Doğrusal olmayan programlama. Suat ATAN

Doğrusal olmayan programlama Suat ATAN

İçindekiler 1 Giriş 2 2 Optimizasyon 2 3 Doğrusal olmayan programlama 4 3.1 Tek değişkenli fonksiyonun optimumluk şartları.................. 6 3.2 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Gerek ve Yeter Şart................. 7 4 Doğrusal olmayan programlama problemlerinin çözümü 8 4.1 Tek değişkenli kısıtsız optimizasyon problemlerinde yaklaşık çözüm teknikleri.. 8 4.1.1 Aralığı ikiye bölme yöntemi.......................... 8 4.1.2 Altın oran yöntemi............................... 8 4.1.3 Yarı aralık (bisection) yöntemi........................ 9 4.2 Çok değişkenli fonksiyonlarda yaklaşık çözüm teknikleri.............. 9 4.2.1 Gradyant yöntemi............................... 9 4.2.2 Newton yöntemi................................ 10 4.3 Kısıtlı optimizasyon.................................. 10 4.3.1 Lagrange çarpanları.............................. 10 4.3.2 Doğrudan arama yöntemi........................... 14 4.3.3 Yerine koyma metodu............................. 15 4.4 Kuhn-Tucker koşulları................................. 16 1

1 Giriş Lineer programlama bir dizi sınırlamalar dahilinde çıktıların lineer matematiksel yöntemler kullanılarak optimize edilmesi demektir.anonim (2013d) Doğrusal (lineer) programlamadaki doğrusal (lineer) sözcüğü, modeldeki tüm matematiksel fonksiyonların doğrusal (lineer) olması gerektiğini belirtir. Programlama kelimesi ise bilgisayar programlamaya işaret etmez; daha çok planlama ile eş anlamlıdır. Dolayısıyla doğrusal (lineer) programlama, birçok uygun alternatif arasından belirlenmiş bir hedefe uyan optimal çözümü bulacak aktivitelerin planlanmasını ifade eder. (Anonim, 2013c) Matematikte matematiksel programlama ya da optimizasyon terimi; bir gerçel fonksiyonu minimize ya da maksimize etmek amacı ile gerçek ya da tamsayı değerlerini tanımlı bir aralıkta seçip fonksiyona yerleştirerek sistematik olarak bir problemi incelemek ya da çözmek işlemlerini ifade eder.pek çok gerçek ve teorik problemler bu genel çerçevede modellenebilir.bu teknik kullanılarak formüle edilen problemlere fizik bilminin ilgi alanından bir örnek verilecek olursa, bilgisayar monitörlerinin enerji minimizasyonundan söz edilebilir.(anonim, 2013b). Doğrusal programlama ve doğrusal olmayan programlama bu optimizasyonun bir alanıdır. Genel olarak doğrusal olmayan programlama, çözüm fonksiyonunun doğrusal(lineer) olmamasını ifade eder. Elbette gerçek hayatta doğrusal olmayan fonksiyona sahip çözümler de mevcuttur. Doğrusal olmayan programlamada kullanılacak matematiksel yöntem ve süreçler doğrusal programlamaya göre daha karmaşıktır. 2 Optimizasyon Matematik, bilgisayar bilimi, ya da yönetim bilimi, matematiksel optimizasyon (alternatif, optimizasyonu veya matematiksel programlama) mevcut alternatiflerin bazı dizi (bazı kriterler açısından) en iyi elemanın seçimidir. (Dantzig, 1965) Basit durumda, bir optimizasyon problemi sistematik bir izin kümesi içerisinden giriş değerlerini seçme ve fonksiyonunun değerini hesaplayarak gerçek işlevini maksimize veya minimize oluşur. Diğer formülasyonlar için optimizasyon teorisi ve teknikleri genelleme uygulamalı matematik geniş bir alanı kapsar. Daha genel olarak, optimizasyon amaç fonksiyonları ve etki farklı farklı çeşitli dahil olmak üzere tanımlanmış bir etki alanı (veya kısıtlamaları kümesi) verilen bazı objektif fonksiyonu mevcut en iyi değerler bulma içerir. Optimizasyon süreçleri, matematik gerektiren çalışmalardır. Modern optimizasyon yöntemle- 2

