tüdergs/d mühendslk lt: 10, ayı:, 15-6 Nsan 011 Kapastes sınırlı çoklu tedarkçden oluşan k kademel br tedark zncrnn koordnasyonu Peral TOKTAŞ PALUT *, Füsun ÜLENGİN İTÜ Fen Blmler Ensttüsü, Endüstr ühendslğ Programı, 34469, Ayazağa, İstanbul Özet Bu çalışmanın amacı, rassal talebe sahp merkezkaç br tedark zncrndek envanter poltkalarını kontratlar aracılığıyla koordne etmektr. Ele alınan sstem, sınırlı üretm kapastesne sahp çoklu bağımsız tedarkç ve br üretcden oluşan k kademel merkezkaç br tedark zncrdr. Tedarkçler stok çn üretm yapmakta ve envanter yönetmnde temel stok yöntemn kullanmaktadır. Üretc se sparş çn üretm prensbne göre çalışmaktadır. Tedarkçlern kapastes sınırlı olduğu çn, gerekl varsayımlar altında her tedarkç br / /1 stok-çn-üretm kuyruk sstem olarak modellenmştr. Ayrıca, her tedarkçnn ortalama bekleyen sparş mktarı ve ortalama envanter sevyes elde edlmştr. Dğer yandan, üretcnn gelşlerarası sürelernn yaklaşık dağılımı bulunmuş ve gerekl varsayımlar altında üretc br GI / /1 kuyruk sstem olarak modellenmştr. Bunun yanı sıra, üretcnn sstemndek ortalama ş sayısı ve ortalama bekleyen sparş mktarı hesaplanmıştır. Daha sonra, kuyruk modellernden elde edlen performans ölçütler kullanılarak merkez ve merkezkaç modeller gelştrlmştr. Bu modellern eny çözümler karşılaştırıldığında, sadece en düşük temel stok sevyesne sahp tedarkçnn koordne edlmes gerektğ görülmektedr. Bu nedenle, sadece bu tedarkç ve üretc arasında kontratlar hazırlanmıştır. Bu çalışmada transfer ödemesne dayalı üç farklı kontrat üzerne çalışılmıştır. Bu kontratlar, bekleyen sparş malyetn destekleme kontratı, Pareto yleştrmeye dayalı transfer ödemes kontratı ve malyet paylaşımı kontratıdır. Her kontrat, koordnasyon yeteneğ ve Pareto yleştren olup olmaması yönünden değerlendrlmştr. onuç olarak, üç kontrat da tedark zncrn koordne etmektedr. Pareto yleştrme göz önüne alındığında se, malyet paylaşımı kontratının her k üye tarafından da terch edlmes bekleneblr. Anahtar Kelmeler: Tedark zncr koordnasyonu, çoklu tedarkç, kontrat, envanter poltkası. * Yazışmaların yapılacağı yazar: Peral TOKTAŞ PALUT. peralt@yedtepe.edu.tr; Tel: (16) 578 04 55. Bu makale, brnc yazar tarafından İTÜ Fen Blmler Ensttüsü, Endüstr ühendslğ Programında tamamlanmış olan "oordnaton n a two-stage capactated supply chan wth multple supplers" adlı doktora teznden hazırlanmıştır. akale metn 9.1.009 tarhnde dergye ulaşmış, 8.01.010 tarhnde basım kararı alınmıştır. akale le lgl tartışmalar 31.08.011 tarhne kadar dergye gönderlmeldr. Bu makaleye Toktaş Palut, P., Ülengn, F., (011) Kapastes sınırlı çoklu tedarkçden oluşan k kademel br tedark zncrnn koordnasyonu, İTÜ Dergs/D ühendslk, 10:, 15-6 şeklnde atıf yapablrsnz.
P. Toktaş Palut, F. Ülengn oordnaton n a two-stage capactated supply chan wth multple supplers Extended abstract The am of ths study s to coordnate the nventory polces n a decentralzed supply chan wth stochastc demand by means of contracts. The system consdered s a decentralzed two-stage supply chan consstng of multple ndependent supplers and a manufacturer wth lmted producton capactes. The supplers operate on a make-to-stock bass and apply base stock polcy to manage ther nventores. On the other hand, the manufacturer mples a make-to-order strategy. nce the supplers are capactated, each suppler s modeled as an / /1 make-to-stock queue under necessary assumptons. Furthermore, the average outstandng backorders and the average nventory level of each suppler are obtaned. On the other hand, to model the manufacturer as a queung system, frst an approxmate dstrbuton s derved for the nterarrval tmes of the manufacturer. The dea behnd the approxmaton s the expectaton that the suppler wth the mnmum base stock level affects the nterarrval tmes of the manufacturer the most. Then, the manufacturer s modeled as a GI / /1 queue under necessary assumptons. oreover, the average number of obs n the manufacturer s system and the average outstandng backorders at the manufacturer are obtaned. After the supply chan has been modeled as a queung system, the centralzed and decentralzed systems are taken nto account. In the centralzed system, there s a sngle decson maker who tres to optmze the overall supply chan. On the other hand, n the decentralzed system, each member tres to optmze hs own