FİNANSAL MODELLEME. Doç.Dr.Aydın ULUCAN Hacettepe Üniversitesi

Transkript

1 FİNANSAL MODELLEME Doç.Dr.Aydın ULUCAN Hacettepe Ünverstes

2 KARAR VERME Karar verme, ş dünyasının çalışmasını sağlayan temel unsurlardandır. Tüm yönetcler, bulundukları faalyet alanı ve kademelernden bağımsız olarak stratejk düzeyden operasyonel düzeye kadar çeştlenen genş br yelpazede kısa, orta, uzun döneml kararlar verrler.

3 KARAR SÜRECİ ÖZELLİKLERİ Günümüzde herhang br değer olan kararlar vereblmek çn büyük ölçekl verler çeren problemlerle uğraşmak zorundayız. Artan etkleşm düzey, artık ş dünyası kararlarını büyük ölçekl platformlara taşımıştır. Karar verme sürecnde gözönünde bulunduracağımız alternatf sayısı, karmaşık ve çeştlenmş br yapıdak günümüz ş dünyasında çok artmıştır. Karar verc çok sayıda alternatf eşanlı olarak gözönünde bulundurmak zorundadır. Sürekl olarak değşmn yaşandığı ş dünyasında, gelecekle lgl belrszlk çok artmıştır. Karar verc gelecekte karşılaşableceğ farklı durumlar çn farklı karar senaryoları üretmek zorundadır.

4 OR/MS ve Modelleme Yönetm Blm (Management Scence-MS), blmsel yaklaşımı, matematksel modeller ve blgsayar algortmaları yardımıyla yönetsel karar verme sürecne uyarlamayı hedef ednmş br dsplndr. Yönetm Blm dspln Yöneylem Araştırması (Operatons Research-OR) olarak da adlandırılmaktadır.

5 OR/MS Yönetm Blmnn temelnde matematksel modelleme yatmaktadır. En bast açıklamasıyla matematksel model, br gerçek hayat problemnn sayısal olarak matematksel fadelerle göstermdr. Yakın geçmşe kadar karmaşık matematksel modeller ve ana blgsayarlarda çalışan üst düzey yazılımlarıyla son derece uzmanlık gerektren br dspln olan Yönetm Blm, son yıllarda özellkle elektronk hesap tabloları ve bunların üzernde çalışan yazılımların gelşmesyle tüm karar verclern kullanableceğ br yapıya bürünmüştür.

6 Amaç Semnermzn temel amacı karar vercnn karar verme sürecne destek sağlamak amacıyla Yönetm Blm modellern blgsayar destekl ortamlarda oluşturup kullanmaktır.

7 Teknkler Doğrusal Programlama Tamsayılı Programlama Doğrusal Olmayan Programlama Karar Ağaçları Smülasyon

8 Araçlar MS Ecel Solver (Ecel Eklents) Solver Table (Ecel Eklents) TreePlan (Ecel (Ecel Eklents)

9 LP, IP ve Uygulamaları

10 NLP ve Uygulamaları

11 Karar Modeller

12 Smülasyon Modeller

13 Başarılı OR/MS Uygulamaları (Fnans Sektörü) AT&T Sermaye Şrketnde Kred Verme ve Ger Toplama Kararlarının Otomatkleştrlmes AT&T Sermaye şrket ABD dek halka açık en büyük leasng ve kred verme şrketdr. Şrket 12 mlyar dolarlık br aktf büyüklüğünü yönetmektedr. Küçük şletme kredlern arttırmak ve karlı br hale sokmak çn 1992 yılında üç aşamalı otomatk karar verme sstem gelştrlmştr. Bu üç aşamalı sstem, kred başvurusu kararları, kred zleme kararları ve ödenmeyen kredlern toplanması le lgl kararları otomatkleştren stratejler çermekteyd l yıllarda projenn hayata geçmesyle küçük şletme kredlernn büyük br kısmı (%73) bu otomatk sstemle verlmeye başlanmış ve yıllık 685 mlyon dolarlık yen kred hacmne ulaşılmıştır. Yen sstemn kullanılmasıyla kred başvurularına cevap süres çok kısalmış bu da şrketn rekabet gücünü öneml oranda arttırmıştır. Öte yandan kred başvuru ve ger toplama süreçlerndek operasyonel malyetlerde yıllık 3.1 mlyon dolarlık azalma da karlılığı arttırmıştır. Son olarak karar kaltesnn artmasıyla ş hacm yıllık 86 mlyon dolar artmış ve kötü borçlardan doğan kayıplar 1.1 mlyon dolar azalmıştır. (INTERFACES 27:1 Ocak-Şubat 1997)