rinin başlangıcı değişimler hesabına (calculus of variations) kadar dayanır. Değişimler hesabı ile ilgili genel çerçeveyi 18. yüzyılda ortaya koyan Lagrange ın Lagrange çarpanlar yöntemi (Lagrangian multipler rule) olarak bilinen meşhur metodu da günümüzde optimizasyon teorisinin ana konularından birini oluşturmaktadır (Dutta). İlk ve en basit optimizasyon yöntemlerinden olan En Dik İniş, (EDİ) (steepest descent) metoduna ait uygulamanın Cauchy tarafından ilk kez gösterildiği 19.yüzyıl ortalarından yirminci yüzyılın ortalarına kadar bu sahada çok az ilerleme kaydedilmiştir. Bu dönemden itibaren bilgisayar teknolojisindeki gelişmelere paralel olarak çok hızlı işlemcilerin kullanılmaya başlanmasıyla optimizasyon konusundaki çalışmaların ve yeni uygulamaların miktarı da hızla artmıştır (Rao, 2009) Sayısal optimizasyon yöntemlerini üç grupta toplamak mümkündür. Bunlar; belirleyici (deterministic), olasılıksal (stochastic) ve melez (hybrid) metotlardır. Belirleyici metotlar genel olarak Fermat teoreminden hareketle oluşturulan EDİ ve Newton metotları gibi gradyan işlemlerine dayalı yöntemlerdir. Bununla birlikte uygulama yapılacak problemin özelliklerine bağlı olarak kullanılabilecek simpleks metotları, doğrusal programlama gibi değişik yöntemler de geçtiğimiz yüzyıl içerisinde ortaya çıkmıştır. Olasılıksal metotlar ise, Genetik Algoritmalar, Karınca Kolonisi ve Tavlama Benzetimi gibi türev bilgisi gerektirmeyen, genellikle doğadan esinlenen yöntemlerdir. Melez optimizasyon teknikleri ise belirleyici ve olasılıksal yöntemlerin bir arada kullanıldığı metotlardır. Her yöntemin farklı üstünlükleri ve eksiklikleri olabilmekle birlikte, genel olarak belirleyici yöntemler genel optimumu daha hassas bir şekilde bulabildiği, olasılıksal yöntemler ise uygulama kolaylıkları nedeniyle tercih edilirler. Melez yöntemler ise bir araya getirdiği farklı metotların üstünlüklerinden istifade etmeyi amaçlar. Dinamik sistemlerin kararlı denge noktalarının bulunması yaklaşımı ile doğrusal olmayan optimizasyon (doğrusal olmayan programlama) problemlerinin çözümü konusundaki teknikler de belirleyici yöntemlerden sayılmaktadır. Bu alandaki ilk çalışmalardan olan, doğrusal olmayan otonom sistemlerin kritik noktaları ile yerel optimumları ilişkilendiren Yamashita (Yamashita, 1980) dan sonra konu ile ilgili araştırmalar giderek artmış ve son on yılda yoğunlaşarak özellikle gradyan sistem yaklaşımları ile dinamik sistemin takip edeceği yörüngeler yoluyla dinamik sistemin denge noktalarına (yerel optimumlara) ulaşılması üzerinde durulmuştur. Söz konusu çalışmalarda, optimizasyonu yapılacak doğrusal olmayan fonksiyonun gradyanı kullanılarak birinci mertebeden adi diferansiyel denklem yardımıyla bir dinamik sistem tanımlanmakta ve bu dinamik sistemin denge noktaları, doğrusal olmayan fonksiyonun yerel optimumları olarak bulunmaktadır. Diğer taraftan ikinci mertebeden adi diferansiyel denklem üzerine kurulmuş dinamik sistem yaklaşımı üzerine de araştırmalar yapılmıştır. Hacıoğlu (2011) 3