entty. The centralzed system s also consdered n ths paper snce the centralzed soluton s used as a reference pont for the coordnaton of the decentralzed system. In the centralzed model, the obectve of the sngle decson maker s to mnmze the average total backorder and holdng costs per unt tme for the overall system. The decson varables are the base stock levels of the supplers. On the other hand, n the decentralzed model, each suppler tres to mnmze hs average backorder and holdng costs per unt tme. nce the decson varables are the base stock levels of the supplers, the manufacturer s not ncluded n the decentralzed model. However, the decson of the suppler wth the mnmum base stock level also affects the manufacturer. When the optmal solutons to the centralzed and decentralzed models are compared, t s concluded that only the suppler wth the mnmum base stock level needs coordnaton. Also, t s found that a coordnatng contract has to encourage the relevant suppler to choose a smaller base stock level than hs decentralzed soluton. Therefore, the contracts are prepared accordngly between that suppler and the manufacturer. Three dfferent transfer payment contracts are studed n ths paper. These are the backorder cost subsdy contract, the transfer payment contract based on Pareto mprovement, and the cost sharng contract. In the backorder cost subsdy contract, the manufacturer covers some part of the suppler s average backorder cost per unt tme after the transfer payment. In the transfer payment contract based on Pareto mprovement, the manufacturer pays the suppler an amount that makes the manufacturer as well off after the transfer payment as before. Fnally, n the cost sharng contract, the manufacturer pays the suppler an amount such that the suppler covers some part of ther average total costs per unt tme after the transfer payment. Each contract s then evaluated accordng to ts coordnaton ablty and whether t s Pareto mprovng or not. If a contract s not Pareto mprovng even t coordnates the supply chan, then at least one of the members wll not desre to partcpate n the contract. The analyses of the contracts pont out that all three contracts have the ablty to coordnate the supply chan. However, they dffer n whether they are Pareto mprovng or not. It s found that only the backorder cost subsdy contract s not Pareto mprovng. Among the other two contracts, n the transfer payment contract based on Pareto mprovement, only the suppler s better off after the contract and the manufacturer remans the same. On the other hand, n the cost sharng contract, both the suppler and the manufacturer can be better off after the transfer payment for an approprately selected contract parameter. Therefore, the cost sharng contract seems to be the one that wll be preferred by both members. Keywords: upply chan coordnaton, multple supplers, contract, nventory polcy. 16
Çoklu tedarkçden oluşan br tedark zncrnn koordnasyonu Grş Günümüz dünyasında yoğunlaşan rekabet, tedark zncr yönetmne verlen önemn artmasına neden olmuştur. Tedark zncrnn koordnasyonu se, etkn br tedark zncr çn gerekl olan krtk faktörler arasında yer almaktadır. Br tedark zncr genellkle, tedarkçler, üretcler, depolar ve dağıtım merkezler gb çeştl üyelerden meydana gelr. Tedark zncrnde eğer sstemn tümünü enylemeye çalışan tek br karar verc varsa, bu yapı, merkez olarak adlandırılır. Dğer yandan, eğer her br üye sadece kend sstemn enylemeye çalışıyorsa, bu yapıda br tedark zncr se merkezkaç olarak ntelendrlr. erkez br sstem global enylemeye yol açarken, merkezkaç br sstem se yerel enyleme le sonuçlanır. Bu nedenle, merkezkaç br sstemde global eny çözüme ulaşmak çn, üyelern brbryle çelşen amaçlarının koordne edlmes gerekr. Tedark zncrnn koordnasyonunu sağlamanın yollarından br, üyeler arasında transfer ödemelerne dayalı kontratlar hazırlamaktır. Her br üyenn rasyonel olarak tedark zncrnn eny çözümüne göre hareket etmes, dğer br deyşle, merkezkaç çözümün merkez çözüme eşt olması, söz konusu kontratın tedark zncrn koordne ettğn gösterr. Bu çalışmanın amacı, rassal talebe sahp merkezkaç br tedark zncrndek envanter poltkalarını kontratlar aracılığıyla koordne etmektr. Ele alınan sstem, sınırlı üretm kapastesne sahp çoklu bağımsız tedarkç ve br üretcden oluşan k kademel merkezkaç br tedark zncrdr. Tedarkçler