YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 1 Tahmi teoriside amaç öreklem (sample) bilgisie dayaarak aakütleye (populatio) ilişki çıkarsamalar yapmaktır. Bu çıkarsamalar aakütlei dağılımıı belirleye bilimeye parametrelere dayaır. Tahmi teoriside amaç öreklem (sample) bilgisie dayaarak aakütleye (populatio) ilişki çıkarsamalar yapmaktır. Bu çıkarsamalar öreklem değerlerii bir foksiyou ola istatistiklere dayaır. İstabul da yaşaya haehalklarıı ortalama geliri? Bua ilişki çıkarsama yapabilmemiz içi öreklem bilgisii kullaa istatistikleri, öreği öreklem ortalamasıı, öreklem dağılımıı bilmemiz gerekir. Tahmi ikiye ayrılır: Nokta Tahmii ve Aralık Tahmii Gerçek aakütle parametre değerleri (öreği aakütledeki ortalama gelir) hiçbir zama biliemeyeceğide, çıkarsama öreklem istatistikleriyle yapılır. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 2 Bir populasyo parametresii (katsayısıı) bir tahmi edicisi (estimator) öreklem bilgisii bir foksiyoudur, dolayısıyla rassal bir değişkedir. Bu rassal değişkei belli bir gerçekleşmesie, başka bir deyişle foksiyou belli öreklem içi aldığı değere, tahmi (estimate) deir. İstabul da yaşaya tüm aileleri ortalama gelirii tahmi etmek istediğimizi düşüelim. Öreklem ortalaması aakütle ortalamasıı bir tahmi edicisi olarak düşüülebilir. 100 kişilik rassal bir öreklem seçersek, bu öreklemdeki ortalama, diyelim 25348.65 YTL, aakütle ortalamasıı bir tahmiidir. Öreklemi yielesek başka bir tahmi değeri elde edeceğimiz eredeyse kesidir. Bir populasyo parametresii okta tahmi edicisi, öreklem bilgisii tek bir sayı vere bir foksiyoudur. Bua karşılık gele belli bir gerçekleşmeye ise populasyo parametresii okta tahmii deir. İstabul haehalklarıı ortalama geliri öreğide, populasyo ortalamasıı tahmi etmekte kullaıla öreklem ortalaması bir okta tahmi edicisi, 100 kişide oluşa her hagi bir rassal öreklem bilgisie dayaa 25348.65 YTL ise okta tahmiidir.
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 3 Şimdiye kadar gördüğümüz popülasyo parametreleri, okta tahmi edicileri ve tahmiler Popülasyo parametresi Tahmi edici Tahmi Ortalama (µ) X x Varyas (σ 2 ) s 2 X s 2 x Stadart Sapma (σ) s X s x Ora (p) ˆp X ˆp x YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 4 TAHMİN EDİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Aakütleye ilişki gerçeğe yakı çıkarsamalar yapabilmemiz içi doğru tahmi ediciler türetmemiz gerekir. Bir tahmi edicii e kadar doğru olduğuu belirlemek amacıyla bazı özellikleri sağlayıp sağlamadığıa bakmamız gerekir. Nokta tahmi edicilerii özelliklerii ikiye ayırabiliriz: Solu öreklem (fiite sample) özellikleri, asimptotik özellikler Solu öreklem özellikleri, büyüklüğü e olursa olsu her öreklem içi gerçerlidir. Küçük öreklem özellikleri dediği de olur. Solu öreklem özellikleri: sapmasızlık, etkilik Asimptotik ya da büyük öreklem özellikleri: tutarlılık, asimptotik etkilik, asimptotik ormallik
