PORTFÖY OPTİMİZASYONU. Doç.Dr.Aydın ULUCAN

Transkript

1 PORTFÖY OPTİMİZASYOU Doç.Dr.Aydın ULUCA

2 KARAR VERME Karar verme, ş dünyasının çalışmasını sağlayan temel unsurlardandır. Tüm yönetcler, bulundukları faalyet alanı ve kademelernden bağımsız olarak stratejk düzeyden operasyonel düzeye kadar çeştlenen genş br yelpazede kısa, orta, uzun döneml kararlar verrler.

3 KARAR SÜRECİ ÖZELLİKLERİ Günümüzde herhang br değer olan kararlar vereblmek çn büyük ölçekl verler çeren problemlerle uğraşmak zorundayız. Artan etkleşm düzey, artık ş dünyası kararlarını büyük ölçekl platformlara taşımıştır. Karar verme sürecnde gözönünde bulunduracağımız alternatf sayısı, karmaşık ve çeştlenmş br yapıdak günümüz ş dünyasında çok artmıştır. Karar verc çok sayıda alternatf eşanlı olarak gözönünde bulundurmak zorundadır. Sürekl olarak değşmn yaşandığı ş dünyasında, gelecekle lgl belrszlk çok artmıştır. Karar verc gelecekte karşılaşableceğ farklı durumlar çn farklı karar senaryoları üretmek zorundadır.

4 BAŞARII YOLU: A A L İ Z HABER AALİZİ OLMASI GEREKE FİYAT TÜYO HABER ETKİSİ AALİZ TİPLERİ EA SEKTÖR A FİRMA A. TEMEL AALİZ DEGE FİYATI OLACAK FİYAT RİSK AALİZİ BETA AL-SAT MOD.PORTFÖY TEORİSİ GEÇMİŞ FİYAT VE İŞLEM MİKTARI TEKİK AALİZ

5 MODER PORTFÖY TEORİSİ Markowtz model, hedeflenen beklenen getr düzeyn karşılayacak mnmum varyanslı (mnmum rskl) portföyü bulmaya çalışır. Varsayımları,. Yatırımların getrler yatırımların çıktısı olarak fade edleblr.. Yatırımcının rsk tahmn, varlıkların ya da portföyün getrlernn varyansı le orantılıdır.. Yatırımcılar kararlarını verrken sadece beklenen getr ve getrnn varyansını model parametreler olarak kullanmaya razıdırlar. v. Yatırımcı rskten kaçma eğlm göstermektedr. Herhang br beklenen getr düzeynde, ulaşableceğ mnmum rsk, herhang br rsk düzeynde de ulaşbleceğ maksmum getry seçecektr.

6 Markowtz Model Mn. s.t. 0 μ j R, j σ j,.., mevcut varlık sayısı, μ varlığının beklenen getrs (,..,), σ j ve j varlıkları arasındak kovaryans değer (,..,), (j,..,), j çn varlığının varyans değer, R hedeflenen beklenen getr düzey, varlığının portföy çndek oranı, (karar değşken) (,..,),

7

8 Başarılı OR/MS Uygulamaları (Fnans Sektörü) GMO Yatırım Şrketnde Karışık Tamsayı Programlama le Portföy Oluşturma GMO yatırım şrket hedefledğ lkdte, devr hızı ve beklenen getr düzeylerne sahp yatırım portföyler oluşturmak çn karışık tamsayı programlama teknğn kullanan br karar destek sstem gelştrmştr. Model aynı zamanda bu hedeflere en az sayıda şlem ve hsse sened le ulaşmayı da sağlamakdır. Öte yandan bu model kullanarak alt portföyler olan ana portföy oluşturan şrket, 8 mlyar dolarlık br varlığı yönetmektedr. Yen sstemn faydaları olarak; müşterler kaybedlmeden yen büyüme fırsatları yaratılması, portföydek hsse sayıları %40-60 azaltılması, alım-satım emrlernn %75-85 azalarak 4 mlyon dolar gerlemes sayılablr. (ITERFACES 29: Ocak-Şubat 999)

