BÖÜM 5 APACE DÖNÜŞÜMÜ Şu kdr öğrdiklriizd, gl olrk difriyl dklmlri çözmi cbirl dklmlri çözmd dh zor olduğuu frk mişiizdir. O hld cb difriyl dklmlri cbirl hl döüşürck bir yol vr mıdır? Ev, vrdır. Alıd buu içi bird fzl yol bulumkdır. Bu ür döüşümlr, gld difriyl dklmlrdki hr bir rimi uygu bir fokiyol çrpmk v dh or çözüm bölgid bu rimlri bğımız dğişk gör igr mk ı dylıdır. Buu oucud ürvlrd rıdırılmış bir cbirl dklm ld dilmiş olur. Bilimy fokiyo dh or cbirl olrk çözülür v döüşüm bu fr r uygulrk çözüm mmlır. Bu ür döüşümlr igrl blıdır v bu yüzd bulr igrl döüşümlr d dir 5 FONKSİYONARIN APACE DÖNÜŞÜMÜ Türv işlmii bir oprörl görmk bz kolylık ğlr: f f ' D 5 Bzr biçimd igrl içi d bir oprör görimi düşüülbilir: I{ f } f d 5 İgrl işlmi ürvi ri bir işlm olduğud, ürvi r döüşümü olrk l lıbilir. Dklm 5 i y bğlı fokiyouu dc y bğlı bir fokiyou döüşürdüğü görülmkdir. plc döüşümü; çrp olrk rimii kullıldığı il rıd bir igrl döüşümüdür v şu şkild ifd dilir: { } 5 plc döüşümüü ıırız bir rlık lı bir igrl olduğu görülmkdir. Dolyııyl şu şkild ifd dilbilir: { } 5 4 Bir fokiyou plc döüşümü, ylızc yukrıdki limii bzı dğrlri ykımı hlid vrdır. gld kullıl v bizim d kullcğımız bğımız dğişkdir. grçl vy komplk olbilir, ck bu kip ylızc grçl dğrlrl işlm ypılckır. plc döüşümü bkrk iki çıkrım ypılbilir. İlki, bu döüşümü i üm ım rlığı boyuc il rıd igrllr içrmidir. Bu igrl ck vril fokiyou i üm poziif dğrlri ımlı olmı hlid lıbilir. Örği ; rlığıd ımlı, ck rlığıd ımız i, bu durumd igrl lımz v vril fokiyou plc döüşümüd öz dmyiz. plc döüşümü ilişki ikici gözlm i döüşürül fokiyouu rık y bğlı olmmı, dc i fokiyou olmıdır. Görim olrk küçük hrflri, fokiyolrı mil mk, büyük hrflri i döüşmüş fokiyolrı mil mk içi kullcğız. Örği
{ } 5 5 plc döüşümü i birkç örk vrlim.. ÖRNEK 5 Aşğıd vril fokiyolrı içi plc döüşümlrii ypıız. f=, b f=, c f=, v d f=co.. ÇÖZÜM Bu fokiyolrı mmı poziif dğrlri içi ımlı olrk vrilmiş v igrllri ykımı hlid plc döüşümlri ld dilbilir. İgrllri lırk, yri gldiğid dr igrl blolrıı kullcğız igrl lm bu dri öğrim mçlrıd biri dğildir. lim R d d R R R lim lim R R, > 5 6 R b d lim d R R R = lim lim R R R, > 5 7 R R R c d lim d R lim lim R R =, > 5 8 R d co co d lim cod = lim R co R i R = lim cor i R R =, > 5 9 R Yukrıdki örk üm fokiyolrı rlığıd ürkli olduğu v ü igrl limiii yri koyduğumuzd ıfır ykıdığıı gördük. Bu ür fokiyolr içi plc döüşümü, igrli l limiki dğrii gif işrlii olmkdır. Gld krşılşıl bzı fokiyolrı plc döüşümlri Tblo 7 d vrilmişir.
