DİNAMİK Ders_10 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2016-2017 GÜZ KÜTLE ATALET MOMENTİ Bugünün Hedefleri: 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması. Sınıf Etkinliği: Sözel yoklama Uygulamalar Kütle Atalet Momenti Paralel eksenler Teoremi Kompozit cisimler Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümleri Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-2 / 21 1
SÖZEL YOKLAMA 1. Kütle atalet momenti cismin direncidir. A) ötelenme hareketine B) deformasyona C) açısal ivmeye D) impulsif harekete 2. Kütle atalet momenti daima. A) negatif bir niceliktir. B) pozitif bir niceliktir. C) tamsayısal değerdir. D) hareket düzlemine dik bir eksende sıfırdır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-3 / 21 UYGULAMALAR Şekilde gösterilen çark büyük bir kesiciye bağlıdır. Çarkın kütlesi, kesici bıçağa üniform hareket yaptırmak için yardım etmektedir. Çarkın hangi özelliği bu amaç için en önemlidir. Bu özelliğin sayısal değeri nasıl bulunur? Çarkın kütlesinin büyük kısmı neden en dıştaki dairesel bölgeye yerleştirilmiştir? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-4 / 21 2
UYGULAMALAR (devam) Krank AB krank mili kütle merkezinin dışında bir yerde sabit bir eksen etrafında dönmektedir. Mil, kütle atalet momentiyle orantılı olarak kinetik enerji oluşturmaktadır. Mil döndükçe, kinetik enerji potansiyel enerjiye, potansiyel enerji de kinetiğe dönüşmektedir. Krank milinin dönme eksenine göre atalet momenti, kütle merkezinden geçen eksene göre atalet momentinden büyük müdür, küçük müdür? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-5 / 21 KÜTLE ATALET MOMENTİ Kütle merkezi G de olan rijit cismi ele alalım. Bu cisim G den geçen z-ekseni etrafında serbestçe dönebilmektedir. z-ekseni etrafında T torku (burulma momenti) uygulandığında, cisim açısal ivmesi ile dönecektir. T ve şu şekilde ilişkilidir: T = I. Bu denklemde I z-eksenine göre kütle atalet momentidir (F = ma). Kütle atalet momenti, cismin açısal ivmeye direncinin bir ölçüsüdür. Kütle atalet momenti, dönme hareketinin analizinde sıkça kullanılır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-6 / 21 3
KÜTLE ATALET MOMENTİ (devam) P gibi herhangi bir ekseni ve rijit cismi ele alalım: Bu eksene göre kütle atalet momenti I = m r 2 dm (üç katlı integral) şeklinde tanımlıdır. Burada, r: herhangi bir dm kütlesinden, eksene olan dik mesafedir (moment kolu). Kütle atalet momenti her zaman pozitif bir büyüklüktür ve birimi kg m 2 formundadır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-7 / 21 KÜTLE ATALET MOMENTİ (devam) Aşağıdaki şekiller, üç boyutlu cisimlerin dinamiğinde sıklıkla kullanılan iki yassı plakaya ait kütle atalet momenti ifadeleridir. Bu şekiller genellikle herhangi bir genel hacmin kütle atalet momentinin hesabında temel elemanlar/hacimler olarak da kullanılır. Dairesel düzlem İnce plaka Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-8 / 21 4
