73 ISSN:1306-3111 e-jornal of New World Sciences Academy 2012, Volme: 7, Nmber: 2, Aricle Nmber: 3A0052 NWSA-PHYSICAL SCIENCES İnci Çilingir Süngü Receied: Janary 2012 Hüseyin Demir Acceped: April 2012 Ondoz Mayıs Uniersiy Series : 3A incicilingir@gmailcom.r ISSN : 1308-7304 hdemir@om.ed.r 2010 www.newwsa.com Samsn-Trey DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM/SONLU FARK YÖNTEMİ İLE DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ ÖZET B çalışmada yeni bir çözüm meod olara Diferansiyel Dönüşüm/Sonl Far meod incelenmişir. Meodn birinci e iinci merebeden lineer e lineer olmayan denlem sisemlerine yglanması araşırılmış e Adomian Decomposiion meod ile elde edilen la arşılaşırılmışır. Bna göre Diferansiyel Dönüşüm/Sonl Far Meodnn denlem sisemlerinin çözümünde de eili erdiği görülmüşür. Sonç olara; diğer meolarla arşılaşırıldığında Diferansiyel Dönüşüm/Sonl Far Meodnn güenilir e esin sonç erdiği e yglanışının daha olay oldğ görülmüşür. Anahar Kelimeler: Denlem sisemleri, Nümeri Analiz, Diferansiyel Dönüşüm Meod, Sonl Far Meod, Hibri meo SOLUTIONS OF THE SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS BY DIFFERENTIAL TRANSFORM/FINITE DIFFERENCE METHOD ABSTRACT In his sdy, Differenial Transform/Finie Difference Mehod is considered as a new solion echniqe. Discreizaion of sysem of firs and second order linear and nonlinear differenial eqaions were inesigaed and approimae solions were compared w he solions of Adomian Decomposiion Mehod. The resls show ha Differenial Transform/Finie Difference mehod is one of he efficien approaches o sole sysem of differenial eqaions. Conseqenly, i was shown ha he hybrid echniqe is reliable, accrae and easy o apply when compared w he mehodology of some nown echniqes. Keywords: Sysem of Differenial Eqaions, Nmerical Analysis, Differenial Transform Mehod, Finie Difference Mehod, Hybrid Mehod
e-jornal of New World Sciences Academy 1. GİRİŞ (INTRODUCTION) Fizi e mühendisliğin birço probleminde lineer e lineer olmayan birinci eya daha yüse merebeden diferansiyel denlem sisemleri arşımıza çıar. B sisemlerin çözümünde birço meo llanılmaadır. Sonyıllarda ise seri çözüme dayalı, daha llanışlı meolar oraya onmşr. B sayede denlem sisemlerini daha hızlı bir şeilde yaınsa ı elde edilebilmeedir. B meolardan iisi Adomian Decomposiion Mehod (ADM) e Diferansiyel Dönüşüm Meoddr (DTM). DTM il olara Zho (1986) arafından oraya onmşr. Eleri yayılım analizinde hem lineer hem de lineer olmayan başlangıç değer problemlerinin çözümünde llanılmışır. B yönem şimdiye adar birço bilim insanı arafından çeşili diferansiyel denlem e sisemlerinin çözümünde anım e eorileri ile birlie llanılmışır [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9]. Bizim b çalışmada llandığımız Diferansiyel Dönüşüm/Sonl Far Meod ise yeni bir yönem olara lineer e lineer olmayan bazı ısmi diferansiyel denlemlerine yglanmışır. B meo zaman değişenine göre diferansiyel dönüşüm meodnn, onm değişenlerine ise sonl far meodnn yglanması ile elde edilen bir meodr. Uyglanılan problemin özelliğine bağlı olara seri formnda çözüm eya ağ noaları üzerinde yalaşı çözüm ermeedir. Chen e J (2004)`de diferansiyel dönüşüm/sonl far meodn adeif dispersi aşınım denlemine yglamışlardır. 