3 Doğrusal olmayan programlama Doğrusal olmayan Programlama konusundaki ilk önemli ı95ı yılında Karush-Kuhn ve Tucker tarafından optimal çözüm için gerek ve yeter şartlar teorisi adı altmda sunulmuştur. Genel bir optimizasyon problemi x 1, x 2, x 3,..., x n n adet karar değişkenini amaç fonksiyonunu optimize(minimize veya maksimize) etmek suretiyle uygun alan içerisinden seçmektir. f(x 1, x2,..., x n ) Bu problem Eğer amaç fonksiyonu doğrusal değilse veya çözüm kümesinin yer aldığı uygun alan doğrusal olmayan sınırlarla belirlenmiş ise doğrusal olmayan programlama problemi olarak adlandırılır. Bu durumda doğrusal olmayan programlama problemi şöyle gösterilir: Aşağıdaki sınırlama fonksiyonları koşulu ile g 1 (x 1, x2,..., x n ) b 1...... g m (x 1, x2,..., x n ) b m Max.f(x 1, x2,..., x n ) Doğrusal olmayan programlama problemleri mühendislik, matematik, işletme, fiziğe dayalı bilimler ve matematilk ile kararın (geniş anlamda) girdiği tüm alanlarda yaygın bir biçimde kullanılmaktadır. (Avriel, 2012). (Cornuejols and Tutuncu, 2007) Gerek ve Yeter Şart Kavramı: Optimizasyon tekniklerinin uygulamalarında ve aynı zamanda elde edilen sonucun gerçek optimum değer olup olmadığını belirlemede gerek ve yeter şartlar dikkate alındığından bu şartları kavramak önemlidir. Gerek şart: Optimum noktada şartları sağlaması gereken durumlar olarak adlandırılır. Diğer bir tanımla eğer herhangi bir nokta gerek şartları sağlamıyorsa optimum nokta olamaz. Bununla birlikte gerek şartları sağlayan nokta optimum olmayabilir veya tek bir nokta olmayabilir. Gerek şartları sağlayan noktalar aday nokta (candidate points) olarak adlandırılır. Dolayısıyla optimum 4

nokta ile optimum olmayan noktaları ayırmak için başka şartlara ihtiyaç duyulur ve bu şartlar yeter şart olarak adlandırılır. Yeter şart: Eğer aday optimum noktalar yeter şartları sağlıyorsa bu nokta optimum noktadır ve daha ileri testler yapmaya gerek yoktur. Ancak bu şartların sağlanamadığı veya kullanılmadığı durumlarda aday noktalarından herhangi birisinin optimum olmadığı söylenemeyebilir. Özetle: (Anonim, 2013a) 1. Optimum noktalar gerek şartları sağlamalıdır. Bu şartları sağlamayan noktalar optimum nokta olamaz. 2. Gerek şartları sağlayan bir noktanın optimum olması gerekmez; yani optimum olmayan noktalarda gerek şartları sağlayabilir. 3. Yeter şartı sağlayan bir aday nokta gerçekten optimumdur. 4. Eğer yeter şartlar kullanılamıyor veya hesaplanamıyorsa aday noktaların optimum olduğuna dair herhangi bir sonuç çıkartamayız. Bütün bu şartlara optimality conditions (optimumluk şartları) denir ve aşağıda belirtilen iki durum için kullanılır: 1. Bir tasarım noktası verildiğinde, optimumluk şartları kullanılarak bu noktanın aday nokta olup olmadığı tespit edilir. 2. Aday noktayı tespit etmek için bu şartlar kullanılır. Tek değişkenli optimizasyon Tek değişkenli fonksiyonlarda dikkat edilecek husus elde edilen minimum değerin lokal minimum mu yoksa global minimum mu olduğunun tespit edilmesidir. Lokal minimum Bir değişkenli bir f(x)fonksiyonun h ın küçük pozitif ve negatif değerinde aşağıdaki ifadeyi veriyorsa bu fonksiyonun x = x da relatif veya lokal minimumdur. f(x ) f(x + h) Benzer olarak x noktasında eğer aşağıdaki ifade sağlanıyorsa bu değerde f(x) fonksiyonu maksimumdur. f(x ) f(x + h) Global minimum veya maksimum değer için optimumluk şartlarının sağlanması gerekmektedir ki bir değişkenli bir fonksiyon için aşağıda verilmiştir. Grafiksel gösterim şekil 1 ile gösterimektedir. 5