9 Başarılı OR/MS Uygulamaları (Fnans Sektörü) Leasng Portföyü Planlama Model Yapılan br leasng şlemnn güvenlr ve verg avantajı yaratacak yapıda olmasını sağlamak çn dkkatl br katr maksmzasyonu planlaması yapılmalıdır. ew England Merchants Leasng Corporaton, bu amaçla OR teknklern kullanan blgsayar destekl br portföy yönetm model gelştrmştr. Model başarıyla yönetsel karar sürecne entegre edlmş ve 200 mlyon doların üzernde br portföyün uzun döneml planlamasında başarıyla kullanılmaktadır.

10 Başarılı OR/MS Uygulamaları (Fnans Sektörü) Towers Perrn-Tllnghast da Aktf- Pasf Yönetm Emekllk planlarının oluşturulması ve yönetlmesnde doğrusal olmayan programlamayla aktf-pasf yönetm model gelştren ve kullanan TFT şrket $450 mlyon dolarlık br hacm artışı sağlamıştır.

11 Karar Modellernn Temel Bleşenler Karar Değşkenler: Amaca ulaşmak çn kontrol edlen faktörler. Amaç Fonksyonu: Ulaşılmak stenen hedefn karar değşkenlernn fonksyonu olarak matematksel fades. Kısıtlar: Karar değşkenlernn alableceğ değerler üzerndek sınırlama ya da gereksnmler. Kısıtlar da amaç fonksyonu gb karar değşkenlernn çerldğ matematksel fonksyonlar olarak fade edlr. Parametreler: Model etkleyen ancak karar vercnn kontrol edemedğ faktörler. Varsayımlar: Model oluşturulurken doğru oldukları kabul edlen olgular.

12 Modellemede hesap tablolarını kullanmak karar vercye öneml avantajlar sağlamaktadır Model oluşturan parametrelerdek olası değşmelere karşı modeln nasıl davrandığı anında gözleneblr. Bu da karar vercye farklı durumlar çn senaryo analzler (what-f analyss) sağlar. Büyük ölçekl modeller, hesap tabloları altında çalışan model çözücülerle hızlı ve etkn şeklde çözüleblmektedr. Bell br mantık zncr dahlnde hesap tablosu üzernde oluşturulan matematksel modeller, problemn daha y anlaşılıp yorumlanması, üst yönetme daha anlaşılablr şeklde gösterlmesne olanak sağlamaktadır. Oluşturulan modeller, karar vercnn gelecekte karşılaşableceğ potansyel karar süreçlernde de modfye edlerek kullanılablr. Tüm örgütte problem çözme sürecne standart br yaklaşım sağlayarak, kşsel önyargıları ortadan kaldırır. Etkl raporlama özellkleryle, profesyonel raporlar ve ntranet sunumları oluşturmak oldukça sıradan br şlem halne dönüşmüştür.

13 Doğrusal Programlama Doğrusal Programlama yaklaşımı, doğrusal br yapıdak kısıtları hlal etmeden, doğrusal formdak amaç fonksyonunu en ylemey (maksmze yada mnmze etmey) sağlayan, bu enyleme sonucunda karar değşkenlernn aldıkları değerler bulan br yaklaşımdır. Her doğrusal programlama modelnn üç temel bleşen vardır: karar değşkenler, amaç fonksyonu ve kısıtlar. Doğrusal programlama, kısıtlı br optmzasyon yaklaşımı olmasından dolayı, kıt kaynakların lglenlen amacı optmze edecek şeklde dağıtılması olarak da tanımlanablr.

