INSA394 İnşaat Mühendisliğinde Yapım ve Ekonomi Doç. Dr. Gürkan Emre Gürcanlı İTÜ İnşaat Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü
Para Yönetimi ve Paranın Zaman Değeri
Para Yönetimi ve Paranın Zaman Değeri Nominal ve Efektif Faiz Oranları Eşdeğerlik Hesaplamaları Faiz Oranlarını Değiştirme Borç Yönetimi
Nominal vs. Efektif Faiz Oranları 1. Eğer ödemeler yıllık ödemelerden daha sık olursa (örn: aylık), ekonomik eşdeğerliği nasıl hesaplarız? 2. Eğer faiz periyodu yıllık değil ise, ekonomik eşdeğerliği nasıl hesaplarız? 3. Ticari krediler nasıl yapılandırılır? 4. Borcumuzu nasıl yönetmeliyiz?
Nominal vs. Efektif Faiz Oranları Nominal/Yıllık Faiz Oranı (Annual percentage rate, APR): Yıllık bazda belirtilen faiz oranı. Ancak hangi sıklıkla birleşik faiz uygulanacağı belli değil. Efektif Faiz Oranı: Yıllık veya başka bir periyot uzunluğu için gerçekte kazanılan faiz oranı. Yıllık %18 bileşik aylık: Nominal faiz: %18 Aylık efektif faiz = 18/12 = %1,5
Nominal vs. Efektif Faiz Oranları Efektif yıllık faiz oranı (effective annual interest rate), i a? i a M ( 1 r / M ) 1 r = yıllık nominal faiz oranı M = bir yıldaki faiz periyotlarının sayısı
Nominal vs. Efektif Faiz Oranları Soru: Aylık bileşik faizi %1.5 olan bir kredi kartınız olsun. Bu kartın yıllık nominal ve efektif faiz oranları nedir? Cevap: Nominal (bir yıl bazında) r = (%1.5)*(12)= %18 i a = (1 + 0,18/12) 12 1 = 0.1956 veya F i a $1(1 i) 12 $1(1 0.015) = $1.1956 0.1956 veya %19.56 12
Nominal vs. Efektif Faiz Oranları %18 : %1.5 %18 aylık bileşik veya Aylık %1.5 (12 ay için) = %19.56 yıllık bileşik
Ödeme Periyodu(i) Başına Efektif Faiz Oranı Efektif faiz oranı ödeme periyodu ve faiz periyodu farklı olduğunda hesaplanmalıdır. i (1 r / M ) C 1 [1 r / CK ] C 1 C = ödeme periyodu başına faiz periyotlarının sayısı K = yılda ödeme periyodu sayısı r/k = ödeme periyodu başına nominal faiz oranı M = C * K : Bir yıldaki faiz periyotlarının sayısı
Ödeme Periyodu(i) Başına Efektif Faiz Oranı Örnek: Bir mevduat hesabına 3 aylık periyotlarda yıllık %12 aylık bileşik faiz ile para yatırmış olalım. 3 aylık periyot için efektif faiz oranı nedir?
Ödeme Periyodu(i) Başına Efektif Faiz Oranı %12 aylık bileşik Ödeme periyodu = çeyrek (K = 4 çeyrek/yıl) Bileşik periyot = ay (C = 3 ay/çeyrek) 1 2 3 4 %1 %1 %1 %3.030 Bir Yıl Çeyrek yıl başına efektif faiz oranı i 3 (1 0.01) 1 %3.030 Efektif yıllık faiz oranı i i a a 12 (1 0.01) 1 %12.68 4 (1 0.03030) 1 %12.68
Ödeme Periyodu(i) Başına Efektif Faiz Oranı Örnek: Eğer hesaba para yatırmalar 6 aylık ve yıllık %14 aylık bileşik faiz uygulanıyor ise, 6 aylık efektif faiz nedir? Yıllık nominal faiz, r = %14 Ödeme periyodundaki faiz dönemi, C= 6 Yılda yapılan ödeme, K= 2 M = C * K = 6 * 2 = 12 i= (1+ r/ CK) C 1= (1 + 0,14/12) 6 1 =%7.21
Ödeme Periyodu Başına Efektif Faiz Oranı - Sürekli Bileşik i C [ 1 r / CK] 1 CK = yıldaki bileşik periyot sayısı Sürekli bileşik => C i lim[(1 r / CK) C 1] e r / K 1
Ödeme Periyodu Başına Efektif Faiz Oranı - Sürekli Bileşik Örnek (5.4): Başlangıçta $1,000 para yatırmış olalım, yıllık nominal faiz %8 den aşağıdaki durumlar için 4 aylık periyot başına efektif faiz oranını hesaplayınız: (a) haftalık (b) günlük ve (c) sürekli bileşik faiz. Ayrıca, her bir bileşik faiz periyoduna göre 3 yılın sonundaki hesap bakiyesini bulunuz.