Şekil 1: Lokal ve global maksimum ve minimum 3.1 Tek değişkenli fonksiyonun optimumluk şartları Optimumluk şartları, bir f(x)nun aday noktalarını belirlemede kullanılır. Optimumluk şartlarını elde etmek için öncelikle aşağıda verilen kabul yapılır: x minimumnoktadır ve bunun civarındaki bir noktada fonksiyonun değeri ve türevidi kkate alınacaktır. noktası fonksiyonun lokal minimum noktası olsun. x ise x noktasına yakın herhangi bir nokta olarak dikkate alalım. Dolayısıyla artım miktarı d aşağıdaki gibi tanımlanır: d = x x ve bu noktalara karşılık f(x) fonksiyonun farkı aşağıdaki gibi verilir: (x) = f(x) f(x ) m noktası f(x) fonksiyonun lokal minimum olduğu nokta olduğundan küçük bir ilerlemede ( x değerine varıldığında) f(x) in değeri değişmez veya mutlaka artar. Dolayısıyla f(x) negatif olmayan bir değer alır. Dolayısıyla, f(x) = f(x) f(x ) 0. olmalıdır. Buradan f(x) fonksiyonu Taylor serisi ile açılıdktan sonra sonuç olarak d nin her değerinde şartı sağlayan değeri: f (x ) = 0 6

Şekil 2: Hessian Matrisi olacaktır. (Meyer, 1979) Bu şarta birinci-derece optimumluk şartı (first order optimality condition) veya birinci- derece gerek şart (first-order necessary condition) olarak adlandırılır zira fonksiyonun sadece birinci türevini içerir. Bu şartları sağlayan noktalar lokal minimum veya maksimum veya hiçbir olmayabilir (büküm noktası olabilir). Bu noktalar stationary noktaları olarak adlandırılır.aday noktaları belirledikten sonra bu noktalardan hangisinin fonksiyonu minimum veya maksimum yaptığını belirlemek için yeter şartlar dikkate alınır. Buna göre f (x ) 0 ise yeter şart olarak adlandırılır. 3.2 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Gerek ve Yeter Şart Eğer fonksiyon çok değişkenli ise bu durumda her bir eleman için ayrı ayrı kısmi türev alınan Hessian Matrisi tanımlamak gerekir. Çözüm buna göre yapılır. Şekil 2 ile Hessian matrisi gösterilmektedir. (Bartholomew-Biggs, 2005) Uygulamada Hessian Matrisi ile çözümün hesaplanması zaman alıcı olmaktadır bu bakımdan bilgisayarlı çözüm de yapılabilir. 7

4 Doğrusal olmayan programlama problemlerinin çözümü Doğrusal olmayan programlama problemlerinin hepsini çözen genel bir yöntem bulunmamakla birlikte, değişik tipteki doğrusal olmayan programlama problemlerinin çözümü için farklı yöntemler bulunmaktadır. Optimizasyon problemlerinin analitik yöntemlerle çözülemediği durumlarda yaklaşık çözüm tekniklerine başvurulur. Lineer olmayan programlama problemlerinin çözümü için geliştirilen algoritmaların temeli, tek değişkenli fonksiyonların çözümündeki algoritmalara dayanır. Bu nedenle önce tek değişkenli fonksiyonlarda aralığı ikiye bölme, altın-oran ve yarı-aralık algoritmaları, daha sonra da çok değişkenli fonksiyonlar için gradyant algoritmasından söz edilecektir Bir çok lineer olmayan programlama algoritmasının temel prensibi şu şekildedir: uygun bir X k noktası ile başlanır ve uygun bir λ k adım büyüklüğü bulunarak yeni bir X k+1 noktası elde edilir. Bu işleme ardışık olarak devam edilerek optimal çözüme ulaşılmaya çalışılır. 4.1 Tek değişkenli kısıtsız optimizasyon problemlerinde yaklaşık çözüm teknikleri Bir f(x) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında tanımlı ve bu aralıkta f(x) minimum veya maksimum değerini alsın. Verilen aralıkta fonksiyonun yaklaşık çözümünü bulmak için aralığı ikiye bölme, altın oran ile yarı-aralık yöntemleri kullanılabilir. Bunlardan aralığı ikiye bölme ve altın oran türev kullanmayan, yarı-aralık türev kullanan algoritmalardır. Bu yöntemlerle ilgili kısa açıklamalara yer verilmiştir (Erdoğan ve Alptekin, 2006). 4.1.1 Aralığı ikiye bölme yöntemi Bir f(x) fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında tanımlı ve bu aralıkta f(x) minimum veya maksimum değerini alsın. [a,b] aralığının orta noktasından ɛ > 0 uzaklıkta iki λ = (a + b)/2 ɛ ve µ = (a + b)/2 + ɛ noktaları alınarak bu noktaların fonksiyon altındaki görüntüleri bakılarak yeni bir aralık bulunur. Bu işleme aralık belli bir l > 0sayısından küçük olana kadar devam edilirse aranan çözüme ulaşılır. 4.1.2 Altın oran yöntemi Bir f(x)fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında tanımlı ve bu aralıkta f(x) minimum veya maksimum değerini alsın. r2 + r 1 = 0 denkleminin pozitif kökü olan ve yaklaşık değeri r 0, 618 olan sayıya altın oran denir. Her iterasyonda sabit bir oranla aralığın uzunluğu indirgenerek yeni 8