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 5 SAPMASIZLIK (UNBIASEDNESS) θ: Bilimeye aakütle parametresi ˆθ: θ ı okta tahmi edicisi (kısaca, t.e.) TANIM: Eğer ˆθ ı öreklem dağılımıdaki ortalaması aakütle parametresi θ ya eşitse, yai, E(ˆθ) = θ ise, ˆθ ya θ ı sapmasız bir tahmi edicisi (ubiased estimator) deir. Örekleme sürecii çok sayıda yielesek, her bir öreklem içi ˆθ yı hesaplasak, bu çok sayıda tahmi değerii ortalaması bizim bilmediğimiz aakütledeki parametre değerie (θ) eşit olur. Bir tahmi edicide geellikle araa ilk özellik sapmasızlıktır. Daha öceki derslerimizde aşağıdaki ifadeleri ispatlamıştık: E(X) = µ, E(s 2 X) = σ 2, E(ˆp X ) = p Demek ki, öreklem ortalaması aakütle ortalamasıı, öreklem varyası aakütle varyasıı, öreklem oraı da aakütle oraıı sapmasız birer tahmi edicisidirler. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 6 θ ici SAPMALI ve SAPMASIZ tahmi ediciler f ( ˆθ) ˆθ 1 i or. dag ˆθ 2 i or. dag θ ˆθ
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 7 SAPMASIZLIK (dvm) Öreklem varyası s2 X i beklee değerii aakütle varyası σ2 ye eşit olduğuu daha öce göstermiştik. Şimdi aakütle varyasıı başka bir tahmi edicisii taımlayalım. Öreklem ortalamasıda sapmaları kareleri toplamıı 1 yerie ye bölelim: ˆσ 2 = 1 (X i X) 2 Bu t.e. i sapmalı olduğu açıktır. Buu görmek içi (X i X) 2 = s 2 X ( 1) olduğuda hareketle (bkz. öreklem dağılımları) ˆσ 2 = 1 s2 X = E(ˆσ 2 ) = 1 E(s2 X) = 1 σ2 E(ˆσ 2 ) σ 2 olduğuda, ˆσ 2, σ 2 i sapmalı bir tahmi edicisidir. Özellikle küçük öreklemlerde ˆσ2 ye dayadırıla çıkarsamalar geçersiz olur. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 8 SAPMASIZLIK (dvm) Sapmasız olmaya bir tahmi ediciye sapmalı (biased) deir. Sapmaı ölçüsü tahmi edicii ortalaması ile gerçek popülasyo katsayısı arasıdaki farktır: Sapma(ˆθ) = E(ˆθ) θ Sapmasız t.e.ler içi Sapma(ˆθ) = 0 olduğu açıktır. Öreği aakütle varyasıı bir tahmi edicisi ola daha öce taımladığımız ˆσ 2 içi sapma: Sapma(ˆσ 2 ) = E(ˆσ 2 ) σ 2 = 1 σ2 σ 2 = 1 σ2 Bir tahmi edicii sapmasız olması, tahmi değerii doğru değere eşit olduğu alamıa gelmez. Soyut olarak öreklem sürecii çok sayıda tekrarladığıı düşüürsek, bu çok sayıda öreklemlerde hesaplaa tahmi değerlerii ortalamasıı bilimeye aakütle katsayısıa eşit olmasıdır.
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 9 ETKİNLİK (EFFICIENCY) Sapmasızlık tek başıa iyi tahmi ediciler türetmede yeterli değildir. Geellikle bir aakütle parametresi içi çok sayıda sapmasız tahmi edici taımlaabilir. Bu tahmi edicileri bilimeye gerçek aakütle değeri etrafıdaki değişkelikleri, yai varyasları da tahmi edicileri seçimide öemlidir. Tahmi edicileri etkiliği buları öreklem dağılımlarıdaki varyasla ilişkilidir. TANIM: ˆθ 1 ve ˆθ 2, θ ı ayı sayıda gözleme dayaa iki sapmasız tahmi edicisi olsu. Eğer V ar(ˆθ 1 ) < V ar(ˆθ 2 ) ise ˆθ 1, ˆθ 2 da daha etki bir tahmi edicidir deir. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 10 Tahmi Edicileri Etkilikleri f( ˆθ) ˆθ 1 i or. dag. ˆθ 2 i or. dag θ ˆθ
