitsizlikleri ya da noktalarının komşulukları yerine fonksiyonunun tanım kümesinin her yerinde sağlanıyorsa yerel maksimum ve yerel minimum yerine mutlak maksimum ve mutlak minimum elde edilmiş olur. Her mutlak maksimum veya mutlak minimum aynı zamanda bir yerel maksimum veya yerel minimumdur. Ancak tersi genelde doğru değildir. Bir fonksiyonun birden fazla yerel maksimum veya yerel minimumu olabilir. Bir fonksiyonun maksimum veya minimum noktalarına o fonksiyonun extremum noktaları, maksimum veya minimum değerlerine de extremum değerleri denir. Kural: fonksiyonu sürekli ve türevlenebilen bir fonksiyon olsun. Eğer noktası bir extremum noktası ise ( ) olur. Böylece türevlenebilen bir fonksiyonun extremum noktasında fonksiyonun eğrisine yatay bir teğet doğru çizilebilir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6
Ancak türevlenebilen bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu her noktanın bir extremum noktası olması gerekmez. Örneğin fonksiyonu için olup noktasında türev sıfırdır ancak bu nokta bir extremum nokta değildir. Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu ya da mevcut olmadığı noktaya o fonksiyonun kritik noktası denir. Aşağıdaki şekilde ve noktaları türevin mevcut olmadığı,, ve noktaları da türevin sıfır olduğu kritik noktalardır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7
11.5. ( ) fonksiyonunun kritik noktalarını bulunuz. Çözüm: ( ) ( ) fonksiyonu ve noktalarında sıfır olup noktasında tanımlı değildir. Bu yüzden kritik noktalar noktalarıdır. türev Kapalı aralıkta tanımlı sürekli fonksiyonlar için aralığın uç noktaları da extremum noktadır. Bütün extremum noktalar belirlendikten sonra extremum değerler karşılaştırılarak mutlak ve yerel extremumlar belirlenir. olur. Böylece kapalı aralıklarda aralığın uç noktaları da fonksiyonun kritik noktaları Açık aralıklarda uç noktalar aralığa dahil olmadığından böyle aralıklarda tanımlanmış fonksiyonlar için uç noktalar kritik noktalara dahil edilmez. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8
Bazı durumlarda açık aralıklarda tanımlı sürekli fonksiyonların bu aralıklarda yerel veya mutlak extremumları olmayabilir. Örneğin ( ) ( ) fonksiyonunun bu aralıkta extremumu yoktur. Bundan sonra açık aralıklarda tanımlı fonksiyonlar için mutlak veya yerel maksimum yerine sadece maksimum ve mutlak veya yerel minimum yerine sadece minimum ifadelerini kullanacağız. Birinci Türev Testi aralığında sürekli olan bir fonksiyonu verilsin ve sayısı da bu fonksiyon için bir kritik nokta olsun. Bu noktada türevin işareti pozitiften negatife değişiyorsa bu nokta bir maksimum noktadır(şekil 11.12). Bu noktada türevin işareti negatiften pozitife değişiyorsa bu nokta bir minimum noktadır(şekil 11.13). Bu noktada türevin işareti değişmiyorsa bu nokta bir extremum nokta değildir(şekil 11.14). Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9
11.6. ( ) fonksiyonunun [ ] aralığındaki extremum noktalarını inceleyelim. Çözüm: Önce fonksiyonun kritik noktalarını belirleyelim. için ( ) ve için olduğundan fonksiyon parçalı şekilde ( ) { [ ( )] ( ) olarak yazılır. Bu fonksiyonun noktasındaki sol türevi ( ) ve sağ türevi ( ) olup bu noktada türev yoktur. Yani bir kritik noktadır. Kapalı aralığın uç noktaları olan ve de birer kritik noktadır. Türev fonksiyonu için işaret tablosunu yapalım. Tablo 11.3. ( ) fonksiyonunun türevinin işaret tablosu noktasında türevin işareti pozitiften negatife geçtiğinden bu nokta bir yerel maksimum noktadır. Diğer kritik noktalardaki değerler ( ) ve ( ) şeklindedir. En yüksek değer için elde edildiğinden bir mutlak maksimum noktadır. ( ) ( ) olduğundan mutlak minimum, ise yerel minimum noktadır. 11.7. ( ) fonksiyonunun extremum noktalarını bulalım. Çözüm: ( ) ( ) ( )( ) türev fonksiyonu, ve için sıfır olduğundan bu noktalar kritik noktalardır. çarpanı için negatif, için pozitiftir. çarpanı için negatif, için pozitiftir. ( ) çarpanı için pozitiftir. Bu bilgileri kullanarak türev fonksiyonu için işaret tablosunu yapalım. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10
