(i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2]

Bölüm 5 KOM ULUKLAR 5.1 KOM ULUKLAR Tanm 5.1.1. (X, T ) bir topolojik uzay ve A ile N kümeleri X uzaynn iki alt-kümesi olsun. E er A T N olacak ³ekilde her hangi bir T T varsa, N kümesine A nn bir kom³ulu u (yöresi) denilir. Özel olarak yalnz bir ö eden ibaret {x} kümesinin bir kom³ulu una, ksaca, x ö esinin bir kom³ulu u (kom³ulu u) diyece iz. de- T topolojisinin ba³ka birisiyle kar³mas ku³kusu varsa, "kom³uluk" yimi yerine, ksaca, T -kom³ulu u diyece iz. Önerme 5.1.1. Bir kümenin açk olmas için gerekli ve yeterli ko³ul bu kümenin, kendi ö elerine kom³uluk etmesidir. spat: (X, T ) bir topolojik uzay ve G X olsun. G açk ise, her x G için {x} G o G ve G o = G T oldu undan, varsaymmzn gerekli i kom³uluk tanmndan çkar. Yeterli ini görmek için, her x G ye kar³lk {x} T x G olacak ³ekilde bir T x T oldu unu varsayalm. Bir yandan, her x G için x T x oldu undan G {T x : x G} dir. Öte yandan her x G için T x G oldu undan G {T x : x G} 49

50 BÖLÜM 5. KOM ULUKLAR dir, yani G = {T x : x G} (5.1) olur. Her x G için T x T oldu una göre [T3] aksiyomuna göre (5.1) den G T oldu u, yani G nin açk oldu u sonucu çkar. Tanm 5.1.2. Bir x noktasnn bütün kom³uluklarndan olu³an aileyi B(x) ile gösterecek ve buna x noktasnn kom³uluklar ailesi diyece iz. Önerme 5.1.2. B(x) ailesi, kom³uluk aksiyomlar diyece imiz a³a daki özeliklere sahiptir: 1. [N1]: B(x) ailesine ait her hangi bir kümeyi kapsayan her küme B(x) ailesine aittir. 2. [N2]: B(x) ailesine ait iki kümenin arakesiti yine B(x) ailesine aittir. 3. [N3]: B(x) ailesine ait her küme x noktasn içerir. 4. [N4]:) E er V B(x) ise, öyle bir W B(x) vardr ki her y W için V B(y) olur. spat: lk üç özelik Tanm 5.1.1 ile [T2] aksiyomundan hemen görülür. Son özeli i görmek için, W olarak x noktasn içeren ve V tarafndan kapsanan her hangi açk bir kümeyi almak yetecektir. [N4] aksiyomu ³u anlama gelir: x noktasnn bir kom³ulu u x noktasna yeteri kadar yakn olan noktalarn da kom³ulu udur. Bir x ö esini içeren her açk küme bu ö enin bir kom³ulu udur, ama x ö esinin her kom³ulu u açk bir küme olmak zorunda de ildir. 5.1.1 PROBLEMLER 1. Tanm 2.3.1 ³una e³de erdir: A bir topolojik uzayn bir alt-kümesi olsun. E er A kümesi x noktasnn bir kom³ulu u ise, yani A B(x) ise, x noktas, A kümesinin bir iç noktasdr. 2. Tanm (2.4.1) ³una e³de erdir: Her N B(x) için (N \{x}) A ise, x noktas A kümesinin bir y lma noktasdr.