Tblo 7 - Bzı fokiyolrı plc döüşümlri f F / i i i!,,,...,!,,,...,, k k F d f f d F f d F d f d df f k F k k f k F f G C F C g C f C k k
co k co '' k k co ih coh u u f F f, p priyolu fokiyo p f d p f ' F f f F f f f F f... f f g d F G 5 APACE DÖNÜŞÜMÜ BUUNAN FONKSİYONAR Dklm 7 il ıml igrl hr fokiyou içi lımz, dolyııyl hr fokiyou plc döüşümü yokur. Pki, cb hgi ürd fokiyolrı plc döüşümü vrdır? Bu oruu yıı biir, Dklm 7 ki igrl vr, döüşüm d vrdır dmkir. Bu igrli lıbilmi koşul bğlıdır: Vril fokiyo içi ımlı olmlıdır, fokiyo igrllbilir olmlıdır v igrl ykık olmlıdır. İlk koşul oldukç çıkır. İkicii, ürkli fokiyolr rfıd kolyc krşılır, çükü ürkli ol üm fokiyolr igrllbilir. Alıd igrllbilir olm dc prçlı ürkli vy kımi olrk ürkli fokiyolr içi grklidir. Bu ür fokiyolr şu şkild rif dilir: Solu bir rlığı olu yıd l rlığ bölübiliyor v hr bir l rlık fokiyou ürkli, yrıc fokiyo öz kouu rlığı ıırlrıd olu limi hip, fokiyou prçlı ürkli fokiyo dir. Diğr bir lıml, bğımız dğişki l rlıklrı uçlrı doğru yklşıkç ırkmmlıdır. Dolyııyl prçlı ürkli fokiyolr Şkil 5 5 görildiği gibi, olu yıd ıçrm ürkizliği hip olbilirlr, ck bu fokiyolr yi d bu ürkizlik oklrıd ımlıdırlr. Sürkizlik oklrı ğd v old yklş limilr yi
oludur, ck bu iki limi gllikl frklıdır. Dhı, blirli bir rlık ıırıd fokiyou dğri, bu rlığı hr iki ıırıdki limilrd frklı olbilir. Sdc ürkli fokiyolrı bir okdki ğd v old limilri il fokiyou o okd ldığı dğr birbirlri şiir. Alıck igrli ü limii ouz olduğud ouz gidrk fokiyo ırkybilir. Dolyııyl bir fokiyou plc döüşümüü bulubilmi içi çrpımıı içi ykık olmı grkir. Bu durum dc fokiyouu dği, yı zmd i d lcğı dğrlri d ıırlr. olu rlığıd ykı ol bir igrl çrpımıı içi ırkybilir. Bu durum, igrl dğrii; il rmı v i ouz yklşmı hlid ouz gimi hlid görülür. Bu dl gidrk igrli lıck ifdi rış hızı il ilgili bir koşul ihiycımız bulumkdır. Bu ürd ü limii ouz igrllr içi igrli lıck ifdi ykık olmı grkir. Diğr bir dyişl içi igrli lıck ifdi olu bir yıy ykımı grkir. Bu koşul çok kıılyıcı gibi görü d, lıd dğildir. Çükü burd öz kouu ol fokiyou dğil, çrpımıdır. Poziif dğrlri içi gidrk ıfır ykıdığıd bu rim bir ür öümlyici işlvi görür. 5 APACE DÖNÜŞÜMÜNÜN TEME ÖZEİKERİ irlik özlliği plc döüşümü ouç blirli igrldir v blirli igrllri özlliklri hipir. İgrl işlmi i lir bir işlmdir. Dolyııyl plc döüşümü lir bir döüşümdür. Bu gör { C f C f } C { f } C { f } 6 Yzılbilir. Burdki v kyfi bilrdir. ÖRNEK 5 bir bi olmk üzr fokiyouu plc döüşümüü buluuz. ÇÖZÜM Örk 5 d { } olduğuu bulmuşuk. Ayrıc olduğuu biliyoruz. Dolyııyl vril fokiyou plc döüşümü şu şkild buluur:
{ih k} k k { k } { k k k k k k k, k 6 k Ölm vy Kydırm Özlliği Eğr bir fokiyouu plc döüşümü biliiyor, bu durumd çrpımıı plc döüşümü şu şkild bulubilir: k { f } F k 6 k } ÖRNEK 5 fokiyouu plc döüşümü dir? ÖRNEK Örk 5 d { } olduğuu biliyoruz. olduğu göz öü lıır, vril fokiyou plc döüşümü şöyl olur: { } Çrpımıı plc Döüşümü plc döüşümüü ımıd hrkl; F f d 5 df d f d { f } d d F.. f d d F f d 5 4 d