14 Doğrusal Programlama Maks kısıtlar < < < 500 > 300, 2, 3 > 0

15 Örnek SüperPlast şrket blgsayarlar çn 3 farklı modelde blgsayar kasası üretmektedr; Standart, Performa ve Ultra. Her br kasanın üretm çn k ayrı maknada şlem gerekmekte ve her br makna haftada 6000 dakka çalışablmektedr. Blgsayar kasalarının üretm çn maknalarda harcanan süre (dakka) aşağıdak tabloda verlmştr. Makna Ürün Modeller Standart Performa Ultra

16 Depolama alanı kısıtı nedenyle haftada 500 den fazla blgsayar kasası üretlememektedr. Şrket yaptığı br anlaşma nedenyle her hafta en az 300 adet Standart kasa üretmek zorundadır. SüperPlast ürettğ tüm blgsayar kasalarını satablmekte herbr kasadan aşağıdak mktarda kar (mlyon TL.) elde etmektedr. Ürün Modeller Standart Performa Ultra Kar 2 9 6

17 SüperPlast şu anda Standart dan haftada 750 tane üretmekte, Perfoma ve Ultra dan se üretmemektedr. Şrket yönetm şu ank üretm poltkalarının yleştrlme olasılığını araştırmaktadır. SüperPlast haftalık karını maksmze etmek çn herbr üründen kaçar adet üretmeldr?

18 Çözüm Bu örnekte şrket yönetm Optmal Üretm Planını elde etmek stemektedr. Optmal Üretm Planını elde etmek çn yönetmn vermes gereken karar, hang üründen kaçar adet üretlmes gerektğdr. Bu kararı vermek çn lk olarak, karar değşkenler şu şeklde tanımlanmalıdır: : Standart modelden her hafta üretlecek mktar. 2: Performa modelnden her hafta üretlecek mktar. 3: Ultra modelnden her hafta üretlecek mktar.

19 Amaç Fonksyonu İknc aşamada, Optmal Üretm Planını elde etmek çn hang performans krternn baz alınacağı belrlenmel ve bu krter doğrultusunda amaç fonksyonu oluşturulmalıdır. Ma Amaç fonksyonunda yukarıdak örnekte de olduğu gb kar maksmze edleblr. Ancak, malyet, süre ya da şgücü gb kavramlar çn se mnmzasyon şeklnde amaç fonksyonları da oluşturulablr.

20 Kısıtlar Üçüncü aşamada se amaca ulaşmada engel teşkl edeblecek kısıtlar, matematksel eşt(sz)lkler olarak fade edlmeldr. Makna n haftalık kapastes br kısıttır ve matematksel olarak şu şeklde fade edlr: < 6000 Bu fadenn, değşkenlern alacağı değere bağlı olan sol tarafı (SolT), kısıt fonksyonu olarak adlandırılır. < sembolü kısıtı br eştszlk kısıtı yapar. Makna kapastesn gösteren 6000 sabt se sağ taraf (SağT) olarak adlandırılır. Doğrusal programlama model kısıtlarında değşkenler eşt(sz)lğn sol tarafında, sabtler se sağ tarafında gösterlr.

21 Kısıtlar Makna 2 nn haftalık kapaste kısıtı da şu şeklde fade edlr: < 6000 Depolama alanı sınırlaması nedenyle haftada en fazla 500 adet blgsayar kasası üretlebleceğ de br kısıttır ve şu şeklde gösterlr < 500

22 Kısıtlar Her hafta en az 300 adet Standart kasa üretme kısıtı se > şeklnde br eştszlktr. > 300 Herhang br modelden negatf sayıda üretm yapılması fzksel olarak mkansız olduğu çn, bu durum negatf olamama şartı şeklnde fade edlmeldr. > 0, 2 > 0, 3 > 0

23 Standart:750 Performa:0 Ultra:0 Yukarıdak kısıtları hlal etmeden üretm planını oluşturablecek sonsuz sayıda çözüm vardır. Bu çözümler uygun çözüm olarak adlandırılır < < < < < < > > 300 Şrketn haftalık karı se; (mlyon TL.) dr.

