TÜMEVARIM Mtemtite ulldığımız pe ço ispt yötemi vrdır.bu yötemlerde biride tümevrım yötemidir. P() bir çı öerme öermeyi doğru yp e üçü doğl syı, P() öermesii doğrulu ümesi N olsu B.P() olduğu gösterilir.yi içi doğru olduğu gösterilir..p() doğru bul edilir..p(+) doğru olduğu isptlır. ÖRNEK: + P():+++...+= ( ) olduğuu gösterelim. (+ ).= içi P():= =,p() doğru.= içi p()=+++.+ ( + ) bul edelim.. =+ içi p()=+++.+++= ( + )( + + ) olduğuu oldğuu ispt edelim. P():+++.+ ( + ) öermeside eşitliği her ii trfı + eleyelim. +++.+++= ( + ) ++ ( + ) + ( + ) +++.+++= ( + )( + ) +++.+++= ( + )( + + ) +++.+++= Dolyısıyl P() öermesi doğrudur. +++ +=(+) +++...+-= ( + )(+ ) + + +... + = ( + ) + + +... + = [ ] ( + )( + ).+.+.+..+(+)= + + +... + =... ( + ) + +r+ r + r +... + r = r r.!+.!+.!+.+.!=(+)!- TOPLAM SEMBOLÜ,, R olm üzere + + + + toplmıı ıscsı biçimide gösterilir., sembolü sigm diye ouur. = + + +... + = ÖRNEK: ( + ).( + ). + + +... + = = = 0 ÖRNEK: 0 0. + + +... + 0 = (+ ) = 0 = 07 te bşldığı içi te öcei (+) yi toplmd çırtırız. ÖRNEK: 0 0. + + 7 +... + 0 = (+ + + ) = 0=
ÖRNEK: 7? ÖRNEK: 0 0? ÖRNEK:? ÖRNEK7: ( + ) =? ÖRNEK8: 0 = + + +... + = ( + ) = + + +... + 0= 0(0+ ) = 90 ÖRNEK9: 0 8+ 0+ +... + 0= 0(0 + ) (+ + ) = 0 = 08 SIRA SĐZDE ÖRNEK0:? ÖRNEK: 0? ÖRNEK:? ( ) = + + +... + = ÖRNEK: 0 ( ) = + + +... + 9 = 0 = 00 ÖRNEK: 0 ( ) = 7+ 9+ +... + 9= 0 (+ + ) = 00 9= 9 ÖRNEK: 0 ( ) =? ( + )( + ) = + + +... + = ÖRNEK: ÖRNEK7:.. = + + +... + = = 0.. = + + +... + = ( + + ) =0- = dit ederseiz te bşlıyor SIRA SĐZDE ÖRNEK8: 0 =? ÖRNEK9: =? ( + ) = + + +... + =
ÖRNEK0: 0 0(0 + ) = + + +... + 0 = = 0 ÖRNEK: 0 0. = + + +... + 0 = ( + ) -9=0-9 =0 ÖRNEK: =? ÖRNEK: =? ÖRNEK: 0 9 =? r = + r + r +... + r = r r ÖRNEK: 9 ( ) =? ÖRNEK7: 9 =? = + + +... + = ( + )... ( + ) + ÖRNEK8: 0 0 = + + +... + = ( + )... 0(0+ ) ÖRNEK9: = + + +... + = = ( + )...7 ( + ) = SIRA SĐZDE ÖRNEK0: =? ( + ) = ÖRNEK: 0 0 9 0 = + + +... + = = = 0 ÖRNEK: 0 ( ) 0 ( ) = + + ( ) +... + ( ) = = = 0 0. ÖRNEK: 9 =? ( + ) TOPLAM SEMBOLÜNÜN ÖZELLĐKLERĐ = p = p= + + +.+ Toplm idisii değişmesi toplmı soucuu değiştirmez.
toplmıd (-p+) te terim vrdır. p ÖRNEK: toplmıd -+= te terim vrdır. ÖRNEK8: 8 c= 0 ise c=? 8-+= te terim vr.c=-0 ise c= 0 = olur. ÖRNEK: toplmıd -(-)+=++=0 te terim vrdır. ÖRNEK: m toplmıd te terim olduğu göre m=? m-+= m-= m=+= olur ÖRNEK9: 8 ( ) =? ÖRNEK9: c= 0 ise c c=? ÖRNEK: 0 toplmıd ç terim vrdır. ÖRNEK: toplmıd ç terim vrdır. c =c+c+c+.+c=.c (c R) ÖRNEK: 0 = 0.= 00 ÖRNEK7: =? -(-)+=0 te terim vr = 0.=80 c = c,(c R) ÖRNEK0: 0 0 0. = =. = 0 ÖRNEK: = ) =. = ( + ) ( + ) ÖRNEK: =? ÖRNEK: 0 =?