ANALİZ YÖNTEMİ Direkt integrasyon ile hesap sadece, bir eksen etrafında dönen eğrilerin oluşturduğu simetrik cisimlerin analizinde kullanılacaktır. Kabuk Eleman: Eğer yüksekliği z, yarı çapı r = y ve kalınlığı da dy olan bir diferansiyel eleman seçilirse bu elamanın hacmi dv = (2 y)(z)dy, integrasyon için kullanılabilir. Bu eleman, tüm cismin kütle atalet momenti I z yi bulmak için kullanılabilir; çünkü elemanın inceliğinden dolayı tüm eleman z ekseninden y mesafesindedir. Disk Eleman: İntegrasyon için y yarıçaplı ve dz kalınlıklı bir disk eleman seçilirse hacim dv = ( y 2 )dz olur. Bu disk elamanın kütle atalet momentinden, tüm cismin kütle atalet momenti hesaplanabilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-9 / 21 ÖRNEK I 1 cm 1 cm Verilen: Şekilde gösterilen hacmin yoğunluğu = 5 kg/cm 3 verilmiştir.. İstenen: Cismin y-eksenine göre kütle atalet momenti. Plan: Disk elemanın y-eksenine göre momenti di y kullanılabilir ve integrasyonla tüm hacmin kütle atalet momenti bulunabilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-10 / 21 5
Çözüm: 1 cm 1 1 I y 0 1 cm x 4 dy 2 2 ÖRNEK I (devam) Bir diskin düzlemine dik bir eksene göre kütle atalet momenti; I = 1/2 m r 2. Diskin y-eksenine göre kütle atalet momenti; di y = 1/2 (dm) x 2 Diferansiyel kütle ise; dm = dv = x 2 dy. Dikkat edilirse üç katlı integral tek kata indi. Bu durumda tüm cismin y-eksenine göre kütle atalet momenti: 0 8 (5) y dy 0.873 kg cm 2 18 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-11 / 21 PARALEL EKSENLER TEOREMİ Eğer bir cismin kütle merkezinden geçen eksenlere göre kütle atalet momenti biliniyorsa bu eksene paralel herhangi bir eksene göre atalet momenti paralel eksenler teoremi ile bulunur; I = I G + md 2 Burada I G = Kütle merkezinden geçen eksene göre atalet momenti m = Cismin kütlesi d = Paralel eksenler arasındaki dik mesafe Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-12 / 21 6
ATALET YARIÇAPI VE KOMPOZİT CİSİMLER Atalet Yarıçapı Atalet yarıçapı k, cismin toplam kütlesinin, kütle atalet momentinin hesaplandığı eksen takımına göre nasıl dağıldığının bir ölçüsüdür. Birimi uzunluk cinsindendir. I = m k 2 veya k = I/m Kompozit Cisimler Eğer bir cisim birden fazla temel/basit şekilden meydana gelmişse: örneğin diskler, küreler veya çubuklar gibi, bu durumda, tüm cismin herhangi bir eksene göre kütle atalet momenti, cismi oluşturan parçaların o eksene göre kütle atalet momentinin cebrik toplamına eşittir. Bu toplamı yapabilmek için paralel eksenler teoremi kullanılmalıdır.. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-13 / 21 Verilen: Şekildeki sarkaç 2 kg lık narin bir çubuktan ve 4 kg lık dairesel bir plakadan oluşmaktadır. İstenen: Sarkacın O dan geçen (sayfa düzlemine dik) eksene göre kütle atalet momentini bulunuz. Plan: ÖRNEK II Kompozit alanların atalet momentinin hesabında kullanılan yöntemin adımlarını izleyin. Sarkaç R narin çubuğuna ve P dairesel düzlemine ayrılabilir. Sonrasında ise atalet yarıçapını hesaplayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-14 / 21 7
ÖRNEK II (devam) Çözüm: P R 1. Çubuğun kütle merkezi G r nin O noktasından uzaklığı 1 m dir. Dairesel plakanın kütle merkezi G p ise O noktasından 2.5 m uzaklıktadır. 2. Çubuğun ve dairesel plakanın kütle atalet momentleri tablolardan biliniyor. Paralel eksenler teoremini kullanarak O noktasına göre toplam atalet momenti bulunur. I O = I G + (m) (d) 2 I OR = (1/12) (2) (2) 2 + 2 (1) 2 = 2.667 kg m 2 I OP = (1/2) (4) (0.5) 2 + 4 (2.5) 2 = 25.5 kg m 2 3.Bu iki değerin toplamı (aynı eksene göre): I O = I OR + I OP = 28.17 kg m 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-15 / 21 ÖRNEK II (devam) R 4. Toplam kütle (m) = 6 kg O daki atalet yarıçapı: k = I /m = 28.17/6 = 2.17 m P Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-16 / 21 8