24 Standart:500 Performa:500 Ultra:0 Ancak, şu ank üretm planının uygun br çözüm olması, optmal çözüm olmasını da gerektrmemektedr < < < < < < > > 300 Şrketn haftalık karı; (mlyontl.) ye yükselecektr.

25 Standart:600 Performa:400 Ultra:0 Haftalık kar daha da artarak; (mlyon TL.) ye yükselecektr. Ancak bu üretm planı daha yüksek kar getrmesne karşın uygun br çözüm değldr. Karşılanamayan kısıt vardır < < < < < < > > 300

26 Doğrusal Programlama Model Maks kısıtlar < < < 500 > 300, 2, 3 > 0 Bu model çözülerek elde edlecek, 2, 3 karar değşkenlernn değer optmal çözüm olarak adlandırılır.

27 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu. Öncelkle değşken değerlerne karşılık gelen hücreler ayrılır. Bzm örneğmzdek değşkenler;, 2, 3 çn C5, D5, E5 hücreler ayrılmıştır. Kuracağımız model Solver da çözüldükten sonra bu hücrelerde karar değşkenlernn optmal değerler hesaplanacak ve görünecektr. B C D E 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLAI 3 4 5

28 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu 2. Bu aşamanın ardından, karar değşkenlernn smler tanımlanır. B5 hücresne Üretm Mktarı yazılmıştır. C4:E4 aralığına se modellern adları olan, Standart, Performa ve Ultra yazılmıştır B C D E 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLAI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretm Mktarı

29 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu 3. Bu noktada artık amaç fonksyonunu hazırlayablrz. Amaç fonksyonu olan Maks ün katsayılarını Ecel tablosundak C6:E6 aralığına yazdık. B C D E 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLAI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretm Mktarı 6 Brm Kar Katkısı 2 9 6

30 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu 4. Amaç fonksyonunun değernn hesaplanması çn F6 hücres hazırlanır. Bu hücreye fadesnn grlmes gerekldr. SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C6:E6) B C D E F G H 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLAI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretm Mktarı 6 Brm Kar Katkısı Toplam Kar

31 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu 5. Bu aşamada kısıtları yazmaya başlayablrz. Önce kısıtların katsayılarını ve başlıklarını amaç fonksyonunun katsayılarını yazdığımız gb yazablrz. Bu kısıtlardak herbr değşkenn katsayısını, o kısıtın sütununa yazıyoruz. B C D E F G H 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLAI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretm Mktarı 6 Brm Kar Katkısı Toplam Kar 7 8 Kısıtlar 9 Makne Makne Depolama 2 3 Standart

32 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu Tüm kısıtların matematksel fadelern SUMPRODUCT kullanarak her kısıtın katsayılarının sağındak hücreye yazacağız. F9: SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C9:E9) ( e karşılık gelyor) F0: SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C0:E0) ( e karşılık gelyor) F: SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C:E) (+2+3 e karşılık gelyor) F3: SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C3:E3) ( e karşılık gelyor)

33 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu 6. Son olarak H6:H3 aralığına kısıtların sağ taraf sabtler yazılacak. B C D E F G H 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLAI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretm Mktarı 6 Brm Kar Katkısı Toplam Kar 7 8 Kısıtlar Kullanım Kapaste 9 Makne < Makne < 6000 Depolama < Üretm Mnmum 3 Standart > 300

34 Standart:750 Performa:0 Ultra:0 B C D E F G H 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLAI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretm Mktarı Brm Kar Katkısı Toplam Kar 7 8 Kısıtlar Kullanım Kapaste 9 Makne < Makne < 6000 Depolama 750 < Üretm Mnmum 3 Standart 750 > 300

35 LP Modelnn SOLVER le Çözümü. Öncelkle Ecel üzernde br öncek kısımda hazırladığımız gb model hazırlanmalıdır. 2. Ardından Solver çalıştırılır. Solver a Ecel n Tools (Araçlar) menüsünün altında erşlr.