stok çn üretm yapmakta ve envanter yönetmnde temel stok yöntemn kullanmaktadır. Üretc se sparş çn üretm prensbne göre çalışmaktadır. Üretc her parçayı belrl br tedarkçden almakta ve tüm parçalar gelmeden üretm başlamamaktadır. Tedarkçler ve üretc arasındak transfer süreler hmal edleblr düzeydedr. stemde bekleyen sparşlere zn verlmektedr ve her br tedarkçnn önündek hzmet bekleyen şler kuyruğunun kapastes sınırsızdır. Nha müşter talepler rassaldır ve brer brm halnde gelmektedr. Lteratürde, kapastes sınırlı merkezkaç br tedark zncrndek envanter poltkalarının koordnasyonunu nceleyen sınırlı sayıda çalışma vardır. Bu çalışmaların hepsnde k kademel br tedark zncr ele alınmış olup her k kademede de brer üye bulunmaktadır. Ele alınan çalışmaların br başka ortak noktası se envanter yönetmnde temel stok yöntemnn kullanılmasıdır. Çalışmaların tümü stok tutan üye ya da üyelern modellenmesnde kuyruk teorsn kullanmıştır. Aynı zamanda, tüm çalışmalarda oyun teors kavramlarından da yararlanılmıştır. Tablo 1 de bu çalışmalar ve çalışmaları brbrnden ayıran temel özellkler verlmştr. Bu makaley lteratürdek dğer çalışmalardan ayıran en öneml özellk se ele alınan sstemn çoklu tedarkçden oluşmasıdır. Çalışmanın organzasyonu şu şekldedr: İlk olarak, üretcnn gelşlerarası sürelernn yaklaşık dağılımı bulunmuştur. Daha sonra se, tedark zncr br kuyruk sstem olarak modellenmş ve gerekl performans ölçütler elde edlmştr: Her br tedarkçnn ortalama bekleyen sparş mktarı ve ortalama envanter sevyes, üretcnn sstemndek ortalama ş sayısı ve ortalama bekleyen sparş mktarı. Ardından, merkez ve merkezkaç modeller kurularak bu modellern eny çözümler bulunmuştur. odellern eny çözümler karşılaştırıldıktan sonra, tedark zncrnn koordnasyonu çn üç farklı kontrat üzerne çalışılmıştır. Bu kontratlar, bekleyen sparş malyetn destekleme kontratı, Pareto yleştrmeye dayalı transfer ödemes kontratı ve malyet paylaşımı kontratıdır. Daha sonra, her kontrat koordnasyon yeteneğ ve Pareto yleştren olup olmaması yönünden değerlendrlmştr. on olarak se çalışmada elde edlen sonuçlara yer verlmştr. 17
P. Toktaş Palut, F. Ülengn Tablo 1. Lteratürdek çalışmaları brbrnden ayıran temel özellkler Kaynak Oyun teors yaklaşımı Kuyruk model Kontrat tp Dğer özellkler achon (1999) İşbrlksz / /1/ c stok-çnüretm Yok satma transfer ödemes ve elde tutma malyet paylaşımını çeren kontrat Yok satma model Her k üye de stok tutmakta ve temel stok sevyelern seçmektedr. aldentey ve Wen (003) Jemaï ve Karaesmen (004) Gupta ve Weerawat (006) İşbrlksz tackelberg İşbrlksz tackelberg / /1 stok-çnüretm (sürekl-durum yaklaşıklığı) / /1 stok-çnüretm (ayrık-durum uzayı) tackelberg Tedarkç: / /1 stok-çn-üretm Üretc: / /1 Doğrusal transfer ödemes Doğrusal transfer ödemes İk parçalı gelr paylaşımı kontratı Bekleyen sparşler model adece satıcı stok tutmakta ve temel stok sevyesn seçmektedr. Tedarkç kapaste mktarını seçmektedr. Bekleyen sparşler model Her k üye de stok tutmakta ve temel stok sevyelern seçmektedr. Bekleyen sparşler/yok satma modeller adece tedarkç stok tutmakta ve temel stok sevyesn seçmektedr. Gelr, sparş karşılama süresnn br fonksyonudur. Kuyruk model Bu çalışmada n olmak üzere n tane tedarkç ve br üretcden oluşan br tedark zncr ele alınmaktadır. Tedarkçler envanter yönetmnde temel stok yöntemn kullanmakta olup, 1,, n,. tedarkçnn temel stok sevyesn göstermektedr. Ele alınan sstemde nha müşter talepler parametres olan Posson sürecne uygun olarak gelmektedr;. tedarkçnn hzmet süres se parametres, 1,, n, olan üstel dağılıma uymaktadır. Her br tedarkçnn hzmet süreler bağımsız ve özdeş dağılmıştır. Üretc de aynı şeklde bağımsız ve özdeş dağılmış, üstel dağılıma uyan ve parametres olan hzmet sürelerne sahptr. ve se sırasıyla. tedarkç ve üretcnn trafk yoğunluğunu göstermektedr. stemn kararlılığı açısından tüm 1,, n çn 0 1 ve 0 1 olduğu varsayılmıştır. Yukarıda tanımlanan koşullar altında, her tedarkç br / /1 stok-çn-üretm kuyruk sstem olarak modelleneblr. Bunun yanı sıra, üretcnn br kuyruk sstem olarak modelleneblmes çn, öncelkle gelşlerarası sürelernn dağılımı bulunmalıdır. Üretcnn gelşlerarası sürelernn dağılımı Buzacott ve dğerler (199), sstemde tek br tedarkç olması durumunda üretcnn gelşlerarası sürelernn (A) olasılık yoğunluk fonksyonunu aşağıdak şeklde hesaplamıştır: A t 1 t e f t e e 1 1 1t 1 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 1 1 (1) Oysak tedarkçlern sayısı arttıkça, üretcnn gelşlerarası sürelernn dağılımını bulmak gttkçe zorlaşmaktadır. Bu durum, yaklaşık br dağılımın gerekllğn ortaya koymuştur. Üretc, tüm parçalar gelmeden üretme başlayamaz. Bu durumda, en düşük temel stok sevyesne sahp tedarkçnn, üretcnn gelşlerarası sürelern en çok etklemes bekleneblr. Bu beklentden hareketle ve denklem (1) den de esnlenerek, üretcnn gelşlerarası sürelernn yaklaşık olasılık yoğunluk fonksyonu t 1 1 t 1 A f t e e t e 1 olarak verlmştr. 