5.1. KOM ULUKLAR 51 3. Önerme 2.5.1 ³una e³de erdir: Bir x noktasnn A kümesinin bir kaplama noktas olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, x noktasnn her kom- ³ulu unun A ile kesi³mesidir; yani her N B(x) için N A ise x Ā dr. 4. Ayrk olmayan bir uzayda bir noktann kom³uluklar ailesini bulunuz. 5. Bir noktann sonlu tane kom³ulu unun arakesiti yine bu noktann kom- ³ulu udur. Gösteriniz. 6. Bir X kümesi üzerindeki iki topolojinin ayn olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, her x X ö esinin bu topolojilere göre kom³uluklarnn ayn olmas dr. 7. Gerçel eksen üzerindeki salt topolojiye göre a³a daki kümelerden hangileri B(1) ailesine aittir? (i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2] 8. Sonlu tümleyenler topolojisinde bir noktann bütün kom³uluklarnn açk kümeler oldu unu gösteriniz. 9. N kümesi A kümesinin bir kom³ulu u ise, N nin her B A alt kümesinin de bir kom³ulu u olaca n gösteriniz. 10. X = {a,b,c,d,e} kümesi üzerinde T = {X,,{a},{a,b},{a,c,d},{a,b,c,d},{a,b,e}} ailesi veriliyor. (a) (X, T ) bir topolojik uzaydr. Gösteriniz. (b) e noktasnn kom³uluklarn bulunuz. (c) c noktasnn kom³uluklarn bulunuz. (d) {c, e} kümesinin kom³uluklarn bulunuz. 11. Bir p ö esinin bir A kümesinin bir kenar noktas olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, p ö esinin her kom³ulu unun hem A ile hem A ile kesi³mesidir. Gösteriniz.

52 BÖLÜM 5. KOM ULUKLAR 5.2 KOM ULUKLAR S STEM KOM ULUKLAR S STEM (Ailesi) LE TOPOLOJ K YAPILARIN KURULU U Açk küme kavramn ba³langç noktas alarak [N1]-[N4] kom³uluk aksiyomlarn elde etti imiz Önerme 5.1.2 'in bir kar³t vardr. Bir küme üzerinde bir topolojik yap kurmann de i³ik bir yöntemi olan bu özeli i ³öyle ifade edebiliriz: Önerme 5.2.1. Her x X için [N1]-[N4] kom³uluk aksiyomlarn sa layacak ³ekilde bir B(x) ailesi varsa, X üzerinde öyle bir tek T topolojik yaps vardr ki B(x) ailesi x noktasnn T -kom³uluklarndan ibarettir. s p a t: T = {A X : x A A B(x)} (5.2) ailesini tanmlayalm, T nun [T3] aksiyomunu sa lad [N1] den ve [T2] aksiyomunu sa lad [N2] den çkar. [Tl] aksiyomunun bu ikisinden çkarlabildi ini biliyoruz (bkz. 2.1.1 Problem 9). O halde T ailesi X üzerinde bir topolojik yap olu³turur. imdi, her x X için, verilen B(x) ailesinin x noktasnn T -kom³uluklar ailesinden ba³ka bir ³ey olmad n gösterelim: [N1] ve (5.2) den, x noktasnn her T -kom³ulu unun B(x) ailesine ait oldu u apaçktr. Tersine olarak her V B(x) kümesinin x noktasnn bir T -kom³ulu u oldu unu göstermek için U = {y X : V B(y)} (5.3) kümesini tanmlayalm. V B(x) oldu undan, (5.3) den x U olur. Öte yandan y U ise V B(y) ve [N3] gere ince y V olacaktr; yani U V dir. imdi U T oldu unu gösterelim. Bunun için Önerme 5.1.1 'ye göre, her y U için U B(y) oldu unu göstermek yetecektir. Gerçekten y U ise y V B(y) oldu undan, [N4] aksiyomuna göre öyle bir W B(y) vardr ki her z W için V B(z) olur, ki bu (5.3) gere ince, z U demektir. Buradan W U çkar ve [N1] den U B(y) olur. Geriye yalnz T nun tekli ini göstermek kalm³tr. Gerçekten istenenleri sa layan her T -topolojisinin açk kümeleri, Önerme 5.1.1 gere ince, (5.3) ile verilmi³ olacaktr, ki bu T nun tek olmas demektir.