nokta çiftleri bulunur. Bu işleme aralık belli bir l > 0 sayısından küçük olana kadar devam edilirse aranan çözüme ulaşılır. 4.1.3 Yarı aralık (bisection) yöntemi Bir f(x) fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında tanımlı ve bu aralıkta f(x) türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere minimum veya maksimum değerini alsın. Bu durumda aralığın orta noktasındaki türev değerine bakılarak yeni aralık tespit edilir. Bu işleme aralık l > 0 sayısından olana kadar devam edilirse aranan çözüme ulaşılır. 4.2 Çok değişkenli fonksiyonlarda yaklaşık çözüm teknikleri Bu başlık altında gradyant ve Newton yöntemlerine yer verilmiştir. Uygulamada yaklaşık çözüm yöntemleri için bilgisayar programlarından yararlanılmaktadır. Örneğin aralığı ikiye bölme ve altın oran algoritması için C++ ve Newton ile gradyant yöntemleri için de Maple matematiksel programlama dilinde yazılan programlar kullanılabilmektedir. 4.2.1 Gradyant yöntemi Bu yöntem en hızlı artan veya en hızlı azalan yön olarak isimlendirilir. Öncelikle bir başlangıç noktası alınır, daha sonra amaç fonksiyonunu en hızlı geliştiren yönde hareket edilir. Bu yön amaç fonksiyonunun gradyantı ile (eğer amaç fonksiyonu maksimum ise) aynı yönde veya amaç fonksiyonunun gradyantının (eğer amaç fonksiyonu minimum ise) ters yönde olacaktır. Daha sonra gradyant belli bir katı kadar adım atılarak başlangıç noktasına ilave edilir. Fonksiyonun gradyantının normu ɛ > 0 olana kadar iterasyona devam edilerek çözüm bulunur. Özetle gradyant algoritması; 1. Rastgele bir X 0 noktasıyla başla, 2. X 0 da fonksiyon gradyantını hesapla, 3. Gradyan doğrultusunda bir adım atarak yeni bir X 1 noktasına git, 4. (2) ve (3) adımlarını, fonksiyonun gradyantının sıfır olduğu X noktasına kadar tekrarla, şeklindedir. 9