ld dilir. Dklm 5 4 ü ğ rfıdki igrl, ım grği döüşümüdür. Bu rim ylız bırkılır; çrpımıı plc { } 5 5 Bu özllik, bğımız dğişki kuvvlrii buluduğu fokiyolrı plc döüşümü içi o drc fydlıdır. ÖRNEK 5 4 fokiyouu plc döüşümüü buluuz. ÇÖZÜM Dklm 5 5 gör { } döüşümüü rıyoruz. O hld dir. Ayrıc { } olduğud, Dklm 5 5 ; d F d { }, > 5 6 d d 4 Çrpımıı plc Döüşümü plc döüşümüü ımı şöylydi: F Hr iki rfı il rıd blirli igrlii llım: Ack F d f dd d olduğud, yukrıdki dklm; f d d f d f d hli glir. Bu i, ım grği { } dir. O hld ouç olrk ld dilir. f F d 5 7
ÖRNEK 5 5 fokiyouu plc döüşümüü buluuz. ÇÖZÜM Dklm 5 7 dikk lıdığıd, vril ifdd { } olduğud, Dklm 5 7 d; olduğu lşılmkdır. Ö yd F d lim R R d lim R R l lim l R l Dolyııyl bu fokiyou plc döüşümü yokur. R 5 İgrlii plc Döüşümü Yi plc döüşümüü ımıd hrkl; f d f d d Yzbiliriz. Köşli prz içriidki igrli, kımi igrl kiği il lmk mümküdür. Buu içi u f d v dv d dğişk mlrı ypr v kımi igrl şiliğid Yri yzrk; f f d F d f d f d ouç olrk; f d F 5 8 ld dilir. Bu ifd, özllikl igrl rimlri hip difriyl dklmlri çözümüd çok yrrlıdır. 6 Ölçk Dğişmi Özlliği Eğr fokiyouu plc döüşümü biliiyor, bu durumd bir bi olmk üzr fokiyouu plc döüşümü şöyl olur: k k f k F 5 9
5 4 BASAMAK, PERİYODİK VE DARBE FONKSİYONARININ APACE DÖNÜŞÜMÜ Bir fokiyou plc döüşümüü bulumı içi bu fokiyou ürkli olmı grkmz. Ack yygı kullımlrıd öürü şu kdr gllikl ürkli fokiyolr üzrid durduk. Ack uygulmd ık krşılşıl çok yıd fokiyo ıçrm ürkizliği hip olup prçlı olrk ifd dilir. Bu ür fokiyolr dh çok lkrik dvrlrii lizid, mkik imlrd, h rml imlrd krşımız çıkmkdır. İyi ki bu ür fokiyolrı d plc döüşümü vrdır v bu döüşüm, böyl fokiyolrı yr ldığı difriyl dklmlri çözümüd büyük kolylık ğlr. Am öc bu fokiyolrı ıylım. Öclikl birim bmk fokiyou il birim drb impul fokiyou hkkıd bilgi vrlim. plc döüşümüü rlığıd ımldığıı düşürk işlmlrimizd dim kbul dcğiz. BİRİM BASAMAK FONKSİYONU Muhml ıçrm ürkizliği hip bi fokiyo birim bmk fokiyou dır. Bu yı zmd Hviid fokiyou d dir v şğıdki şkild rif dilir: { 5 Bu ifdd ıçrmı görüldüğü yrdir Şkil 5. özl durumu içi öcd, olur v buu d plc döüşümü, dh 5 u olrk ld dilmişi. Birim bmk fokiyou, bir lmd fokiyouu kdr kydırılmı olrk düşüülbilir. Bu fokiyou plc döüşümüü ypmk içi döüşümü uygulrk; x u u d ux dx
x x u dx v ouç birim bmk fokiyouu plc döüşümü; { } 5 olrk buluur. Şimdi d bir fokiyouu birim bmk fokiyou il çrpığımızd olcğı bklım Şkil 5. : Eki yok b kımıı kilmi c Fokiyou kydırılmı Şkil 5-. Birim bmk fokiyouu fokiyou üzridki kii u olmı durumud f f 5 olur, çükü içi dir v birim bmk fokiyouu üzrid bir kii yokur. Ack olmı hlid şu durum ld dilir: { 5 4