36 LP Modelnn SOLVER le Çözümü 3. Amaç fonksyonu, Set Target Cell bölümünde belrtlecektr. 4. Ardından amaç fonksyonunun tp Equal To kısmında Ma yada Mn seçeneklernden brs seçlerek belrtlr.

37 LP Modelnn SOLVER le Çözümü 5. Amaç fonksyonunun tanımlanmasının ardından karar değşkenler Solver a tanıtılmalıdır. Bunun çn Solver dyalog penceresnn By Changng Cells bölümüne gdlmes gerekr.

38 LP Modelnn SOLVER le Çözümü 6. Bu aşamada modeln kısıtları Solver a tanıtılacaktır. Yen br kısıt grmek çn Subject to the Constrants kısmında Add düğmesne basmak gerekmektedr. Add düğmesne bastıktan sonra karşımıza Add Constrant penceres çıkacaktır.

39 LP Modelnn SOLVER le Çözümü

40 LP Modelnn SOLVER le Çözümü 7. Solve düğmesne basarak optmal çözümü elde ederz.

41 LP Modelnn SOLVER le Çözümü

42 Answer Report Mcrosoft Ecel 9.0 Answer Report Target Cell (Ma) Cell ame Orgnal Value Fnal Value $F$6 Kar Adjustable Cells Cell ame Orgnal Value Fnal Value $C$5 Üretm Mktarı Standart $D$5 Üretm Mktarı Performa $E$5 Üretm Mktarı Ultra 0 0 Constrants Cell ame Cell Value Formula Status Slack $F$3 Standart Üretm 300$F$3>$H$3 Bndng 0 $F$9 Makne Kullanım 6000$F$9<$H$9 Bndng 0 $F$0 Makne 2 Kullanım 4800$F$0<$H$0 ot Bndng 200 $F$ Depolama Kullanım 200$F$<$H$ ot Bndng 300

43 Yatırım Planlaması Uygulaması EkonoBank yatırım uzmanı, elndek.5 trlyon TL lk fonu aylık getry maksmze edecek şeklde aşağıdak yatırım enstrümanlarına yatırmak stemektedr. Yatırım Enstrümanı Aylık Getr Vade Yapısı Rsk Verg Muafyet A %4.75 Uzun Yüksek Var B %4 Kısa Düşük Var C %4.5 Uzun Düşük Yok D %4.5 Uzun Yüksek Var E %4.5 Kısa Yüksek Yok

44 Yatırım Planlaması Uygulaması Uzman elndek fonun en azından %60 ını kısa vadel enstrümanlara yatırmak stemekte ve paranın %40 ından fazlasını yüksek rskl enstrümanlara yatırmak stememektedr. Elndek fonun en azından %40 ı verg muafyet olan enstrümanlara yatırılmalı ve elde edlecek getrnn de en azından %50 s vergden muaf olmalıdır. Bu problem çn aylık getry maksmze edecek doğrusal programlama modeln formülze ednz. Model Ecel e uyarlayıp çözünüz. Optmal çözüm ve karar değşkenlernn aldıkları değerler bulunuz.

45 Karar Değşkenler: Yatırım planlaması problemnde, her br çeştl yatırım enstrümanlarına yatırılacak mktara karşılık gelen 5 karar değşken tanımlanmalıdır. Bunlar; A A yatırım enstrümanına yatırılacak mktar B B yatırım enstrümanına yatırılacak mktar C C yatırım enstrümanına yatırılacak mktar D D yatırım enstrümanına yatırılacak mktar E E yatırım enstrümanına yatırılacak mktar