14 Başarılı OR/MS Uygulamaları (Fnans Sektörü) GMO Yatırım Şrketnde Karışık Tamsayı Programlama le Portföy Oluşturma GMO yatırım şrket hedefledğ lkdte, devr hızı ve beklenen getr düzeylerne sahp yatırım portföyler oluşturmak çn karışık tamsayı programlama teknğn kullanan br karar destek sstem gelştrmştr. Model aynı zamanda bu hedeflere en az sayıda şlem ve hsse sened le ulaşmayı da sağlamakdır. Öte yandan bu model kullanarak alt portföyler olan 11 ana portföy oluşturan şrket, 8 mlyar dolarlık br varlığı yönetmektedr. Yen sstemn faydaları olarak; müşterler kaybedlmeden yen büyüme fırsatları yaratılması, portföydek hsse sayıları %40-60 azaltılması, alım-satım emrlernn %75-85 azalarak 4 mlyon dolar gerlemes sayılablr. (INTERFACES 29:1 Ocak-Şubat 1999)

15 Başarılı OR/MS Uygulamaları (Fnans Sektörü) Leasng Portföyü Planlama Model Yapılan br leasng şlemnn güvenlr ve verg avantajı yaratacak yapıda olmasını sağlamak çn dkkatl br kar maksmzasyonu planlaması yapılmalıdır. New England Merchants Leasng Corporaton, bu amaçla OR teknklern kullanan blgsayar destekl br portföy yönetm model gelştrmştr. Model başarıyla yönetsel karar sürecne entegre edlmş ve 200 mlyon doların üzernde br portföyün uzun döneml planlamasında başarıyla kullanılmaktadır.

16 Başarılı OR/MS Uygulamaları (Fnans Sektörü) Japon Sgorta Şrket Aktf-Pasf Yönetm çn Çok Aşamalı Stokastk Programlama Model Yasuda Sgorta şrket çn gelştrlen aktf-pasf yönetm model karar verclern rsk modellere dahl edp optmal yatırım stratejlern belrlemelern sağlamıştır. Japon sgorta sstemndek karmaşık düzenlemeler de sağlayan model kullanıldığı lk k yılda şrketn karını 79 mlyon dolar arttırmıştır.

17 Başarılı OR/MS Uygulamaları (Fnans Sektörü) Towers Perrn-Tllnghast da Aktf- Pasf Yönetm Emekllk planlarının oluşturulması ve yönetlmesnde doğrusal olmayan programlamayla aktf-pasf yönetm model gelştren ve kullanan TFT şrket $450 mlyon dolarlık br hacm artışı sağlamıştır.

18 Karar Modellernn Temel Bleşenler Karar Değşkenler: Amaca ulaşmak çn kontrol edlen faktörler. Amaç Fonksyonu: Ulaşılmak stenen hedefn karar değşkenlernn fonksyonu olarak matematksel fades. Kısıtlar: Karar değşkenlernn alableceğ değerler üzerndek sınırlama ya da gereksnmler. Kısıtlar da amaç fonksyonu gb karar değşkenlernn çerldğ matematksel fonksyonlar olarak fade edlr. Parametreler: Model etkleyen ancak karar vercnn kontrol edemedğ faktörler. Varsayımlar: Model oluşturulurken doğru oldukları kabul edlen olgular.

19 Modellemede hesap tablolarını kullanmak karar vercye öneml avantajlar sağlamaktadır Model oluşturan parametrelerdek olası değşmelere karşı modeln nasıl davrandığı anında gözleneblr. Bu da karar vercye farklı durumlar çn senaryo analzler (what-f analyss) sağlar. Büyük ölçekl modeller, hesap tabloları altında çalışan model çözücülerle hızlı ve etkn şeklde çözüleblmektedr. Bell br mantık zncr dahlnde hesap tablosu üzernde oluşturulan matematksel modeller, problemn daha y anlaşılıp yorumlanması, üst yönetme daha anlaşılablr şeklde gösterlmesne olanak sağlamaktadır. Oluşturulan modeller, karar vercnn gelecekte karşılaşableceğ potansyel karar süreçlernde de modfye edlerek kullanılablr. Tüm örgütte problem çözme sürecne standart br yaklaşım sağlayarak, kşsel önyargıları ortadan kaldırır. Etkl raporlama özellkleryle, profesyonel raporlar ve ntranet sunumları oluşturmak oldukça sıradan br şlem halne dönüşmüştür.

20 Doğrusal Programlama Doğrusal Programlama yaklaşımı, doğrusal br yapıdak kısıtları hlal etmeden, doğrusal formdak amaç fonksyonunu en ylemey (maksmze yada mnmze etmey) sağlayan, bu enyleme sonucunda karar değşkenlernn aldıkları değerler bulan br yaklaşımdır. Her doğrusal programlama modelnn üç temel bleşen vardır: karar değşkenler, amaç fonksyonu ve kısıtlar. Doğrusal programlama, kısıtlı br optmzasyon yaklaşımı olmasından dolayı, kıt kaynakların lglenlen amacı optmze edecek şeklde dağıtılması olarak da tanımlanablr.

