ANT TÜREV VE NTEGRAL HESAPLAMA YÖNTEMLER

ANT TÜREV VE NTEGRAL HESAPLAMA YÖNTEMLER 1 TEMEL YÖNTEM VE DE KEN DE T RME Bir kapal aralkta tanmlanm³ olan f ve F fonksiyonlar için e er bu aralkta F () f() ko³ulu sa lanyorsa F fonksiyonu, f fonksiyonunun bir antitürevi ve f fonksiyonunun tüm antitürevlerinin kümesi de f fonksiyonunun belirsiz integrali olarak tanmlanm³t. Ayrca C key bir sabit olmak üzere f() : {F () + C : C R} oldu u daha önce gösterildi. Kalkülüsün temel teoremine göre sürekli her fonksiyonun antitürevi vardr. E er f fonksiyonunun bir F antitürevi biliniyorsa, kalkülüsün temel teoremi gere i, f fonksiyonunun [a, b] aral ndaki integrali b a f() F (b) F (a) e³itli i ile kolayca hesaplanabilir. Yani e er antitürev hesaplanabiliyorsa integral hesaplamak çok kolaydr. Bu bölümde antitürev hesaplama yöntemleri verilerek, antitürevler yardmyla integral de eri hesaplamalar yaplacaktr. A³a daki listede verilen antitürevlerin do rulu unu göstermek kolaydr; e³itliklerin sol tarafndaki fonksiyonlarn türevi alnrsa integrand elde edilir. 1. { r r+1 r+1 + C, r R { 1} ln + C, r 1. a a ln a + C, a R+ {1} 3. cos sin + C ve sin cos + C 4. sec tan + C ve csc cot + C 5. sec tan sec + C ve 6. arcsin + C 1 1 ve Ayrca csc cot csc + C 1+ arctan + C (F + G) () F () + G () e³itli inden hareketle f + g fonksiyonunun herhangi bir antitürevinin (f + g)() f() + g() yapsnda oldu u elde edilir. Benzer ³ekilde c bir sabit olmak üzere cf fonksiyonunun herhangi bir antitürevi cf() c f() yapsndadr. A³a daki örneklerde verilen liste ve bu özellikler yardmyla baz basit antitürevler ve integraller hesaplanm³tr. 1

Örnek 1 ( 7 3 5 + 3 + 1 ) 7 3 5 + 3 + 8 4 6 + 4 4 + + C oldu u açktr (her bir antitürevde bulunan key sabitler birle³tirilerek tek bir C sabiti elde edilmi³tir). Bu antitürev yardmyla örne in I : 1 ( 0 7 3 5 + 1 + 1 ) integralinin de eri 1 ( 7 3 5 + 1 + 1 ) 8 4 6 + 4 4 + 1 1 olarak bulunur. 0 0 Örnek (e cos ) e sin + C oldu undan, örne in I : π 0 (e cos ) integralinin de eri π (e cos ) (e π sin ) (e π 1) olarak bulunur. 0 Zincir kural gere i [f(φ())] f (φ())φ () oldu undan f (φ())φ () [f(φ())] f(φ()) + C e³itli i sa lanr. Yani integraller için verilen de i³ken de i³tirme yöntemi antitürevler için de kullanlabilir. Dolaysyla de i³ken de i³imi yoluyla integral hesaplanrken iki seçenek vardr; birincisi integraller için verilen de i³ken de i³imi teoremini kullanarak sonuç elde etmek, ikincisi de yukardaki e³itlik yardmyla önce antitürevi bulup sonra integral de erini hesaplamak. Her iki seçenekte de temel zorluk, yukardaki e³itlikte bulunan φ fonksiyonunun genellikle açk bir ³ekilde görünmemesidir. Örnek 3 π 0 ecos sin integralinin de erini bulalm. Birinci yol olarak, φ(t) cos t seçilirse, c 0, d π ve f() : e olup integraller için de i³ken de i³imi yöntemi gere i, 0 olup böylece π cos π 1 e cos t sin tdt e e 1 0 cos 0 1 e e π 0 e cos sin e 1 e olarak bulunur. kinci yolla ise önce e cos sin fonksiyonunun antitürevi, φ() cos de i³imi yardmyla f() : e olmak üzere e cos sin [f(φ())] f(φ()) + C e cos + C olarak bulunur. Daha sonra da kalkülüsün temel teoremi uygulanarak olarak bulunur. π 0 π e cos sin e cos e 1 e 0

Bu yöntemi kullanmann matematiksel olarak açklamas zor fakat daha pratik bir yolu ³öyledir: örne in I : e sin cos belirsiz integrali hesaplanmak isteniyor. Bu durumda de i³ken tanm yaplrsa, e³itli inden hareketle y : sin cos cos ³eklinde bir e³itli in var oldu unu kabul edelim. Bunlar belirsiz integralde yerine yazlrsa e sin cos e y belirsiz integrali elde edilir ki bunun hesab oldukça basittir: e sin cos e y e y + C. Son olarak y de i³keni tekrar cinsinden yerine yazlrsa e sin cos e y e sin + C elde edilir. Bu yöntem de i³ken de i³imi yönteminden ba³ka bir³ey de ildir ama bu gösterim matematiksel olarak temelsizdir, dolaysyla bu gösterimi bir kabul olarak kullanyoruz. Örnek 4 I : tan belirsiz integralini hesaplamak için önce sin tan cos olarak yazlp, y : cos tanm yaplrsa, sin olaca ndan sin tan cos ln y + C y elde edilir. Son olarak y cos tanm yerine yazlrsa ln cos + C ln sec + C elde edilir. Benzer yöntemle oldu u da gösterilebilir. cot ln sin + C Örnek 5 I : sin belirsiz integralini hesaplamak için y : tanm yaplrsa olaca ndan sin 1 sin y 1 cos y + C 1 cos + C elde edilir. 3