Tablo 11.4. ( ) fonksiyonunun türevinin işaret tablosu noktasında türevin işareti pozitiften negatife geçtiğinden bu nokta bir maksimum noktadır. noktasında türevin işareti negatiften pozitife geçtiğinden bu nokta bir minimum noktadır. noktasında türevin işareti değişmediğinden bu nokta bir extremum nokta değildir. 11.8. ( ) fonksiyonunun ( ) aralığındaki extremum noktalarını inceleyelim. Çözüm: ( ) ( ) ( )( ) olup,, noktaları türevi sıfır yaptığından kritik noktalardır. ve noktaları verilen aralığa dahil olup noktası bu aralıkta bulunmamaktadır. Bu aralıkta türev fonksiyonu için işaret tablosunu yapalım. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11
Tablo 11.5. ( ) fonksiyonunun türevinin işaret tablosu Türevin işaret değişimine göre ( ) aralığında minimum ve maksimum noktadır. İkinci Türev Testi fonksiyonu bir aralığında iki kez türevlenebilen sürekli bir fonksiyon ve sayısı ( ) özelliğinde bir kritik nokta olsun. ( ) ise noktası fonksiyonunun bir minimum noktasıdır. ( ) ise noktası fonksiyonunun bir maksimum noktasıdır. 11.9. ( ) fonksiyonunun extremum noktalarını bulalım. Çözüm: ( ) olup türevi sıfır yapan bir kritik noktadır. İkinci türev fonksiyonu, ( ) olup ( ) olduğundan bu nokta bir maksimum noktadır. 11.10. ( ) fonksiyonunun extremum noktalarını bulalım. Çözüm: ( ) ( )( ) olup ve türevi sıfır yapan kritik noktalardır. İkinci türev fonksiyonu ( ) Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 12
( ) olup için ( ) olduğundan bu nokta bir maksimum noktadır. için ( ) olduğundan bu nokta bir minimum noktadır. TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Türevlenebilen ( ) fonksiyonunun grafiğinin üzerindeki apsisli noktasından eğriye çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun bu noktadaki türevine eşittir. Teğetin eğimini ile gösterirsek ( ) olur. Böylece ( ( )) noktasından çizilen teğetin denklemi de ( ) ( )( ) olur. Teğete bu değme noktasında dik olan doğruya eğrinin bu noktadaki normali denir. Teğetin eğimi ile normalin eğiminin çarpımı olacaktır. Yani normalin eğimini ile gösterirsek normalin denklemi de olur. ( ( )) noktasından çizilen ( ) olacaktır. ( ) ( ) ( ) Sağ ve sol türevin geometrik yorumu da şöyledir. Şekilde verilen noktası ( ) fonksiyonu için bir kritik noktadır. Sürekli bir fonksiyonun kritik noktada türevinin olması için bu noktadaki sol ve sağ türevlerinin eşit olması gerekir. Şekildeki eğrinin noktasında iki teğetinin olduğu görülmektedir. noktasına soldan Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 13
yaklaşılarak çizilen teğetin eğitimi fonksiyonun noktasındaki sol türevine, noktasına sağdan yaklaşılarak çizilen teğetin eğitimi de fonksiyonun noktasındaki sağ türevine eşittir. noktasında sol ve sağ türevlerin eşit olması bu noktadaki teğetlerin çakışık olması anlamına gelecektir. Demek ki fonksiyona bir noktada soldan ve sağdan yaklaşılarak çizilen teğetler çakışıksa fonksiyonun bu noktada türevi vardır, çakışık değilse fonksiyonun bu noktada türevi yoktur. 11.11. ( ) fonksiyonunun grafiğine apsisli noktadan çizilen teğetin eğimini bulalım. Çözüm: Teğetin eğimi türevin noktasındaki değeri olacağından önce türevi bulalım. ( ) olup teğetin eğimi ( ) olarak elde edilir. 