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 11 ETKİNLİK (dvm) TANIM: ˆθ 1 ve ˆθ 2, θ ı ayı sayıda gözleme dayaa iki sapmasız tahmi edicisi olsu. Bir tahmi edicii ötekie göre göreli etkiliği varyaslarıı oraıdır: ÖRNEK: 7.3 sayfa 289 Göreli etkilik = V ar(ˆθ 2 ) V ar(ˆθ 1 ) TANIM: ˆθ 1, ˆθ 2,..., ˆθ k, θ ı ayı sayıda gözleme dayaa k tae sapmasız tahmi edicisi olsu. Eğer V ar(ˆθ 1 ) < V ar(ˆθ 2 ) <... < V ar(ˆθ k ) ise ˆθ 1, bu k sapmasız tahmi edici kümesi içide e etki ya da varyası e küçük sapmasız tahmi edici deir. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 12 ÖRNEK: Ortalaması µ ve varyası σ 2 ola bir aakütlede X 1,X 2,...,X 10 ile gösterile 10 gözlemli rassal bir öreklem çekilmiştir. Aakütle ortalamasıı iki tahmi edicisi taımlaıyor: ˆθ 1 = X 1 ve ˆθ 2 = 10 1 X i. Bu tahmi edicileri sapmasız olup olmadıklarıı gösteri. Hagisi daha etkidir? CEVAP: Sapmasızlık içi E(ˆθ 1 ) = µ olmalı. E(ˆθ 1 ) = E(X 1 ) = µ olduğuda ˆθ 1, µ u sapmasız bir tahmi edicisidir. Bezer şekilde E(ˆθ 2 ) = E(10 1 X i ) = µ olduğuda ˆθ 2, µ u sapmasız bir tahmi edicisidir. Etkilik içi varyaslarıı hesaplamamız gerekir. V ar(ˆθ 1 ) = V ar(x 1 ) = σ 2 V ar(ˆθ 2 ) = V ar(10 1 X i ) = 0.01σ 2 Açıktır ki V ar(ˆθ 2 ) < V ar(ˆθ 1 ) olduğuda ˆθ 2, ˆθ 1 da daha etki bir tahmi edicidir. Göreli Etkilik= V ar(x 1 ) V ar(10 1 X i ) = σ2 0.01σ 2 = 10
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 13 ORTALAMA HATA KARESİ (MEAN SQUARED ERROR) Sapmasız tahmi edicileri varyaslarıı karşılaştırarak e etki olaıı çıkarsama yapmakta kullaabiliriz. Sadece sapmasız tahmi edicileri değil sapmalı olaları da gözöüde buludurmak istersek varyasları karşılaştırmak çok alamlı olmayabilir. Buu yerie Ortalama Hata Karesi (MSE) kullaılabilir: MSE(ˆθ) = E[(ˆθ θ) 2 ] Ortalama Hata Karesii aşağıdaki ifadeye eşdeğer olduğu gösterilebilir: MSE(ˆθ) = V ar(ˆθ) + (Sapma(ˆθ)) 2 MSE ˆθ ı gerçek aakütle parametreside ortalamada e kadar uzakta olduğuu ölçer. MSE varyas ve sapmaya bağlı olduğuda sapmalı tahmi edicileri karşılaştırılmasıda kullaılabilir. Sapma sıfır olduğuda MSE varyasa eşittir. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 14 ORTALAMA HATA KARESİ (MEAN SQUARED ERROR) ÖRNEK: Aakütle varyası σ 2 yi tahmi etmek içi aşağıdaki iki tahmi ediciyi taımlamıştık: ˆσ 2 = 1 (X i X) 2, ve s 2 = 1 (X i X) 2 1 Daha öce E(ˆσ 2 ) = 1 σ2 ve E(s 2 ) = σ 2 olduğuu göstermiştik. Yai ˆσ 2 sapmalı, s 2 ise sapmasız bir tahmi ediciydi. Burada hareketle ortalama hata kareleri: MSE(ˆσ 2 ) = V ar(ˆσ 2 ) + [Sapma(ˆσ 2 )] 2 Burada ˆσ 2 = 1 s2 ve V ar(s 2 ) = 2σ4 1 olduğua dikkat edilirse ki-kare dağılımıı özellikleride hareketle ( ) ( 1) ( ) 1 V ar ˆσ2 ˆσ 2 σ 2 = V ar σ 2 = 2( 1) Burada da 2 σ 4 V ar(ˆσ2 ) = 2( 1) = V ar(ˆσ 2 ) = 2( 1) 2 σ 4