KAVRAMSAL YOKLAMA 1. m kütleli ve L uzunluklu bir çubuğun ucuna yerleştirilmiş asal eksen etrafındaki kütle atalet momenti:. A) (1/12) m L 2 B) (1/6) m L 2 C) (1/3) m L 2 D) m L 2 2. m kütleli ve R yarıçaplı ince bir halkanın z eksenindeki kütle atalet momenti:. A) (1/2) m R 2 B) m R 2 C) (1/4) m R 2 D) 2 m R 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-17 / 21 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I Verilen: Sarkaç 3 kg lık bir çubuktan ve 5 kg lık bir bloktan oluşmaktadır. İstenen: Sarkacın G noktasından (kütle merkezinden) geçen ve sayfa düzlemine dik eksene göre atalet yarıçapını bulunuz. Plan: Sarkacın kütle atalet momentini kompozit cisimler için geliştirilen yöntemle bulunuz. Sonra kütle değerini ve atalet momentini kullanarak atalet yarıçapını hesaplayınız. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-18 / 21 9
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam) Çözüm: 1. Sarkacı, bir P plakası (5 kg) ve R çubuğundan (3 kg) oluşacak şekilde ayıralım. 2. Plakanın kütle merkezi O dan 2.25m, çubuğun ise 1 m mesafededir. Bu durumda: P R y = ( y m) / ( m ) = {(1) 3 + (2.25) 5} / (3+5) = 1.781 m Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-19 / 21 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam) P R 3. Plakalar ve çubuklar için kütle atalet momenti formüllerinden yararlanarak ve paralel eksenler teoremini kullanarak hesap yapılır: I P = (1/12) 5 (0.5 2 + 1 2 ) + 5 (2.25 1.781) 2 = 1.621 kg m 2 I R = (1/12) 3 (2) 2 + 3 (1.781 1) 2 = 2.830 kg m 2 4. I O = I P + I R = 1.621 + 2.830 = 4.45 kg m 2 5. Toplam kütle m = 8 kg olduğundan; Kütle atalet yarıçapı; k = I O / m = 0.746 m Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-20 / 21 10
DİKKAT YOKLAMASI 1. Bir cismin kütle atalet momenti, kütle merkezine göre her zaman. A) maksimumdur B) minimumdur C) sıfırdır D) hiçbiri 2. Eğer A ve B cisimlerinin kütleleri aynı fakat atalet yarıçapları k A = 2k B, ise. A) I A = 2I B B) I A = (1/2)I B C) I A = 4I B D) I A = (1/4)I B Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.1-21 / 21 11
DÜZLEMSEL KİNETİK HAREKET DENKLEMİ: ÖTELENME Bugünün hedefleri: 1. Düzlemsel hareket halinde bulunan bir cisme üç hareket denkleminin uygulanması. 2. Ötelenme hareketi içeren problemlerin analizi. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Rijit cisim için SCD Rijit Cisim için Hareket Denklemi Ötelenme Hareketi Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-1 / 23 SÖZEL YOKLAMA 1. Eğer bir rijit cisim dış kuvvetlerin etkisiyle ötelenme hareketi yapıyorsa, ötelenme hareket denklemleri için yazılır. A) dönme merkezi B) kütle merkezi C) herhangi keyfi bir nokta D) Hepsi. 2. Bir rijit cisim için kütle merkezinin etrafında dönme yönünde yazılacak hareket denklemi, dış yüklere bağlı moment toplamının aşağıdakilerden hangisine eşitlenmesi demektir. A) I G B) m a G C) I G + m a G D) Hiçbiri. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-2 / 23 1
UYGULAMALAR Şekildeki tekne ve kızak doğrusal hareket yapmakta. Kızağın tekerleklerinde oluşan tepkileri ve teknenin ivmesini bulmak için teknenin ve kızağın serbest cisim ve kinetik diyagramlarını çizmemiz gerekmektedir. Bu problemi çözmek için kaç tane hareket denklemine ihtiyaç vardır? Bunlar nelerdir? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-3 / 23 UYGULAMALAR (devam) Traktör yükü yukarı doğru kaldırdığında, eğer forklift dönme hareketi yapmıyorsa, yük eğrisel ötelenme hareketi yapar. Eğer yük çok hızlı kaldırılırsa, kasa sola veya sağa hareket eder mi? Kasa kaymadan ne kadar hızla kaldırılabilir? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-4 / 23 2