21 Doğrusal Programlama Maks kısıtlar < < < > 300 1, 2, 3 > 0

22 Örnek SüperPlast şrket blgsayarlar çn 3 farklı modelde blgsayar kasası üretmektedr; Standart, Performa ve Ultra. Her br kasanın üretm çn k ayrı maknada şlem gerekmekte ve her br makna haftada 6000 dakka çalışablmektedr. Blgsayar kasalarının üretm çn maknalarda harcanan süre (dakka) aşağıdak tabloda verlmştr. Makna Ürün Modeller Standart Performa Ultra

23 Depolama alanı kısıtı nedenyle haftada 1500 den fazla blgsayar kasası üretlememektedr. Şrket yaptığı br anlaşma nedenyle her hafta en az 300 adet Standart kasa üretmek zorundadır. SüperPlast ürettğ tüm blgsayar kasalarını satablmekte herbr kasadan aşağıdak mktarda kar (mlyon TL.) elde etmektedr. Ürün Modeller Standart Performa Ultra Kar

24 SüperPlast şu anda Standart dan haftada 750 tane üretmekte, Perfoma ve Ultra dan se üretmemektedr. Şrket yönetm şu ank üretm poltkalarının yleştrlme olasılığını araştırmaktadır. SüperPlast haftalık karını maksmze etmek çn herbr üründen kaçar adet üretmeldr?

25 Çözüm Bu örnekte şrket yönetm Optmal Üretm Planını elde etmek stemektedr. Optmal Üretm Planını elde etmek çn yönetmn vermes gereken karar, hang üründen kaçar adet üretlmes gerektğdr. Bu kararı vermek çn lk olarak, karar değşkenler şu şeklde tanımlanmalıdır: 1: Standart modelden her hafta üretlecek mktar. 2: Performa modelnden her hafta üretlecek mktar. 3: Ultra modelnden her hafta üretlecek mktar.

26 Amaç Fonksyonu İknc aşamada, Optmal Üretm Planını elde etmek çn hang performans krternn baz alınacağı belrlenmel ve bu krter doğrultusunda amaç fonksyonu oluşturulmalıdır. Ma Amaç fonksyonunda yukarıdak örnekte de olduğu gb kar maksmze edleblr. Ancak, malyet, süre ya da şgücü gb kavramlar çn se mnmzasyon şeklnde amaç fonksyonları da oluşturulablr.

27 Bu fadenn, değşkenlern alacağı değere bağlı olan sol tarafı (SolT), kısıt fonksyonu olarak adlandırılır. < sembolü kısıtı br eştszlk kısıtı yapar. Makna kapastesn gösteren 6000 sabt se sağ taraf (SağT) olarak adlandırılır. Doğrusal programlama model kısıtlarında değşkenler eşt(sz)lğn sol tarafında, sabtler se sağ tarafında gösterlr. Kısıtlar Üçüncü aşamada se amaca ulaşmada engel teşkl edeblecek kısıtlar, matematksel eşt(sz)lkler olarak fade edlmeldr. Makna 1 n haftalık kapastes br kısıttır ve matematksel olarak şu şeklde fade edlr: < 6000

28 Kısıtlar Makna 2 nn haftalık kapaste kısıtı da şu şeklde fade edlr: < 6000 Depolama alanı sınırlaması nedenyle haftada en fazla 1500 adet blgsayar kasası üretlebleceğ de br kısıttır ve şu şeklde gösterlr < 1500

29 Kısıtlar Her hafta en az 300 adet Standart kasa üretme kısıtı se > şeklnde br eştszlktr. 1 > 300 Herhang br modelden negatf sayıda üretm yapılması fzksel olarak mkansız olduğu çn, bu durum negatf olamama şartı şeklnde fade edlmeldr. 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0

30 Standart:750 Performa:0 Ultra:0 Yukarıdak kısıtları hlal etmeden üretm planını oluşturablecek sonsuz sayıda çözüm vardır. Bu çözümler uygun çözüm olarak adlandırılır < < < < < < > > 300 Şrketn haftalık karı se; = 9000 (mlyon TL.) dr.

31 Standart:500 Performa:500 Ultra:0 Ancak, şu ank üretm planının uygun br çözüm olması, optmal çözüm olmasını da gerektrmemektedr < < < < < < > > 300 Şrketn haftalık karı; = (mlyontl.) ye yükselecektr.

32 Standart:600 Performa:400 Ultra:0 Haftalık kar daha da artarak; = (mlyon TL.) ye yükselecektr. Ancak bu üretm planı daha yüksek kar getrmesne karşın uygun br çözüm değldr. Karşılanamayan kısıt vardır < < < < < < > > 300

33 Doğrusal Programlama Model Maks kısıtlar < < < > 300 1, 2, 3 > 0 Bu model çözülerek elde edlecek 1, 2, 3 karar değşkenlernn değer optmal çözüm olarak adlandırılır.