Örnek 6 I : (3 ) 57 belirsiz integralini hesaplamak için y : 3 tanm yaplrsa 3 olaca ndan elde edilir. (3 ) 57 1 3 y 57 1 y 58 (3 )58 + C + C 3 58 174 Örnek 7 I : ( + 5) 19 belirsiz integralini hesaplamak için y : + 5 tanm yaplrsa olaca ndan elde edilir. ( + 5) 19 1 y 19 1 y 0 0 + C ( + 5) 0 + C 40 Örnek 8 I : 3 belirsiz integralini hesaplamak için y : tanm yaplrsa olaca ndan 3 1 3 y 1 3 y ln 3 + C 3 ln 3 + C elde edilir. Örnek 9 I : sin belirsiz integralini hesaplamak için y : tanm yaplrsa olaca ndan sin 1 sin y 1 cos y + C 1 cos + C elde edilir. Di er yandan bu belirsiz integral a³a daki ³ekilde de hesaplanabilir: sin sin cos y y + C sin + C. ki farkl sonuç bulunmas do aldr, çünkü bir fonksiyonun belirsiz integrali o fonksiyonun tüm antitürevlerinin kümesidir. Bir fonksiyonun herhangi iki antitürevinin farknn sabit olmas gerekti i daha önce açklanm³t, ³u halde bu örnekte bulununan antitürevlerin farklar sabit oluyorsa yaplan i³lemlerde yanl³lk yoktur. Gerçekten oldu u görülür. sin + cos sin + (cos sin ) Örnek 10 I : sin 1+cos belirsiz integralini hesaplamak için y : 1 + cos tanm yaplrsa sin olaca ndan sin y 1 1 y + C 1 + cos + C 1 + cos y elde edilir. Örnek 11 I : ln belirsiz integralini hesaplamak için y : ln tanm yaplrsa 1 olaca ndan elde edilir. ln 1 y y + C ln + C 4

Örnek 1 Baz durumlarda birden fazla de i³ken de i³imi yapmak gerekebilir. Örne in I : ln cos tan belirsiz integralini hesaplamak için önce y : cos tanm yaplsn, bu durumda sin olaca ndan ln y ln cos tan y e³itli i elde edilir. Örnek 11 de kullanlan yöntem ile u : ln y tanm yaplrsa du 1 y olaca- ndan ln y y elde edilir. Son olarak u ve y de i³kenleri yerine yazlrsa udu u + C olarak bulunur. u + C ln y + C ln cos + C RASYONEL FONKS YONLAR f ve g 0 polinomlar olmak üzere f g olarak yazlan ifadeye bir kesirli polinom denir. g polinomunun sonlu saydaki kökleri d³nda kalan bölgede her f g kesirli polinomu bir fonksiyon belirtir ve bu tür fonksiyonlara rasyonel fonksiyon denir. Bu bölümde rasyonel fonksiyonlarn belirsiz integrallerini hesaplamak için yöntemler verilecektir. f g bir rasyonel fonksiyon olmak üzere, genel olarak f() g() belirsiz integralinde polinom bölmesi yaplarak f fonksiyonunun derecesi g fonksiyonunun derecesinden küçük veya e³it hale getirilir. Daha sonra g polinomu indirgenemez polinomlarn çarpm ³eklinde yazlr. ndirgenemez reel polinomlar ya birinci dereceden polinomlar, ya da negatif diskriminantl ikinci dereceden polinomlardr. Bu a³amadan sonra f g rasyonel fonksiyonu A B+C (a+b) ve biçimindeki basit n (a+b ) n kesirler in toplam ³eklinde yazlr, bu i³leme ksmi kesirlere ayrma i³lemi denir. Dolaysyla her rasyonel fonksiyonun belirsiz integrali problemi A (a+b) ve B+C belirsiz integralleri n (a+b ) n problemine indirgenir. Bu bölümde önce basit örneklerden ba³layarak bu iki tip belirsiz integral için yöntemler verilecek, daha sonra da ksmi kesirlere ayrma yöntemi ile genel rasyonel fonksiyonlarn belirsiz integrallerinin hesaplanmas örnekleri verilecektir..1 Kolay Örnekler Örnek 13 I : 5 belirsiz integrali için y : 5 tanmlamas yeterlidir: 5 y ln y + C ln 5 + C. Örnek 14 I : 1+ belirsiz integralini hesaplamak için y : 1 + tanmlamas yaplrsa olaca ndan y 1 1 + y ln y + C ln + 1 + C y y elde edilir (tüm sabitlerin tek bir C sabiti içinde topland na dikkat ediniz). Bu belirsiz integral a³a daki ³ekilde de hesaplanabilir: (1 + ) 1 1 + ln + 1 + C. 1 + 1 + 5

Örnek 15 I : belirsiz integralini hesaplamak için y : 1 + tanmlamas yaplrsa (1+) 3 olaca ndan (y 1) y (1 + ) 3 y + 1 y 3 y 3 y y + y 3 ln y + y 1 y + C ln 1 + + 1 + 1 (1 + ) + C olarak elde edilir. Bu örnekteki belirsiz integral, paydaki ifadesi yerine ( 1) + 1 yazlarak da hesaplanabilir. Örnek 16 I : 3 belirsiz integralini hesaplamak için y : 1 + tanm yaplrsa (1+) 3 olaca ndan 3 ( y 1 )3 y 3 3y + 3y 1 olarak elde edilir. (1 + ) 3 1 1 ( 3 16 y + 3 y 3 1 16 y y 16 3 3 ln y 16 16y + 1 3y + C 1 + 16 y 3 3 16 ln 1 + 3 16(1 + ) + 1 3(1 + ) + C Örnek 17 I : 3 +1 belirsiz integralini hesaplamak için önce 3 polinomunu + 1 polinomuna bölünür, 3 ( + 1) oldu undan 3 + 1 + 1 e³itli i elde edilmi³ olur. Bu durumda y : + 1 tanmlamasyla, 3 + 1 + 1 1 y olarak elde edilir. 1 ln y + C 1 ln + 1 + C. Paydada 1 + fadesi Beliriyorsa Bu tip rasyonel fonksiyonlarn belirsiz integralleri hesaplanrken genellikle 1 + tan y sec y e³itli inden hareketle : tan y (veya y : arctan ) de i³ken de i³imi yaplr. Bu durumda sec y olur. Örne in I : belirsiz integralinde bu dönü³üm uygulanrsa 1+ sec 1 + y sec y y + C arctan + C 6 ) y 3