2008 yılında Ch e Chen lineer olmayan ısı ransfer denlemini b meola çözmüşlerdir. Yine farlı formdai bir ısı denleminin çözümü Ch e Lo (2008) arafından yapılmışır. Brada ele alınan denlemler önce zaman değişenine göre diferansiyel dönüşüm meod llanılara ayrışırılmış daha sonra onm değişenlerine merezi far yalaşımı llanılmışır. Başlangıç e sınır oşllarının dönüşümleri alınara denlem sisemi eş zamanlı olara çözülmüşür. Daha sonra blnan yalaşı çözümler lieraürdeilerle arşılaşırılara yormlanmışır. 2. ÇALIŞMANIN ÖNEMİ (RESEARCH SIGNIFICANCE) B çalışmada yeni bir çözüm meod olara Diferansiyel Dönüşüm/Sonl Far meod incelenmişir. Meodn birinci e iinci merebeden lineer e lineer olmayan denlem sisemlerine yglanması araşırılmış e Adomian Decomposiion meod ile elde edilen la arşılaşırılmışır. Bna göre Diferansiyel Dönüşüm/Sonl Far Meodnn denlem sisemlerinin çözümünde de eili erdiği görülmüşür. Sonç olara; diğer meolarla arşılaşırıldığında Diferansiyel Dönüşüm/Sonl Far Meodnn güenilir e esin sonç erdiği e yglanışının daha olay oldğ görülmüşür. 3. DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM METODU (DIFFERENTIAL TRANSFORM METHOD) DTM emel olara lineer e lineer olmayan başlangıç değer problemlerini çözme için llanılır. fonsiyon olsn. d nin Taylor seri açılımı D için 67, D bölgesinde analii i 0! d (1) i i 0 oldğnda b açılım Maclarin serileri olara adlandırılır e D için
d 0! d 0 e-jornal of New World Sciences Academy (2) formna sahipir. için aşağıdai şeilde anımlanır: X fonsiyonnn diferansiyel dönüşümü, H d T! d 0 Brada K bölgesi negaif olmayan amsayıların ümesidir. bölgesinde K (3) X, K nin sperm eya dönüşürülmüş fonsiyondr. dönüşüm parameresi, H diferansiyel dönüşüm meodnn zaman aralığıdır. Taylor seri açılımından, diferansiyel dönüşümün ers dönüşümü aşağıdai şeilde ifade edilebilir. 0 H X (4) (4) denlemi mühendisli problemine yglandığında, sonl Taylor serisi erimi e alan eriminin oplamı olara fonsiyon n n1 0 H (5) X R şelinde yazılabilir. DTM llanara, bir diferansiyel denlem K bölgesinde cebirsel sıralı denlemlere dönüşürülür. bilinmeyen fonsiyonnn diferansiyel dönüşümü X sıralı denlemlerin çözümleri ile elde edilir e bradan denlem (4) e (5) llanılara bilinmeyen fonsiyon elde edilir. X nın ers dönüşümünden 4. DENKLEM SİSTEMLERİNİN DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM/SONLU FARK METODU İLE ÇÖZÜMLERİ (SOLUTIONS OF THE SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS BY USING DIFFERENTIAL TRANSFORM/FINITE DIFFERENCE METHOD) B bölümde, lineer e lineer olmayan bazı denlem sisemlerinin çözümleri yapılmışır. Sırasıyla Diferansiyel Dönüşüm/Sonl Far Meod birinci merebeden lineer e lineer olmayan denlem sisemlerine yglanmışır. Çalışmamızın en önemli noası üçüncü örnee ise iinci merebeden lineer olmayan denlem sisemi ele alınmış, diğer meoların asine fazladan bir işlem yapmadan lineer olmayan denlem sisemlerinin çözümünde de llanılan meodnn eili erdiği oraya onmşr. lieraürdeilerle arşılaşırılmışır ablolar halinde erilmişir. Örne 1: 0 0 (6) 68