5.2. KOM ULUKLAR S STEM 53 Örnek 5.2.1. R gerçel saylar kümesi üzerindeki salt topolojiyi kom³uluklar dizgesiyle de kurabiliriz (bkz. Örnek 4.1.6). Her x R noktasna kar³lk, x noktasn içeren her hangi bir açk aral kapsayan bütün kümelerin olu³turdu u aileye B(x) diyelim. Bu ailenin [N1]-[N4] kom³uluk aksiyomlarn sa lad n görmek kolaydr. Öyleyse, her x R için B(x) ailesini x noktasnn kom³uluklar ailesi olarak kabul eden bir T topolojisi vardr. imdi bu topolojinin R üzerindeki R salt topolojisinden ba³ka bir ³ey olmad n gösterelim. A R = R olsun. R topolojisinin tanm gere ince, A kümesi açk aralklarn bir bile³imidir. o halde her x A ö esi A tarafndan kapsanan bir (a, b) aral na aittir; ki bu, yukardaki tanm gere ince, A B(x) olmasn gerektirir. Bu ise, (5.3) e göre, A T olmas demektir. u halde R T dur. Tersine olarak, T T ise, (5.3) e göre, her x T için T B(x) dir. O halde x noktasn içeren ve T kümesi tarafndan kapsanan açk bir (a, b) aral vardr. Dolaysyla T kümesi bu aralklarn bir bile³imi olarak yazlabilir; yani T R dr. u halde T R dur. Elde edilen bu iki kapsamadan T = R çkar. 5.2.1 PROBLEMLER 1. R 2 düzlemindeki salt topoloji (bkz. Örnek 4.1.2) yi kurmak için a³a- daki kom³uluklar dizgelerinden her hangi birisinin kullanlabilece ini gösteriniz. (a) Düzlemdeki her z noktasna kar³lk, kenarlar eksenlere paralel olan ve bu noktay içeren her hangi bir açk dikdörtgeni kapsayan bütün kümelerin olu³turdu u aile, (b) Düzlemdeki her z noktasna kar³lk, bu nokta merkez olarak çizilen her hangi açk bir diski kapsayan bütün kümelerin olu³turdu u aile, (c) Düzlemdeki her z noktasna kar³lk, bu noktay içeren ve kapal bir e riyle snrlanm³ her hangi bir bölgenin içini kapsayan bütün küme lerin olu³turdu u aile.

54 BÖLÜM 5. KOM ULUKLAR 5.3 KOM ULUKLAR TABANI Tanm 5.3.1. (X, T ) topolojik uzayndaki bir x noktas için S(x) B(x) alt ailesi verilsin. E er her V B(x) içinw V olacak ³ekilde birw S(x) varsa, S(x) ailesine x noktasnn (T ya göre) bir kom³uluklar tabandr (ya da x noktasnda yerel bir tabandr) denilir. Bir A X alt kümesinin kom³uluklar taban da benzer ³ekilde tanmlanr. S(A) ailesi A kümesinin bir kom³uluklar taban ise S(A) ya ait kümelerin her sonlu arakesiti yine S(A) ya ait olacaktr. Örnek 5.3.1. Her x R için S(x) = {(x δ,x+δ) : δ > 0} (5.4) ailesi, gerçel eksen üzerindeki salt topolojiye göre x noktasnn bir kom³uluklar tabandr. Neden? Önerme 5.3.1. (X, T ) bir topolojik uzay ise, bir B T alt ailesinin T topolojisine bir taban olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, her x X için L(x) = {W B : x W} ailesinin x noktas için bir kom³uluklar taban olmasdr. spat: B ailesi T için bir taban olsun. Bir x X için V B(x) ise, x T V olacak ³ekilde bir T T vardr. Varsaymmz gere ince, T açk kümesi B ye ait kümelerin bir bile³imidir. O halde x W T olacak ³ekilde enaz bir W B vardr, ki bu W L(x) olmasn gerektirir; yani L(x) ailesi x noktasnn bir kom³uluklar taban olur. Böylece ko³ulun gerekli i çkar. Yeterli i görmek için bir T T alalm. Her x T için x V x T olacak ³ekilde bir V x L(x) vardr (T B(x) oldu undan). Oysa bu durumda, T = {V x : x T} olacaktr. O halde B ailesi T topolojisinin bir tabandr. Tanm 5.3.2. (X, T ) bir topolojik uzay olsun. E er her x X noktas için saylabilir bir kom³uluklar taban varsa, (X, T ) uzayna Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa lyor denilir.