Dolyııyl bir fokiyouu birim bmk fokiyou il çrpmk, bu fokiyouu rlığıd kl kımıı yok mk, gri kl kımı üzrid i hrhgi bir ki ypmmkdır. Pki vrylım ki fokiyouu rlığıd kl kımıı kybmk imiyor, buu yri fokiyouu bşlgıç okıı okı ölmk iiyoruz. Buu ypmk içi fokiyouu birim ğ kydırmk yi ı oluşurmk v birim bmk fokiyou il çrpmk yrlidir Bkz. Şkil 5. Buu oucud şğıdki prçlı fokiyo ld dilir: { Birim bmk fokiyouu; fokiyouu okı kdr kplı u dh or d ç bir ür hr gibi düşümk mümküdür. ÖRNEK 5 6 Aşğıdki fokiyolrı plc döüşümlrii buluuz. { { ÇÖZÜM Hr üç fokiyo Şkil 5 d çizilmişir. Bu oruu mcı, dvrışlrı gl olrk yı ol frklı fokiyolrı plc döüşümlrii görmkir. Şkil 5- Örk 5-6 d vril fokiyolrı grfiklri
Tblo 5 d { f } { ld dilir. } b Birim bmk fokiyou yrdımıyl bu fokiyo Bu gör plc döüşümü; olrk yzılbilir. F { u } u d çükü içi fokiyou dğri ıfırdır. Ack l limi dğişrk olmuşur. Buu krr ıfır ypmk içi dğişkii ımlyıp yri yzlım: x x F x dx x dx 6x 9} 6 9 { x d c Birim bmk fokiyou yrdımıyl bu fokiyo dilbilir. Bu gör plc döüşümü; f u olrk ifd F { u } u d d çükü içi fokiyou dğri ıfırdır. Ack l limi dğişrk olmuşur. Buu krr ıfır ypmk içi dğişkii ımlyıp yri yzlım: F x dx x dx { x } x x ÖRNEK 5 7 Aşğıdki fokiyo içi bir mmikl dklm ld drk buu plc döüşümüü ypıız., f,, 5 5 ÇÖZÜM Bu fokiyo, iki yrı birim bmk fokiyouu frkı biçimid düşüülbilir Şkil 5 v şöyl ifd dilbilir: f u u 5
Şkil 5- Örk 5-7 dki fokiyolrı grfiklri Bu gör Dklm 5 d; F { u u 5} { u } { 5} 5 ld dilir. ÖRNEK 5 8 Aşğıdki fokiyo içi bir mmikl dklm ld drk buu plc döüşümüü ypıız., f i,, ÇÖZÜM Bu fokiyo, Şkil 5 4 görüldüğü gibi il iki frklı birim bmk fokiyou rıdki frkı çrpımı olrk düşüülbilir v şu şkild ifd dilbilir: f i u u Şkil 5-4 Örk 5-8 d vril fokiyou birim bmk fokiyolrı il oluşurulmı Dklm -6 d bu fokiyou plc döüşümü;
{i } {i } i { } i { } {i u u u u F buluur. Ack v olduğud; } {i } i { } {i F ld dilir. PERİYODİK FONKSİYONAR Uygulmd priyodik fokiyolrl çok ık krşılşılır v bu yüzd özl bir ilgiyi hk mkdirlr. Hr poziif dğri içi şiliğii ğly poziif bir yıı vr, fokiyou priyolu priyodik fokiyo dir. Burd şiliği ğly küçük poziif yııd öz iğimizi blirlim Şkil 5 5. Bu durumd yııı m klrı ol,, vb. yılrı d bu şiliği ğlr. Ykıd bili rigoomrik fokiyolr v, priyolu fokiyolrdır. Priyodik fokiyolrı plc döüşümlri içi şu ori kullılır: Şkil 5-5 Priyodik fokiyo Torm 5 içi ; priyolu ürkli bir prçlı fokiyo olmk üzr, bu fokiyou plc döüşümü; 5 8 ifdid buluur. ÖRNEK 5 9 fokiyouu plc döüşümüü buluuz. ÇÖZÜM fokiyou, priyolu bir priyodik fokiyodur. Bu gör Dklm 5 8 d grkiği yrd igrl blolrı mürc drk
[ ] olrk ld dilir. ÖRNEK 5 Aşğıdki priyolu fokiyou plc döüşümüü buluuz. { ÇÖZÜM Vril fokiyo, gliği ol priyolu dlg fokiyoudur Şkil 5 6. Şkil 5-6 Örk 5- d vril priyodik fokiyo p p d f F d d h 6 6 6 6 6 6 5 9