46 Amaç Fonksyonu Problemn amacı çeştl yatırım enstrümanlarına yatırılacak mktarlarla elde edlecek getry maksmze etmektr. Dolayısıyla, karar değşkenler le o karar değşkenne karşılık gelen aylık getr değerler çarpılıp, sonra da tüm değerler toplanarak amaç fonksyonu elde edlr. Aşağıda amaç fonksyonu görülmektedr. Maks A B C D E

47 Kısıtlar Problemdek lk kısıt, toplam yatırılacak fonun.5 trlyon TL olmasını sağlayan aşağıdak kısıttır. A + B + C + D + E 500 Yatırım yapılacak fonun en azından %60 ını kısa vadel enstrümanlara yatırılmasını sağlayan kısıt ta şu şeklde yazılır. B + E 900 Yatırımın %40 ından fazlasının yüksek rskl enstrümanlara yatırılmamasını sağlayan kısıt se aşağıdak şeklde oluşturulur. A + D + E 600

48 Kısıtlar Yatırımın en azından %40 ının verg muafyet olan enstrümanlara yatırılmasını sağlayan kısıt aşağıda görülmektedr. A + B + D 600 Elde edlecek getrnn de en azından %50 snn vergden muaf olmasını sağlayan kısıt aşağıda oluşturulmuştur A B D 0.5* (0.0475A B C D E) Son olarak karar değşkenlernn negatf olamama kısıtları da aşağıda gösterldğ gb modele eklenmeldr. A, B, C, D, E 0

49 Matematksel Model Maks A B C D E Kısıtlar A + B + C + D + E 500 B + E 900 A + D + E 600 A + B + D A B D 0.5* (0.0475A B C D E) A, B, C, D, E 0

50 Ecel de Modelleme B C D E F G H I J K 2 EKOOBAK YATIRIM PLAI 3 4 Yatırım Alternatf Mktar Getr Vade Rsk Verg Muafyet Getr 5 A 236,62 %4,75 Uzun 0 Yüksek Var %4,75 6 B 536,62 %4,00 Kısa Düşük 0 Var %4,00 7 C 363,38 %4,50 Uzun 0 Düşük 0 Yok 0 %0,00 8 D 0 %4,50 Uzun 0 Yüksek Var %4,50 9 E 363,38 %4,50 Kısa Yüksek Yok 0 %0, mtl 65,4 mtl 900 mtl 600 mtl 773 mtl 32,70 mtl.500 mtl 900 mtl 600 mtl 600 mtl 32,70 mtl Hücre Formül 2 %4,36 %60 %40 %40 %50 C0: SUM(C5:C9) D0: SUMPRODUCT($C$5:$C$9;D5:D9) F0: SUMPRODUCT($C$5:$C$9;F5:F9) H0: SUMPRODUCT($C$5:$C$9;H5:H9) J0: SUMPRODUCT($C$5:$C$9;J5:J9) K0: SUMPRODUCT($C$5:$C$9;K5:K9) F: F2*C H: H2*C J: J2*C K: K2*D0 D2: D0/C0

51 Solver Parametreler

52 Optmal Çözüm B C D E F G H I J K 2 EKOOBAK YATIRIM PLAI 3 4 Yatırım Alternatf Mktar Getr Vade Rsk Verg Muafyet Getr 5 A 236,62 %4,75 Uzun 0 Yüksek Var %4,75 6 B 536,62 %4,00 Kısa Düşük 0 Var %4,00 7 C 363,38 %4,50 Uzun 0 Düşük 0 Yok 0 %0,00 8 D 0 %4,50 Uzun 0 Yüksek Var %4,50 9 E 363,38 %4,50 Kısa Yüksek Yok 0 %0, mtl 65,4 mtl 900 mtl 600 mtl 773 mtl 32,70 mtl.500 mtl 900 mtl 600 mtl 600 mtl 32,70 mtl 2 %4,36 %60 %40 %40 %50 Bu çözüme göre EkonoBank A enstrümanına mlyar TL, B enstrümanına mlyar TL, C enstrümanına mlyar TL, D enstrümanına 0 TL ve E enstrümanına mlyar TL yatırmalıdır. Bu yatırım planı le.5 trlyon TL lk yatırımı le 65.4 mlyar TL (yada %4.36) getr elde edecektr.