1 () Denklem () de. tedarkç, tüm tedarkçler arasında en düşük temel stok sevyesne sahp tedarkçy fade etmektedr: arg mn. 1,, n 18
Çoklu tedarkçden oluşan br tedark zncrnn koordnasyonu Eğer brden fazla tedarkç en düşük temel stok sevyesne sahpse, bu durumda çlernden trafk yoğunluğu en yüksek olan tedarkç. tedarkç olarak tanımlanır. Denklem () ye göre, üretcnn gelşlerarası sürelernn yaklaşık değşkenlk katsayısının kares aşağıdak şeklde bulunur. Değşkenlk katsayısının kares, varyansın beklenen değern karesne bölümünden elde edlr: sstem olarak modellenmştr. Bunun yanı sıra, elde edlmek stenen performans ölçütler, her tedarkçnn ortalama bekleyen sparş mktarı ve ortalama envanter sevyesdr. B,. tedarkçnn bekleyen sparş mktarını; I se. tedarkçnn envanter sevyesn göstersn, 1,, n. Buna göre,. tedarkçnn ortalama bekleyen sparş mktarı 1. 1 1 1 A (3) 1 EB, 1,, n, 1 (4) Denklem () de verlen yaklaşık dağılımın kesnlğn test etmek çn, k, üç ve dört tedarkçnn bulunduğu benzetm modeller gelştrlmştr. üşter taleplernn parametres üç modelde de 1 e eşt alınmıştır. Tedarkçlern ve üretcnn trafk yoğunlukları çn 0.50, 0.67 ve 0.80; tedarkçlern temel stok sevyeler çn se 3, 5 ve 7 olmak üzere üçer farklı değer seçlmştr. Ardından, ntab 15 kullanılarak her br 7 koşumdan oluşan Taguch tasarımları oluşturulmuştur. Benzetm modeller Arena 9.0 kullanılarak gelştrlmştr. Her br koşumun yneleme uzunluğu 10000 zaman brm ve yneleme sayısı se 10 olarak alınmıştır. Benzetm sonuçları, 0.01 anlamlılık sevyesnde, 81 vakadan 79 tanesnde yaklaşık dağılımın verye uyduğunu göstermektedr. Buna bağlı olarak, yaklaşık dağılımın hata oranı %.47 dr. Aynı zamanda, hataların üç model arasındak dağılımının da dengel olduğu görülmüştür. Hata oranının kabul edleblr sevyede olması, üretcnn gelşlerarası sürelernn dağılımının, denklem () de verldğ şeklde alınableceğn göstermektedr. odel ve performans ölçütler Daha önce de belrtldğ gb, ele alınan sstemde nha müşter talepler Posson sürecne uygun olarak gelmekte ve tedarkçlern hzmet süreler bağımsız ve özdeş dağılmış olup üstel dağılıma uymaktadır. Bu koşullar altında, her tedarkç br / /1 stok-çn-üretm kuyruk ortalama envanter sevyes se 1 EI, 1,, n 1 (5) olarak hesaplanır (Buzacott ve hanthkumar, 1993). Dğer yandan, üretcye olan gelşlern br yenleme sürec oluşturduğu varsayımıyla üretc br GI / /1 kuyruk sstem olarak modellenmştr. Gelşlerarası sürelern dağılımı se denklem () dek gb alınmıştır. Bunun yanı sıra, lglenlen performans ölçütler, üretcnn sstemndek ortalama ş sayısı ve ortalama bekleyen sparş mktarıdır. hanthkumar ve Buzacott (1980), br GI / G /1 kuyruk sstemndek ortalama ş sayısı çn lteratürde yer alan yaklaşıklıkları ncelemştr. Bu yaklaşıklıklar sadece gelşlerarası ve hzmet sürelernn değşkenlk katsayılarının karelerne (sırasıyla ve A ) htyaç duymaktadır. Ya- zarlar, çeştl A ve değerler çn farklı yaklaşıklıklar önermştr. Bunlar, Krämer ve Langenbach-Belz (1976), archal (1976) ve küçük br değşklk yaptıkları Page (197) n yaklaşıklıklarıdır. Bunların yanı sıra, Buzacott ve hanthkumar (1993) ın çalışmasında yer alan k yaklaşıklık daha ele alınmıştır. öz konusu beş yaklaşıklık arasından üretcnn sstemndek ortalama ş sayısına en uygun olanı belrlemek çn daha önce gelştrlen benzetm modellernden yararlanılmıştır. Daha sonra, 19