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 15 ORTALAMA HATA KARESİ (MEAN SQUARED ERROR) ÖRNEK (dvm): Öyleyse ˆσ 2 içi ortalama hata karesi: s 2 içi ortalama hata karesi MSE(ˆσ 2 ) = V ar(ˆσ 2 ) + [Sapma(ˆσ 2 )] 2 2( 1) = 2 σ 4 + ( 1 ) 2 σ2 = (2 1) 2 σ 4 MSE(s 2 ) = V ar(s 2 ) + Sapma(s 2 ) = 2 1 σ4 + 0 = 2 1 σ4 YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 16 NOKTA TAHMİN EDİCİLERİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Aakütle ortalamasıı tahmi etmek içi gözlemli bir rassal öreklemde okta t.e. olarak bu öreklem değerleride sadece birii, mesela X 1, kulladığımızı düşüelim. Bu durumda öreklem bilgisii tamamıı kullaılmadığıa dikkat edi. Bu tahmi edicii sapmasız olduğuu acak öreklem ortalamasıa göre varyasıı çok büyük olduğuu daha öce görmüştük. Öreklemi boyutu e olursa olsu bu tahmi edicii varyası değişmeyecektir. Çoğu durumda gözlem sayısı arttıkça tahmi sürecii daha iyi souçlar vermesii bekleriz. Öreği, büyürke, X ı varyası küçülür, böylece µ ya belli bir hızda yaklaşır. X 1 gibi bir t.e. ise büyüdükçe değişmez. X 1 gibi aptalca tahmi edicileri buları asimptotik özelliklerii iceleyerek eleyebiliriz.
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 17 NOKTA TAHMİN EDİCİLERİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Asimpototik özellikleri iceleme edeleride biri de, bazı durumlarda tahmi edicileri küçük öreklem özelliklerii açıkça ifade edilememesidir. Böyle bir durumda, tahmi ediciler arasıda sapmasızlık ve etkilik bakımıda karşılaştırma yapmak olaaklı olmaz. Çoğu durumda tahmi edicileri öreklem büyüklüğü artarke ( sosuza giderke)ki davraışlarıı icelemek daha kolay olabilir. Asimptotik özellikler: tutarlılık, asimptotik etkilik YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 18 NOKTA TAHMİN EDİCİLERİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ TUTARLILIK (CONSISTENCY) Taım: İlgilediğimiz bilimeye populasyo parametresi θ ola bir aakütlede çekilmiş boyutlu bir rassal öreklem X 1,X 2,...,X olsu. Bu rassal örekleme dayaarak θ ı ˆθ gibi bir t.e. taımlaıyor. İstediğimiz kadar küçük seçebileceğimiz her ǫ > 0 değeri içi [ ] [ ] lim P ˆθ θ < ǫ = 1 ya da lim P ˆθ θ > ǫ = 0 koşulu sağlaıyorsa ˆθ, θ ı tutarlı bir tahmi edicisidir. Bu koşul sağladığıda θ, ˆθ ı olasılık limitidir deir ve kısaca şöyle gösterilir: plim(ˆθ ) = θ Tutarlılığı alamı şudur: ˆθ ı örekleme dağılımı büyük öreklemlerde ( sosuza giderke) bilimeye aakütle parametre değeri θ etrafıda yoğulaşır. Bir başka deyişle tutarlı bir tahmi edici içi, büyürke doğru aakütle değeride uzaklaşma olasılığı azalır, limitte sıfır olur.