34 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu 1. Öncelkle değşken değerlerne karşılık gelen hücreler ayrılır. Bzm örneğmzdek değşkenler; 1, 2, 3 çn C5, D5, E5 hücreler ayrılmıştır. Kuracağımız model Solver da çözüldükten sonra bu hücrelerde karar değşkenlernn optmal değerler hesaplanacak ve görünecektr. B C D E 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 5

35 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu 2. Bu aşamanın ardından, karar değşkenlernn smler tanımlanır. B5 hücresne Üretm Mktarı yazılmıştır. C4:E4 aralığına se modellern adları olan, Standart, Performa ve Ultra yazılmıştır B C D E 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretm Mktarı

36 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu 3. Bu noktada artık amaç fonksyonunu hazırlayablrz. Amaç fonksyonu olan Maks ün katsayılarını Ecel tablosundak C6:E6 aralığına yazdık. B C D E 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretm Mktarı 6 Brm Kar Katkısı

37 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu 4. Amaç fonksyonunun değernn hesaplanması çn F6 hücres hazırlanır. Bu hücreye fadesnn grlmes gerekldr. =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C6:E6) B C D E F G H 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretm Mktarı 6 Brm Kar Katkısı Toplam Kar

38 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu 5. Bu aşamada kısıtları yazmaya başlayablrz. Önce kısıtların katsayılarını ve başlıklarını amaç fonksyonunun katsayılarını yazdığımız gb yazablrz. Bu kısıtlardak herbr değşkenn katsayısını, o kısıtın sütununa yazıyoruz. B C D E F G H 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretm Mktarı 6 Brm Kar Katkısı Toplam Kar 7 8 Kısıtlar 9 Makne Makne Depolama Standart 1

39 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu Tüm kısıtların matematksel fadelern =SUMPRODUCT kullanarak her kısıtın katsayılarının sağındak hücreye yazacağız. F9: =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C9:E9) ( e karşılık gelyor) F10: =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C10:E10) ( e karşılık gelyor) F11: =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C11:E11) ( e karşılık gelyor) F13: =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C13:E13) (11 e karşılık gelyor)

40 LP Modellernn Ecel de Formülasyonu 6. Son olarak H6:H13 aralığına kısıtların sağ taraf sabtler yazılacak. B C D E F G H 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretm Mktarı 6 Brm Kar Katkısı Toplam Kar 7 8 Kısıtlar Kullanım Kapaste 9 Makne < Makne < Depolama < Üretm Mnmum 13 Standart 1 > 300

41 Standart:750 Performa:0 Ultra:0 B C D E F G H 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretm Mktarı Brm Kar Katkısı Toplam Kar 7 8 Kısıtlar Kullanım Kapaste 9 Makne < Makne < Depolama < Üretm Mnmum 13 Standart > 300

42 LP Modelnn SOLVER le Çözümü 1. Öncelkle Ecel üzernde br öncek kısımda hazırladığımız gb model hazırlanmalıdır. 2. Ardından Solver çalıştırılır. Solver a Ecel n Tools (Araçlar) menüsünün altında erşlr.

43 LP Modelnn SOLVER le Çözümü 3. Amaç fonksyonu, Set Target Cell bölümünde belrtlecektr. 4. Ardından amaç fonksyonunun tp Equal To kısmında Ma yada Mn seçeneklernden brs seçlerek belrtlr.

44 LP Modelnn SOLVER le Çözümü 5. Amaç fonksyonunun tanımlanmasının ardından karar değşkenler Solver a tanıtılmalıdır. Bunun çn Solver dyalog penceresnn By Changng Cells bölümüne gdlmes gerekr.

45 LP Modelnn SOLVER le Çözümü 6. Bu aşamada modeln kısıtları Solver a tanıtılacaktır. Yen br kısıt grmek çn Subject to the Constrants kısmında Add düğmesne basmak gerekmektedr. Add düğmesne bastıktan sonra karşımıza Add Constrant penceres çıkacaktır.

46 LP Modelnn SOLVER le Çözümü

47 LP Modelnn SOLVER le Çözümü 7. Solve düğmesne basarak optmal çözümü elde ederz.

48 LP Modelnn SOLVER le Çözümü

49 Answer Report Mcrosoft Ecel 9.0 Answer Report Target Cell (Ma) Cell Name Orgnal Value Fnal Value $F$6 Kar Adjustable Cells Cell Name Orgnal Value Fnal Value $C$5 Üretm Mktarı Standart $D$5 Üretm Mktarı Performa $E$5 Üretm Mktarı Ultra 0 0 Constrants Cell Name Cell Value Formula Status Slack $F$13 Standart Üretm 300$F$13>=$H$13 Bndng 0 $F$9 Makne 1 Kullanım 6000$F$9<=$H$9 Bndng 0 $F$10 Makne 2 Kullanım 4800$F$10<=$H$10 Not Bndng 1200 $F$11 Depolama Kullanım 1200$F$11<=$H$11 Not Bndng 300