5.4. KARMA PROBLEMLER05 55 Örnek 5.3.2. Her x R için N(x) = {(x 1 n,x+ 1 ) : n N} (5.5) n ailesi, gerçel eksen üzerindeki salt topolojiye göre x noktasnn saylabilir bir kom³uluklar taban oldu undan, bu topolojik uzay Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa lar. Gösteriniz. Önerme 5.3.2. U 1,U 2,...,U n,... bir x noktasnn saylabilir bir kom³uluklar taban ise bu noktann iç içe bir V 1,V 2,...,V n,... kom³uluklar taban vardr. spat: ç-içe deyiminden anlayaca mz ³ey, her n do al says için V n+1 V n olmasdr. Gerçekten V 1 = U 1 V 2 = U l U 2 V 3 = U l U 2 U 3. V n = U l U 2 U 3... U n. dizisi isteneni sa layacaktr. Önerme 5.3.3. kinci Saylabilme Aksiyomunu sa layan her uzay, Birinci Saylabilme Aksiyomunu da sa lar. spat: B saylabilir bir taban olsun. Önerme 5.3.1 gere ince S(x) = {W B : x W} ailesixnoktasnn bir kom³uluklar tabandr ve S(x) B oldu una göre, saylabilir bir ailedir. 5.4 KARMA PROBLEMLER05 1. (X, T ) bir topolojik uzay ve σ ailesi T -topolojisinin bir alt taban olsun. (a) σ(x) = {S σ : x S} ailesinin x noktas için bir kom³uluklar taban olmayaca n bir örnekle gösteriniz.

56 BÖLÜM 5. KOM ULUKLAR (b) σ(x) ailesinin sonlu arakesitlerinin olu³turdu u ailenin x noktas için bir kom³uluklar taban olaca n gösteriniz. 2. Düzlemdeki her z noktasna kar³lk, bu nokta merkez olarak çizilen, bütün açk dairelerden olu³an ailenin, salt topolojiye göre, z noktasnn bir kom³uluklar taban oldu unu gösteriniz. 3. Düzlemdeki her z noktasna kar³lk, bu nokta merkez olarak çizilen { 1 r (r = 1,2,3,...)} yarçapl açk disklerden olu³an ailenin, salt topolojiye göre, bu noktann saylabilir bir kom³uluklar taban oldu unu gösteriniz. Buradan, düzlemin salt topolojisinin birinci saylabilme aksiyomunu sa lad sonucunu çkarnz. 4. Ayrk olmayan bir uzayda her hangi bir noktann kom³uluklar ailesi nedir? Ayrk bir uzayda her hangi bir noktann kom³uluklar ailesi nedir? 5. p ö esinin A kümesinin bir y lma noktas olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, p nin kom³uluklar tabanna ait her kümenin A ya ait ve p den farkl olan bir ö eyi içermesidir. 6. Ayrk bir uzayda her noktann sonlu bir kom³uluklar taban oldu unu gösteriniz. 7. Bir noktann sonlu bir kom³uluklar taban varsa, bu noktann tek bir kümeden olu³an bir kom³uluklar taban vardr. Gösteriniz. 8. (X; T ) topolojik uzaynda F ailesi, kapal kümeler için bir taban ise, bu aileye ait kümelerin tümleyenlerinden olu³an aile açk kümeler için bir tabandr. Gösteriniz. 9. (X, ) tam sralanm³ bir küme olsun. Her a,b X ö e çiftine kar³lk {x X : x > a}, {x X : x < b} ve {x X : a < x < b} kümeleri tanmlanyor. a, b ö eleri bütün X kümesini tarad nda elde edilecek bütün bu kümelerden olu³an ailenin X kümesi üzerinde bir topoloji taban oldu unu gösteriniz. Bu tabann üretti i topolojiye sra topolojisi denir. Bu topolojik uzayn kapal kümelerinin nasl oldu unu belirleyiniz. 10. B = {{x} x X} ailesinin(x, A)ayrk uzay için bir taban oldu unu gösteriniz.

5.4. KARMA PROBLEMLER05 57 11. Ayrk olmayan (X, T) uzay için B = {X} ailesinin bir taban oldu unu gösteriniz. 12. B = {x : x < r, x,r Q} ailesinin R üzerindeki salt topoloji için bir taban oldu unu gösteriniz.