53 akt Dengelemes Uygulaması Br şletme 2004 yılı çn aylık nakt grşçıkışlarını şu şeklde öngörmektedr. Ay akt Grş (mlyar TL) Ay Ocak -20 Temmuz -70 Şubat -00 Ağustos -20 Mart -80 Eylül 50 san -00 Ekm 20 Mayıs -40 Kasım -70 Hazran 50 Aralık 450 akt Grş (mlyar TL)

54 akt Dengelemes Uygulaması Şrket ödemelern gerçekleştreblmek çn 2004 başında kred almak zorundadır. İk kred tp var: Uzun ve Kısa döneml Uzun döneml kred 2004 Ocak başında alınablr, her ay %5 faz ödenr, 2005 Ocak başında kapatılır. Kısa döneml kred her ay başında alınablr. Aylık faz oranı %7.5. Her ay sonunda eldek fazla nakt %2 faz kazanmaktadır.

55 akt Dengelemes Uygulaması Şrket doğrusal programlama kullanarak 2005 Ocak ayı başındak nakt düzeyn maksmze etmek stemektedr. Yönetm toplam ödeyeceğ faz mnmze edecek model de kurmak stemektedr. Şrketn kasasında şu anda 65 mlyar TL bulunmakta ve her ay sonunda kasada en az 50 mlyar TL olması stenmektedr.

56 akt Dengelemes Uygulaması D(t) D(t-)+ FazGelr(t-) +AlınanBorç(t) + aktgrş(t) UDönemBorçFazÖdeme(t) - KDönemBorçFazÖdeme(t-) UDönemKredGerÖdemes (Ocak2005) KDönemKredGerÖdemes(t-)

57 akt Dengelemes Model

58 MODER PORTFÖY TEORİSİ Markowtz model, hedeflenen beklenen getr düzeyn karşılayacak mnmum varyanslı (mnmum rskl) portföyü bulmaya çalışır. Varsayımları,. Yatırımların getrler yatırımların çıktısı olarak fade edleblr.. Yatırımcının rsk tahmn, varlıkların ya da portföyün getrlernn varyansı le orantılıdır.. Yatırımcılar kararlarını verrken sadece beklenen getr ve getrnn varyansını model parametreler olarak kullanmaya razıdırlar. v. Yatırımcı rskten kaçma eğlm göstermektedr. Herhang br beklenen getr düzeynde, ulaşableceğ mnmum rsk, herhang br rsk düzeynde de ulaşbleceğ maksmum getry seçecektr.

59 Beklenen Getr Br varlığın beklenen getrs şu şeklde formülze edlr; μ E [ G ] O. G μ Beklenen getr, E[G], O senaryosunun gerçekleşme olasılığı, G senaryosunun beklenen getrs, olası senaryo sayısı,

60 Rsk Ölçütler Varyans, getrler le beklenen getrnn farklarının kareler toplamı le hesaplanan br rsk ölçütüdür. Portföy optmzasyonu modellernde rsk ölçütü olarak genellkle varyanstan yararlanılır. Varyansın karekökü de standart sapmadır. var(g) σ 2 O. ( G μ) 2

61 Kovaryans İk tesadüf getrnn görel hareketlernn anlamlılığının statstksel ölçütü kovaryanstır. İk varlık arasındak kovaryans değer aşağıdak formül le elde edlr. σ,2 O.(G, μ).(g2, μ2) Eğer varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman dlmlernde aynı yönde olursa, varlıklar arasındak kovaryans poztf br değer alacaktır. Öte yandan, varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman dlmlernde farklı yönde olursa, varlıklar arasındak kovaryans negatf br değer alacaktır. Varlıkların ortalamalarından sapma değerler arasında anlamlı br lşk yoksa da, kovaryans değer sıfıra yaklaşacaktır.