DÜZLEMSEL KİNETİK HAREKET DENKLEMİ (Bölüm 17.2) Rijit cisimlerin düzlemsel kinetiğini sabit bir referans eksene göre simetrik olan cisimlerle sınırlayacağız. Cisme etkiyen kuvvetler de bu eksene göre yine simetrik etkiyecek. Bir önceki bölümde incelendiği gibi, bir cisim genel düzlemsel harekete yapıyorsa, ötelenme ve dönme hareketlerinin kombinasyonu şeklinde hareket ediyor demektir. Önce P gibi bir noktada koordinat sistemi oluşturulur. x-y eksenleri dönmemelidir. Eksenler bir yere sabit olabilir veya sabit bir hızla hareket edebilir.. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-5 / 23 ÖTELENME HAREKET DENKLEMLERİ Bir cisim bir ötelenme hareketi yapıyorsa hareket denklemi F= ma G olacaktır. Bu denklem skaler formda şöyle yazılabilir. F x = m(a G ) x ve F y = m(a G ) y Bu denklemler ne ifade eder: cisme etkiyen tüm kuvvetlerin toplamı cismin kütlesi çarpı kütle merkezinin ivmesine eşittir (iki yönde de bu sağlanmalıdır). Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-6 / 23 3
DÖNME HAREKET DENKLEMLERİ Şimdi, dış kuvvetlerin oluşturduğu momentlerin etkisini yani dönme hareketini de dikkate alalım. Bu kuvvetlerin bir P noktasına göre momenti aşağıdaki gibi hesaplanır: (r i F i ) + M i = r ma G + I G M p = (M k ) p Burada r = x i + y j ve M p tüm dış kuvvetlerin P noktasında yarattığı momenttir. (M k ) p terimi P noktasına göre kinetik momenttir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-7 / 23 DÖNME HAREKET DENKLEMLERİ (devam) P noktası cismin kütle merkezi G ile çakışıyorsa yukarıdaki denklem skaler tek bir denkleme indirgenir: M G = I G. Bu denklem ne ifade eder: Etkiyen tüm dış kuvvetlerin kütle merkezine göre yarattığı bileşke moment, G noktasına göre kütle atalet momenti çarpı açısal ivmeye eşittir Böylece genel düzlemsel hareket için, üç adet bağımsız skaler denklem kullanarak, rijit bir cismin genel hareket denklemi tanımlanabilir. Bu denklemler aşağıda özetlenmiştir : F x = m(a G ) x ve F y = m(a G ) y M G = I G ya da M p = (M k ) p Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-8 / 23 4
HAREKET DENKLEMİ: SADECE ÖTELENME (Bölüm 17.3) Eğer rijit bir cisim sadece ötelenme hareketi yapıyorsa, bu durumda cisim üzerindeki tüm parçalar eşit ivmeye sahiptir yani a G = a and = 0. Bu durumda hareket denklemi: F x = m(a G ) x F y = m(a G ) y M G = 0 Eğer problemi kolaylaştıracaksa, moment denklemi kütle merkezinin dışında başka bir noktaya göre alınarak uygulanabilir. Örneğin A noktası kullanılırsa, M A = (m a G ) d. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-9 / 23 HAREKET DENKLEMİ: SADECE ÖTELENME EĞRİSEL ÖTELENME(devam) Eğer rijit bir cisim eğrisel ötelenme hareketi yapıyorsa n-t koordinatlarını kullanmak en uygun çözümdür. Bu durumda, n-t koordinatları için yazılmış hareket denklemlerini kullanmak gerekir. F n = m(a G ) n F t = m(a G ) t M G = 0 veya M B = e[m(a G ) t ] h[m(a G ) n ] Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-10 / 23 5