50 Yatırım Planlaması Uygulaması EkonoBank yatırım uzmanı, elndek 1.5 trlyon TL lk fonu aylık getry maksmze edecek şeklde aşağıdak yatırım enstrümanlarına yatırmak stemektedr. Yatırım Enstrümanı Aylık Getr Vade Yapısı Rsk Verg Muafyet A %4.75 Uzun Yüksek Var B %4 Kısa Düşük Var C %4.5 Uzun Düşük Yok D %4.5 Uzun Yüksek Var E %4.5 Kısa Yüksek Yok

51 Yatırım Planlaması Uygulaması Uzman elndek fonun en azından %60 ını kısa vadel enstrümanlara yatırmak stemekte ve paranın %40 ından fazlasını yüksek rskl enstrümanlara yatırmak stememektedr. Elndek fonun en azından %40 ı verg muafyet olan enstrümanlara yatırılmalıdır. Bu problem çn aylık getry maksmze edecek doğrusal programlama modeln formülze ednz. Model Ecel e uyarlayıp çözünüz. Optmal çözüm ve karar değşkenlernn aldıkları değerler bulunuz.

52 Karar Değşkenler: Yatırım planlaması problemnde, her br çeştl yatırım enstrümanlarına yatırılacak mktara karşılık gelen 5 karar değşken tanımlanmalıdır. Bunlar; A = A yatırım enstrümanına yatırılacak mktar B = B yatırım enstrümanına yatırılacak mktar C = C yatırım enstrümanına yatırılacak mktar D = D yatırım enstrümanına yatırılacak mktar E = E yatırım enstrümanına yatırılacak mktar

53 Amaç Fonksyonu Problemn amacı çeştl yatırım enstrümanlarına yatırılacak mktarlarla elde edlecek getry maksmze etmektr. Dolayısıyla, karar değşkenler le o karar değşkenne karşılık gelen aylık getr değerler çarpılıp, sonra da tüm değerler toplanarak amaç fonksyonu elde edlr. Aşağıda amaç fonksyonu görülmektedr. Maks A B C D E

54 Kısıtlar Problemdek lk kısıt, toplam yatırılacak fonun 1.5 trlyon TL olmasını sağlayan aşağıdak kısıttır. A + B + C + D + E = 1500 Yatırım yapılacak fonun en azından %60 ını kısa vadel enstrümanlara yatırılmasını sağlayan kısıt ta şu şeklde yazılır. B + E 900 Yatırımın %40 ından fazlasının yüksek rskl enstrümanlara yatırılmamasını sağlayan kısıt se aşağıdak şeklde oluşturulur. A + D + E 600

55 Kısıtlar Yatırımın en azından %40 ının verg muafyet olan enstrümanlara yatırılmasını sağlayan kısıt aşağıda görülmektedr. A + B + D 600 Son olarak karar değşkenlernn negatf olamama kısıtları da aşağıda gösterldğ gb modele eklenmeldr. A, B, C, D, E 0

56 Matematksel Model Maks A B C D E Kısıtlar A + B + C + D + E = 1500 B + E 900 A + D + E 600 A + B + D 600 A, B, C, D, E 0

57 Ecel de Modelleme B C D E F G H I J K 2 EKONOBANK YATIRIM PLANI 3 4 Yatırım Alternatf Mktar Getr Vade Rsk Verg Muafyet Getr 5 A 236,62 %4,75 Uzun 0 Yüksek 1 Var 1 %4,75 6 B 536,62 %4,00 Kısa 1 Düşük 0 Var 1 %4,00 7 C 363,38 %4,50 Uzun 0 Düşük 0 Yok 0 %0,00 8 D 0 %4,50 Uzun 0 Yüksek 1 Var 1 %4,50 9 E 363,38 %4,50 Kısa 1 Yüksek 1 Yok 0 %0, mtl 65,41 mtl 900 mtl 600 mtl 773 mtl 32,70 mtl mtl 900 mtl 600 mtl 600 mtl 32,70 mtl Hücre Formül 12 %4,36 %60 %40 %40 %50 C10: =SUM(C5:C9) D10: =SUMPRODUCT($C$5:$C$9;D5:D9) F10: =SUMPRODUCT($C$5:$C$9;F5:F9) H10: =SUMPRODUCT($C$5:$C$9;H5:H9) J10: =SUMPRODUCT($C$5:$C$9;J5:J9) K10: =SUMPRODUCT($C$5:$C$9;K5:K9) F11: =F12*C11 H11: =H12*C11 J11: =J12*C11 K11: =K12*D10 D12: =D10/C10