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 19 Law of Large Numbers: X 1,X 2,...,X ortalaması µ, varyası σ 2 ola bir aakütlede çekilmiş rassal bir öreklem (iid) olsu. Büyük sayılar yasasıa göre plim(x ) = plim ( 1 ) X i = µ V ar(x ) limitte sıfıra yakısadığıda öreklem ortalaması limitte bekleti değeri ola µ ya yakısar. Gözlem sayısı arttıkça X leri aakütle ortalaması hakkıda daha fazla bilgi toplamış olur. Souçta bireysel olarak X lerdeki rassallık ortada kalkar ve öreklem ortalaması popülasyo ortalamasıa yakısar.buu gerçekleşebilmesi içi i.i.d. varsayımı yeterlidir. büyüdükçe varyasları küçüle (limitte sıfır ola) t.e. tutarlıdır. Tutarlılık özelliğii sağlamaya tahmi edicilere tutarsız (icosistet) t.e. deir. Eğer bir t.e. tutarsız ise sosuz sayıda öreklem değerleri olsa bile aakütle parametresi hakkıda bilgi sahibi olmamıza imka taımaz. Tutarlı bir tahmi edici sapmalı olabileceği gibi tersi de doğru olabilir. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 20 Bir tahmi edicii tutarlı olabilmesi içi aşağıdaki iki koşulu sağlaması yeterlidir: 1. lim E(ˆθ ) = θ 2. lim V ar(ˆθ ) = 0 Birici koşula göre, gözlem sayısı arttıkça tahmi edicii beklee değeri limitte bilimeye doğru değere yakısar. Bir başka deyişle sosuza giderke sapma sıfıra yakısar. İkici koşula göre, gözlem sayısı arttıkça aakütle parametresii doğru değeri çevresideki değişkelik azalır, limitte sıfır olur. Eğer bu koşul sağlamıyorsa, diyelim ki gözlem sayısı arttıkça tahmi edicii varyası artıyor ya da sabit kalıyorsa tutarlılık sağlamaz.
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 21 ÖRNEK: Ortalaması µ, varyası σ 2 ola bir populasyoda boyutlu bir öreklem çekilmiştir: X 1,X 2,...,X. Öreklem ortalaması X ı yaı sıra aşağıdaki tahmi ediciler taımlaıyor: ˆµ 1 = 1 + 1 X t, ˆµ 2 = 1.02 ˆµ 1 = +1 X olarak yazılabileceğie dikkat edi. X t, ˆµ 3 = 0.01X 1 + 0.99 1 Bu tahmi edicileri sapmasız ve tutarlı olup olmadıklarıı gösteri. Birici tahmi edici sapmalı acak tutarlıdır. ( ) E(ˆµ 1 1 ) = E X t = µ = sapmalı + 1 + 1 ( V ar(ˆµ 1 1 ) = V ar + 1, ) X t = 2 ( + 1) 2 V ar(x ) = i=2 2 ( + 1) 2 σ 2 = + 1 µ µ, ve ( + 1) 2 σ2 0 = tutarlı X t ( + 1) 2 σ2 YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 22 ÖRNEK: İkici tahmi edici sapmalı ve tutarsızdır: ( ) E(ˆµ 2 1.01 ) = E X t = 1.01E(X ) = 1.01µ = sapmalı, 1.01X 1.01µ = tutarsız Üçücü tahmi edici sapmasız ve tutarsızdır: ( E(ˆµ 3 ) = 0.01E(X 1 )+ 0.99 ) 1 E X t = 0.01µ+ 0.99 ( 1)µ = µ = sapmasız 1, E ( i=2 0.01X 1 + 0.99 1 ) X t 0.01X 1 + 0.99µ = tutarsız i=2
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 23 ÖRNEK: Aakütle varyası σ 2 yi tahmi etmek içi aşağıdaki iki tahmi ediciyi taımlamıştık: ˆσ 2 = 1 (X i X) 2, ve s 2 = 1 1 (X i X) 2 ˆσ 2 ı sapmalı olduğuu göstermiştik. Acaba tutarlı mı? Buu görmek içi sosuza giderke sapmaı sıfıra, varyası da sıfıra yakısadığıı göstermek yeterlidir:, ( 1 ) σ2 0, V ar(ˆσ 2 ) = 2( 1) 2 σ 4 0 = tutarlı YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 24 Kouyu daha iyi alamak içi bilgisayarda şu Mote Carlo deeyii yapalım: Uiform(0,1) dağılımıa uya aakütlede boyutlu rassal öreklemler çektiğimizi ve her öreklem içi aşağıdaki t.e. değerlerii hesapladığımızı düşüelim. ˆσ 2 = 1 (X i X) 2, ve s 2 = 1 1 (X i X) 2 Öreklem büyüklüklerii şu şekilde belirleyelim: = {2, 5, 10, 15, 20, 50, 100, 1000, 5000, 10000}. Bu deeyi her bir öreklem içi 10000 kere tekrarlayalım. Her öreklem büyüklüğü içi bu 10000 sayıı ortalamasıı ve varyasıı hesaplayalım.