11.12. ( ) eğrisine üzerindeki apsisli noktadan çizilecek teğetin denklemini bulalım. Çözüm: için ( ) olur. Yani eğrinin ( ) noktasındaki teğetinin denklemini bulacağız. Bu noktadaki teğetin eğimi ( ) olduğundan bu teğetin denklemi olarak bulunur. 11.13. ( ) ( ) eğrisinin apsisli noktasındaki normali ( ) doğrusuna paralel olduğuna göre kaçtır? Çözüm: ( ) doğrusunun eğimi dür. Normal ile bu doğru paralel olduklarından eğimleri eşittir. Yani normalin eğimi olacaktır. Teğetin eğimi ile normalin eğiminin çarpımı olduğundan teğetin eğimi olmalıdır. Teğetin bu eğiminin türevin o noktadaki değerine eşit olduğunu biliyoruz. Öyleyse ( ) için ( ) eşitliğinden olmalıdır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 14
TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU Sabit hızla hareket eden bir cisim düşünelim. Bu cismin hızını hesaplamak için aldığı yolu hareket zamanına bölmemiz gerekir. Cisim sabit bir hızla hareket etmiyorsa hızı her an değişiyorsa aldığı yolu hareket zamanına bölünce cismin ortalama hızını elde ederiz. Eğer herhangi bir zaman diliminde cismin hızını mümkün olduğu kadar doğru hesaplamak istiyorsak bu zaman aralığını çok küçük seçmemiz gerekir. hareket eden cismin aldığı yolu de zamanı göstermek üzere ( ) zamana bağlı hareket fonksiyonunu temsil eder. Cismin belirli bir zamanındaki konumu ( ) ve zamanındaki konumu ( ) olmak üzere bu cismin zaman aralığındaki ortalama hızı ( ) ( ) olacaktır. Buradan cismin anındaki hızını bulmak için iken bu oranın limitini almak gerekir. Yani bu cismin anındaki hızı ( ) ( ) ( ) ( ) ifadesi ile elde edilir. Benzer olarak bir kere daha türev alınırsa cismin ivmesi ( ) ( ) elde edilir. Yani konumun zamana göre birinci türevi hızı, ikinci türevi ivmeyi verir. 11.14. Hareketi ( ) denklemi ile verilen bir cismin ve saniyeleri arasındaki ortalama hızının kaç mt sn olduğunu bulalım. Çözüm: saniyede cismin konumu ( ) mt. ve saniyede cismin konumu ( ) mt. olacağından, bu süre boyunca ortalama hız ( ) ( ) mt sn olarak bulunur. 11.15. Hareketi ( ) denklemi ile verilen bir cismin saniyedeki anlık hızını ve ivmesini bulalım. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 15
Bireysel Etkinlik Türev Uygulamaları I Çözüm: Hızın konumun zamana göre birinci türevi olduğunu biliyoruz. Böylece ( ) ( ) hız denklemi olacaktır. Buradan saniyedeki hız ( ) ( ) mt sn olarak bulunur. İvme de konumun zamana göre ikinci türevi olduğundan ( ) ( ) ivme denklemi olacaktır. Buradan saniyedeki ivme ( ) ( ) mt sn 2 olarak bulunur. Türevlenebilen bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu her noktanın neden extremum noktası olması gerekmediğini düşününüz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 16
Özet Türev Uygulamaları I Bir fonksiyonun grafiği soldan sağa doğru yükseliyorsa o fonksiyon artan, soldan sağa doğru alçalıyorsa o fonksiyon azalan olur. Artan ya da azalan olma birinci türevin işaretinden de tespit edilebilir. Birinci türevin pozitif olduğu yerler için fonksiyon artan olurken, birinci türevin negatif olduğu yerler için fonksiyon azalan olacaktır. Bazı fonksiyonlar için birinci türev hep pozitif ya da hep negatif olabilir. Bu hallerde fonksiyon her zaman artan ya da her zaman azalan olacaktır. Bir fonksiyonu yakın bir koşuluğundaki bütün noktalardan daha büyük yapan noktaya yerel maksimum nokta, daha küçük yapan noktaya da yerel minimum nokta denir. Bu noktalarda fonksiyonun aldığı değerler de yerel maksimum değer ve yerel minimum değer olarak adlandırılır. Eğer yerel maksimum nokta fonksiyonu tanım aralığındaki bütün noktalardan büyük yapıyorsa mutlak maksimum nokta, eğer yerel minimum nokta fonksiyonu tanım aralığındaki bütün noktalardan küçük yapıyorsa mutlak minimum nokta olur. Maksimum ve minimum noktaların bir adı da extremum noktadır. Extremum noktalar birinci türevi sıfır yapan noktalardır. Bu noktalarda eğriye çizilen teğet x eksenine paralel olur. Ancak birinci türevin sıfır olduğu her nokta bir extremum nokta değildir. Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu ya da mevcut olmadığı nokta o fonksiyonun kritik noktasıdır. Kapalı aralıklarda uç noktalar da kritik noktadır. Fonksiyonun verilen bir aralıkta extremum noktalarını belirlemek için önce kritik noktaları belirlenir. Birinci türev testine göre kritik noktalarda işaret pozitiften negatife dönüyorsa o nokta maksimum nokta ve işaret negatiften pozitife dönüyorsa o nokta minimum noktadır. Türevin işaretinde bir değişiklik olmuyorsa o nokta bir extremum nokta değildir. Aralığın uç noktaları o aralığa dâhil ise bu noktalarda bir yerel extremum nokta olur. Extremum noktaları belirlemek için fonksiyonun ikinci türevinin kullanıldığı ikinci türev testinden de faydalanılabilir. Kritik noktalar belirlendikten sonra bu noktalar ikinci türevde yerine yazılır. Eğer bir kritik nokta ikinci türevi pozitif yapıyorsa bu nokta bir minimum nokta, ikinci türevi negatif yapıyorsa bir maksimum nokta olacaktır. Fonksiyonun bir noktadaki türevinin değeri fonksiyonun gösterdiği eğriye o noktadan çizilen teğetin eğimine eşittir. Bu bilgiden faydalanarak fonksiyonlara çizilecek teğet doğruların denklemi kolayca bulunur. Böylece türev bilgisi bazı geometrik problemlerin çözümü için kullanılabilir. Hareket eden cisimler için zamana bağlı konum fonksiyonu biliniyorsa bu cismin hızı konumun zamana göre birinci türevinden ve cismin ivmesi de konumun zamana göre ikinci türevinden hesaplanabilir. Böylece türev bilgisi bazı fiziksel problemlerin çözümü için kullanılabilir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 17
DEĞERLENDİRME SORULARI Değerlendirme sorularını sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan bölüm sonu testi bölümünde etkileşimli olarak cevaplayabilirsiniz. 1. ( ) fonksiyonunun artan olduğu aralık hangisidir? a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) yoktur 2. ( ) fonksiyonunun minimum noktası kaçtır? a) 2 b) c) d) e) 0 3. ( ) fonksiyonunun [ ] aralığındaki mutlak minimum noktası kaçtır? a) b) c) d) 4 e) 4. ( ) eğrisine ( ) noktasından çizilecek teğetin denklemi nedir? a) b) c) d) e) 5. Hareketi ( ) denklemi ile verilen bir cismin saniyedeki ivmesi kaçtır? a) b) c) d) e) Cevap Anahtarı 1.C, 2.A, 3.D, 4.B, 5.E Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 18
YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Balcı, M., (1999). Analiz. Ankara: Balcı Yayınları. Edwards, C. H. ve Penney, D. E., (2002). Calculus. New Jersey: Prentice-Hall Inc. Halilov, H., Hasanoğlu, A. ve Can, M., (1999). Yüksek Matematik-I. İstanbul: Literatür Yayıncılık. Kadıoğlu, E. ve Kamali, M., (2009). Genel Matematik. Erzurum: Kültür Eğitim Vakfı Yayınevi. Muhafız, N. ve Kara, H., (1991). Matematik. Ankara: Yöntem Yayınları. Arıkan, H., Gözükızıl, Ö. F. ve Özgür, İ., (2002). Genel Matematik-I. İstanbul: Değişim Yayınları. Balaban, M. E., (2010). Temel Matematik ve İşletme Uygulamaları. İstanbul: Türkmen Kitabevi. Cangül, İ. N., Öztürk, M., Çelik, N. ve Bizim, O., (2010). Temel Matematik. Bursa: Dora Basım Yayın. Çoker, D., Özer, O., Taş, K. ve Küçük, Y., (2009). Genel Matematik-I. Ankara: Bilim Yayıncılık. Dernek, A., (2008). Genel Matematik. Ankara: Nobel Yayın Dağıtım. Ertuğrul, İ., (2010). Temel Matematik. Bursa: Ekin Yayınevi. Hacısalihoğlu, H. H. ve Balcı, M., (2003). Temel ve Genel Matematik. Cilt-I. Ankara: Hacısalihoğlu Yayıncılık. Kaçar, A., (2009). Temel Matematik I-II. Ankara: Pagem Akademi. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 19