oldu u görülür. Bu belirsiz integral Bölüm 1 de arctan fonksiyonunun türevi hesapalanarak elde edilmi³ti. Benzer ³ekilde a 0 için belirsiz integralinde önce y : a + a de i³imi, sonra da yukarda bahsedilen de i³im yaplrsa a + 1 a 1 + ( 1 a ) a 1 + y 1 a arctan y + C 1 a arctan a + C olarak elde edilir. Ayn de i³ken tanmlamas ile hesaplanabilir. Bu durumda (1 + ) n (1+ ) n sec y sec n y biçimindeki belirsiz integraller de cos n y e³itli i elde edilir, yani cos n y biçimindeki belirsiz integrallerin hesaplnamas gerekir. Bu hesaplama için de ( ) 1 + cos y n cos n y e³itli i göz önüne alnr. Bu durumda e³itli in sa tarafnda cos k+1 y ³eklinde belirsiz integraller de belirecektir. Bu tip belirsiz integraller a³a daki gibi z : sin y de i³imi ile kolayca hesaplanabilirler: cos k+1 y cos k y cos y (1 sin y) k cos y (1 z ) k dz. Örnek 18 I : 1++ belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: 1 + + ( ) y arctan + C 3 3 ( ) + 1 arctan + C. 3 3 ( + 1/) + 3/4 3/4 + y Örnek 19 I : 3 1 belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: 4 +9 3 1 3 8 4 + 9 3 y 1 dz 9 + z 3 8 ln y 1 6 arctan z 3 + C 4 + 9 3 8 ln(4 + 9) 1 6 arctan 3 + C. 4 + 9 7

Örnek 0 I : Örnek 1 I : (1+ ) belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: (1 + ) cos y 1 (1 + cos y) ( ) y + + C (1+ ) 3 1 sin y 1 (y + sin y cos y) + C sec y (sec y) 1 [arctan + sin(arctan ) cos(arctan )] + C 1 ( arctan + ) 1 + + C. belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: (1 + ) 3 sec y (sec y) 3 cos 4 y 1 (1 + cos y) 4 1 (1 + cos y + cos y) 4 1 ( ) y + sin y + cos y 4 1 ( y + sin y + 1 ) cos zdz 4 1 ( y + sin y + 1 ) (1 + cos z)dz 4 4 1 (y + sin y + 14 4 ) sin z + C 1 ( 3 4 y + sin y + 1 ) sin z cos z + C 4 1 ( 3 4 y + sin y cos y + 1 ) sin y cos y + C 4 1 ( 3 4 y + sin y cos y + 1 ) sin y cos y( cos y 1) + C 1 ( 3 arctan + 4 1 + + 1 ( )) 1 + 1 + 1 + C 1 ( 3 arctan + 4 1 + + 1 (1 ) ) (1 + ) + C 3 8 arctan + 1 1 + + 1 (1 ) 8 (1 + ) + C. 8

.3 Ksmi Kesirlere Ayrma E er f ve g aralarnda asal iki polinom ise 1 fg ifadesi 1 f ve 1 g cinsinden yazlabilir ve f ile g aralarnda asal olduklarndan uf + vg 1 e³itli i sa lanacak ³ekilde u ve v polinomlar vardr. Böylece 1 fg u f + v g e³itli i sa lanacak ³ekilde u ve v polinomlar var olaca ndan paydann derecesi küçültülebilir. u f ve v g kesirlerine ksmi kesirler denir.bu ksmi kesirler ³u ³ekilde tespit edilir: fg nin ( a) m ³eklinde bir çarpan varsa ksmi kesirler A 1 ( a), A ( a),..., A m ( a) m ³eklindedir. fg nin ( + p + q) m ³eklinde bir çarpan varsa ksmi kesirler B 1 + C 1 ( + p + q), B + C ( + p + q),..., B m + C m ( + p + q) m ³eklindedir. E er f g ifadesi yukaridaki her iki çarpana da sahip ise ilgili ksmi kesirlerin tamam alnr. Rasyonel fonksiyonlar ksmi kesirlere ayr³trlp, her ksmi kesrin bilinmeyen katsaylar hesaplanarak belirsiz integrali kolayca hesaplanabilir. Örnek olarak a³a daki e³itliklerdeki ksmi kesirleri inceleyiniz: Örnek I : Örnek 3 I : 1 + 4 + 1 ( 1)( + 1)( + 3) A 1 1 + B 1 + 1 + C 1 + 3 3 ( + 1)( 1) A + B + 1 + C ( 1) + D ( 1) 1 ( + 1) A + B + C ( + 1) + D + E ( + 1) belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: 1 1 ( 1 1 + 1 ) 1 1 + ln + 1 1 (1 )(1+3) + C. belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: (1 )(1 + 3) 5 1 + 3 5 1 5 ln 1 + 1 ln 1 + 3 + C. 5 1 + 3 Örnek 4 I : (1 ) (1+) belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: (1 ) (1 + ) 1 4 1 + 1 (1 ) + 1 4 1 4 ln 1 + 1 1 1 1 + C. 1 + 9

3 TR GONOMETR K FONKS YONLAR 3.1 Trigonometrik Özde³likler Trigonometrik fonskiyonlar içeren belirsiz integrallerin bir ksm trigonometrik özde³likler yardmyla kolayca hesaplanabilir. Bu bölümde n, m N olmak üzere sin n, cos n, tan n, cot n, sec n, csc n, sin n cos m sin, n cos m ve cosn sin m gibi baz bu tip belirsiz integrallere örnekler verilecektir. Örne in n N olmak üzere sin n ve cos n fonksiyonlarnn belirsiz integralleri hesaplanrken sin 1 cos ve cos özde³liklerinden faydalanlr. Bu yöntemle cos 1 (1 + cos ) ve sin 1 (1 cos ) 1 + cos + sin 4 sin 4 oldu u görülür. Daha büyük kuvvetler için de ayn özde³lik kullanlr, kuvvet tek ise bu özde³lik kullanlmadan, sadece sin + cos 1 özde³ili i yardmyla sonuç alnabilir. + C + C Örnek 5 I : cos 5 belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: cos 5 cos 4 cos (cos ) cos (1 sin ) cos (1 y ) (1 y + y 4 ) y 3 y3 + 1 5 y5 + C sin 3 sin3 + 1 5 sin5 + C. Kuvvet çift ise Örnek 0 ve Örnek 1 ile verilen belirsiz integral hesaplalamarn inceleyin. n, m N olmak üzere sin n cos m fonksiyonunun belirsiz integrali hesaplanrken de ayn özde³likler kullanlr. Örne in I : sin cos sin (1 sin ) sin sin 4 olup i³lemin devam yukardaki yöntemle yaplabilir. Kuvvetlerden birisi tek ise i³lem daha da 10