4.2.2 Newton yöntemi Gradyan yönteminde amaç fonksiyonunun en hızlı iyileştiği yön olan gradyant yönünde adım atılarak yeni bir nokta bulunurken, Newton yönteminde ise ikinci mertebe koşulları kullanılması suretiyle Newton adımı atılarak yeni bir nokta bulunur. Newton adımı bir lineer denklem sisteminin çözülmesi ile bulunur. 4.3 Kısıtlı optimizasyon Kısıtlı doğrusal olmayan (nonlinear) optimizasyon problemleri, kısıtları eşitlik veya eşitsizlik şeklinde olan problemlerden oluşur. Yöntemler kısıtlılık ve kısıtsızlık hallerine göre geliştirilmiştir. Kısıtlı olanlar için analitik çözüm; kısıtlar eşitlik şeklinde ise lagrange çarpanları yöntemiyle yapılır. Kısıtlar eşitsizlik şeklinde ise Kuhn-Tucker (K-T) koşullarını sağlayacak şekilde çözümler araştırılır. 4.3.1 Lagrange çarpanları Z min,max = f(x 1, x 2,..., x n ) (1) g i (x) = b i (2) şeklinde verilen kısıtları eşitlik halinde ve değişkenleri serbest olan modelin çözümünde Langrange çarpanları yöntemi kullanılır. Kaya (2012) Yöntemin iki temel varsayımı vardır.(markland ve Sweigart, 1987, s.719 aktaran Kaya (2012)) Kısıtlayıcı fonksiyon sayısı (m), bilinmeyen değişken sayısı (n) sayısından az olmalıdır. Amaç fonksiyonu ve kısıtlar sürekli ve türevleri alınabilen fonksiyonlar olmalıdır. Modelin amaç fonksiyonu ve kısıtlarından oluşan Langrange fonksiyonu aşağıdaki biçimde gösterilir: L(x, λ) = f(x) + λ i [b i g i (x)] (3) λ i değerlerine Langrange çarpanları adı verilir. Langrange fonksiyonun kullanılmasıyla; m kısıtlı problem, m Langrange çarpanlı kısıtsız bir problem haline gelir. Langrange fonksiyonunun optimumu veren sonuç, kısıtları sağlamak zorunda olduğunda orjinal problemin de optimum çözümü olacaktır. Kaya (2012) 10

Örnek: Maksimizasyon problemimiz aşağıdaki gibi olsun. 1 Max : Z = 4x 1 0.1 2 1 + 5 2 0.2x 2 2 (4) kısıt ise: x 1 + 2x 2 = 40 (5) İlk adımda doğrusal olmayan amaç fonksiyonumuzu Langrange fonksiyonuna çevirelim. Bunun için kısıtlama fonksiyonunu da aşağıdaki gibi sıfıra eşit hale getirmek suretiyle dönüştürelim: x 1 + 2x 2 40 = 0 (6) Sonraki adım; Langrange çarpanı λ ile bir önceki sıfıra eşit eşitliğimizi çarpıp amaç fonksiyonuna etkileyelim (bu durumda amaç fonksiyonu değişmemiş olur). L = 4x 1 0.1x 2 1 + 5x 2 0.2x 2 2 λ(x 1 + 2x 2 40) (7) Şimdi ise 3 değişkenimiz ile ilgili Langrange fonksiyonunun kısmi türevini alalım: L x 1 = 4 0.2x 1 λ (8) L x 2 = 5 0.4x 2 2λ (9) Bu denklemleri sıfıra eşitleyelim: L λ = x 1 2x 2 + 40 (10) 4 0.2x 1 λ = 0 (11) 5 0.4x 2 2λ = 0 (12) Denklemler çözüldüğünde aşağıdaki sonuçlar elde edilir: x 1 2x 2 + 40 = 0 (13) x 1 = 18.3 1 Örneğin tamamı Nonlinear Programming Solution Techniques adlı kitaptan alınmıştır. Anonim 11

Şekil 3: Problemin WolframAlpha ile çözülmüş hali ve 3 boyutlu görünümü. şişe üretmeli, kupa üretmeli x 2 = 10.8 λ = 0.33 olur Bu değerleri Langrange fonksiyonunda ilgili yerlere yazdığımızda L değeri $70.42 olacaktır. Yukarıda elle yapılan çözümün bilgisayarda çözülmüş hali: Yukarıdaki optimizasyon problemini bilgisayar yardımı ile manuel çözüme göre daha hızlı ve hatasız çözebiliriz. Çözümün grafiksel gösterimi Şekil 3 de gösterilmiştir. Örnek : Hickory Şirketi sandalye üretmektedir. Her ay sabit maliyetler 7500 $ ayrıca her bir sandalye başına üretim maliyeti 40 $ olmaktadır. Fiyat ise taleple bağlantılı olup aşağıdaki doğrusal denkleme göre ortaya çıkmaktadır. (v üretilecek adet olmak üzere): Anonim v = 400 1.2p (14) 12