P. Toktaş Palut, F. Ülengn yaklaşıklıklardan elde edlen değerler le benzetm sonuçları karşılaştırılmıştır. onuçlar, her üç modelde de archal (1976) ın yaklaşık formülünün en düşük hata oranına sahp olduğunu göstermektedr. İk, üç ve dört tedarkçl modeller çn ortalama hata oranları sırasıyla %.74, %3.8 ve %4.09 olarak bulunmuştur. Tedarkç sayısı arttıkça ortalama hata oranlarında br artış olmakla beraber, bu artış kabul edleblr sevyededr. Bu nedenle, N üretcnn sstemndek ş sayısını göstermek üzere, denklem (6) da verlen archal (1976) ın yaklaşık formülü üretcnn sstemndek ortalama ş sayısının bulunmasında kullanılmıştır: E N 1 A. (6) 1 1 Üretcnn hzmet süreler üstel dağılıma uyduğu çn 1 e eşttr. A se denklem (3) e göre hesaplanır. Bu değerler denklem (6) da yerne konulduğunda üretcnn sstemndek ortalama ş sayısı şu şeklde bulunur: E N arg mn. 1,, n 1 1 1 1 1 11, (7) Üretc çn elde edlmek stenen br dğer performans ölçütü se üretcnn sstemnde bekleyen ortalama sparş mktarıdır. Üretc stok tutmadığından dolayı, sstemndek ortalama bekleyen sparş mktarı, kuyruğundak ortalama ş sayısına eşttr. N q, üretcnn kuyruğundak ş sayısını; B se, üretcnn bekleyen sparş mktarını göstermek üzere, üretcnn ortalama bekleyen sparş mktarı Lttle ın formülünü kullanarak aşağıdak şeklde hesaplanır: E N q EB 1 arg mn. 1,, n 1 1 1 1 1 1, (8) erkez ve merkezkaç modeller erkez sstemde sstemn tümünü enylemeye çalışan tek br karar verc varken, merkezkaç sstemde se tedark zncrnn her br üyes sadece kend sstemn enylemeye çalışır. Bu bölümde merkez ve merkezkaç modeller gelştrlmş ve modellern eny çözümler bulunmuştur. Bu makalede merkez sstemn de ele alınmasının neden, merkez çözümün merkezkaç sstemn koordnasyonu çn br referans noktası olarak alınmasıdır. erkez model erkez modelde karar vercnn amacı, sstemn tümü çn brm zamandak ortalama toplam bekleyen sparş ve elde tutma malyetlern enküçüklemektr. odeldek karar değşkenler se tedarkçlern temel stok sevyelerdr. Tüm 1,, n çn, b,. tedarkçnn brm zamandak brm bekleyen sparş malyetn; b üretcnn brm zamandak brm bekleyen, sparş malyetn; h se,. tedarkçnn brm zamandak brm elde tutma malyetn göstersn. Bu makalede, tüm 1,, n çn b 0, h 0 ve b 0 olduğu varsayılmıştır. Ayrıca, tüm 1,, n çn,,. tedarkçnn brm zamandak ortalama malyetn; se üretcnn brm zamandak ortalama malyetn göstersn. Bu durumda, ve sırasıyla şu şeklde hesaplanır:, 1,, b E B h E I n (9) ve b EB. (10) Denklem (10) dan da görüleceğ gb, üretc stok tutmadığı çn, üretcnn ortalama malyet sadece ortalama bekleyen sparş malyetne eşttr. Denklem (4) ve (5), denklem (9) da yerne konulduğunda,, ' nn br fonksyonu olarak şu şeklde yazılablr: 0
Çoklu tedarkçden oluşan br tedark zncrnn koordnasyonu 1 1, b h 1 1 1,, n. (11) Aynı şeklde, denklem (8), denklem (10) da yerne konulduğunda se,, ' nn br fonksyonu olarak aşağıdak şeklde yazılır: b 1 arg mn. 1,, n 1 1 1 1 1 1, (1) T, sstemn tümü çn brm zamandak ortalama toplam bekleyen sparş ve elde tutma malyetlern göstermek üzere, denklem (11) ve (1) kullanılarak oluşturulan merkez model aşağıda verlmştr: enküçükle n 1,, (13) T n 1 öyle k 0, 1,, n, arg mn. 1,, n Denklem (13) te verlen model, sstemn tümü çn brm zamandak yaklaşık ortalama toplam malyetler enküçükleme üzerne kurulduğu çn, merkez modeln eny çözümü, aslında merkez sstem çn yaklaşık eny çözümdür. Fakat, makalenn ger kalan kısmında sadelk açısından merkez çözüm olarak adlandırılacaktır. Denklem (13) te verlen merkez modeln global eny çözümü aşağıda verlmştr: ln b h h 1 B ln 1 1,, (14) ln h1 ln b h ln, 1,,,. (15) n ln Denklem (14) ve (15) de, B b 1 1, arg mn,,,,, J ancak J T 1 n ve ancak tüm 1,, n çn mn. 1,, n erkez modeln eny çözümünü bulurken, achon (1999) ve Gupta ve Weerawat (006) le benzer şeklde, tedarkçlern eny temel stok sevyelernn sıfıra eşt olmadığı varsayılmıştır. Buna göre, ln h b h 1 ve b 1 ln 0 1 1 1 ln h b h 0, 1,, n, 1 varsayımları makale boyunca kullanılmıştır. (16) (17) erkez modeln eny çözümünü bulmak çn öncelkle arg mn koşulu göz ardı edlr, n' e eşt alınarak model n de- ve, sırasıyla 1, fa çözülür. 1,, n Her br çn ayrı br model çözüldüğünde, sırasıyla denklem (14) ve (15) den bulunan ve değerler, Karush-Kuhn-Tucker (KKT) koşullarını sağlamakta olup söz konusu modeln eny çözümünü vermektedr. Bunun yanı sıra, merkez modeln amaç fonksyonu olan,, 1, n T n belrl br çn üzernde kesn dışbükey br fonksyondur. Bu 1