basitle³ir, örne in: I : sin 4 cos 5 sin 4 cos 4 cos sin 4 (1 sin ) cos y 4 (1 y ) (y 4 y 6 + y 8 ) y5 5 y7 7 + y9 9 + C sin5 5 sin7 7 + sin9 9 Ayn özde³liklerle ve benzer i³lemlerle n > m olmak üzere sinn cos m ve cosn sin m fonksiyonlarnn belirsiz integralleri de hesaplanabilir. Bu tip belirsiz integrallerde n tek ise hesaplamalar oldukça kolaydr, bu durum için a³a daki örne i inceleyiniz. E er n çift ise sec n veya csc n fonksiyonlarnn belirsiz integrali ile kar³la³labilir, bu tür belirsiz integraller daha sonra incelenecektir. n < m olmas durumunda integrand tan p sec q veya cot p csc q ³eklinde ifade edilerek kolayca hesaplanabilir. Bu tip belirsiz integraller de daha sonra incelenecektir. Örne in: + C. I : cos 3 sin cos sin cos 1 sin sin cos 1 y y 1 y y + C csc sin + C ve I : sin 4 cos (1 cos ) cos 1 cos + cos 4 cos sec + cos. n N için tan n ve cot n fonksiyonlarnn belirsiz integralleri hesaplanrken tan sec 1 ve cot csc 1 özde³likleri ile tan sec ve cot csc e³itlikleri kullanlr. Bu yöntemle örne in, tan (sec 1) tan + C elde edilir. Daha büyük kuvvetler için de bu yöntem kullanlr. 11

Örnek 6 I : tan 3 belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: tan 3 tan tan tan (sec 1) tan sec tan y tan y ln cos + C tan ln cos + C. Örnek 7 I : tan 4 belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: tan 4 tan tan tan (sec 1) tan sec tan y tan y3 3 tan + + C tan3 3 tan + + C. Örnek 8 I : cot 3 belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: cot 3 cot cot cot (csc 1) cot csc cot y cot y ln sin + C cot ln sin + C. Ayn trigonometrik özde³likler yardmyla n N olmak üzere sec n ve csc n fonksiyonlarnn 1

da belirsiz integralleri hesaplanabilir. n says çift ise hesaplamalar oldukça kolaydr. Örne in cos I : sec cos cos 1 sin 1 y 1 ( 1 1 + y 1 ) 1 y 1 ln 1 + y 1 y + C 1 ln 1 + sin 1 sin + C ln 1 + sin cos + C. ve I : sin csc sin sin 1 cos 1 y 1 ln 1 y 1 + y + C 1 ln 1 cos 1 + cos + C. oldu u görülür. Daha büyük kuvvetler için de benzer yöntem kullanlr (n says tek ise bu belirsiz integraller ksmi integrasyon yöntemi ile daha kolay hesaplanabilir, bu yöntem daha sonra açklanacaktr). Örnek 9 I : sec 4 belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: sec 4 sec sec (1 + tan ) sec (1 + y ) y + y3 3 + C tan + tan3 3 Ayn özde³ikler kullanlarak m, n N olmak üzere tan p sec q ve cot p csc q fonksiyonlarnn belirsiz integralleri de hesaplanabilir. Böylece n < m olmak üzere cosn sin m ve sinn cos m fonksiyonlarnn belirsiz integralleri de bu yöntemle hesaplanabilir. E er n ve m saylar her ikisi birden tek veya çift ise hesaplamalar oldukça kolaydr. Di er durumlarda; n çift m tek ise tan sec 1 13 + C.

özde³li i kullanlarak sonuç elde edilebilir, e er n tek m çift ise bu durumda sec : y veya csc : y tanmlamas yaplabilir (bu durumda sec sec tan ve csc csc cot e³itlikleri de faydal olur). A³a da verilen örnekleri inceleyiniz. I : cos sin 6 tan sec 4 tan (1 + tan ) sec y (1 + y ) y3 3 + y5 5 + C tan3 3 + tan5 5 + C, I : sin 3 cos 4 tan 3 sec (sec 1) sec tan (y 1) ve I : sin cos 3 y3 3 y + C sec3 3 + sec + C tan sec (sec 1) sec sec 3 sec. n m olmak üzere sin m cos n fonksiyonunun belirsiz integrali hesaplanrken sin m cos n 1 [sin(m n) + sin(m + n)], ve cos m cos n 1 [cos(m n) + cos(m + n)] sin m sin n 1 [cos(m n) cos(m + n)] özde³likleri kullanlr, örne in: I : sin 3 cos 1 sin 5 + 1 sin 1 10 cos 5 1 cos + C. Kimi durumlarda oldukça karma³k görünen trigonometrik fonksiyonlarn belirsiz integralleri beklenmedik ³ekilde kolaylkla hesaplanabilir, örne in 14

I : sin cos y y + C cos + C, ve I : sin cos y 1 y z 1 z 4 dz I : sin 7 cos sin 6 (y 1) 3 sin cos y (z 4 1) 3 dz. Son iki örnekte i³lemlerin devam kolaylkla getirilebilir. 3. Weierstrass Dönü³ümü π < < π için yaplan y : tan( ) dönü³ümüne Weierstrass dönü³ümü denir. Bu durumda arctan y oldu undan 1 + y olur. Ayrca oldu undan elde edilir. Benzer ³ekilde oldu undan sin sin( arctan y) sin(arctan y) cos(arctan y) sin y 1 + y cos cos( arctan y) cos (arctan y) sin (arctan y) cos 1 y 1 + y elde edilir. Böylece trigonometrik fonksiyonlar içeren bir belirsiz integral rasyonel fonksiyonlarn bir belirsiz integraline dönü³ür. Örnek 30 I : 3 5 cos belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: 3 5 cos 1+y 3 5 1 y 1+y 4y 1 1 y 1 1 1 4 ln y 1 y + 1 + C 1 4 ln tan( ) 1 tan( ) + 1 + C. y + 1 15