Sadece ötelenme hareketi yapan rijit bir cismin kinetiği aşağıdaki adımlar izlenerek çözülebilir: 1. x-y veya n-t referans eksenleri oluştur, kütle merkezinin ivmesi a G için bir yön tayin et,. 2. Tüm dış kuvvetleri ve atalet kuvvetlerini gösteren serbest cisim ve kinetik diyagramları çiz, 3. Bilinmeyenleri göster, ANALİZ YÖNTEMİ 4. Üç hareket denklemi uygula (aşağıdaki iki gruptan biri): F x = m(a G ) x F y = m(a G ) y F n = m(a G ) n F t = m(a G ) t M G = 0 veya M P = (M k ) P M G = 0 veya M P = (M k ) P 5. Sürtünme kuvvetleri her zaman hareket yönünün tersi yönde etkir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-11 / 23 ÖRNEK I Verilen: Araba ve yükünün toplam ağırlığı 100 kg ve kütle merkezi G dir. P = 100 N kuvveti arabanın tutma koluna uygulanır.tekerlek ağırlıkları ihmal edilmiştir İstenen:A ve B noktalarındaki her bir tekerin normal tepki kuvvetleri. Plan: Analiz adımlarını izleyin Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-12 / 23 6
ÖRNEK I (devam) Çözüm: Araba doğrusal bir yörünge izler. SCD ve kinetik diyagramı çizin. = İlk önce x doğrultusu için hareket denklemini uygulayın: + F x = m(a G ) x 100 (4/5) = 100 a G a G = 0.8 m/s 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-13 / 23 ÖRNEK I (devam) Sonra y doğrultusu için hareket denklemi yazıp G deki momentleri toplayın. + F y = 0 N A + N B 981 100 (3/5) = 0 N A + N B = 1041 N (1) + M G = 0 N A (0.6) N B (0.4) + 100(3/5) 0.7 100(4/5)(1.2-0.5) = 0 0.6 N A 0.4 N B = 14 N m (2) (1) ve (2) no lu denklemleri kullanarak N A and N B deki tepkileri bulun N A = 430 N ve N B = 611 N = Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-14 / 23 7
ÖRNEK II Verilen: 100 kg lık masanın ağırlık merkezi G ve masa ayakları ile kamyon kasası arasındaki sürtünme katsayısı µ s = 0.2 dir. İstenen: Masa kaymadan kamyonun ulaşabileceği maksimum hız ve bu durumda A ve B ayaklarında oluşan normal tepki kuvvetleri Plan: Analiz yöntemini uygulayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-15 / 23 ÖRNEK II (devam) Çözüm: Masa doğrusal hareket yapacaktır. SCD ve kinetik diyagramı çizin. SCD 981 N = m(a G ) x Kinetik F B =µ s N B N B F A =µ s N A N A Masa kaymak üzereyken F A = µ s N A ve F B = µ s N B olacaktır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-16 / 23 8
ÖRNEK II (devam) Hareket denklemlerini uygulayın. + F x = m(a G ) x 0.2 N A + 0.2 N B = 100 a G (1) + F y = 0 N A + N B 981 = 0 (2) + M G = 0 0.2 N A (0.75) + 0.2 N B (0.75) + N A (0.9) N B (0.6) = 0 (3) Denklem (2) and (3) den, N A and N B tepki kuvvetleri bulunur: N A = 294 N, N B = 687 N Maksimum ivme a G (1) no lu denklemden bulunabilir. a G = (0.2 N A + 0.2 N B ) / 100 = 1.96 m/s 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-17 / 23 KAVRAMSAL YOKLAMA 1. 2 N ağırlığındaki bir disk sürtünmesiz bir bilezikle 6 N ağırlığındaki üniform AB çubuğuna B den tutturulmuştur. Disk kaymadan yuvarlanıyorsa uygun SCD hangisidir? A B 2 N N b 6 N 8 N F s N b A) B) C) F s 2 N 6 N N b N a N a N a Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-18 / 23 9
KAVRAMSAL YOKLAMA 2. 2 N ağırlığındaki bir disk sürtünmesiz bir bilezikle 6 N ağırlığındaki üniform AB çubuğuna B den tutturulmuştur. Disk kayarak yuvarlanıyorsa sistemin SCD si hangisidir? A B N b N b A) B) C) N b 2 N 6 N s N a 8 N F k 2 N 6 N k N a N a N a N a Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-19 / 23 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ Plan: Analiz yöntemini uygula. Verilen: P = 300 N luk bir yük 60 kg lık el arabasına uygulanmaktadır. G noktası el arabasının ağırlık merkezidir. İstenen: A ve B tekerleklerindeki normal reaksiyonlar. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-20 / 23 10