e-jornal of New World Sciences Academy homojen lineer denlem sisemini ele alalım. Denlem sisemine ygn başlangıç oşlları,0 sinh,,0 cosh (7) şelindedir. (6) denlem siemi hibri meod ile ayrışırılırsa 1, 1, V i V i 1 U i, 1 U i, V i, 2h U i 1, U i 1, 1 V i, 1 U i, V i, 2h şelinde elde edilir. Brada,, i U i e V i,, sırasıyla, i (8) e fonsiyonlarının diferansiyel dönüşümleridir. Başlangıç oşllarının diferansiyel dönüşümleri ise,0 sinh,,0 cosh U i V i (9) olara elde edilir. (8) denlem siseminde il olara 0,1, 2, yazılara U i, 1 e, 1 V i değerleri hesaplanır. Elde edilen b değerler (4) ers dönüşüm bağınısında yerlerine yazılırsa düğüm noaları üzerinde yalaşı çözümler elde edilmiş olr. Elde edilen yalaşı çözümün 0.1,0.001 h alınara 0,1,(0.1) için değerlerinin aynı problemi DTM meod ile çözen Kan e Arna nın elde eiği la arşılaşırılması Tablo 1 de erilmişir[13]. Tablo 1. Örne 1 de elde edilen yalaşı ın ADM meod ile arşılaşırılması (Table 1. Comparison of nmerical resls w ADM meheod for es problem 1) Şimdii Lieraürdei [13], Şimdii Lieraürdei [13], 0 1.000999 1.001000 0.000001-0.000999-0.001 7.85 10-7 0.1 0.955544 0.955540 0.000003 0.044455 0.044459-0.000003 0.2 0.918205 0.918202 0.000002 0.081794 0.081797-0.000002 0.3 0.887515 0.887513 0.000001 0.112484 0.112486-0.000002 0.4 0.862347 0.862346 0.000001 0.137652 0.137653-0.000001 0.5 0.841823 0.841822 9.441 10-7 0.158175 0.158177-0.000001 0.6 0.825246 0.825245 6.958 10-7 0.174753 0.174754-8.4 10-7 0.7 0.812051 0.812050 5.171 10-7 0.187948 0.187949-6.3 10-7 0.8 0.801777 0.801776 3.882 10-7 0.198222 0.198223-5.0 10-7 0.9 0.794040 0.794039 3.310 10-7 0.205959 0.205960-4.3 10-7 1.0 0.788515 0.788514 0.000001 0.211484 0.211485-0.000001 69
e-jornal of New World Sciences Academy Örne 2: Birinci merebeden lineer olmayan denlem sisemi 1 1 göz önüne alalım. Problem için ygn başlangıç oşlları,0,,0 e e (10) (11) şelindedir. (11) denlem sisemini hibri meod ile ayrışıralım. B drmda erarlama bağınısı 1 U i, 1 V i,, 1, 1, U i U i 1 1 1 1 0 2h U i (12) 1 V i, 1 U i,, 1, 1, V i V i 1 1 1 1 0 2h V i e başlangıç oşlları U i,0 e, V i,0 e, i 0,1, 2, (13) şelinde elde edilirler. Başlangıç oşlları llanılara (12) erarlama bağınısından ardışı diferansiyel dönüşüm asayıları hesaplanır. Hesaplanan asayılar (4) ers dönüşüm bağınısında yerine yazılmasıyla yalaşı çözümler elde edilmiş olr. Elde edilen çözümlerin hasssasiyei hesaplanan erim sayısına e h aralığına bağlıdır. ı daha iyi arşılaşırabilme için b örnee h 0,01 alara in farlı değerleri için ı lieraürdeilerle arşılaşıralım. Tablo 2 den görüldüğü gibi arasındai farlılı oldça azdır. 70