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 25 Bu deey içi aşağıdakie bezer bir MATLAB kodu kullaılabilir: = [2 5 10 15 20 50 100 1000 5000 10000] ; N = 10000; for :N for j=1:legth(); x = rad((j),1); xbar = mea(x); ssqdev = sum((x-xbar).^2); sigmahat2(i,j) = ssqdev/(j); s2(i,j) = ssqdev/((j)-1); ed ed YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 26 Daha öce E(ˆσ 2 ) = 1 σ2 ve E(s 2 ) = σ 2 olduğuu göstermiştik. Yai ˆσ 2 sapmalı, s 2 ise sapmasız bir tahmi ediciydi. Bu iki tahmi edicii varyasları: V ar(ˆσ 2 ) = 2( 1)σ4 2, V ar(s 2 ) = 2σ4 1 Görüldüğü gibi ˆσ 2, s 2 de daha etki bir tahmi edici acak sapmalı. s 2 ise sapmasız fakat özellikle küçük öreklemlerde diğer t.e.ye göre daha büyük varyaslıdır. Ayrıca, ortalama hata kareleri: MSE(ˆσ 2 ) = (2 1) 2 σ 4, MSE(s 2 ) = 2 1 σ4
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 27 Aakütle Uiform(0,1) olduğuda µ = 1/2 ve σ 2 = 1/12. Burada da verilmiş vektörü içi bu iki t.e. i büyük öreklem özellikleri teorik olarak şöyle hesaplaabilir: 1 ( 1)σ 2 σ2 2( 1)σ 4 2 2σ 4 1 2 0.500000000 0.041666667-0.041666667 0.000024113 0.000096451 5 0.800000000 0.066666667-0.016666667 0.000015432 0.000024113 10 0.900000000 0.075000000-0.008333333 0.000008681 0.000010717 15 0.933333333 0.077777778-0.005555556 0.000006001 0.000006889 20 0.950000000 0.079166667-0.004166667 0.000004581 0.000005076 50 0.980000000 0.081666667-0.001666667 0.000001890 0.000001968 100 0.990000000 0.082500000-0.000833333 0.000000955 0.000000974 1000 0.999000000 0.083250000-0.000083333 0.000000096 0.000000097 5000 0.999800000 0.083316667-0.000016667 0.000000019 0.000000019 10000 0.999900000 0.083325000-0.000008333 0.000000010 0.000000010 YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 28 Mote Carlo deeyi souçları: ˆσ i Ort. s 2 i Ort. Sapma(ˆσ) Sapma(s 2 ) 2 0.0412110 0.0824221-0.0421223-0.0009113 5 0.0672237 0.0840296-0.0161097 0.0006963 10 0.0746397 0.0829330-0.0086937-0.0004004 15 0.0779410 0.0835082-0.0053924 0.0001748 20 0.0794739 0.0836568-0.0038594 0.0003234 50 0.0817036 0.0833711-0.0016297 0.0000377 100 0.0825385 0.0833722-0.0007948 0.0000389 1000 0.0832348 0.0833181-0.0000986-0.0000153 5000 0.0832990 0.0833157-0.0000343-0.0000176 10000 0.0833205 0.0833289-0.0000128-0.0000045
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 29 Mote Carlo deeyi souçları: V ar(ˆσ) V ar(s 2 ) Fark 2 0.0023832456 0.0095329825-0.0071497368 5 0.0011553665 0.0018052601-0.0006498937 10 0.0005573343 0.0006880671-0.0001307327 15 0.0003806150 0.0004369305-0.0000563155 20 0.0002934125 0.0003251109-0.0000316983 50 0.0001116555 0.0001162593-0.0000046039 100 0.0000551609 0.0000562809-0.0000011200 1000 0.0000054411 0.0000054520-0.0000000109 5000 0.0000011273 0.0000011278-0.0000000005 10000 0.0000005534 0.0000005535-0.0000000001 YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 30 Olasılık Limitii Özellikleri: Bir rassal değişkei olasılık limiti gözlem sayısı arttıkça r.d. i yakısadığı değer olarak taımlamıştı: plim(y ) = α plim i e öemli özelliği şudur: Y i herhagi g(y ) bir doğrusal olmaya sürekli foksiyou içi plimg((y )) = g(plim(y )) = g(α) Öreği, öreklem ortalamasıı sürekli bir foksiyou, X > 0 içi g(x ) = l(x ) olarak taımlası. Bekleti operatörüü doğrusal olmaya foksiyolara uygulaamadığıı biliyoruz. Acak Plim kavramıı kullaarak E(l(X )) l(e(x )) plim(l(x )) = l(plim(x )) = l(µ) yazabiliriz.