P. Toktaş Palut, F. Ülengn nedenle, her br modeln eny çözümü, aynı zamanda o modeln tek global eny çözümüdür. Oysa modeller çözerken arg mn koşulu 1,, n göz ardı edldğ çn, elde edlen çözümlerden bazıları merkez model çn olurlu olmayablr. Ancak, çözümlerden en az brnn olurluluğunu spatlamak zor değldr. Her br 1,, n çn ayrı çözümler bulunduktan sonra, merkez modeln eny çözümünü bulmak çn arg mn koşulu göz önüne alınır. onuç olarak, 1,, n 1,, n mn şartını sağlayan çözümler arasından, denklem (13) tek amaç fonksyonunu enküçükleyen çözüm, merkez modeln global eny çözümüdür. Denklem (14) ve (15) de verlen eny çözüm temel stok sevyelernn tamsayı olma şartını sağlamasa da, bu çözüm kullanılarak eny tamsayı çözüm bulunablr. Bunun çn,, sırasıyla 1,, n' e eşt alınarak model n defa çözülür. Daha sonra her modelde,, ve ' ye; tüm çn se,, ve ' ye yuvarlanır ve nt mn nt olan tüm olurlu 1,, n kombnasyonlar çn amaç fonksyonunun değer hesaplanır. Burada, x, x den küçük ya da eşt olan en büyük tamsayıyı; x, x den büyük ya da eşt olan en küçük tamsayıyı; nt x se, x n yuvarlanmış tamsayı değern göstermektedr. Eğer bazı çn nt nt se, br kombnasyonun olurlu olması çn olmalıdır. on olarak, tüm olurlu kombnasyonlar arasından, denklem (13) tek amaç fonksyonunu enküçükleyen çözüm, merkez modeln eny tamsayı çözümünü verr. erkezkaç model erkezkaç modelde tedark zncrnn her br üyesnn amacı, kend sstem çn brm zamandak ortalama malyet enküçüklemektr. Bu nedenle 1,, n olmak üzere,. tedarkç, denklem (11) de verlen brm zamandak ortalama bekleyen sparş ve elde tutma malyetlern enküçüklemeye çalışır. Karar değşkenler tedarkçlern temel stok sevyeler olduğu çn,. tedarkçye at merkezkaç model şu şekldedr: enküçükle 1 1 1 1 b h öyle k 0, 1,, n. (18) Olaya üretcnn tarafından bakacak olursak, üretc stok tutmadığı çn, denklem (1) de verlen brm zamandak ortalama bekleyen sparş malyetn enküçüklemeye çalışır. Ancak, karar değşkenler tedarkçlern temel stok sevyeler olduğu çn, üretc merkezkaç modele dahl edlmemştr. Bununla brlkte, denklem (1) den de görüleceğ gb,. tedarkçnn kararı üretcy de etklemektedr. Denklem (1) den, değernn 0 çn enküçüklendğ görülür. Bu durum şu şeklde açıklanablr: sıfıra yaklaştıkça,. parçanın üretcye ulaşması ortalama daha fazla zaman alır. Bu nedenle, üretcnn kuyruğundak ortalama ş sayısı, dğer br deyşle, üretcnn kend sstemnden kaynaklanan ortalama bekleyen sparş mktarı azalır. Bu da, üretcnn brm zamandak ortalama bekleyen sparş malyetnn azalmasına neden olur. Denklem (18) de. tedarkç çn verlen merkezkaç modeln tek global eny çözümü aşağıda verlmştr: h1 ln b h ln, 1,,. (19) n ln Denklem (19) dak çözüm, denklem (18) de verlen merkezkaç modele at KKT koşullarını sağlamaktadır. Aynı zamanda, merkezkaç modeln amaç fonksyonu üzernde kesn dışbükey br fonksyondur. Bu nedenle, denklem (19) da verlen çözüm merkezkaç modeln tek
Çoklu tedarkçden oluşan br tedark zncrnn koordnasyonu global eny çözümüdür. akalenn ger kalan kısmında se kısaca merkezkaç çözüm olarak adlandırılacaktır. erkez modelde olduğu gb, denklem (19) da verlen eny çözümü kullanarak. tedarkçye at merkezkaç modeln eny tamsayı çözümü şu şeklde bulunablr: Tüm 1,, n çn, ' nn eny tamsayı değer, ve arasından denklem (18) de verlen amaç fonksyonunu enküçükleyendr. erkezkaç sstemn koordnasyonu Br tedark zncrnn koordnel çalışması çn her br üyenn rasyonel olarak tedark zncrnn eny çözümüne göre hareket etmes, dğer br deyşle, merkezkaç çözümün merkez çözüme eşt olması gerekr. Denklem (14) ve (15) de verlen merkez çözüm le denklem (19) da verlen merkezkaç çözüm karşılaştırıldığında, olduğu, tüm çn se olduğu görülmüştür. Burada, olup öncek bölümde tanımlanmıştır. Dolayısıyla,. tedarkç ve üretc arasında br koordnasyon mekanzmasının araştırılması gerekmektedr.. tedarkçnn merkez ve merkezkaç çözümler kıyaslandığında, olduğu görülür. Bu nedenle, koordnasyonu sağlayan br kontratın. tedarkçnn temel stok sevyesn azaltması gerekmektedr. ' nn azalması,. tedarkçnn brm zamandak ortalama elde tutma malyetn düşürürken, ortalama bekleyen sparş malyetn se arttırır. Bu nedenle üretcnn,. tedarkçy daha düşük br temel stok sevyes seçmeye teşvk edecek br kontrat hazırlaması gerekmektedr. Denklem (11) den de görüleceğ gb, her br tedarkçnn brm zamandak ortalama malyet sadece kend temel stok sevyesne bağlıdır. Bu nedenle,. tedarkçnn brm zamandak ortalama malyet fonksyonundak değşklk, dğer tedarkçlern eny stratelern etklemez. Do- layısıyla, çn olma durumu kontrattan sonra da aynı kalır. Bu bölümde, tedark zncrnn koordnasyonu çn transfer ödemesne dayalı üç farklı kontrat üzerne çalışılmıştır. Bu kontratlar, bekleyen sparş malyetn destekleme kontratı, Pareto yleştrmeye dayalı transfer ödemes kontratı ve malyet paylaşımı