Örnek 31 I : +sin belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: + sin y + y + 1 (y + 1 ) + 3 4 dz ( 3 ) z + ( ) z arctan + C 3 3 ( ) y + 1 arctan + C 3 3 ( tan( arctan ) + 1 ) + C. 3 3 Baz durumlarda Weierstrass dönü³ümü yapmadan önce integrandn farkl ³ekilde ifade edilmesi kolaylk sa layabilir. Örne in cos + 3 cos 4 I : cos 3 + 5 cos 3 + 8 cos + 4 belirsiz integralini hesaplamak için integrand, u : cos tanm yardmyla, cos + 3 cos 4 cos 3 + 5 cos + 8 cos + 4 olarak yeniden ifade edilirse cos ( + 3 cos 4 cos 3 + 5 cos + 8 cos + 4 u + 3u 4 u 3 + 5u + 8u + 4 u + 3u 4 (u + 1)(u + ) 6 u + 1 + 7 u + + 6 (u + ) 6 cos + 1 + 7 cos + + 6 (cos + ) 6 cos + 1 + 7 cos + + 6 (cos + ) olaca ndan Weierstrass dönü³ümü ile hesap yaplabilir. Benzer ³ekilde cos 3 sin I : + cos belirsiz integralini hesaplamak için integrand, u : cos tanm yardmyla, cos 3 sin + cos u3 + u 1 + u olarak yeniden ifade edilirse cos 3 sin + cos olaca ndan hesaplama kolaylkla devam ettirilebilir. u u + 5 + u cos cos + ( cos cos + 16 5 + cos ) 5 + cos )

3.3 Di er Yöntemler Weierstrass dönü³ümü yardmyla tüm trigonometrik integraller bir rasyonel integrale dönü³türülerek hesaplanabilsede bu yöntem her zaman çok kullan³l olmayabilir. Örne in cos 3 I : 1 sin belirsiz integralinde Weierstrass dönü³ümü uygulanrsa cos 3 1 sin (1 y ) 3 (1 + y ) 3 (1 4y + y ) belirsiz integraline varlr. Bu son integral her ne kadar bir rasyonel integral olup hesaplanabilir olsa da uzun i³lemler gerektirir. Böyle durumlarda, a³a da ispatsz olarak verilecek teoremler yardmyla Weierstrass dönü³ümünden daha kolay sonuç veren baz dönü³ümler bulunabilir. Teorem 1 F (, y) rasyonel bir polinom ise öyle tek de i³kenli F 1 ve F rasyonel polinomlar vardr ki F (sin, cos ) F 1 (cos ) + sin F (cos ) (1) e³itli i sa lanr. Teorem 1 e göre F (sin, cos ) belirsiz integralini hesaplamak için F 1 (cos ) ve sin F (cos ) belirsiz integralleri hesaplanmaldr. kinci integral y : cos tanmlamasyla kolayca hesaplanabilir fakat birinci integralin hesaplanmas genellikle kolay de ildir. Bu tip belirsiz integraller için a³a da verilecek olan teoremler yardmyla bir dönü³üm tanmlanabilir. Sonuç Teorem 1 deki F rasyonel polinomu için e³itli i sa lanyorsa, (1) e³itli indeki F 1 terimi kaybolur ve e³itli i sa lanr. F ( sin, cos ) F (sin, cos ) () F (sin, cos ) sin F (cos ) Böylece Teorem 1 ve Sonuç ye göre F (sin, cos ) ³eklindeki rasyonel trigonometrik bir fonksiyonun belirsiz integrali hesaplanrken, e er () e³itli i sa lanyorsa, y : cos dönü³ümü yaplabilir. Ayrca Teorem 1 de sin ile cos terimlerinin yerleri de i³tirilerek a³a daki sonuçlar da elde edilebilir. Teorem 3 F (, y) rasyonel bir polinom ise öyle tek de i³kenli F 3 ve F 4 rasyonel polinomlar vardr ki F (sin, cos ) F 3 (sin ) + cos F 4 (sin ) (3) e³itli i sa lanr. 17

Sonuç 4 Teorem 1 deki F rasyonel polinomu için e³itli i sa lanyorsa, (3) e³itli indeki F 3 terimi kaybolur ve e³itli i sa lanr. F (sin, cos ) F (sin, cos ) (4) F (sin, cos ) cos F 4 (sin ) Böylece Teorem 3 ve Sonuç 4 e göre F (sin, cos ) ³eklindeki rasyonel trigonometrik bir fonksiyonun belirsiz integrali hesaplanrken, e er (4) e³itli i sa lanyorsa, y : sin dönü³ümü yaplabilir. E er () ve (4) e³itliklerinin her ikisi de sa lanyorsa y : cos ve y : sin dönü³ümlerinden herhangi biri yaplabilir. Ayrca yukarda verilenlere benzer ³ekilde görülebilir ki e er F (sin, cos ) fonksiyonu F ( sin, cos ) F (sin, cos ) (5) e³itli ini sa lyorsa ya da F (sin, cos ) F (tan ) veya F (sin, cos ) F (cot ) ³eklinde ise bu fonksiyonun belirsiz integrali hesaplanrken dönü³ümü kullanlabilir. Örnek 3 I : csc 3 cos dönü³ümü yaplabilir: Örnek 33 I : ³ümü yaplabilir: sin 3 y : tan belirsiz integralini hesaplamak için Sonuç gere i y : sin 3 1 (1 y ) 3 (1 y ) 1 y (1 y) (1 + y) 1 [ 1 4 (1 y) + 1 1 y + 1 (1 + y) + 1 ] du 1 + y 1 ( ) 1 1 ln 1 y + ln 1 + y + C 4 1 y 1 + y 1 ( ) y 4 1 y ln 1 y 1 + y + C cos sin + 1 4 ln 1 cos 1 + sin + C. cos 3 1 sin belirsiz integralini hesaplamak için Sonuç 4 gere i y : sin dönü- cos 3 1 sin 1 y 1 y ( y + 1 4 + 3 ) 1 du 4 1 y y 4 + y 4 3 ln 1 y + C 8 sin + sin 3 ln 1 sin + C. 4 8 18