e-jornal of New World Sciences Academy Tablo 2. Örne 2 de elde edilen ın lieraürle arşılaşırılması (Table 2. Comparison of nmerical resls w lierare for es problem 2) Şimdii Lieraürdei [8], Şimdii Lieraürdei [8], 0-0.000999-0.001 2.10-9 1.0 1.0 0 0.1 0.099161 0.099161 3. 10-9 1.004904 1.004904 1. 10-7 0.2 0.200316 0.200316 0 1.019866 1.019865 1. 10-7 0.3 0.303475 0.303475 0 1.045034 1.045034 0 0.4 0.409671 0.409671 2. 10-8 1.080662 1.080662 0 0.5 0.519967 0.519967 1. 10-8 1.127105 1.127105 1. 10-7 0.6 0.635468 0.635468 0 1.184829 1.184829 0 0.7 0.757328 0.757328 1. 10-8 1.254411 1.254411 0 0.8 0.886769 0.886768 1. 10-8 1.336547 1.336547 0 0.9 1.025084 1.025084-1. 10-7 1.432060 1.432060 0 1.0 1.173658 1.173658 0 1.541906 1.541906 0 Örne 3: Son olara, iinci merebeden lineer olmayan denlem sisemi ele alalım. Denlem sisemi e başlangıç oşlları aşağıdai gibi erilebilir: 1 2 2 2 2,0,,0 e 1 e 1 e (14) (15) Denlem sisemi diferansiyel dönüşüm meod yglanara ayrışırıldıan sonra iinci merebeden ürelere merezi sonl far yalaşımı yglanırsa aşağıdai erarlama bağınısı elde edilir. 1, 2, 1, U i U i U i 1 U i, 1 U 2 i, h 2 20 10 2 20 10,,, U i U i U i 1 2 1 2,,, U i V i V i 1 2 1 2 (16) 71
1 V i, 1 e-jornal of New World Sciences Academy 1, 2, 1, V i V i V i 2 h 2 20 10 Başlangıç oşlları için 2 U i, U i, V i, 1 2 1 2 e U i,0, V i,0, i 0,1,2, 1 e 1 e 72 (17) bağınıları elde edilir. B denlem sisemleri eşzamanlı olara başlagıç değerleri yerlerine yazılara çözülürse aşağıdai elde edilir. Tablo 3 de h 0.01 alınara 0.001 anındai e değerleri e içerdileri haalar erilmişir. Tablo 3. Örne 3 de elde edilen yalaşı ın lieraürdeilerle arşılaşırılması (Table 3. Comparison of nmerical resls w lierare for es problem 3) Şimdii Lieraürdei [14], Şimdii Lieraürdei [14], 0 0.999 0.999-1.78 10-8 1.001 1.001-1.8 10-8 0.1 1.00904 1.00904-1.7 10-8 0.991040 0.991040-1.68 10-8 0.2 1.019181 1.019181-1.7 10-8 0.981179 0.981179-1.67 10-8 0.3 1.029424 1.029424-1.6 10-8 0.971416 0.971416-1.68 10-8 0.4 1.03977 1.03977-1.7 10-8 0.961750 0.961750-1.66 10-8 0.5 1.05022 1.05022-1.7 10-8 0.952181 0.952181-1.67 10-8 0.6 1.060775 1.060775-1.6 10-8 0.942706 0.942706-1.67 10-8 0.7 1.071436 1.071436-1.7 10-8 0.933326 0.933326-1.67 10-8 0.8 1.082204 1.082204-1.6 10-8 0.924039 0.924039-1.66 10-8 0.9 1.09308 1.09308-1.6 10-8 0.914845 0.984845-1.67 10-8 1.0 1.104066 1.104066-1.7 10-8 0.905742 0.905742-1.67 10-8 5. SONUÇLAR (CONCLUSIONS) B çalışmada üç farlı ürden denlem sisemi göz önüne alınmışır. Birinci merebeden lineer diferansiyel denlem sisemine diferansiyel dönüşüm/sonl far meod yglandığında ımız gösermişir i; h değeri ço üçü bir değer olara alınmamasına rağmen yalaşım oldça arlıdır. İinci aşama olara birinci merebeden lineer olmayan denlem sisemi göz önüne alınmışır. Lineerleşirmeye gere dylmadan denlemler ayrışırılmışır. Sadece sonl far adım aralığı incelilere sonç alınmış e ın içerdileri haaların oldça üçü değerler oldğ görülmüşür. Çalışmamızın asıl örneği olan üçüncü örnee iinci merebeden lineer olmayan denlem sisemi gözönüne alınmış, yine lineerleşirme yapılmadan denlem sisemi ayrışırılmışır. İi boyl diferansiyel dönüşüm meodnn asine asayıların olaylıla hesaplanabileği armaşı oplam erimleri içermeyen erarlama bağınıları elde edimişir. Yine sadece sonl far adım aralığı incelilere alınmış e ın analii çözümle arlı oldğ görülmüşür. Sonç olara yeni bir meo olara diferansiyel dönüşüm/sonl far meod ii farlı sayısal meodn farlı özellilerini