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) Çözüm: SCD ve kinetik diyagramı çizin. 300 N 60(9.81) N = 60 a G N A N B Hareket denklemlerini uygulayın: + F x = m(a G ) x 300 cos 30 = 60 a G a G = 4.33 m/s 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-21 / 23 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) + F y = m(a G ) y N A + N B 60 (9.81) + 300 sin 30 = 0 (1) + M G = 0 0.2 N B 0.3 N A (0.1) 300 cos30 (0.3) 300 sin30 = 0 (2) Denklem (1) and (2) den, N A and N B tepki kuvvetleri bulunur : N A = 113 N, N B = 325 N Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-22 / 23 11
DİKKAT YOKLAMASI 1. Sistem mafsallardan hareket ettikçe, A kutusu yapar. A) genel düzlemsel hareket B) sadece dönme C) doğrusal ötelenme D) eğrisel ötelenme 2. A kutusuna kaç tane bağımsız skaler hareket denklemi uygulanabilir? A) bir B) iki C) üç D) dört A = 2 rad/s 1.5 m Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.2-23 / 23 12
HAREKET DENKLEMLERİ: SABİT BİR EKSEN ETRAFINDA DÖNME HAREKETİ Bugünün Hedefleri: 1. Dönme hareketi yapan rijit bir cismin düzlemsel kinetik analizi. Ders Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Bir Eksen Etrafında Dönme Hareket Denklemleri Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-1 / 21 SÖZEL YOKLAMA 1. Dönme hareketinde, cismin (G) ağırlık merkezindeki ivmenin normal bileşeni daima. A) sıfırdır B) G nin hareket yörüngesine teğettir C) G den dönme merkezine doğrudur D) dönme merkezinden G ye doğrudur 2. Rijit bir cisim O noktası etrafında dönerse, O noktasında cisme etki eden dış kuvvetlerin momentlerinin toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) I G B) I O C) m a G D) m a O Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-2 / 21 1
UYGULAMALAR Şekilde petrol pompasına bağlı krank, bir motordan sağlanan M torku ile sabit bir eksen etrafında dönmektedir. Krank döndükçe, pimde dinamik reaksiyonlar oluşacaktır. Bu reaksiyon, açısal hızın, ivmenin ve krankın pozisyonunun bir fonksiyonudur. Dönme merkezindeki pim. Motor kranka M sabit torku sağlarsa krank sabit açısal hızla mı döner? Bu makine için, bu istenen bir durum mudur? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-3 / 21 UYGULAMALAR (devam) Charpy darbe test cihazının sarkacı = 0 iken serbest bırakılıyor ve açısal hızı ( ) artmaya başlıyor. Düşey konumdaki açısal hızını hesaplayabilir miyiz? Sarkacın açısal ivmesi, sarkacın hangi özelliğine (P) bağlıdır? P ve arasındaki ilişki nedir? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-4 / 21 2
HAREKET DENKLEMLERİ: SABİT BİR EKSEN ETRAFINDA DÖNME (Bölüm 17.4) Rijit bir cisim sabit bir eksen etrafında döndüğünde (sayfa düzlemine dik) cismin kütle merkezi G, yarıçapı r G olan dairesel bir yörüngede döner. Bu durumda, G noktasının ivmesi teğetsel (a G ) t = r G ve normal (a G ) n = r G 2 bileşenlerine sahip olacaktır. Cismin açısal ivmesi olacağı için, cismin ataleti I g büyüklüğünde bir moment oluşturacaktır bu moment dış kuvvetlerin G de oluşturdukları momente eşittir. Bu durumda skaler hareket denklemleri aşağıda verilmiştir: F n = m (a G ) n = m r G 2 F t = m (a G ) t = m r G M G = I G Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-5 / 21 HAREKET DENKLEMLERİ: SABİT BİR EKSEN ETRAFINDA DÖNME (devam) Dikkat edilirse, M G denklemi herhangi bir noktaya göre moment denklemiyle yer değiştirebilir. Örneğin O dönme noktasına göre momentlerin toplamı yazılabilir: M O = I G + r G m (a G ) t = [I G + m(r G ) 2 ] Paralel eksenler teoreminden I O = I G + m(r G ) 2 olduğu görülür. Böylece parantez içindeki terimin I O olduğu görülür. Sonuç olarak cisim için üç hareket denklemi yazılabilir : F n = m (a G ) n = m r G 2 F t = m (a G ) t = m r G M O = I O Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-6 / 21 3