( + b ) = + b = 0+ 0 0 olduğud 0 = 0 = ÖRNEK: 0 0 0 (+ ) = +. 0. +.0=+0=8 ÖRNEK: 0 0 0 ( ) = 0.. ( ) ÖRNEK: ( ) =? ÖRNEK: 0 9 -. 0. =0-0=9 ( ) =? ÖRNEK9: = 00 ve ÖRNEK0: 0 = 0, + =? p = m m p ÖRNEK0: = 0 ise 0 = ve ( + p) p = ( + p) m m p,(m<p) 0 9 =? = ise t = + (<t<) m m t+ ÖRNEK7: 0 = 0 0 = 70 ise 0 0 0 = + =0+70=0 ÖRNEK8: 0 = 0, 0 0 = + ve = 0 ve = ise 0 =? = + 0 0 ÖRNEK: + p = ( p) m m+ p ( ) = ( ) ij j= i= i= j= ÖRNEK: ( + m) = ( + + + + + ) = (+ 9) m= (.+9)+ (.+9)+ (.+9)=++8= dit ederseiz öce ( + m) = (+ 9) buldu. m= m= ji
ÖRNEK: = (.) = =.= m= ÖRNEK: m= =? UYARI: P( x) A B = + biçimie ( x )( x b) x x b döüştürülebile ifdelerde A ve B sbitlerii bulm içi şğıdi yol izleir. x-=0 x= dır.x-b=0 x=b dır A= p( ) ve B= pb ( ) b b ÖRNEK: m= ÖRNEK: m= i= ( + m) =? ( mi) =? ÖRNEK9: ifdesii bsit esirlere yırlım x x x -x-=(x-)(x+) A B = + x x+ x x x-=0 x= x+=0 x=- ÖRNEK7: m= i= ( i) =? A= = B= = + 7 7 = 7 7 x x x x+ olur BASĐT KESĐRLERE AYIRMA ĐŞLEMĐ ÖRNEK8: x 9 ifdesii bsit esirlere yırlım. x 9 = A B = + ( x )( x+ ) x x+ Ax+ A+ Bx B = ( x )( x+ ) ( x )( x+ ) =(A+B)x+A-B / x+ / x A+B=0 A=-B, A-B= A-(-A)= ÖRNEK0: x = A B + ise A.B=? x x+ x x x-=0 x= ve x+=0 x=- x A= x+ = + = x B= = = = x A.B=. = olur. ÖRNEK: A= A=, B=- x 9 = x x+ olur. 0 =? ( + )
A B = + ise 0 ve +=0 - ( + ) + A= = = B= + 0+ = = = ( ) ( + ) + 0 0 olur 0 ( ) = + +... + + 0 = 0 = - ( + ) = 0 ÖRNEK: =? + + + + = A B + + + +=0 ise - ve +=0 ise - A= = = B= = = + + + + = ( ) + + + + ( ) = + +... + + + 7 ( ) + + = = = 7 7 7 ÖRNEK: ÖRNEK: =? =? + ÇARPIM SEMBOLÜ,,,... R olm üzere..... çrpımı ısc biçimide gösterilir. = ÖRNEK: 0..... =.. 0=0! Olur UYARI: 0 =! dir. ÖRNEK: ( ) = (-)(-)(-)(-)=...= ÖRNEK7:.( + )( + )( + ) =0+0+0+0+...= ÖRNEK8: + ( + ) = =..... = 0 0 0 ÖRNEK9: 89 t = t.t.t...t 89 = olur. t.t89=, t.t88= (x+y=90 ise tx.ty=) ÖRNEK9: =?