e-jornal of New World Sciences Academy birleşiren llanışlı bir meor. Lineer e lineer olmayan denlemlere doğrdan yglanabilmee e yüse merebeden denlemler için erarlama bağınısını armaşı işlemlerden za ara hesaplanmasını sağlamaadır. B haliyle b meo bilinen lasi çözüm yönemlerinin asine daha llanışlı, daha prai, daha hızlı yaınsayan eili bir meor. Yine diferansiyel dönüşüm meodnda başlangıç oşllarının dönüşüm asayılarının hesaplanmasında Taylor açılımlarına geresinim dylren diferansiyel dönüşüm/sonl far meodnda doğrdan yerine yazılara hesaplanması sağlanmaadır. B da farlı başlangıç oşllarının gözönüne alınmasını olaylaşırmaadır. KAYNAKLAR (REFERENCES) 1. Zho, C.Q., (1986). Differenial Transformaion and is Applicaions for Elecrical Circis. Hazhong Uniersiy Press, Whan, China. 2. Chen, C.L. and Li, Y.C., (1998). Solions of Two-Bondary- Vale Problems Using he Differenial Transform Mehod. Jornalof Opimizaion Theory and Applicaion, 99, 23-35. 3. Y, L.T. and Chen, C.K., (1998a). The Solion of he Blasis Eqaion by he Differenial Transformaion Mehod. Mah. Comp. Model, 28(1), 101 11. 4. Y, L.T. and Chen, C.K., (1998b). Applicaion of Taylor Transformaion o Opimize Recanglar Fins w Variable Thermal Parameers. Applied Mahemaical Modeling, 22, 11-22. 5. Jang, M.J., Chen, C.L., and Liy, Y.C., (2000). On Soling he Iniial-Vale Problems Using he Differenial Transformaion Mehod, Appl Mah Comp, 115, 145 160. 6. Jang, M.J., Chen, C.L., and Li, Y.C., (2001). Two-Dimensional Differenial Transform for Parial Differenial Eqaions, Appl Mah Comp,121, 261 70. 7. Ko, B.L. and Chen, C.K., (2003). Applicaion of a Hybrid Mehod o he Solion of he Nonlinear Brger s Eqaion, J Appl Mech Trans ASME, 70, 926 929. 8. Ayaz, F., (2004). Solions of he Sysem of Differenial Eqaions by Differenial Transform Mehod. Applied Mahemaics and Compaion, 147, 547-567. 9. Ariogl, A. and Özol, İ., (2006). Solion of difference eqaions by sing differenial ransform mehod, Applied Mahemaics and Compaion, 174, 1216-1228. 10. Chen, C.K. and J, S.P., (2004). Applicaion of Differenial Transformaion o Transien Adecie-Dispersie Transpor Eqaion. Applied Mahemaics and Compaion, 155, 25-38. 11. Ch, H.P. and Chen, C.L., (2008). Hybrid Differenial Transform and Finie Difference Mehod o Sole he Nonlinear Hea Condcion Problem, Commnicaion in Nonlinear Science and Nmerical Simlaion, 13, 1605-1614. 12. Ch, H.P. and Lo, C.Y., (2008). Applicaion of he Hybrid Differenial Transform- Finie Difference Mehod o Nonlinear Transien Hea Condcion Problems. Nmerical Hea Transfer, Par A, 53, 295-307. 13. Rai Kanh, A.S.V. and Arna, K., (2008). Differenial ransform mehod for soling linear and non-linear sysems of parial differenial eqaions. Physics Leers A 372, 6896 6898. 14. hp://eqworld.ipmne.r/eqarchie/iew.php?id=113. 73