Şekil 4: Hickory Şirketi için optimal üretim Buna göre doğrusal olmayan kar fonksiyonunu yazın ve maksimum karı sağlayacak fiyat ve optimum üretim adedini ve buna göre çıkacak maksimum karı da hesaplayın: Çözüm: p fiyat olmak üzere kar fonksiyonu hasılat- toplam maliyet olacaktır. Buna göre öncelikle maliyet fonksiyonumuz: c = 7500 + 40v (15) olur, hasılat pv değerinden maliyeti çıkaracak olursak: Max.pv (7500 + 40 v) (16) Şimdi bu propbelmde v değerleri yerine v = 400 1.2p denkleminin sağ taraftaki ifadesini koyarak bilinmeyen adedini bire indirelim: Maksimize400p 1.2p 2 7500 16000 48p (17) ayrıca kar sıfır olmayacağından kısıt fonksiyonumuz: p > 0 olacaktır. Bu denklemi bilgisayar yardımı ile çözdüğümüzde: p = 146, 66 optimum üretim adedi v = 224 adet ve maksimum kar 2180 $ olacaktır. Çözümün 3 boyutlu grafiksel gösterimi şekil 4 ile gösterilmiştir. 13

Şekil 5: Belirsizlik aralığı 4.3.2 Doğrudan arama yöntemi Bu yöntemin düşüncesi tanımlanmış optimumu içerdiği bilinen bir belirsizlik aralığını tanımlamak ve optimum bulununcaya kadar aralığı daraltmaktır. Bu aralık başta istenildiği kadar küçük tutulabilir.bu yöntem şekil 5 ile grafiksel olarak gösterilmiştir. Örnek: Aşağıdaki doğrusal olmayan problemi doğrudan arama yöntemi ile çözelim: Çözüm: x L = 0, x R = 3 olsun: x L x x 2 ve x 1 x x R olmalıdır. 3x 0 x 2 Max.f(x) = x 3 + 20 3 2 x 3 Burada: x 1 x L = x R x 2 ve = x 2 x 1 dir. Bu da: (18) x 1 = x L + x R x L 2 (19) ve x 2 = x L + x R x L + 2 olduğu anlamına gelir. = 0.01 olarak hesap yapılacak olursa sonuçlar 6 ile gösterilmektedir. (20) 14

Şekil 6: Doğrudan arama yöntemi ile çözüm 4.3.3 Yerine koyma metodu Doğrusal olmayan programlama çözüm metotları içerisinde en kolay metot yerine koyma metodu 2 olarak bilinen metottur. Bu metot ancak tek kısıtlılık eşiği olan durumlarda kullanılır. Bu metodun mantığı değişlenleri birbiri yerine koymak suretiyle çözmektir. Bu kısıtlı optimizasyon modelinin bir nevi kısıtsız optimizasyon modeline dönüşmesi olarak kabul edilebilir.anonim Örnek: Problem: Anonim maksimizez = vp c f vc v (21) kısıt ise: v = 1500 24.6p (22) Sabit değerler c f = 10000$vec v = 8$oslun Dikkat edilecek olursa amaç fonksiyonu doğrusal değildir çünkü v (satış adedi) ve p (fiyat) değişkenlerinin çarpanları vardır bu nedenle denklem doğrusal değildir. Şimdi yukarıdaki ilk fonksiyonda v yerine ikinci fonksiyondaki 1500 24.6p değerini yazarsak: 2 İngilizce karşılığı substition method 15