58 Solver Parametreler

59 Optmal Çözüm B C D E F G H I J K 2 EKONOBANK YATIRIM PLANI 3 4 Yatırım Alternatf Mktar Getr Vade Rsk Verg Muafyet Getr 5 A 236,62 %4,75 Uzun 0 Yüksek 1 Var 1 %4,75 6 B 536,62 %4,00 Kısa 1 Düşük 0 Var 1 %4,00 7 C 363,38 %4,50 Uzun 0 Düşük 0 Yok 0 %0,00 8 D 0 %4,50 Uzun 0 Yüksek 1 Var 1 %4,50 9 E 363,38 %4,50 Kısa 1 Yüksek 1 Yok 0 %0, mtl 65,41 mtl 900 mtl 600 mtl 773 mtl 32,70 mtl mtl 900 mtl 600 mtl 600 mtl 32,70 mtl 12 %4,36 %60 %40 %40 %50 Bu çözüme göre EkonoBank A enstrümanına mlyar TL, B enstrümanına mlyar TL, C enstrümanına mlyar TL, D enstrümanına 0 TL ve E enstrümanına mlyar TL yatırmalıdır. Bu yatırım planı le 1.5 trlyon TL lk yatırımı le 65.4 mlyar TL (yada %4.36) getr elde edecektr.

60 Uygulama 1 Elndek 100 mlyar TL lk brkmn çeştl yatırım enstrümanlarına dağıtmak steyen Mert Bey hesabı olan aracı kurumdak yatırım danışmanı le görüşerek aşağıda tabloda rsk ve beklenen getr yapıları görülen yatırım enstrümanların yatırım yapmak üzere belrlemştr. Yatırım Enstrümanı Rsk Dereces Beklenen Aylık Getr Sektör Hsse Sened A 5 % 6.0 İmalat Hsse Sened B 4 % 5.5 Fnans Hsse Sened C 3 % 5.0 Fnans Hsse Sened D 2 % 4.5 Fnans Hsse Sened E 1 % 4.0 İmalat Hazne Bonosu - % Repo - % 2.5 -

61 Uygulama 1 Elndek fonu yukarıdak enstrümanlara nasıl dağıtacağı le lgl stratejler se aşağıda lstelenmştr. Tüm para yukarıdak yatırım enstrümanlarına dağıtılacaktır. Yatırım yapılacak tutarın en azından %15 gecelk repoda tutulacaktır. Hsse senetlerne yatırılan tutarın ortalama rsk dereces 3 ün altında olacaktır. Hçbr hsse senedne toplam portföyün %10 undan fazlası yatırılamayacaktır. Hazne bonosuna en azından hsse senetlerne yatırılan mktar kadar yatırım yapılacaktır. Paranın en az %10 u fnans sektörü hsselerne yatırılacaktır. Mert Beyn toplam aylık getrsn maksmze edecek şeklde hang yatırım enstrümanına ne kadar yatırması gerektğn bulan doğrusal programlama modeln formüle edp Ecel de çözünüz. Tüm portföyün aylık beklenen getrs ne kadar olacaktır?

62 Uygulama 2 Güven Bankası 5 farklı kred vermektedr. Bu kredlern tpler ve aylık faz oranları aşağıda verlmştr Kred Tp Faz Yüzdes (aylık) A (tcar) 5.5 B (ev) 3.5 C (oto) 5 D (ev 2) 4.5 E (kısa dönem) 6

63 Uygulama 2 Bankanın 100 trlyon TL. kred verebleceğ kaynağı vardır. Amacı se faz gelrn maksmze etmektr. Ancak verebleceğ kredlerle lgl bazı zorunlulukları vardır: C kreds, B kredsnn %25 nden fazla olamaz. A kreds en fazla D kreds kadar verleblr. Banka kredlernn en azından %50'sn B ve D tplernden vermeldr. B kreds, D kredsnn en azından 1.5 katı olmalıdır. E tp kred 10 trlyon TL y aşamaz. Bankanın kred dağıtım planını bulunuz.

64 Çok Döneml Nakt Akışı Problem Bu yapıdak problemlerde genellkle planlama dönem sonundak getr maksmze edlr. Karar verc yatırım enstrümanlarını karar değşkenler olarak seçer. Amacına ulaşmak çn hang yatırım enstrümanına ne kadar yatırım yapması gerektğn belrler. Dönemler çnde nakt akışının korunumu ve yatırım enstrümanlarına yapılablecek yatırımların alt-üst lmter modeldek kısıtları oluşturur.

65 Çok Döneml Nakt Akışı Problem Çevre Koruma Derneğnn bağışlardan topladığı ve doğal hayatı ve çevrey koruma faalyetlernde kullandığı fonlarında 500 mlyar TL brkm vardır ve bu brkm yatırımlara dağıtmak stemektedr. Dernek yatırım yapableceğ enstrümanları beş adete ndrgemştr. Bu enstrümanların nakt akış planı aşağıdak tabloda verlmştr. Nakt Akışları (her yılın başındak akışlar) Yatırım Enstrümanı A -1,00 1,00 0,70 B -1,00-1,80 C -1, ,10 D -1,00-1,85 E -1,00-1,75