kontratıdır. Br kontrat koordne etme yeteneğnn yanı sıra, aynı zamanda Pareto yleştren de olmalıdır. Dğer br deyşle, transfer ödemesnden sonra üyelerden en az brnn durumu daha y hale gelmel; aynı zamanda dğer hç br üyenn durumunda kötüleşme olmamalıdır. Bu makalede ele alınan kontratlar bu açıdan da değerlendrlmştr. Transfer ödemelernden sonra üretcnn (aynı zamanda malyet paylaşımı kontratında. tedarkçnn) brm zamandak ortalama malyet fonksyonları denklem (1) de verlen ' ye bağlı olup yaklaşık fonksyonlardır. Ayrıca, denklem (13) te verlen merkez model de ' ye dayalı olarak kurulmuştur. Bu nedenle kontratlar,. tedarkçnn brm zamandak ortalama malyet fonksyonları ve üretcnn (aynı zamanda malyet paylaşımı kontratında. tedarkçnn) brm zamandak yaklaşık ortalama malyet fonksyonlarına dayanmaktadır. Kontratların ayrıca Pareto yleştren olup olmadıkları da bu malyet fonksyonlarına göre değerlendrlmştr. Bekleyen sparş malyetn destekleme kontratı Daha önce de belrtldğ gb, koordnasyonu sağlayan br kontratın. tedarkçy daha düşük br temel stok sevyes seçmeye teşvk etmes gerekmektedr. Bu nedenle, üretcnn. tedarkçye at bekleyen sparş malyetlernn br kısmını karşıladığı br kontratın, tedark zncrn koordne etmes bekleneblr. Bekleyen sparş malyetn destekleme kontratında, 0 1 olmak üzere, üretc. tedark- B 3
P. Toktaş Palut, F. Ülengn çye, brm zamanda. tedarkçde bekleyen sparş başına Bb kadar br ödeme yapar. Dolayısıyla transfer ödemesnden sonra, sırasıyla denklem (11) ve (1) de verlen. tedarkçnn brm zamandak ortalama malyet fonksyonu ve üretcnn brm zamandak yaklaşık ortalama malyet fonksyonu aşağıdak şeklde değşr: 1 B, Bb 1 1 B Bb. 1 (0) (1) Bekleyen sparş malyetn destekleme kontratı, b B 1 1 1 b 1 çn tedark zncrn koordne etmektedr. () öz konusu kontratta, transfer ödemesnden önce. tedarkçnn brm zamandak ortalama malyet ; transfer ödemesnden sonra se B olarak hesaplanır. Bu malyetler kıyaslandığında, kontrattan sonra. tedarkçnn brm zamandak ortalama malyetnn azaldığı sonucu B çıkmaktadır:. Benzer şeklde, transfer ödemesnden önce üretcnn brm zamandak yaklaşık ortalama malyet ; transfer ödemesnden sonra se B olarak hesaplanır. Bu malyetler karşılaştırıldığında, kontrattan sonra üretcnn brm zamandak yaklaşık ortalama malyetnn arttığı görülmektedr: B. onuç olarak, transfer ödemesnden sonra. tedarkçnn brm zamandak ortalama malyet azalırken, üretcnn yaklaşık ortalama malyet se artmaktadır. Bu nedenle, söz konusu kontrat Pareto yleştren değldr. Pareto yleştrmeye dayalı transfer ödemes kontratı Pareto yleştrmeye dayalı transfer ödemes kontratında, üretc. tedarkçye, üretcnn durumu transfer ödemesnden sonra da aynı kalacak şeklde br ödeme yapar. Bu koşulu sağlayan transfer ödemes aşağıda verlmştr: 1 P T b 1 1 1 1 h1 b h ln. (3) Denklem (3) tek transfer ödemesnden sonra, sırasıyla denklem (11) ve (1) de verlen. tedarkçnn brm zamandak ortalama malyet fonksyonu ve üretcnn brm zamandak yaklaşık ortalama malyet fonksyonu aşağıdak şeklde değşr: P, T (4) P P. T (5) P Denklem (4) ün tek global eny çözümünün olması, Pareto yleştrmeye dayalı transfer ödemes kontratının tedark zncrn koordne ettğn göstermektedr. öz konusu kontrat Pareto yleştren olup olmaması açısından değerlendrldğnde se, transfer ödemesnden sonra. tedarkçnn brm zamandak ortalama malyetnn azaldığı görülmektedr:. Öte yandan, P üretcnn transfer ödemesnden önce ve sonra brm zamandak yaklaşık ortalama malyetler aynı kalmaktadır: P. onuç olarak, söz konusu kontrat Pareto yleştrendr. alyet paylaşımı kontratı alyet paylaşımı kontratında, aldentey ve Wen (003) ın çalışmasına benzer şeklde, üretc. tedarkçye,. tedarkç transfer ödemesnden sonra ksnn yaklaşık ortalama toplam malyetlernn kadarını karşılayacak şeklde br ödeme yapar: 4