62 Portföy Getrs ve Varyansı (2 varlık) [ ] B B A A P P G E μ + μ μ AB B A 2 B 2 B 2 A 2 A P 2 P 2 ) G var( σ + σ + σ σ

63 Markowtz Model Modelde amaç fonksyonu mnmze edlecek portföy varyansıdır Mn. j j σ j Mn. 2 σ j + j σ j

64 Markowtz Model Beklenen getr hedefnn sağlanması kısıtı μ R portföyde bulunan varlıkların ağırlıkları toplamının olması kısıtı

65 Markowtz Model Mn. s.t. 0 μ j R, j σ j,.., mevcut varlık sayısı, μ varlığının beklenen getrs (,..,), σ j ve j varlıkları arasındak kovaryans değer (,..,), (j,..,), j çn varlığının varyans değer, R hedeflenen beklenen getr düzey, varlığının portföy çndek oranı, (karar değşken) (,..,),

66 Örnek Kapanış Hsse Hsse 2 Hsse 3 Hsse 4 Hsse 5 Dönem Dönem Dönem Dönem Dönem Dönem Dönem Dönem Dönem Dönem

67 Model B C D E F G H 4 5 Getrler Hsse Hsse 2 Hsse 3 Hsse 4 Hsse 5 6 Dönem 7 Dönem 2 %0.0 %20.0 %0.0 %.4 % Dönem 3 %3.6 %4.6 %5.2 %-7.0 % Dönem 4 %4.0 %-27.3 %-3.2 %6.7 % Dönem 5 %-7.7 %47.5 %2.2 %3.9 % Dönem 6 %.7 %8.5 %7.5 %-6.3 % Dönem 7 %-3.0 %5.6 %-.6 %26.7 % Dönem 8 %5.4 %-8.9 %28.9 %5.8 %.3 24 Dönem 9 %-6.7 %40.0 %2.2 %9. % Dönem 0 %0.0 %9.0 %2.8 %2.5 % Ortalama %5.3 %3.2 %0.2 %8. % Kovaryans Hsse Hsse 2 Hsse 3 Hsse 4 Hsse 5 29 Hsse Hsse Hsse Hsse Hsse Toplam 35 Portföy Portföy Getrs %0.0 Portföy Varyansı 0 38 Hedeflenen Getr %0.0 Standart Sapma 0

68 Etkn Sınır Karar verc farklı beklenen getr düzeyler çn yukarıda oluşturulan model çözdüğünde, her br o getr düzey çn etkn olan portföyler elde edecektr. Hedeflenen getr düzeyler ve o getr düzeynde elde edlen etkn portföylern varyansları beklenen getrvaryans grafğ üzernde gösterldğnde, bu etkn portföyler brleştren eğr etkn sınır olarak adlandırılır. Hedeflenen Getr Rsk (Portföy Varyansı)

69 Modeln Gelştrlmes Yatırım Üst Sınırları Rsksz yatırım enstrümanı İşlem malyetler Açığa satış şlemler Tamsayı değşkenler

70 Yatırım Üst Sınırları,.., 0,,.., US, R s.t. Mn. j j j μ σ

71 Rsksz yatırım enstrümanı 0,..,, 0 ) ( R ) ( s.t. Mn. r r r r j j j + μ + μ σ

72 İşlem malyetler,.., 0,,.., 0 b 0 m )).( ( m )).( ( R s.t. Mn. s a a s j j j + + μ σ

73 Kredl ve Açığa satış şlemler,..,, 0 0 L ) ( R ) ( s.t. Mn. b b b b b j j j + μ + μ σ,..,, ) ( R s.t. Mn. j j j μ σ sınırsız

74 Tamsayı değşkenler,..,, 0,.., tamsayı,0 y,.., 0 y n y R s.t. Mn. j j j μ σ