Örnek 34 I : cos sin sin + cos belirsiz integralini hesaplamak için, integrand (5) e³itli ini sa - lad ndan, y : tan dönü³ümü yaplabilir. Bu durumda, sin y ve 1+y 1+y cos 1 olaca ndan 1+y 5 cos sin sin + cos y (y + )(1 + y ) y + + 1 5 elde edilir ve i³lemlerin devam getirilebilir. y + 1 (1 + y ) + 1 5 y 4 1 + y Kimi zaman da bunlardan hiçbiri en kolay yöntem de ildir. Elemanter i³lemler ile beklenmedik kolaylkla sonuç alnabilen belirsiz integraller de vardr. Örnek 35 I : cos sin +cos belirsiz integrali Weierstrass dönü³ümü ile hesaplanabilir, ayrca (5) e³itli ini sa lad ndan dolay y : tan dönü³ümü de yaplabilir. Fakat daha kolay bir yöntem var. sin J : sin + cos olarak tanmlanrsa olur. Di er yandan I + J + C cos sin I J sin + cos y ln y + C ln sin + cos + C. oldu undan elde edilmi³ olur. (I + J) + (I J) + ln sin + cos + C Örnek 36 I : cos cos belirsiz integralini hesaplamak için sin J : cos integrali tanmlanrsa I J + C olur. Di er yandan y : sin dönü³ümüyle I + J cos cos cos 1 1 y olup, devam kolaylkla getirilebilir. 19

Örnek 37 n key bir pozitif sabit olmak üzere belirsiz integralinde : π I : π/ y dönü³ümü yaplrsa 0 sin n sin n + cos n oldu u görülür. Böylece elde edilir. π/ 0 sin n π/ sin n + cos n cos n y 0 sin n y + cos n y 4 KÖKLÜ FADELER π/ 4.1 Trigonometrik Dönü³ümler 0 sin n + cos n sin n + cos n π 4 Baz köklü ifadelerin integralleri hesaplanrken trigonometrik dönü³ümler denilen tan y, sin y ve sec y dönü³ümleri oldukça etkilidir. Örne in a + ifadesini içeren bir belirsiz integralde π/ y π/ olmak üzere a tan y dönü³ümü yaplrsa a sec y ve a + sec y sec y olacaktr. Dolaysyla ba³ka bir köklü ifade yoksa belirsiz integral kolayca hesaplanabilir bir biçime girmi³ olur. Örnek 38 I : 4+ belirsiz integralini hesaplamak için π/ y π/ olmak üzere tan y dönü³ümü yaplrsa 4 + sec y ve sec y olaca ndan 4 + sec y ln sec y + tan y ln + 4 + + C elde edilir. Örnek 39 I : 1 + belirsiz integralini hesaplamak için π/ y π/ olmak üzere tan y dönü³ümü yaplrsa 1 + sec y ve sec y olaca ndan 1 + sec 3 y belirsiz integraline varlr ve bu tip integraller daha önce Bölüm 3 de incelenmi³ti. Bu integral hesaplanp daha sonra y arctan yerine koymasyla sonuç elde edilir. a ifadesini içeren belirsiz integraller hesaplanrken π/ y π/ olmak üzere a sin y dönü³ümü faydal olabilir. Bu durumda a cos y ve a a cos y a cos y olur. Örnek 40 I : 9 belirsiz integralini hesaplamak için π/ y π/ olmak üzere 0

3 sin y dönü³ümü yaplrsa 9 sin y 3 cos y 9 3 cos y 9 sin y 1 cos y 9 9 ( ) sin y y + C 9 ( ) sin y cos y y + C ( 9 arcsin 3 ) 9 + C. 3 3 oldu u görülür. a ifadesini içeren belirsiz integraller hesaplanrken a sec y dönü³ümü yaplabilir. E er /a 1 ise 0 y π/ olaca ndan a a tan y a tan y a tan y olur. E er /a 1 ise π/ y π olaca ndan a a tan y a tan y a tan y olur. Ayrca her iki durumda da a sec y tan y olur. Örnek 41 I : belirsiz integralini hesaplamak için sec y dönü³ümü yaplrsa 1 sec y tan y olur. E er 1 ise 0 y π/ olup bu aralkta tan y > 0 olur, böylece sec y tan y ( 1 sec y ln sec y + tan y + C ln + ) tan y 1 + C olur. Benzer ³ekilde e er 1 ise π/ y π olaca ndan bu aralkta ( ln + ) 1 + C oldu u görülür. Ayrca her > 0 için gösterilebilir ki ( ln + ) ( 1 ln + ) 1 e³itli i sa lanr. Benzer i³lemlerle ( I : ± a ln + ) ± a + C oldu u da gösterilebilir. 4. a + b + c fadesini çeren Belirsiz ntegraller Bu tip integraller için önce baz özel durumlar ele alalm. Örne in a + b + c (6) belirsiz integrali, a + b + c ifadesi iki kare fark veya toplam haline getirilip trigonometrik dönü³ümler kullanlarak hesaplanabilir. Benzer yöntemle m + n (7) a + b + c 1