Z = 1500p 24.6p 2 c f 1500c v + 24.6pc v (23) c f ve c v sabit değişkenlerini de yerine koyduğumuzda: Z = 16696p 24.6p 2 22000 (24) Bu problemi Z nin diferansiyelini alıp sıfıra eşitleyerek çözeceğiz: Z p = 1669.8 49.2p (25) 0 = 1669.8 49.2p (26) 49.2p = 1669.8 (27) p = 34.49$ (28) Aynı problemin bilgisayar destekli çözümü şekil 7 ile gösterilmiştir. 4.4 Kuhn-Tucker koşulları Bir doğrusal olmayan programlama probleminde, problemin kısıtları eşitsizlik formunda ise bu türden problemlerin çözümü Kuhn-Tucker koşullarını sağlamalıdır. Kısıtları eşitsizlik formunda olan bir doğrusal olmayan programlama problemi aşağıdaki şekilde verilsin: m kısıt ve n değişkenden oluşan bir problemde; Maksimum veya minimum amaç fonksiyonu: z = f(x1, x2,..., xn) Kısıtlar: g1(x1, x2,..., xn) b1g2(x1, x2,..., xn) b2...gm(x1, x2,..., xn) bm şeklinde verilsin. Problemin Lagrange fonksiyonu yazılır ve buna göre Kuhn-Tucker koşulları incelenir. Lagrange fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır: L(x j, λ i ) = f(x j )λ(x j )(j = 1, 2,.., n)ve(i = 1, 2,..., m) Kuhn-Tucker koşullarının uygulanabilmesi için verilen doğrusal olmayan programlama probleminin kısıtlarının şeklinde olması gerekmektedir Winston, (2004). Kuhn-Tucker gerek şartları iki amaç için kullanılır: verilen bir noktanın muhtemel optimum olup olmadığını kontrol etmede aday minimum noktaların tespitinde kullanılır Kuhn-Tucker 1. derece gerek şartları ile ilgili önemli bazı özellikler aşağıda verilmiştir: 16

Şekil 7: Problemin bilgisayar destekli çözümü-optimal değer işaretlenmiştir 17

K-T şartları ancak regular (düzenli) noktada uygulanır. K-T şartlarını sağlamayan noktalar, eğer irregular (düzensiz) noktalar değilse lokal minimum olamazlar. K-T şartlarını sağlayan noktalar Kuhn-Tucker noktaları olara adlandırılır. K-T şartlarını sağlayan noktalar kısıtlı veya kısıtsız olabilir. Eğer eşitlik kısıtlayıcı varsa ve eşitliksiz kısıtlayıcıların hiçbiri aktif değilse K-T şartlarını sağlayan bu noktalar stationary noktalardır. Yani bu noktalar minimum maksimum veya dönüm noktaları olabilir. Kaynaklar Anonim. Nonlinear Programming Solution Techniques. Anonim. pages 1 8, 2013a. Anonim. Optimizasyon-vikipedia, 3 2013b. URL http://tr.wikipedia.org/wiki/optimizasyon. Anonim. Dogrusal programlama-vikipedia, 3 2013c. URL http://j.mp/suatdp1. Anonim. Linear programming-wolfram mathworld, 3 2013d. URL http://mathworld.wolfram.com/linearprogramming.html. Mordecai Avriel. Nonlinear programming: analysis and methods. Courier Dover Publications, 2012. MC Bartholomew-Biggs. Nonlinear optimization with financial applications, volume 1. 2005. Gerard Cornuejols and R Tutuncu. Optimization methods in finance. Number January. 2007. George Bernard Dantzig. Linear programming and extensions. Princeton university press, 1965. J. Dutta. Optimization Theory - A Modern face of Applied Mathematics. Havacılık Mühendisliği Bölümü İstanbul Türkiye Hacıoğlu, Abdurahman; Hava Harp Okulu. Doğrusal olmayan optimizasyon problemleri için taşınır algoritmik fonksiyonlar yöntemi. Havacılık ve Uzay Teknolojileri Dergisi, 5(1):1, 2011. ISSN 13040448. Cansın Kaya. Doğrtusal olmayan programlama ile portföy analizi, Ocak 2012. Yuksek Lisans Tezi. 18

RM Meyer. Max-Min Problems. Essential Mathematics for Applied Fields, pages 1 8, 1979. URL http://j.mp/suatdop2. S. S. Rao. Engineering Optimization: Theory and Practice, Fourth Edition. John Wiley and Sons, Inc., 2009. H. Yamashita. A Differential Equation Approach to Nonlinear Programming. Mathematical Programming, cilt 18, s, 1980. 19