ATERNATİF ÇÖZÜM Gl olrk gliği ol priyolu bir kr dlg fokiyouu plc döüşümü şu şkild vrilir: p p p f / / { v / / / h p p p p F Vril kr dlg v dır. Dolyııyl yukrıdki dklmd u f v buu plc döüşümü; {} u F } { {} u 5 olrk ld dilir. Dklm 5 9 il bulu ouç il Dklm 5 il bulu oucu yı olduğuu göriiz DARBE FONKSİYONARI Bzı fizikl problmlrd, i volj dğişimi vy bir cim çrpm kuvvi gibi, çok kı bir ürliği kiy büyük şiddli fokiyolr öz kouudur. Bu ür dğişimlr gld blirli bir yrd zirv pik yp, diğr yrlrd i ıfır ol dğişimlrdir. Bu ırdışı dvrışlrıd öürü bu ür fokiyolr diğr bili fokiyolrd yrı biçimd l lımlıdır. Örği bir fubol oyucuuu dikk llım. Şu çkrk fubolcuu yğı op ıd, çok kı bir ur içriid büyük bir i kuvv uygulr v rdıd op mı kilir. Kuvvi uygulm üri olu. Uygul kuvvi üri boyuc igrli kuvvi drbi impulu dir. Bu drbli kuvvi il görirk, şu şkild ımlybiliriz:
{ 5 Prik olmmıı bir rf bırkırk, bu rif oldukç ki v mkuldür. Hr şyd öc ürii ölçmk y d i mmikl biçimii kirmk koly dğildir. Ayrıc çoğu zm bulrı ouç üzrid y çok z kii vrdır, y d kii hiç yokur. Aıl ömli ol kuvvi drbidir. Dolyııyl üm bu kuvvi ıd y şi bir yoğuluk kidiği düşüülbilir. Bu idllşirm yid fokiyou şu şkild vrilbilir: { 5 4 Bu rif zrif görü d ömli bir olumuz özlliği bulumkdır. Dyimlrimizd, bu ür fokiyolr yri k bir doğru il rif dil fokiyolrl çlışmı dh uygu olduğuu biliyoruz. Dolyııyl bu fokiyou bir k-doğru rifi döüşürmk iriz. Bmk fokiyolrı içi buu dh öc birim bmk fokiyou kullrk ypmışık. Şimdi yı şyi birim drb fokiyou ımlyrk drbli fokiyolr içi ypcğız. Birim drb fokiyou, lışılglmişi oldukç dışıd şğıdki biçimd rif dilir: 5 5 5 5 b Dl fokiyou kullılrk drbli fokiyo şu şkild ifd dilir Şkil 5 9: 5 6 Şkil 5-9 Drbli dvrışı dl fokiyou yrdımıyl ypıl idllşirilmiş rifi
Dl fokiyouu ıl kıymi, bir igrl içriid yr ldığıd ory çıkr. Örği Vy gl bir fokiyou içi 5 7 olduğu görülür. Dl fokiyouu bu lmd kullcğız v bu dklm dl fokiyouu ımı olrk düşüülbilir. Dl fokiyouu glkl lmd bir fokiyo olmdığı vurgulmlıdır. Bu fokiyo, dh çok Dklm 5 7 dki igrl işlmi gör okıd fokiyou dğrii ç bir ür oprör gibi lgılbilir. Dklm 5 7 il plc döüşümüü ımı rıdki bzrlik dikk lıdığıd, dl fokiyouu plc döüşümü, dklmdki yri lırk kolylıkl ld dilir: } d { 5 8 olmı gibi özl bir durumd; { } 5 9 Eld dilir. Burd dğişkii mulk zm olmı grkmz, bir koum dğişki d olbilir. Örk olrk klı bir ilidiri orıdki ic bir dirç lid ürkli olrk yyıl ıı il vrilbilir. Burd rdyl yödki koum dğişki, i yyıl ııdır. ÖRNEK 5 Bir lkrik dvri d luk i bir grilim, d i 5 luk i bir grilim mruz klmkdır. Uygul grilim içi mmikl bir dklm oluşuruuz v bu dklmi plc döüşümüü ypıız. ÇÖZÜM Uygul grilim vrildiği şkliyl şöyl ifd dilbilir Şkil 5 :,, i {, 5,, 5 5 5 Diğr rf dl fokiyou kullırk;
i 5 5 5 Eld driz. Buu plc döüşümü i, Dklm 5 8 d; {[ ]} Şkil 5- Örk 5- d vril fokiyo 5 5 TÜREVERİN VE DİFERANSİYE DENKEMERİN APACE DÖNÜŞÜMÜ Bu bölümdki ıl mcımız, difriyl dklmlri plc döüşümü il çözmkir. Bu yüzd ürvlri plc döüşümlrii bilmmiz grkir. Bir fokiyouu ici ürvii plc döüşümü, igrli ykımı hlid ; f f d 5 4 olrk buluur. Torm 5 : Birici Türvi plc Döüşümü olmk üzr döüşümü; ürvi zıd prçlı ürkli bir fokiyo i, bu üvi plc { } 5 4 olrk ifd dilir. Burd, fokiyouu plc döüşümü, i okıd bu fokiyou dğridir. Eğr bu okd fokiyo ürkli dğil, bu durumd, yi ğd limi dğri lıır.
