İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler...5 Diferansiyel Denklem Çeşitleri...9 İzogonal ve Ortogonal Yörüngeler...8...4 Genel Tarama Sınavı...5
a 0() 0 olmak üzere, (n) (n 1) (n ) 0 n a ()y a ()y a ()y... a ()y F() denklemine n. mertebeden lineer diferansiyel denklem denir. Eğer F() = 0 ise denkleme sağ tarafsız ya da homojen lineer diferansiyel denklem; F() 0 ise denkleme sağ taraflı ya da homojen olmayan lineer diferansiyel denklem denir. v) c1y1 cy cy... cnyn = 0 denkleminde c1 c c... cn 0 oluyorsa y 1,y,y,...,y n fonksiyonlarına lineer bağımsızdır denir. c1y1 cy cy... cnyn 0 denkleminde (n 1) kez türev alınırsa c1y1 cy cy... cnyn 0 Özellikleri: c 1,c,c,...,c n keyfi sabitler olsun. c y c y c y... c y 0 1 n n c y c y c y... c y 0 1 n n i) y 1 homojen denklemin bir çözümü ise c1y 1 de homojen kısmın bir çözümüdür. c y c y c y... c y 0 1 n n ii) y 1,y,y,...,y n homojen denklemin n tane çözümü ise. c1y1 cy cy... cnyn (n 1) (n 1) (n 1) (n 1) 1 n n c y c y c y... c y 0 de homojen kısmın çözümüdür. denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemindeki c 1,c,c,...,c n keyfi sabitlerin tümü birden sıfır ise iii) y 1,y,y,...,y n homojen denklemin n tane çözümü ve () fonksiyonu da homojen olmayan denklemin bir çözümü ise () + c1y1 cy cy... cnyn y y... y n y y... y n W(y,y,y,...,y ) y y... y 0 n............ (n 1) (n 1) (n 1) n y y... y de homojen olmayan diferansiyel denklemin bir çözümüdür. dır. Bu determinanta Wronskiyen ya da Wronski determinantı denir. Wronskiyen determinantı sıfır ise y 1,y,y,...,y n fonksiyonları lineer bağımlıdır. iv) Lineer diferansiyel denklemde bağımsız değişken değiştirildiğinde yine bir lineer diferansiyel denklem elde edilir. 4
Örnek: y e ve y e fonksiyonlarının lineer bağımsız olduklarını gösterelim. c1 ve c keyfi sabitler olsun. y 1 e W 0 e 0 determinantından 0 e c e c e 0 4 denkleminin Wronski determinantı diferansiyel denklemi elde edilir. e e W 1 1 0 e e olacağından y 1 ve y fonksiyonları lineer bağımsızdır. vi) Genel çözümü y = c1y1 cy cy... cnyn + () olan n. mertebeden lineer diferansiyel denklem için Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemler a 0,a 1,a,...,an R (n) (n 1) (n ) 0 n a y a y a y... a y Q() denklemine n. mertebeden sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem denir. Eğer Q() = 0 ise verilen denkleme sabit katsayılı sağ tarafsız (homojen) diferansiyel denklem denir. y () y y... y n y () y y... y n W y () y y... y 0 olmalıdır. n............... (n) (n) (n) (n) (n) n y () y y... y Sabit Katsayılı Homojen Diferansiyel Denklemlerin Genel Çözümü (n) (n 1) (n ) (n) 0 n a y a y a y... a y 0 denkleminin y = e biçiminde çözümlerini araştıralım. n n 1 n 0 n e (a a a... a ) 0 olmak üzere, Örnek: Genel çözümü y c c e olan lineer diferansiyel denklemi bulalım. n n 1 n 0 n a a a... a 0 denklemine homojen diferansiyel denklemin karakteristik denklemi denir. Bu denklemin n tane kökü olduğundan 1,,,..., n köklerine karşılık gelen e,e,e,...,e n fonksiyonlarından her biri verilen diferansiyel denklemi sağlar. 4