ÖRNEK70: 99 ( 9) =? ÖRNEK7: ( ) =? + ÇARPIM SEMBOLÜNÜN ÖZELĐKLERĐ = ÖRNEK7: 0 c = c. c. c... c = c = 0 ÖRNEK7: = 8 (dit ederseiz - de e dr 8 te terim vr) 0 8 + = ise =? 0 8= 8 = ( ) = = +=7 = ÖRNEK7: 7 =? ÖRNEK7: 9 9 7 + = x ise x=? ÖRNEK7: 0 0 = 0 (. b ) = ( ).( b ) ÖRNEK77: 0 0 0 0 ( + ) = ( + ) = ( ) ( + ) = 0!.! c = c = ( c R) ÖRNEK78: 0 0 = = = = 0. 0... ÖRNEK79: x = ise x=?. = = = x= x= ÖRNEK80: = 8 ise? ÖRNEK8: 0 0 =? x = x. = = = c c ÖRNEK8: 0 i =? ( i = ) 0
Tümevrım M Testi I ÇÖZÜMLÜ TEST I. ifdesii değeri çtır?. ifdesii değeri çtır? A) B) C) 8 D) 78 E) 8 A) B) 0 C) 8 D) E).. = = 78 00 ifdesii değeri çtır? 99 YANIT D A) 0 B) C) 99 D) 00 E) 000 -(-)+= te terim vr. =.= olur ( ) ifdesii değeri çtır? YANIT A A) 00 B) C) D) 9 E)9 00 99 98 97... + 97+ 98+ 99+ 00 =00 99 YANIT D ( ) = + + +... + = = YANIT B i ifdesii değeri çtır?. 0 i= A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E) 0 0 0 0 i= (+ ) = =.0= 0 i= YANIT E. ifdesii değeri çtır? A) 80 B) 8 C) 87 D) 90 E) 97 = ( ) + ( ) + (0) + () + () + () + () =7+- =90 YANIT D
7. ( + ) ifdesii değeri çtır? 0 9. ifdesii değeri çtır? ( + ) A) 0 B) 0 C) 7 D) E) A) 0 7 B) 9 C) 8 D) E) ( + ) = + -+= te terim vrdır. = (+ + +... + ) =.0= 0 =.= 0 0 = ( ) ( + ) = + = ( + + +... + )..7 7.8 0. 0 00 8 =( ) = ( ) = 0 YANIT D ( + ) =0+=7 YANIT C 0. im ifdesii değeri çtır? i= m= A) 0 B) C) D) E) 0 8. ( + ) ifdesii değeri çtır? A)080 B)00 C)980 D)880 E)780 im= (i+ i) = i= + 0= i= m= i= i= YANIT E 0 0 0 0 ( + ) = ( + ) = +. ifdesii değeri çtır? m= = 0 ( + ) = 0.. =080 + 0. =870+0 YANIT A A) 7 B) C) D) 8 E) = = 9 m= = m= 9 = 9+ 8+ 7= YANIT C
. ifdesii değeri çtır? 99. ( + ) ifdesii değeri çtır? A) B) 9 C) D) 9 E) =.. = = YANIT A. ( 8) ifdesii değeri çtır? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) -9 99 ( + ) = + +... 00 99 =-+0 =9 YANIT B A) -0 B) 0 C) D) 70 E) 0. f ( x) = x x+ ise içi -8= 8= 0 ( 8) =0. = 8 ise =? m= A) B) C) D) 8 E) = = ( ) = m= = 8 ise =8 YANIT B YANIT D f ( ) ifdesii değeri çtır? A) B) 0 C) 8 D) 7 E) -9 f ( ) = f () + f () + f () f () =.+ = f () =.+ = f () =.+ = f ( ) =++=8 olur YANIT C
I ÇÖZÜMLÜ TEST I Tümevrım A Testi. + ifdesii değeri çtır?. log + ifdesii değeri çtır? A) B) C) D) 8 E) 0. + =... = = olur. 99 YANIT B log = ise log00! değeri çtır? A) B) 00 C) D) + E) -. 99 99 log = log+ log + log +... + log99 log = log(....99)=log99! log00!=log(00.99!)=log00+log99! =+ olur YANIT D 8= ise çtır? m= A) B) C) 0 D) 8 E) log = log log log...log = log = + = x. = ise x çtır? YANIT E A) 0 B) 8 C) D) E) 0. = =.= 0 0 = = = = ( ) = x=0 olur 00 cos 0 0 0 YANIT A ifdesii değeri çtır? A) B) C) 8 D) 0 E) 8= 8 ve = = dolyısıyl 8= =8 olur YANIT C A) B) 0 C) - D) E) 00 cos =cos.cos.cos...cos90.cos00=0 (cos90=0) YANIT B