Ödeme Periyodu Başına Efektif Faiz Oranı 1. DURUM 1. çeyrek %8 çeyrek bileşik ödeme periyodu, K = çeyrek faiz periyodu, C = çeyrek 2. çeyrek 3. çeyrek 4. çeyrek 1 faiz periyodu Verilen r = %8, K = yılda 4 ödeme C = çeyrek başına 1 faiz periyodu M = yılda 4 faiz periyodu i C [1 r / CK] 1 1 [1 0.08/(1)(4)] 1 %2.00 (çeyrek başına)
Ödeme Periyodu Başına Efektif Faiz Oranı 2. DURUM 1. çeyrek %8 aylık bileşik ödeme periyodu, K = çeyrek faiz periyodu, C = aylık 2 3 4 3 faiz periyodu Verilen r = %8, K = yılda 4 ödeme C = çeyrek başına 3 faiz periyodu M = yılda 12 faiz periyodu i C [1 r / CK] 1 3 [1 0.08/(3)(4)] 1 %2.013 çeyrek başına
Ödeme Periyodu Başına Efektif Faiz Oranı 3. DURUM 1. çeyrek %8 haftalık bileşik ödeme periyodu, K = çeyrek faiz periyodu, C = haftalık 2 3 4 13 faiz periyodu Verilen r = %8, K = yılda 4 ödeme C = çeyrekte 13 faiz periyodu (52/4) M = yılda 52 faiz periyodu i C [1 r / CK] 1 13 [1 0.08/(13)(4)] 1 %2.0186(çeyrek başına)
Ödeme Periyodu Başına Efektif Faiz Oranı 4. DURUM 1. çeyrek %8 sürekli bileşik ödeme periyodu, K = çeyrek faiz periyodu, C = sürekli 2 3 4 faiz periyodu Verilen r = %8, K = yılda 4 ödeme C = i e e r/ K 0.02 1 1 2.0201% (çeyrek başına)
SONUÇ: Çeyrek Başına Efektif Faiz Oranları Durum 0 Durum 1 Durum 2 Durum 3 %8 %8 %8 %8 çeyrek bileşik aylık bileşik haftalık bileşik sürekli bileşik Ödeme periyodu: çeyrek Ödeme periyodu: çeyrek Ödeme periyodu: çeyrek Ödeme periyodu: çeyrek %2.000 (çeyrek başına) %2.013 (çeyrek başına) %2.0186 (çeyrek başına) %2.0201 (çeyrek başına)
Efektif Faiz Oranları İle Eşdeğerlik Analizi
Efektif Faiz Oranları İle Eşdeğerlik Analizi Adım1: Ödeme periyodunu belirle (örn: yıllık, çeyrek yıllık, aylık, haftalık v.b.) Adım 2: Faiz periyodunu belirle. Adım 3: Ödeme periyoduna karşı gelen efektif faiz oranını hesapla.
Durum I: Ödeme Periyodu ve Bileşik Periyot Aynı Adım 1: Yıldaki bileşik periyotların sayısını (M) belirle (para yılda kaç kez para kazandırıyor) Adım 2: Ödeme periyodu başına efektif faiz oranını (i) hesapla: i = r/m Adım 3: Toplam ödeme periyotlarının sayısını (N) belirle: N = M * (Yıl sayısı) Adım 4: i ve N değerlerini uygun faiz formülünde kullanarak hesap yap.