Çoklu tedarkçden oluşan br tedark zncrnn koordnasyonu. (6) Dolayısıyla, transfer ödemesnden sonra üretcnn brm zamandak yaklaşık ortalama malyet fonksyonu şu şekldedr: 1. (7) Denklem (6) ve (7) de, 0 1 ve (8) olup ve (11) ve (1) de verlmştr. sırasıyla denklem Denklem (6) ve (7) y sağlayan transfer ödemes se aşağıda gösterlmştr: T 1. (9) Buna göre, denklem (6) nın tek global eny çözümü olarak bulunur. Dolayısıyla, malyet paylaşımı kontratı tedark zncrn koordne etmektedr. öz konusu kontrat Pareto yleştren olup olmaması açısından değerlendrldğnde se, malyet paylaşımı kontratının 1, 0,1 (30) çn Pareto yleştren olduğu bulunmuştur. Ayrıca, denklem (30) u sağlayan br değer de her zaman mevcuttur. Kontratların karşılaştırılması Bu çalışmada merkezkaç sstem koordne etmek çn transfer ödemesne dayalı üç farklı kontrat üzerne çalışılmıştır. Bu kontratlar, bekleyen sparş malyetn destekleme kontratı, Pareto yleştrmeye dayalı transfer ödemes kontratı ve malyet paylaşımı kontratıdır. Bu kontratların üçü de tedark zncrnn koordnasyonunu sağlamaktadır. Br kontrat koordne etme yeteneğnn yanı sıra, aynı zamanda Pareto yleştren de olmalıdır. Aks halde, üyelerden en az br kontrata stekl olmayacaktır. Ele alınan kontratlar bu açıdan değerlendrldğnde, bekleyen sparş malyetn destekleme kontratının bu koşulu sağlamadığı görülmektedr. Dğer k kontrat se Pareto yleştrendr. Pareto yleştrmeye dayalı transfer ödemes kontratında, tedarkç transfer ödemesnden sonra daha y br duruma gelrken üretcnn durumu se aynı kalmaktadır. alyet paylaşımı kontratında se uygun br kontrat parametres le her k üyenn durumu da transfer ödemesnden sonra yleşmektedr. Dolayısıyla, malyet paylaşımı kontratının seçlmes her k üyeye de avanta sağlayacaktır. onuçlar Bu çalışmada sınırlı üretm kapastesne sahp çoklu bağımsız tedarkç ve br üretcden oluşan k kademel merkezkaç br tedark zncr ele alınmıştır. Tedarkçlern kapastes sınırlı olduğu çn, gerekl varsayımlar altında her tedarkç br / /1 stok-çn-üretm kuyruk sstem olarak modellenmştr. Ayrıca, her tedarkçnn ortalama bekleyen sparş mktarı ve ortalama envanter sevyes elde edlmştr. Dğer yandan, öncelkle üretcnn gelşlerarası sürelernn yaklaşık dağılımı bulunmuş ve gerekl varsayımlar altında üretc br GI / /1 kuyruk sstem olarak modellenmştr. Bunun yanı sıra, üretcnn sstemndek ortalama ş sayısı ve ortalama bekleyen sparş mktarı hesaplanmıştır. Tedark zncrnn br kuyruk sstem olarak modellenmesnden sonra, merkez ve merkezkaç modeller gelştrlmş ve bu modellern eny çözümler elde edlmştr. Bu makalede merkez sstemn de ele alınmasının neden, merkez çözümün merkezkaç sstemn koordnasyonu çn br referans noktası oluşturmasıdır. erkez ve merkezkaç modellern eny çözümler karşılaştırıldığında, sadece en düşük temel 5
P. Toktaş Palut, F. Ülengn stok sevyesne sahp tedarkçnn koordne edlmes gerektğ sonucuna varılmıştır. Bu nedenle, sadece bu tedarkç ve üretc arasında kontratlar hazırlanmıştır. Bu çalışmada transfer ödemesne dayalı üç farklı kontrat üzerne çalışılmıştır. Bu kontratlar, bekleyen sparş malyetn destekleme kontratı, Pareto yleştrmeye dayalı transfer ödemes kontratı ve malyet paylaşımı kontratıdır. Her kontrat, koordnasyon yeteneğ ve Pareto yleştren olup olmaması yönünden değerlendrlmştr. onuç olarak, üç kontratın da tedark zncrnn koordnasyonunu sağladığı bulunmuştur. Pareto yleştrme göz önüne alındığında se, her k üyenn de malyet paylaşımı kontratını terch etmes bekleneblr. Kaynaklar Buzacott, J.A., Prce,.. ve hanthkumar, J.G., (199). ervce Level n ultstage RP and Base tock ontrolled Producton ystems, n New Drectons for Operatons Research n anufacturng, G. Fandel, T. Gulledge, and A. Jones, eds., prnger, Berln, 445-463. Buzacott, J.A. ve hanthkumar, J.G., (1993). tochastc odels of anufacturng ystems, Prentce-Hall, New Jersey. achon, G.P., (1999). ompettve and ooperatve Inventory anagement n a Two-Echelon upply han wth Lost ales, Unversty of Pennsylvana Workng Paper, Phladelpha. aldentey, R. ve Wen, L.., (003). Analyss of a Decentralzed Producton-Inventory ystem, anufacturng & ervce Operatons anagement, 5,1, 1-17. Gupta, D. ve Weerawat, W., (006). uppler- anufacturer oordnaton n apactated Two- tage upply hans, European Journal of Operatonal Research, 175, 1, 67-89. Jemaï, Z. ve Karaesmen, F., (004). Decentralzed Inventory ontrol n a Two-tage apactated upply han, Koç Unversty Techncal Report, İstanbul. Krämer, W. ve Langenbach-Belz,., (1976). Approxmate Formulae for the Delay n the Queueng ystem GI / G /1, ongressbook, Eghth Internatonal Teletraffc ongress, elbourne, 35.1-35.8. archal, W.G., (1976). An Approxmate Formula for Watng Tme n ngle erver Queues, AIIE Transactons, 8, 4, 473-474. Page, E., (197). Queueng Theory n OR, Operatonal Research eres, rane Russak, New York. hanthkumar, J.G. ve Buzacott, J.A., (1980). On the Approxmatons to the ngle erver Queue, Internatonal Journal of Producton Research, 18, 6, 761-773. 6