66 Çok Döneml Nakt Akışı Problem Dernek A yatırım enstrümanına eğer 2003 başında 1 TL yatırırsa, 2004 başında 1 TL ve 2005 başında da 0,7 TL alacaktır. Öte yandan, eğer 1 TL sn 2004 başında B ye yatırırsa, 2006 yılı başında 1,80 TL kazanacaktır. Tablodak - şaretler nakt akışının olmadığı yatırım dönemlern göstermektedr. Her yıl başında derneğn elndek parasını yıllık %25 getr le para pyasalarında değerlendrme şansı da bulunmaktadır. Dernek, lkdtesn korumak çn en azından 50 mlyar TL y sürekl olarak para pyasalarında tutmak stemekte ve rsklerden kaçınmak çn de herhang br yatırım enstrümanına ve para pyasalarına 300 mlyar TL den fazla yatırmak stememektedr. Dernek 2006 yılı başındak toplam parasını maksmze etmek çn yatırımlarını nasıl oluşturmalıdır? Bu problem çn doğrusal programlama modeln formülze ednz. Model Ecel e uyarlayıp, Solver le çözünüz. Optmal çözüm ve karar değşkenlernn aldıkları değerler bulunuz.

67 Karar Değşkenler Çok döneml nakt akışı problemnde, her br çeştl yatırım enstrümanlarına yatırılacak mktara karşılık gelen 8 karar değşken tanımlanmalıdır. Bunlar; A = A yatırım enstrümanına yatırılan mktar B = B yatırım enstrümanına yatırılan mktar C = C yatırım enstrümanına yatırılan mktar D = D yatırım enstrümanına yatırılan mktar E = E yatırım enstrümanına yatırılan mktar P2003 = 2003 de para pyasasına yatırılan mktar P2004 = 2004 de para pyasasına yatırılan mktar P2005 = 2005 de para pyasasına yatırılan mktar

68 Amaç Fonksyonu Problemn amacı çeştl yatırım enstrümanlarına yatırılacak mktarlarla 2005 yılı sonunda elde edlecek getry maksmze etmektr. Dolayısıyla, 2005 yılında getr getren karar değşkenler le o karar değşkenne karşılık gelen yıllık getr değerler çarpılıp, sonra da tüm değerler toplanarak amaç fonksyonu elde edlr. Aşağıda amaç fonksyonu görülmektedr. Maks B C P2005

69 Kısıtlar Problemdek lk kısıt grubu, önümüzdek 3 yıl boyunca yıllık nakt grdler le nakt çıkışlarını brbrne eştleyerek nakt akışının korunumunu sağlayan kısıtlardır. A + C + D + E + P2003 = 500 A P B - P2004 = A D E P P2005 = 0

70 Kısıtlar Problemdek knc grup kısıtlar da, yatırım enstrümanlarına yatırılablecek mktarların alt-üst sınırlarını sağlayan aşağıdak kısıtlardır. A 300 P P B 300 P P C 300 P P D 300 E 300 Karar değşkenlernn negatf olamama kısıtları, A, B, C, D, E, P2003, P2003, P2003 0

71 Matematksel Model Maks B C P2005 Kısıtlar A + C + D + E + P2003 = 500 A P B - P2004 = A D E P P2005 = 0 A 300 P P B 300 P P C 300 P P D 300 E 300 A, B, C, D, E, P2003, P2003, P2003 0

72 Ecel de Modelleme Hücre Formül F14: =SUMPRODUCT($C$6:$C$13;F6:F13) G14: =SUMPRODUCT($C$6:$C$13;G6:G13) H14: =SUMPRODUCT($C$6:$C$13;H6:H13) I14: =SUMPRODUCT($C$6:$C$13;I6:I13) B C D E F G H I 2 ÇEVRE KORUMA DERNEĞİ 3 YATIRIM NAKİT AKIŞI PROBLEMİ 4 Yatırım Yatırılan Mnmum Maksmum Nakt Akışı 5 Enstrümanı Mktar Yatırım Yatırım A ,00 1,00 0,70 7 B ,00-1,80 8 C , ,10 9 D ,00-1,85 10 E ,00-1,75 11 P ,00 1,25 12 P ,00 1,25 13 P ,00 1,25 14 (mlyar TL) Toplam Gereken

73 Solver Parametreler

74 Bu çözüme göre Çevre Koruma derneğ A enstrümanına 300 mlyar TL, B enstrümanına 300 mlyar TL, C enstrümanına 144 mlyar TL, D enstrümanına 6 mlyar TL, 2003 de para pyasalarına 50 mlyar Tl, 2004 de para pyasalarına 63 mlyar TL ve 2005 de para pyasalarına 300 mlyar TL yatırmalıdır. Bu yatırım planı le 3 yılın sonunda 500 mlyar TL lk yatırmının değer TL ye çıkacaktır. Optmal Çözüm B C D E F G H I 2 ÇEVRE KORUMA DERNEĞİ 3 YATIRIM NAKİT AKIŞI PROBLEMİ 4 Yatırım Yatırılan Mnmum Maksmum Nakt Akışı 5 Enstrümanı Mktar Yatırım Yatırım A ,00 1,00 0,70 7 B ,00-1,80 8 C , ,10 9 D ,00-1,85 10 E ,00-1,75 11 P ,00 1,25 12 P ,00 1,25 13 P ,00 1,25 14 (mlyar TL) Toplam Gereken