Durum I: Ödeme Periyodu ve Bileşik Periyot Aynı ÖRNEK Örnek: İş makinası Ödemeleri Bir fabrika için alınacak Forklift ile ilgili ödeme planı, üretici firma tarafından aşağıdaki şekilde verilmektedir %8,5 nominal faiz. Tüm modellerde 48 ay vade. $21,599 dan başlayan fiyatlar. Bu fiyat üzerine sadece satış vergisi ve %1 nakliye ve kurulum ücreti eklenecektir %4 satış vergisi = $863.96 %1 bayi taşıma ücreti = $215.99 Toplam fiyat = $ 22, 678.95 SORU: Başlangıçta $2,678.95 peşinat verebiliyoruz, aylık taksit ne kadar olur?
Durum I: Ödeme Periyodu ve Bileşik Periyot Aynı ÖRNEK Araç Kredisi Ödemeleri Verilenler: Fatura fiyatı = $21,599 Satış vergisi (%4) = $21,599 (0.04) = $863.96 Taşıma ücreti = $21,599 (0.01) = $215.99 Toplam satış fiyatı = $22,678.95 Peşinat = $2,678.95 Bayi faiz oranı = %8.5 (yıllık) Vade = 48 ay İstenen: aylık ödeme
Durum I: Ödeme Periyodu ve Bileşik Periyot Aynı Örnek: Araç Kredisi Ödemeleri $22678,95 0 1 2 3 4 48 A Verilen: P = $ 22.678,95, r = %8,5 (yıllık) K = 12 ödeme (yılda) N = 48 ödeme periyodu İstenen: A Adım 1: M = 12 Adım 2: i = r/m = %8.5/12 = %0.7083 (aylık) Adım 3: N = (12)(4) = 48 ay Adım 4: A = $ 22,678.95 (A/P, %0.7083,48) = $559
Durum II: Ödeme Periyodu ve Bileşik Periyot Farklı Adım 1: Aşağıdaki parametreleri belirle: M = bir yıldaki bileşik periyotların sayısı K = bir yıldaki ödeme sayısı C = ödeme periyodundaki faiz periyodu sayısı Adım 2: Ödeme periyodu başına efektif faiz oranını hesapla: C Kesikli bileşik faiz için: i 1 r / CK] [ 1 Sürekli bileşik faiz için: i r e / K 1 Adım 3: Toplam ödeme periyotlarını sayısını belirle: N = K * (Yıl sayısı) Adım 4: i ve N değerlerini uygun eşdeğerlik formülünde kullan.
Durum II: Ödeme Periyodu ve Bileşik Periyot Farklı Örnek : Yıllık %12 aylık bileşik faizi olan bir hesaba 3 aylık periyotlarda $1000 yatırmış olalım. Üç yıl sonraki hesap bakiyesini hesaplayınız. Eğer %12 sürekli bileşik faiz uygulansaydı, sonuç nasıl değişirdi?
Durum II: Ödeme Periyodu ve Bileşik Periyot Farklı Örnek (5.6): Aylık bileşik 1.yıl 2.yıl 3.yıl 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 F =? 12 Çeyrekler A = $1,000 Adım 1: M = 12 bileşik periyot/yıl K = 4 ödeme/yıl C = 3 faiz periyodu/çeyrek Adım 2: Ödeme periyodunun efektif faizi 3 i [1 0.12 /(3)(4)] 1 3.030% Adım 3: N = (4 çeyrek/yıl)(3 yıl) = 12 çeyrek Adım 4: F = $1,000 (F/A, %3.030, 12) = $14,216.24
Durum II: Ödeme Periyodu ve Bileşik Periyot Farklı Örnek : Sürekli bileşik 1. yıl 2. yıl 3. yıl 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A = $1,000 F =? çeyrekler Adım 1: K = 4 ödeme periyodu/yıl C = faiz periyodu Adım 2: 0,12/ 4 Adım 3: i e Yaz İKT 321 2008 Mühendislik Ekonomisi 1 %3,045 çeyrek için N = (4 çeyrek/yıl)(3 yıl) = 12 çeyrek Adım 4: F = $1,000 (F/A, %3.045, 12) = $14,228.37
Durum II: Ödeme Periyodu ve Bileşik Periyot Farklı Örnek : Yıllık %10 üç aylık bileşik faiz uygulayan bir yatırım hesabına aylık 500 YTL yatırmış olalım. 10 yıl sonundaki hesap bakiyemiz ne olurdu?