tipindeki integraller de hesaplanabilir. Bunun için kesrin paynda a + b ye e³it olan bir toplam ayrlrsa (6) tipinde bir integral elde edilir. Ayrca (m + n) (8) a + b + c belirsiz integralinde m + n 1 y dönü³ümü yaplrsa (7) tipinde bir integral elde edilir. E er P n () n. dereceden bir polinom ise P n () (9) a + b + c belirsiz integralinin hesab için, do rulu u kolaylkla gösterilebilen (her iki tarafn türevi alnarak) P n () a + b + c Q n 1() a + b + c + λ a + b + c özde³ili i kullanlarak (6) tipinde bir integral elde edilir. Burada Q n 1 () ile n 1. dereceden bir polinom ve λ ile de bir sabit belirtilmektedir. Her iki tarafn türevi alnarak bilinmeyen sabit katsaylar belirlenebilir. Ayrca e er r N ise (m + n) r (10) a + b + c tipindeki integraller hesaplanrken m + n 1 y dönü³ümü yaplrsa (9) tipinde bir integral elde edilir. Bu özel durumlar d³nda genel olarak bir F (, a + b + c) belirsiz integrali a³a daki dönü³ümler yardmyla rasyonel fonksiyonlarn integraline dönü³türülebilir: (i) a > 0 ise a + b + c y + a (ii) c > 0 ise a + b + c y + c (veya y a), (veya y c), (iii) b 4ac > 0 ise a + b + c y( 1 ). (Burada 1 ile a + b + c polinomunun herhangi bir kökü gösterilmektedir.) Bu dönü³ümlere Euler dönü³ümleri denir. Herhangi bir a +b+c polinomu için a > 0, c > 0 ve b 4ac > 0 durumlarndan en az biri do rudur. Bu nedenle F (, a + b + c) tipindeki her belirsiz integral bu dönü³ümler yardmyla hesaplanabilir. Örnek 4 I : belirsiz integrali a³a daki gibi hesaplanabilir: 4 +6+1 4 + 6 + 1 ( + 3 ) ( 5 ) 1 y ( 5 ) 1 ln 5 y + y ( ) + C 1 ln + 3 + 4 + 6 + 1 + C.

Örnek 43 I : ++3 belirsiz integrali a³a daki gibi hesaplanabilir: + + 3 4 ( 1) 4 y arcsin y + C arcsin 1 + C. Örnek 44 I : 3+ belirsiz integrali a³a daki gibi hesaplanabilir: +3+5 3 + + 3 + 5 6 + 4 + 3 + 5 3( + 3) 5 + 3 + 5 3 + 3 + 3 + 5 5 + 3 + 5 3 5 y ( 3 ) + 11 4 3 + 3 + 5 5 ln + 3 + + 3 + 5 + C. Örnek 45 I : +1 belirsiz integralini hesaplamak için ++3 + 1 + + 3 (a + b) + + 3 + λ yazlp her iki tarafn türevi alnrsa + 1 a( + + 3) + (a + b)( + 1) + λ özde³li i elde edilir. Buradan da a 1/, b 5/ ve λ bulunup elde edilir. Örnek 46 I : yaplrsa + + 3 + 1 + + 3 5 + + 3 + + + 3 5 + + 3 + ln + 1 + + + 3 elde edilir. Buradan da + C (+1) 3 ++ belirsiz integralini hesaplamak için + 1 1 y dönü³ümü ( + 1) 3 + + y y + 1 (ay + b) y + 1 + λ y y + 1 y + 1 e³itli inin türevi alnrak y a(y + 1) + (ay + b)y + λ 3

özde³li i elde edilir. a 1/, b 0 ve λ 1/ oldu undan y ( + 1) 3 + + y + 1 1 y y + 1 + 1 y + 1 1 y y + 1 + 1 y ln + y + 1 + C + + ( + 1) + 1 ln 1 + + + + 1 + C elde edilir. Örnek 47 I : + belirsiz integralinde hem a > 0 hem de c > 0 ko³ulu sa lanr. ++1 + + 1 y dönü³ümü yaplrsa ( ) + + + 1 3y 1 + y 5y + belirsiz integraline, + + 1 y 1 dönü³ümü yaplrsa da + + + 1 y y y 4 + 3y 3 + y 3y belirsiz integraline varlr, her iki integral de hesaplanabilir. 4.3 Genel Durum Genel olarak m do al says için bir I : belirsiz integralinde dönü³ümü yaplrsa ( ) a + b F, m c + d a + b c + d ym m b a cy m ve dmym 1 (a cy m ) + cmy m 1 ( m b) (a cy m ) olaca ndan rasyonel bir belirsiz integrale varlr. E er ayn ifadenin farkl dereceden kökleri varsa, bu derecelerin en küçük ortak katlar q olmak üzere dönü³ümü ile yine rasyonel bir integrale varlr. a + b c + d yq Örnek 48 I : 1+ 3 belirsiz integralini hesaplamak için dönü³ümü yaplrsa y : 1 + 3 3y 1 1 + y ve 8y (1 + y ) 4

olaca ndan 1 + 3 8 y ( (1 + y ) 8 1 + y elde edilir, bu integrallerin nasl hesapland daha önceden biliniyor. Örnek 49 I : +1 3 +1 +1+ 3 belirsiz integralinde +1 y 6 + 1 ) (1 + y ) dönü³ümü yaplrsa + 1 3 + 1 y 3 + 1 + 3 + 1 y y 5 (y 1) y 3 + y 6y5 6 y + 1 rasyonel integraline varlr, bu integral kolaylkla hesaplanabilir. 5 KISM NTEGRASYON f ve g fonksiyonlar integrallenebilir ise (fg) f g + fg e³itli inden hareketle f()g () f()g() g()f () e³itli i elde edilir. Bu e³itlikte u : f() ve v : g() tanmlar yaplrsa u()dv u()v() v()du ya da daha ksa bir yazm ile udv uv vdu e³itli i elde edilir ve bu e³itli e ksmi integrasyon formülü denir. Bu yöntem özellikle logaritmik, ters trigonometrik, polinom, trigonometrik ve üstel fonksiyonlarn çarpm durumunda bulundu u integrallerin hesabnda kullan³ldr. Örnek 50 I : e belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : ve e : dv tanmlar yaplrsa olaca ndan olarak bulunur. du ve v e e e e e e + C Örnek 51 I : e belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için Örnek 50 de kullanlan yöntem arka arkaya iki defa kullanlrsa e ( + )e + C olarak bulunur. 5