ANALİZ YÖNTEMİ Sabit bir eksen etrafında dönen rijit cismin kinetik problemi, aşağıda sıralan yöntem izlenerek analiz edilebilir. 1. Referans eksenleri oluşturun ve (a G ) n ve (a G ) t için yön ve işaret kabulleri yapın. 2. Tüm dış kuvvet ve momentler için serbest cisim diyagramı çizin. Bu kuvvetlerden dolayı oluşan atalet kuvvetlerini ve momentleri ayrı bir kinetik diyagramında gösterin. 3. I G veya I O kütle atalet momentlerini hesaplayın.. 4. Üç hareket denklemini yazın ve bilinmeyenleri belirleyin. Bilinmeyenler için denklemleri çözün. 5. Eğer üç bilinmeyenden fazla bilinmeyen varsa, kinematikten yaralanın; çünkü hareket denklemleri ile en fazla üç bilinmeyenin bulunabilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-7 / 21 ÖRNEK I Verilen:20 kg kütleli A çubuğu şekilde görülen anda 5 rad/s ile dönmektedir. Çubuğa 60 N m lik bir moment uygulanmaktadır. İstenen: açısal ivmesi ve çubuk yatay konumdayken O daki reaksiyon kuvvetleri. Plan: Kütle merkezi yarıçapı 1.5 m dairesel bir yörüngede hareket ettiğinden, ivmesinin O ya doğru bir normal bileşeni vardır ve teğetsel bileşeni r G ye dik aşağı yönde etkimektedir. Analiz yöntemini uygulayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-8 / 21 4
Çözüm: SCD ÖRNEK I (devam) Kinetik Diyagram = Hareket denklemleri: + F n = m a n = m r G 2 O n = 20(1.5)(5) 2 = 750 N + F t = m a t = m r G -O t + 20(9.81) = 20(1.5) Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-9 / 21 ÖRNEK I (devam) Çözüm: SCD Kinetik Diyagram = + M O = I G + m r G (r G ) 0.15 (15) 9.81 = I G + m(r G ) 2 I G = (ml 2 )/12 ve r G = (0.5)(l) yi kullanarak şöyle yazabiliriz: (ml 2 /3) = I O iken M O = [(ml 2 /12) + (ml 2 /4)] = (ml 2 /3). Değerleri yerine yazdıktan sonra: 60 + 20(9.81)(1.5) = 20(3 2 /3) Çözüm: = 5.9 rad/s 2 O t = 19 N Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-10 / 21 5
ÖRNEK II Verilen: Üniform narin çubuğun kütlesi 15 kg dır ve kütle merkezi G noktasıdır. Plan: G Find: Kablo kesildikten hemen sonra, O pimindeki reaksiyon kuvvetleri ve çubuğun açısal ivmesi. G kütle merkezi, yarıçapı (r G ) 0.15 m olan dairesel bir yörüngede döneceğinden, ivmesinin normal bileşeni O ya doğru, teğetsel bileşeni ise aşağı doğru ve r G ye diktir. Analiz yöntemini uygulayıp soruyu çözünüz. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-11 / 21 ÖRNEK II (devam) Çözüm: SCD mg r G = 0.15 m O n Kinetik Diyagram I G m r G 2 = 0 = O t Hareket denklemleri: + F n = m a n = m r G 2 O n = 0 N m r G + F t = m a t = m r G -O t + 15(9.81) = 15 (0.15) + M O = I G + m r G (r G ) 0.15 (15) 9.81 = I G + m(r G ) 2 I G = (ml 2 )/12 ve r G = (0.15) yi kullanarak şöyle yazabiliriz: I G + m(r G ) 2 = [(15 0.9 2 )/12 + 15(0.15) 2 ] 1.35 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-12 / 21 6