Karakteristik Denklemin Kökleri 1) Karakteristik denklemin, 1,,,..., n gibi n farklı reel kökü olsun. Bu durumda verilen homojen diferansiyel denklemin e,e,e,...,e n biçiminde n tane özel çözümü vardır. c 1,c,c,...,c n keyfi sabitler olmak üzere, homojen denklemin genel çözümü, 1 n n y = c e c e c e... c e ) k n olmak üzere, karakteristik denklemin 1,,,..., k gibi k tane katlı kökü olsun. 1... k ve c 1,c,c,...,c n keyfi sabitler olmak üzere, genel çözüm k 1 1 k k 1 n (c c c... c )e c e... c e 1 k 1 n y= Örnek: 4 4y 0 diferansiyel denkleminin Örnek: 4y 0 diferansiyel denkleminin Verilen homojen diferansiyel y = e biçimde çözümlerine bakarak - 4 + = 0 karakteristik denklemi elde edilir. ( - 1) ( - ) = 0 1 1 ve olduğundan genel çözüm Karakteristik denklem - 4 + 4 = 0 ( ) = 0 olduğundan 1 0, olur. O halde genel çözüm 0 y c e (c c )e y c (c c )e bulunur. y c e c e. Karakteristik denklemin a + bi ve a bi gibi iki kökü komleks olmak üzere, n tane kökü olsun. O halde genel çözüm a n y e (c cosb c sinb) c e... c e n 44
Örnek: 6y 10 0 diferansiyel denkleminin Örnek: y diferansiyel denkleminin Karakteristik denklem y 0-6 + 1 = 0-1 = 0 ( ) = -4 1 1, 1 - = i olduğundan h y c e c e tir. Homojen olmayan 1 i, i olduğundan genel çözüm y e (c cos c sin) denklemin bir özel çözümü üzere, y a b a y a b c olmak Sabit Katsayılı Homojen Olmayan Lineer Diferansiyel Denklemler ifadeleri sağ taraflı denklemde yerine yazılarak a a b c = + (n) (n 1) 0 1 n a y a y... a y Q() a = -1, b = -1, c= - homojen olmayan sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemin genel çözümü, çözümü ve y özel çözümü olmak üzere, y h homojen kısmın bir () homojen olmayan kısmın bir bulunur. Bu değerler özel çözümde yazılarak y elde edilir. O halde genel çözüm y y y h y y y h c e c e olur. 45
Örnek: 1 diferansiyel denkleminin Örnek: y y 6e diferansiyel denkleminin Verilen denklemin homojen kısmının karakteristik denklemi, - = 0 1 0, 1 olduğundan y c c e h 1 0 biçiminde bir kök olduğundan özel çözüm, y y 0 - + = 0 1 1, olduğundan homojen kısmın genel çözümü h 1 y c e c e Karakteristik denklemin köklerinden hiçbiri -1 ( çözüm e te in katsayısı) olmadığından özel 1 y (a b) y ae y a b y a b y a a - a b = 1 a = -1, b = -1 y bulunur. Buradan da homojen olmayan denklemin genel çözümü y y y h biçiminde olacaktır. y ae y ae y y 6e ae ( ae ) ae 6e a + a + a = 6 a = 1 olduğundan genel çözüm y y y h olur. c c e c e c e e 46
Örnek: Örnek: 4y 6 sin diferansiyel denkleminin 5y 6y 0e diferansiyel denkleminin Karakteristik denklem Karakteristik denklem - 5 + 6 = 0 + 4 = 0 1, 1 i, i olduğundan, olduğundan, h 1 y c e c e yh c1 cos c sin Karakteristik denklemin bir kökü olan e te in katsayısı ile aynı olduğundan özel çözüm Özel çözüm ise y a sin bcos y ae y acos b sin biçiminde olacaktır. y a( 1)e y a sin bcos a sin b cos 4a sin 4bcos 6 sin y a(4 4)e a =, b = 0 a(4 4)e 5a( 1)e 6ae 0e a = 4 Buradan da genel çözüm y y y h y c e c e 4e y sin O halde genel çözüm y y y h y c1 cos c sin sin bulunur. 47