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 31 Olasılık Limitii Özellikleri: plim işlemii ilgilediğimiz tahmi edicii sürekli ve doğrusal olmaya foksiyoları içi de kullaabileceğimizi gördük. Daha öce öreklem varyasıı sapmasız olduğuu göstermiştik: s 2 = 1 1 (X i X) 2 Bu tahmi edici tutarlıdır: plims 2 = σ 2. Aakütle stadart sapmasıı σ tahmi edicisi olarak s = s 2 taımlası. Bu tahmi edici sapmalıdır: E(s ) E(s 2 ) Acak plim kavramıı kullaarak, sosuza giderke s, σ ı tutarlı bir tahmi edicisidir. plim(s ) = plim(s 2 ) = σ 2 = σ YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 32 Olasılık Limitii Özellikleri: Y ve W iki tahmi edicisi olsu. Buları olasılık limitleri plim(y ) = α ve plim(w ) = β olarak taımlası. Öyleyse plim(y + W ) = plim(y ) + plim(w ) = α + β plim(y W ) = plim(y )plim(w ) = αβ plim(y /W ) = plim(y )/plim(w ) = α/β Bu özellikler kullaılarak tutarlı t.e.leri çeşitli foksiyolarıda hareketle yei tutarlı t.e.ler türetilebilir. Öreği Y 1,Y 2,...,Y lise eğitimie sahip çalışalarda oluşa bir aakütlede çekilmiş yıllık ücretleri ifade ede boyutlu bir rassal öreklem olsu.buları aakütle ortalaması µ Y olsu. Bezer şekilde, Z 1,Z 2,...,Z üiversite eğitimie sahip çalışalarda oluşa bir aakütlede çekilmiş yıllık ücretleri ifade ede boyutlu bir rassal öreklem olsu. Buları aakütle ortalamasıa da µ Z olsu. Bu iki grup arasıdaki yüzde ücret farkıı α = (µ Z µ Y )/µ Y, tahmi etmek istediğimizi düşüelim. Y, µ Y ı, Z de, µ Z i tutarlı bir t.e. olduğuda (Z Y )/Y, α ı tutarlı bir t.e.dir.
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 33 ASİMPTOTİK NORMALLİK Tutarlılık özelliği tahmi edicii yakısayacağı popülasyo parametresi hakkıda bilgi verse de, bu değer çevresideki dağılımı şekli ile ilgili bilgi vermez. Güve aralıklarıı oluşturulabilmesi ve hipotez testlerii yapılabilmesi içi tahmi edicileri limitteki dağılımlarıı bilimesi gerekir. Çoğu tahmi edicii limitteki ( sosuza giderke) dağılımı ormal dağılıma uyar. Bua asimptotik ormallik deir: {Z : = 1,2,...,} bir r.d. dizisi olsu. Φ(z) stadart ormal dağılım (cdf) olmak üzere Her z sayısı içi P(Z z) Φ(z) koşulu sağlaıyorsa Z asimptotik stadart ormal dağılıma sahiptir deir. Bu kısaca şöyle gösterilir: Z N(0,1) veya Z N(0,1) Örek: Merkezi Limit Teoremi: Daha öce iceledik. Aakütle hagi dağılıma sahip olursa olsu, belli varsayımlar altıda, sosuza giderke stadardize edilmiş öreklem ortalaması asimptotik stadart ormal dağılıma uyar.