Durum II: Ödeme Periyodu ve Bileşik Periyot Farklı Örnek (5.8): R = %10 K= 12 ödeme periyodu/yıl C= 1/3 faiz periyodu/ödeme periyodu M= 4 bileşik periyot/yıl i = (1+0.1/4) 1/3 1 = %0.826 (aylık) N= (12 ay/yıl) (10 yıl)= 120 aylık ödeme F= 500 (F/A, %0.826, 120) = 101,907.89 YTL
Durum II: Ödeme Periyodu ve Bileşik Periyot Farklı Bir önceki örnekte (5.8) paramız 3 aylık dönemde (bileşik periyot) hiç faiz getirmeseydi 10 yılın sonunda kaç liramız olurdu? i= %10 / 4= %2.5 / 3 aylık A= 3 * (500) = 1500 çeyrek yıllık ödeme N= (4 ödeme/yıl) * (10 yıl) = 40 ödeme F= $ 1500 (F/A, %2.5, 40) = 101,103.83
Değişik faiz oranları Örnek (5.11): Bir bireysel emeklilik planı ilk iki yılda yıllık %6 aylık bileşik faiz ve sonraki 3 yılda ise yıllık %9 aylık bileşik faiz uygulamaktadır. 2000 YTL yatırdığınız hesabın 5 yıl sonundaki bakiyesini hesaplayınız.
Değişik faiz oranları Örnek Çözüm: I = %6 / 12 = %0.5 aylık faiz N = (12 ay/yıl)*(2 yıl) = 24 ay İstenen: 5 yıl sonraki değeri (F) F1 = 2000 (F/P, %0.5, 24) = 2,254 I = %9 / 12 = %0.75 aylık faiz N = (12 ay/yıl)*(3 yıl) = 36 ay F = 2,254 (F/P, %0.75, 36) = 2,950
Değişik faiz oranları Örnek : Aşağıdaki nakit akışına eşdeğer eş ödemeli (düzgün) nakit akış serisini bulunuz. $100 $200 $250 i 1 =%5 i 2 =%7 i 3 =%9 0 1 2 3
Değişik faiz oranları Örnek (5.12) Çözümü: P = P 1 + P 2 + P 3 P = $100 (P/F, %5, 1) + $200 (P/F, %7, 1)(P/F, %5, 1) + $250 (P/F, %9, 1) (P/F, %7, 1) (P/F, %5, 1) = $477.41 P = A (P/A,i,n) $477.41= A (P/F, %5, 1) + A (P/F, %7, 1) (P/F, %5, 1) + A (P/F, %9, 1) (P/F, %7, 1) (P/F, %5, 1) 477.41= 2.6591A A= $179.54
Borç/Kredi Yönetimi
Borç/Kredi Yönetimi
Ticari Krediler Amortize Krediler Efektif faiz oranı belirtilmiştir. Faiz en son bakiyeye göre hesaplanır. Taksitli ödeme yapılır. Örn: taşıt kredisi, ev kredisi, çoğu ticari krediler. B n = n. periyot sonundaki bakiye In = n. periyottaki faiz ödemesi, In = Bn-1*i Pn = n. periyottaki ana para ödemesi A = In + Pn
Ticari Krediler Add-on Krediler Toplam faizi önceden hesaplamak için gerekli basit faiz oranı belirtilmiştir. A = Ana Para + Toplam Basit Faiz Ödeme Sayısı Örn: beyaz eşya, mobilya kredileri
Ticari Krediler Tablolama Yöntemi Örnek (5.13): Bir bankadan ev tadilatı için $5000 kredi almış olalım. Kredi ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir: Kredi miktarı = $5000 Sözleşme periyodu = 24 ay Yıllık faiz oranı = %12 Bakiye, faiz ödemesi ve ana para ödemelerini gösteren ödeme tablosu hazırlayınız.