Örnek 5 I : sin belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için tanmlamalar yaplrsa olaca ndan olarak bulunur. u : ve sin : dv du ve v cos sin cos + cos cos + sin + C Örnek 53 I : 3 cos belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için Örnek 5 de kullanlan yöntem arka arkaya üç defa kullanlrsa 3 cos 3 sin + 3 cos 6 sin 6 cos + c olarak bulunur. Örnek 54 I : e sin belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : sin ve e : dv tanmlar yaplrsa olaca ndan du cos ve v e e sin e cos elde edilir. Buradaki integralde tekrar u : cos ve e : dv tanmlar altnda ksmi integrasyon uygulanrsa e sin (e cos + I) + C elde edilir. Böylece e (sin cos ) + C elde edilmi³ olur. Örnek 55 I : e sin belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : sin ve e : dv tanmlar yaplrsa olaca ndan e sin du sin cos ve v e e sin cos e sin e sin elde edilir. Bu son integral de önceki örneklerdeki gibi kolayca hesaplanabilir. 6

Örnek 56 I : ln belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : ln ve : dv tanmlar yaplrsa du ve v olaca ndan ln ln ln + C olarak bulunur. Örnek 57 I : ln belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : ln ve : dv tanmlar yaplrsa olaca ndan olarak bulunur. du ve ln ln 1 v ln 4 + C Örnek 58 I : arcsin belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : arcsin ve : dv tanmlar yaplrsa du 1 ve v olaca ndan olarak bulunur. arcsin arcsin + 1 + C Örnek 59 I : arctan belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : arctan ve : dv tanmlar yaplrsa olaca ndan olarak bulunur. du 1 + ve v arctan arctan 1 ln(1 + ) + C 7

6 ND RGEME BA INTILARI Kimi belirsiz integralleri hesaplamak için benzer i³lemleri arka arkaya birkaç kez tekrarlamak gerekebilir. Örne in baz hesaplamalarda ksmi integrasyon i³lemi sklkla tekrar edilir. Bu tekrarlanan i³lemler indirgeme formülleri denilen ba ntlar elde etmemizi sa lar, elde edilen bu ba ntlar yardmyla tümevarmla integraller hesaplanabilir. Bu yöntemi örnekler üzerinde açklayalm. Örnek 60 Pozitif bir n do al says için I n : sin n belirsiz integralini ele alalm. u : sin n 1 ve dv : sin tanmlar ile ksmi integrasyon yöntemi kullanlrsa du (n 1) sin n cos ve v cos olaca ndan I n sin n sin n 1 sin cos sin n 1 + (n 1) cos sin n 1 + (n 1) cos sin n 1 + (n 1) sin n cos sin n (1 sin ) sin n (n 1) sin n cos sin n 1 + (n 1)I n (n 1)I n elde edilir. Buradan da I n 1 [ cos sin n 1 ] + (n 1)I n n indirgeme formülü elde edilmi³ olur. n 0 ve n 1 için I n bilindi i için bu indirgeme ba nts yardmyla her n says için I n hesaplanabilir. Örne in I 4 sin 4 belirsiz integrali sin 4 I 4 1 4 1 4 [ cos sin 3 + 3I ] [ cos sin 3 + 3 ] ( cos sin + I 0) olarak elde edilir. Benzer i³lemlerle belirsiz integrali için J n 1 n indirgeme formülü de elde edilebilir. 1 4 sin3 cos 3 8 sin cos + 3 8 + C J n : cos n [ sin cos n 1 + (n 1)J n ] 8

Örnek 61 Pozitif bir n do al says için I n : csc n belirsiz integralini ele alalm. tanmlaryla ksmi integrasyon uygulanrsa u : csc n ve dv : csc du : (n ) csc n cot ve v : cot olaca ndan I n csc n csc n cot (n ) csc n cot (n ) csc n cot (n ) csc n cot csc n (csc 1) csc n + (n ) csc n csc n cot (n )I n + (n )I n elde edilir. Böylece I n 1 [ (n )In csc n cot ] n 1 indirgeme formülü elde edilmi³ olur. Benzer i³lemlerle J n : sec n belirsiz integrali için J n 1 [ (n )In + sec n tan ] n 1 indirgeme formülü elde edilebilir. Örnek 6 n pozitif bir do al say olmak üzere I n : (ln ) n belirsiz integrali için bir indirgeme formülü elde etmek için u : (ln ) n ve dv : tanmlar yaplrsa olup ksmi integrasyon ile du : n(ln )n 1 ve v : (ln ) n (ln ) n n (ln ) n 1 elde edilir. Böylece indirgeme formülü bulunmu³ olur. I n (ln ) n ni n 1 9

Örnek 63 Pozitif n do al says için I n : n a + b biçimine sahip bir belirsiz integrali ele alalm. u : n ve dv : a + b tanmlar ile du : n n 1 ve v : (a + b)3/ 3b oldu undan I n elde edilir. Böylece n a + b 3b (a + b)3/ n n 3b 3b (a + b)3/ n n 3b 3b (a + b)3/ n an 3b 3b (a + b)3/ n an 3b I n 1 n 3 I n I n indirgeme formülü bulunmu³ olur. (a + b) 3/ n 1 (a + b)(a + b) 1/ n 1 (a + b) 1/ n 1 n (a + b) 1/ n 3 b(n + 3) (a + b)3/ n an b(n + 3) I n 1 Örnek 64 Daha önce Bölüm de bir de i³ken de i³imi ile I n : (1 + ) n belirsiz integrali baz n de erleri için hesaplanm³t. imdi bu belirsiz integral için bir indirgeme formülü elde edelim. 1 u : (1 + ) n ve dv : tanmlar yaplrsa olaca ndan I n du : (1 + ) n n (1 + ve v : ) n+1 (1 + ) n + n (1 + ) (1 + (1 + ) n + n ) 1 (1 + ) (1 + ) n + n (1 + ) n + ni n ni n+1 n+1 n+1 (1 + ) n n (1 + ) n+1 elde edilir. Böylece I n+1 1 [ ] n (1 + ) n + (n 1)I n 30

indirgeme formülü elde edilmi³ olur. Bu formül ve I 1 arctan + C bilgisi ile bu integral her pozitif n do al says için hesaplanabilir. Örne in 3 (1 + I 3 1 [ ] ) 4 (1 + ) + 3I 1 [ 4 (1 + ) + 3 ( )] 1 + + I 1 1 4 (1 + ) + 3 8 1 + + 3 8 arctan + C olarak bulunur. 31