75 Uygulama 3 Bankacı Ayşe hanım 5 yıl sonra ünversteye başlayacak olan kızı Ayln n 4 yıllık ünverste harcamaları çn şmdden tasarruf yapmaya başlamak stemektedr. Ayşe hanım ünverstenn lk yılı olan bu günden sonrak 6. yılda yıllık harcamasının 12 mlyar TL olacağını ve bu mktarın her yıl 2 mlyar TL artacağını tahmn etmektedr. Ayşe hanımın önümüzdek dönemlerde yatırım yapableceğ aşağıdak yatırım enstrümanları bulunmaktadır. Yatırım Alternatfler Yatırım Vadeler Dönemler A Her Yıl 1 yıl %30 B 1,3,5,7 2 yıl %70 C 1,4 3 yıl %105 D 1,3 5 yıl %210 E 1 7 yıl %325 Vade Sonu Getrler

76 Uygulama 3 Ayşe Hanım bu günden başlayacağı tasarruf mktarını mnmze edecek şeklde yatırımlarını planlamak stemektedr. Doğrusal programlama modeln kurup Ecel de çözünüz.

77 PORTFÖY OPTİMİZASYONU Doç.Dr.Aydın ULUCAN

78 MODERN PORTFÖY TEORİSİ Markowtz model, hedeflenen beklenen getr düzeyn karşılayacak mnmum varyanslı (mnmum rskl) portföyü bulmaya çalışır. Varsayımları,. Yatırımların getrler yatırımların çıktısı olarak fade edleblr.. Yatırımcının rsk tahmn, varlıkların ya da portföyün getrlernn varyansı le orantılıdır.. Yatırımcılar kararlarını verrken sadece beklenen getr ve getrnn varyansını model parametreler olarak kullanmaya razıdırlar. v. Yatırımcı rskten kaçma eğlm göstermektedr. Herhang br beklenen getr düzeynde, ulaşableceğ mnmum rsk, herhang br rsk düzeynde de ulaşbleceğ maksmum getry seçecektr.

79 Beklenen Getr Br varlığın beklenen getrs şu şeklde formülze edlr; µ = E N [ G ] = O. G = 1 µ Beklenen getr, E[G], O senaryosunun gerçekleşme olasılığı, G senaryosunun beklenen getrs, Nolası senaryo sayısı,

80 Rsk Ölçütler Varyans, getrler le beklenen getrnn farklarının kareler toplamı le hesaplanan br rsk ölçütüdür. Portföy optmzasyonu modellernde rsk ölçütü olarak genellkle varyanstan yararlanılır. Varyansın karekökü de standart sapmadır. var(g) = σ 2 = N = 1 O. ( G µ ) 2

81 Kovaryans İk tesadüf getrnn görel hareketlernn anlamlılığının statstksel ölçütü kovaryanstır. İk varlık arasındak kovaryans değer aşağıdak formül le elde edlr. σ N 1,2 = O.(G1, µ 1).(G2, µ 2) = 1 Eğer varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman dlmlernde aynı yönde olursa, varlıklar arasındak kovaryans poztf br değer alacaktır. Öte yandan, varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman dlmlernde farklı yönde olursa, varlıklar arasındak kovaryans negatf br değer alacaktır. Varlıkların ortalamalarından sapma değerler arasında anlamlı br lşk yoksa da, kovaryans değer sıfıra yaklaşacaktır.

82 Portföy Getrs ve Varyansı (2 varlık) [ ] B B A A P P G E µ + µ = = µ AB B A 2 B 2 B 2 A 2 A P 2 P 2 ) G var( σ + σ + σ = = σ

83 Markowtz Model Modelde amaç fonksyonu mnmze edlecek portföy varyansıdır Mn. N N = 1 j= 1 j σ j Mn. N = 1 2 σ N-1 N = 1 j= 1+ 1 j σ j

84 Markowtz Model Beklenen getr hedefnn sağlanması kısıtı N = 1 µ = R portföyde bulunan varlıkların ağırlıkları toplamının 1 olması kısıtı N = 1 = 1

85 Markowtz Model Mn. s.t. N = 1 N = 1 0 µ = 1 N = 1 j= 1 R N 1, j σ j = 1,..,N N mevcut varlık sayısı, µ varlığının beklenen getrs ( = 1,..,N), σ j ve j varlıkları arasındak kovaryans değer ( = 1,..,N), (j = 1,..,N), = j çn varlığının varyans değer, R hedeflenen beklenen getr düzey, varlığının portföy çndek oranı, (karar değşken) ( = 1,..,N),

86 Örnek Kapanış Hsse 1 Hsse 2 Hsse 3 Hsse 4 Hsse 5 Dönem Dönem Dönem Dönem Dönem Dönem Dönem Dönem Dönem Dönem