Ticari Krediler Tablolama Yöntemi Örnek (5.13): Verilen: P = $5,000, i = 12% APR, N = 24 months İstenen: A A = $5,000(A/P, 1%, 24) = $235.37
Ticari Krediler Tablolama Yöntemi Örnek (5.13): Kredi miktarı = $5000 Sözleşme periyodu = 24 ay Yıllık faiz oranı = %12 n Bakiye Aylık Ödeme Faiz Ödemesi Ana Para Ödemesi 1 5.000 TL 235 TL 50 TL 185 TL 2 4.815 TL 235 TL 48 TL 187 TL 3 4.627 TL 235 TL 46 TL 189 TL 4 4.438 TL 235 TL 44 TL 191 TL 5 4.247 TL 235 TL 42 TL 193 TL 6 4.054 TL 235 TL 41 TL 195 TL 7 3860 TL 236 TL 39 TL 197 TL
Ticari Krediler Tablolama Yöntemi Örnek (5.13): Herhangi bir ayda borcunuzu ödemek istiyorsunuz. Ne kadar ödemeniz lazım?
Ticari Krediler Tablolama Yöntemi Çözüm: Geri kalan ödemelerin o anki (ödemeyi yapacağınız zamanki) değeri, ödemeniz gereken değerdir. Mesela 6. ayda borcunuzu kesmek isterseniz: B 6 = $235.37 (P/A, %1, (24 6)) = $3,859.62
Ticari Krediler Tablolama Yöntemi Örnek (5.13): 7. aydaki aylık ödemenin ne kadarı ana para ödemesi olacak, ne kadarı faize gidecek? Çözüm: 6. ay sonunda bakiye ne ise onun 1 aylık faizi 7. ayın faiz ödemesi olacaktır. Geri kalan ise, ana para ödemesidir. Faiz 7 = [$235.37 (P/A, %1, (24 6)) ] * %1
Ticari Krediler Add-on Kredi Örnek (5.15): Aylık eşit taksitli ve add-on faiz oranı %12 olan 2 yıl vadeli $5,000 kredi almış olalım. Bu kredinin aylık taksit tutarını hesaplayınız. Bu add-on kredi için efektif ve nominal faiz oranlarını hesaplayınız. Add-on Faiz = (Yıllık Faiz Oranı)(Ana Para)(Süre) = (0.12)($5,000)(2) = $1,200 Ana para + add-on faiz = $5,000 + $1,200 = $6,200 Aylık Taksitler A = $6,200/24 = $258.33
Ticari Krediler Add-on Kredi Örnek (5.15): $5,000 0 1 2 i =? A = $258.33 $5,000 = $258.33 (P/A, i, 24) (P/A, i, 24) = 19.3551 Deneme ve yanılma yöntemiyle, i = %1.7975 (aylık) r = %1.7975 x 12 = %21.57 (yıllık) 12 (1 0.017975) 1 23.84%/ i a Yr. 24
Lineer Enterpolasyon (Linear Interpolation)
Araba ihtiyacını karşılamanın 3 farklı yolu Opsiyon A Kredi Kullanmak Opsiyon B Peşin Almak Opsiyon C Kiralama Fiyat $32,508 $32,508 $32,508 Peşinat $4,500 0 Nominal yıllık faiz (APR) (%) 4.5% Aylık ödeme $736.53 $513.76 Süre 42 months 42 months Ücretler $994 Kiranın sonundaki nakit ödeme $395 Kiranın sonunda alma opsiyonu $17,817 İmzadaki peşin ödeme $4,500 $31,020 $1,507.76 Yaz İKT 321 2008 Mühendislik Ekonomisi
Araba ihtiyacını karşılamanın 3 farklı yolu Bu opsiyonları karşılaştırmak için hangi faiz oranını kullanmak lazım? Yaz İKT 321 2008 Mühendislik Ekonomisi
Araba ihtiyacını karşılamanın 3 farklı yolu Opsiyon A: Kredi kullanımı P debt = $4,500 + $736.53(P/A, 4.5%/12, 42) - $17,817(P/F, 4.5%/12, 42) = $17,847 Opsiyon B: Peşin ödeme P cash = $31,020 - $17,817(P/F,4.5%/12,42) = $15,845 Opsiyon C; Kiralama P lease = $1,507.76 + $513.76(P/A, 4.5%/12, 42) + $395(P/F, 4.5%/12, 42) = $21,336
Borç/kredi yönetimi SORU: $15,000 araç kredisi 48 ay vade ile %9 nominal faiz (aylık bileşik faiz ile) alınmıştır. İlk üç ödeme için aşağıdaki tabloyu doldurunuz. Ay Faiz ödemesi Anapara ödemesi Kredi bakiyesi 1 $14739.22 2 $262.74 3 $108.57
Borç/kredi yönetimi Cevap: A = P (A/P, i, N) = 15,000 (A/P, %0.75, 48) A=373.28 I= (B n-1 )i P= A-I B n =(B n-1 ) - P n Ay Sonu Faiz Ödemesi Anapara Ödemesi Kredi Bakiyesi 1 $112.50 $260.78 $14739.22 2 $110.54 $262.74 $14,476.48 3 $108.57 $264.71 $14,211.77
Borç/kredi yönetimi Soru: Mr. Smith fiyatı $18,000 olan bir araç satın almak istemektedir. Peşin ödeme olarak $8,000 yatırdıktan sonra geriye kalan tutar için yıllık %9 aylık bileşik faizle aylık ödemeli ve 2 yıl vadeli bir kredi kullanmak istemektedir. Aylık taksitler ne kadar olur? Mr. Smith 12 taksit ödemiş olsun. 12. taksitin sonunda ödemiş olduğu toplam faiz miktarı nedir? Geriye kalan kredi bakiyesi nedir?