ÖRNEK II (devam) SCD mg r G = 0.15 m O n Kinetik Diyagram I G m r G 2 = 0 = O t m r G Değerler yerine konulduğunda: 22.07 = 1.35 rad/s 2 Denklem (1) den : -O t + 15(9.81) = 15(0.15) O t = 15(9.81) 15(0.15) Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-13 / 21 KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Başlangıçta durmakta olan l uzunluğundaki rijit çubuk yatay konumdayken ( = 0) salınıyor. Açısal ivmesinin büyüklüğü konumunda maksimumdur. A) = 0 B) = 90 C) = 180 D) = 0 ve 180 2. Yukarıdaki problemde, = 90 iken, A daki yatay bileşen. A) sıfırdır B) m g C) m (l/2) 2 D) hiçbiri Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-14 / 21 7
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I Verilen: 4-kg lık narin çubuk başlangıçta B deki yay ve A daki pimle desteklenerek yatay konumda tutulmuştur. İstenen: 100-N luk bir kuvvet uygulandığı anda çubuğun açısal ivmesi ve çubuğun kütle merkezinin ivmesi. Plan:100 N luk kuvvet uygulanmadan önce yayın reaksiyon kuvvetini bulun. Çubuğun SCD ve kinetik diyagramını çizin. Hareket denklemlerini uygulayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-15 / 21 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam) Çözüm: SCD Kinetik Diyagram A n I G A t 4(9.81) N Rsp= 19.62 N m(1.5) m(1.5) 2 = 0 Dikkat edilirse 100 N luk kuvvet uygulanmadan önce oluşan R sp yay kuvveti ağırlığın yarısı kadardır: R sp = 4 (9.81) / 2 = 19.62 N Hareket denklemleri: + M A = I G +m r G (r G ) - 19.62(3) + 100(1.5) + 4(9.81)(1.5) = I G + m(r G ) 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-16 / 21 8
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam) SCD Kinetik Diyagram A n A t 4(9.81) N Rsp= 19.62 N I G m(1.5) m(1.5) 2 = 0 I G = (ml 2 )/12 ve r G = (1.5) yi kullanarak aşağıdaki gibi yazabiliriz: I G + m(r G ) 2 = [(4 3 2 )/12 + 4(1.5) 2 ] 12 Değerler yerine yazıldığında: 150 = 12 rad/s 2 Çubuğun kütle merkezinin ivmesi; a n = r G 2 = 0 m/s 2 a t = r G = 18.8 m/s 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-17 / 21 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II Verilen: W küre = 300 N = 100 N W çubuk 1 m 2 m İstenen: AB kesildiği anda, O noktasındaki mafsalda oluşan reaksiyon kuvvetleri nelerdir? Plan: Küre ve çubuğun tümü için serbest cisim ve kinetik diyagramlarını çizin ve hareket denklemlerini uygulayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-18 / 21 9
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) Çözüm: SCD 300 N 100 N Kinetik Diyagram (I G ) küre m küre (3)(0) 2 m çubuk (1.0)(0) 2 (I O G ) çubuk x = 1 m 2 m 2 m O y Hareket denklemleri: m küre (3 ) m çubuk (1.0 ) + F n = m(a G ) n O x = (300/9.81)(3)(0) 2 + (100/9.81)(1.0)(0) 2 O x = 0 N + F t = m(a G ) t -O y + 300 + 100 = (300/9.81) (3 ) + (100/9.81) (1.0 ) O y = 400 101.94 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-19 / 21 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) SCD 300 N 100 N Kinetik Diyagram (I G ) küre m küre (3)(0) 2 m çubuk (1.0)(0) 2 (I O G ) çubuk x = 1 m 2 m 2 m O y m küre (3 ) m çubuk (1.0 ) + M O = I o 300(3.0) + 100(1.0) = [ 2/5 (300/9.81) (1) 2 + (300/9.81) (3) 2 ] küre + [ (1/12) (100/9.81) (2) 2 + (100/9.81) (1) 2 ] çubuk Böylece, = 3.32 rad/s 2, O y = 61.56 N Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-20 / 21 10
m DİKKAT YOKLAMASI 1. m kütleli bir davul iki şekilde hareket ettiriliyor: (a) sabit 40 N kuvvet ve (b) 40 N luk bir blok yardımıyla. Her bir durum için ivmeyi a ve b ile gösterecek olursak aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a > b B) a < b C) a = b D) hiçbiri 2. (b) durumunda kablodaki T gerilmesi ne olur? A) T = 40 N B) T < 40 N C) T > 40 N D) hiçbiri m (a) (b) T Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 10.3-21 / 21 11