7. x x+ = 0 delemii öleri x ve x dır.bu göre x + x ifdesii değeri çtır? A) B) C) 8 D) 0 E) b x+ x = = = c x. x = = = 0..+.+.+ 0. toplmıı değeri şğıdilerde hgisie eşitir? A) D) B) 0 0 ( + ) C) ( + ) E) 0 0 ( + ) (+)+(+)+..+0(0+)= 0 ( + ) x + x = x + x+ x. x = + = 0 YANIT D c+ 8 + 7. = m ise m çtır? c YANIT C 0 8. i ifdesii değeri çtır? ( i = ) A) - B) -i C) D) i E) 0 0 0. 0 0 i = i. i... i = i = i = i = YANIT A 9. x + x+ = 0 delemii öleri x ve x dır. x + x = ise çtır? A) - B) - C) 0 D) E) x + x = x + x+ x. x = + = = = YANIT E A) 8 B) C) D) 9 E) c+ 8 + 7 9 = ve c 9 = 7m ise m= 80 m= 9.m= 7m 7 9 9 = = olur. cos ifdesii değeri çtır? A) - B) 0 C) D) 80 YANIT B E) cos =cos+cos+ +cos79+cos80 x+y=80 ise cosx+cosy=0 olur. Cos+cos79=cos+cos78=0 80 cos =cos80=- YANIT A
. 7 ( ) ifdesii değeri çtır? i= m=. ( ) ifdesii değeri çtır? = 0 A) B) C) 08 D)8 E) 7 A) 0 B) C) D) E) = + 0+ + + = 0 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = + + 0+ 0= 0 YANIT D = ve m= 7 =. = olur. i= YANIT B..+.+.+ +. toplmıı değeri çtır? A) 70 B) 7 C) 79 D)80 E) 80 x. f ( x) = ( ) ise f () değeri çtır? A) B) C) 0 D) - E) - ( + ) = ( + ) = +.. = = 0 f () = ( ) = + 0+ = 0 olur. YANIT C =.= 0+=80 olur. YANIT E
I CEVAPLI TEST I Tümevrım R Testi. ( ) ifdesii değeri çtır? 0. = 0, 0 = ve 0 0 = 0 A) B) 0 C) D) 0 E) ise 0 çtır? A) B) C) D) E) 7. ( ) ifdesii değeri çtır? A) B)9 C)7 D)0 E)9. ( ) ifdesii değeri çtır? A) 0 B) C) 00 D) 8 E) 0. 0 ( ) ifdesii değeri çtır? 0 7..! syısıı ile bölümüde l çtır? A) B) C) D)0 E) A)0 B) C) D) E) 0. ( ) ifdesii değeri çtır? A)0 B) C) D)0 E) 8. m 8 ise m çtır? = i= A) B) C) D) E)
0 9. ifdesii değeri çtır? 0 ( + ). log = ise çtır? 9 A) 9 0 B) 9 C) 0 A)0 B) C) D) E) D) 0 E) 9 7 0. = ise çtır? ( ) 0 A)0 B)9 C)8 D)7 E). i ifdesii değeri çtır? ( i = ) A)- B)-i C)0 D) E)i.f(x)=+++..+x g(x)=.. x ise fog() değeri çtır? 99. i ifdesii değeri çtır? 0 ( i = ) A)- B)-i C)0 D) E)i A)00 B)0 C)9 D)8 E)0. ( + ) = 80 ise çtır? A) 7 B) C) D) E) 90. cos ifdesii değeri çtır? A)0 B) C)0 D) E), 7 8 9 0 A B A A E D E D C A A D C D C E
I CEVAPLI TEST I Tümevrım S Testi. ( m ) = 7 ise çtır? m=. ( + ) = ise çtır? A)7 B) C) D) E) A)8 B)7 C) D)0 E). ( ) ifdesii değeri çtır?. ( x+ ) = x i lbileceği değerler çrpımı çtır? A) + B) C) + + D) + E) A)0 B)- C)-0 D)- E)-. ( ) + ifdesii değeri çtır? 9 7. = x ise x çtır? = m= A)- B)- C) D) E)7 A) B)0 C)8 D) E). = 0, 0 = 0 ve 9 = 0 8. ( m. + ) ifdesii değeri çtır? m= = ise 9. 0 çtır? A) B) C) D) E) A)8 B)0 C) D)0 E)
9. ( + ) = 7 ise 0 değeri çtır? [( ) ] ifdesii. 0 = e ise l çtır? A)- B)- C)- D) E) A) B)0 C) D) E) 0. x x+ m= 0 delemi öleri x vex dır ( x ) = ise m çtır?. m= ifdesii değeri çtır? A)8 B)7 C) D) E)- A) B)9 C) D) E).f(x)=x-, x= vex = ise [ f ( x ) + f ( )] ifdesii değeri çtır? A)77 B) C) D)- E)-77. ifdesii değeri çtır? 0 A)- B)- C) D) E). + = ( ) ise çtır? A) B)0 C)8 D)7 E). ifdesii değeri çtır? A)0 B)8 C)0 D)0 E)0 7 8 9 0 B A E D B C A D A C E B D D E A