İkici v ici Türvi plc Döüşümü olmk üzr v ürkli bir fokiyo v ürvi zıd prçlı ürkli bir fokiyo i, bu durumd ikici ürvi plc döüşümü; { } olrk ifd dilir. Bzr şkild ici ürvi plc döüşümü i; 5 4 { } 5 4 DİFERANSİYE DENKEMERİN APACE DÖNÜŞÜMERİ ÖRNEK 5 Aşğıdki difriyl dklmlri plc döüşümlrii ypıız v bulduğuuz cbirl ifdd fokiyouu çkiiz. y y y b y ÇÖZÜM { y y y} { y } { y} { y} {} [ Y y y] [ Y y] Y Y y y Y y y b y y l Y y l Y l y
Böyllikl vril iki difriyl dklmi cbirl dklmlr döüşürmüş olduk. Ack bizim rdığımız dğil, buu plc döüşümü ypılmmış hli, yi dir. d hrkl y gçbilmk içi bu fr r plc döüşümü uygulmmız grkir. 5 6 TERS APACE DÖNÜŞÜMÜ Difriyl dklmlri plc döüşü il çözümüd ilk dım, döüşüm fokiyou ol i bulmkır. Bu işlm gllikl oldukç kolydır. İkici dım i plc döüşümü ol v ıl r fokiyoudur. Bu dım i dh zordur. Tr plc döüşümü { } il görilir v; F f 5 44 olrk ifd dilir. Tr plc döüşümüü ypbilmi koly v hızlı yolu, plc döüşüm blolrıd yrrlmkır. Çşili kyklrd v ir çok giş döüşüm blolrı mvcuur. Ack çok bi ypıd v ık rl bir r döüşüm dğil liizd bulu, muhml bu blolr d işiiz yrmyckır. Tr plc döüşümlrii doğrud igrl yoluyl d bulmk mümküdür, ck bu d oldukç iyi bir igrl bilgii grkirir. Bulrı hpid dh koly bir yol i çşili mmikl yzılımlrı kullmkır. Mlb, Mpl, Mhmic, Mhcd vb. progrmlr; o drc glişmiş lypılrıyl bu v bzri koulrd o drc yrdımcıdır. Tr plc Döüşümüü Bzı Tml Özlliklri Özllik : C F C F C F C F 5 45 Örk Özllik : l l 5 5 k F k F 5 5 46 Örk { } { } Özllik :
Örk d 5 47 d F F d l d i co 9 9 d 9 d F Özllik 4: F F d 5 48 Örk 6 6 6 d 6 d 6 Özllik 5: d F d F 5 49 Örk d d Özllik 6: F u f 5 5 Sözlü lıml, rimii çrp olrk yr ldığı bir fokiyou r plc döüşümüü ypmk şu yol izlmlidir: Bu rim yokmuş gibi hrk drk fokiyouu r plc döüşümüü yprk fokiyouu bulu b fokiyoud gördüğüüz yr yzı c Eld iğiiz oucu birim bmk fokiyou il çrpı
Örk { } { } Özllik 7: k k F k f 5 5 Örk 5 5 co 5 9 5 5 5 Özllik 8: Eğr iki fokiyou plc döüşümlri yı i, bu iki fokiyo d birbirii şdğridir. Tm Kry Tmmlm Difriyl dklmlri plc döüşümü il çözrk pyd kımıd gllikl rimiyl krşılşırız. Bu rimi, r plc döüşümü ol m kr hli girmk kolylık ğlr. Buu içi ifdy rimii klyip çıkrmk yrlidir. Buu oucud; Örk 5 5 F 5 8 F 5 5 5 8 8 8 4 6 Bu gör r plc döüşümü;