Euler Diferansiyel Denklemi Örnek: 5y y 0 diferansiyel denkleminin n n d y n 1 n 1 d y 0 n 1 n 1 n a a... a y Q() d d t e şeklindeki değişken katsayılı lineer diferansiyel denklemlere Euler diferansiyel denklemi denir. Bu ti diferansiyel denklemlerde = e t dönüşümü yaılarak verilen diferansiyel denklem sabit katsayılı lineer diferansiyel denkleme indirgenir. a0 1, a1 5, a d y dy 4 y 0 dt dt d y dy 0 a a a y Q() d d y = e t olmak üzere, karakteristik denklem + 4 + = 0 ikinci mertebeden Euler diferansiyel denkleminde d dt e ise e ve e dt d t t t 1 1, olduğundan genel çözüm dy dy dt d dt d c c y c e c e ise y t t t dy e dt tür. d y d t dy dt e dt dt dt d t d y e e dt t dy dt olacağından verilen diferansiyel denklem d y dy t a 0 (a 1 a 0 ) ay Q(e ) dt dt hâlini alır. 48
KONU TESTİ 1. Genel çözümü y c c e 1 olan lineer diferansiyel denklem aşağıdakilerden A) 1 1 4. 6 11y 6y 0 A) y c c e c e y c c e c e y (c c )e c e y c e c e c e y c e c e c e. Genel çözümü y (c c )e olan lineer diferansiyel denklem aşağıdakilerden A) y 5 4 5. 0 A) y c e (c cos c sin ) y 4 y c e (c cos c sin ) 4 4 4 y (c c )e c cos c y 5 4 y c e c cos c sin 4 y c e e (c cos c sin ). 4y 0 A) y c e c e y c e c e y (c c )e y (c c )e y e (c cos c sin) 6. 6y 0 A) y c c e c e y c c e c e y (c c )e c e y (c c )e c e y (c c )e c e 49
KONU TESTİ 7. y 0 10. 9y 10 cos A) y c e c cos c sin A) y c e c e cos sin y c e c cos c sin y c e c e sin y c e (c cos c sin )e y c e c e cos y (c c cos c sin )e y c1 c cos c sin y c e c e cos y c e c e sin 8. y 1 A) y c e c e 11. y y 0 c c1 c A) y c1 y y c e c e 1 y c e c e y c e c e 1 c y c1 y c c y (c c )e y c e c e 1 1. 5y 9y 0 9. y 4e A) y c e c e y (c c ln )e A) y c e c e e y (c c ln )e y c e c e e y (c c )e y c e c e e y (c c ln ) y c e c e e y c e c e e CEVAP ANAHTARI 1. A. D. B 4. D 5. A 6. B 7. C 8. D 9. B 10. D 11. C 1. E 50
KONU TARAMA SINAVI-8 1. Genel çözümü y c c e olan lineer diferansiyel denklem aşağıdakilerden A) 6 6 6 1 1 4. y e A) y c c e e y c c e e y c c e e y c c e e y c c e e. 0 A) y c c e c e y c e c e c e y c c e c e y (c c )e c e y (c c )e c e 5. y 0 A) y c c e y c e c e c y c1 c1 y c c1 y c 6. y 0. (ıv) y 0 A) y (c c )e c e y c e c e 4 y (c c c )e c e c1 A) y c y c1 c c y c1 y (c1 c)e y c e c e 4 y c c c e c e y (c c )e c e CEVAP ANAHTARI 1. C. A. D 4. A 5. C 6. A 51
GENEL TARAMA SINAVI 1. y = c 4. (1 + cos)dy (1 cosy)d = 0 eğri ailesinin diferansiyel denklemi aşağıdakilerden y A) y 0 y y 0 y y 0 y y 0 A) tan + coty = c tan coty = c y tan cot c y tan cot c y y 0 y tan cot c. Aşağıdaki denklemlerden hangisi doğrusal (lineer) diferansiyel denklem değildir? A) 1 y y cos sin sin y 0 y y 1 5. y sin( y 1) A) tan( y 1) sec( y 1) c tan( y 1) sec( y 1) c tan( y 1) sec( y 1) c tan( y 1) c sec( y 1) c. y sin cos y A) y = sincos + c y = c tan 6. dy ( y )d 0 A) e ( y 1) c e ( y ) c y = sin + cos + c y = sin cos + c y = c sin e ( y 1) c e ( y ) c e ( y 1) c 5
GENEL TARAMA SINAVI 5. y c eğrisinin dik yörüngeleri aşağıdakilerden A) y c y c y c y c y c 8. 6 9y 0 A) y c c c e y c c e y (c c c )e y c (c c )e y c (c c )e 6. y c doğru ailesini 45 lik açı altında kesen eğik yörüngelerin denklemi aşağıdakilerden 9. 5y 0 4 A) y e (c cos c sin ) A) y c y c y c y c y c y e (c cos 4 c sin 4) y e (c cos c sin ) y e (c cos c sin ) y e (c cos c sin ) 0. y 5y 0 7. Genel çözümü y c c e 1 olan lineer diferansiyel denklem aşağıdakilerden A) c1 A) y c1 c y c c1 y c y c1 c y c c 5 5 4 1 CEVAP ANAHTARI 1. A. C. B 4. D 5. A 6. E 7. D 8. B 9. E 10. C 11. E 1.A 1. B 14. B 15. D 16. D 17. C 18. A 19. C 0. E 1. D. E. B 4. A 5. E 6. B 7. B 8. D 9. C 0. B 56