Borç/kredi yönetimi Cevap: A) A = $10,000(A/P, %0.75, 24) B) 12. ay sonundaki bakiye, kalan ödemelerin o anki değeridir: B 12 = A (P/A, %0.75, 12) I 12 = B 11 *i I 12 = A(P/A, %0.75, 13) * %0.75
Borç/kredi yönetimi Soru: Fiyatı $15,000 olan bir araç satın almak istiyorsunuz. Finans opsiyonları, %8 faize sahip vadeli hesabınızdan para çekme veya bireysel kredi ($15,000, 4 yıl vade, %11 faiz) şeklindedir. Hesaplamalar eğer banka hesabındaki paraya dokunulmasaydı 4 yıl için $5635 faiz geliri elde edileceği ve bireysel kredi için ödenecek toplam faizin de $3609 olacağını göstermektedir. Bu hesaba göre bireysel kredi kullanılması avantajlı gibi görünmektedir. Sizce bu yargı doğru mudur?
Borç/kredi yönetimi Cevap: Vadeli hesaptan para çekme: F1= $15,000 (F/P, %8 /12, 48) =$20,635.32 Bu periyotta kazanılan faiz: I= 20,635-15,000= $5,635 Bireysel kredi: Aylık ödeme: A= 15,000(A/P, %11/12, 48)= $387.69 Toplam faiz ödemesi: I= (387.69*48)- 15,000= $3,609
Borç/kredi yönetimi Görünen o ki, 5,635-3,609 = $2,026 faiz ödemesinde avantaj var. Ancak, bu hesapta ana para ödemelerinin zaman değeri dikkate alınmamaktadır! Bu yüzden, hesap mantığı yanlıştır. Bankadaki para %8/12 aylık faiz ödediğine göre, 48 aylık periyot için eşdeğer toplam kredi ödemesini hesaplarsak; F2= $387.69 (F/A, %8/12, 48)= $21,846.30 Şimdi F1 ve F2 değerlerini karşılaştırdığımızda; kredi kullanma alternatifinin kredi vadesinin sonunda $1,211 daha fazla maliyetinin olacağını görmekteyiz.
Borç/kredi yönetimi Soru: Aşağıdaki ödeme planlarının bugünkü net değeri nedir? 10 yıl süresince %8 altı-aylık bileşik faizle 6 aylık periyotlarda yatırılan $500. 10 yıl süresince %8 aylık bileşik faizle 6 aylık periyotlarda yatırılan $500. 10 yıl süresince %8 altı-aylık bileşik faizle aylık periyotlarda yatırılan $500.
Borç/kredi yönetimi A) Faiz periyodu = bileşik faiz periyodu M=2 i= 8/2=%4 N=10*2=20 P= $500 (P/A, %4, 20) B) Faiz periyodu bileşik faiz periyodu M=12 K=2 M=C*K C=6 i= (1+ r/m) C -1 i=%4.07 altı aylık P=$500 (P/A, %4.07, 20) C) Faiz periyodu bileşik faiz periyodu M=2 K= 12 C= 1/6 i= (1+ r/m) C -1 i= %0.656 P= $500 (P/A, %0.656, 120)