4 5 4 5 ih 6 f 5 4 6 6 6 5 7 KISMİ KESİRERE AYIRMA Difriyl dklmlri plc döüşümü il çözrk gllikl kirli ifdlrl krşılşırız. Bu ifdlri r döüşüm blolrıd doğrud krşılıklrıı bulmk mümkü olmdığıd, bu ür ifdlri kımi kirli ypılr döüşürmk grkir. Ayı işlm igrl içi d ypılır. Örği ifdii igr mk ifdii igrlii lmk çok dh zordur. O hld kımi kirlr yırmk r plc döüşümü yprk ömli kolylık ğlr. Buu içi bzı kurllr vrlim: Kurl Vril kri bi kir pyı drci pydıkid küçük olduğud mi ol. Örği kri bi kirdir, çükü pyıı drci pydıı drci i ür. Kurl Vril kri pyı il ilgilm, çükü buu kımi kir çimid kii yokur Kurl Pyddi çrplrı mümkü olduğu kdr d biçimd ifd. Bu yd dh bi kımi r plc döüşümü koly kirlr ld miş oluru. Örği şu iki ifdd ikicii dh bi ouç vrckir. x x x x x x 6 xx x x Kurl 4 Bi bir kri kımi kirlri d dim bi birr kirdir, buu uum. O hld şu dkliği yzbiliriz: x x 6 A B C x x x x x x 5 5 Burd, v bilimy bilrdir. Kımi kir dkliği yzılırk pyı drci pydı drcid bir düşük lıır. Örği pydd gibi bir ifd vr, py kımı buu bir l drci ol yzılmlıdır. Kurl 5 Pydd yr l krrlı çrplrı ırd çrplr olrk düşü, ck hr rdışık hr bir kuvv içi bir rim ilv. Bu örk vrlim:
Kool kurlı Pydd yr l bir rim kçıcı drcd i, bu riml ilgili rimd o yıd bilimy bi olmlıdır. Örği rimi. drcd olduğud, bilimy bi d dir v. Korol kurlı Toplm bilimy bi yıı, üm pydı drci şi olmlıdır. Örği yukrıd pydı drci olduğud bilimy bi yıı d dur. BİİNMEYEN SABİTERİ TESPİT EDİMESİ Bilimy bilri blirlmid frklı yöm izlbilir. Yöm Dklmi hr iki yı, orijil dklmi pydıyl çrpılır, şi drcli rimlri kyılrı birbirlri şilrk bilimy bilr buluur. Bu bir örk vrlim: x x 6 A B C x x x x x x Dklmi hr iki yı x x x il çrpılıp düzlir; x x 6 A x x Bx x Cx x A x x 6 B x x C x A B C x x C x A B C x 6A x ld dilir. Eşi drcli rimlri kyılrı şilir, şğıdki dklm imi ulşılır. A B C A B C 6 6A Çözüm ypılır,, v buluur. Dolyııyl vril dklm, kımi kirlr ciid şğıdki gibi ld dilir: x x 6 4 x x x x x x 5 55 Yöm Dklmi hr iki yı, bilimy bilrd birii pydı il çrpılrk bu bi ylız bırkılır. Dh or pydyı ıfır yp bğımız dğişk dğri yri yzılrk bilimy bilrd ilki buluur. Ayı işlm dh or diğr bilr içi d krrlır. Yukrıdki örği bu yöml çözlim. x x 6 A B C x x x x x x
Dklmi hr iki yıı ı pydı ol il çrplım: x x 6 Bx Cx A x x x x Eld iğimiz dklmd lırk, buluruz. Ayı işlmi bu fr v rimlri içi yplım: Böylc vril dklm; biçimid ifd dilbilir. Bu yöm lir birici drcd pydlr içi o drc prikir. Ack ikici vy dh yükk drcli pydlr içi kullılmz. Ack yi d lir pydy hip bilr bu yöml hızlı bir şkild bulubilir v böylc bilimy yıı zlılbilir. ÖRNEK 5 Kımi kirlr yırm yömii kullrk şğıdki fokiyou r plc döüşümüü ypıız. Y ÇÖZÜM A B C Yöm kullılır,
A A B B c A B C A C A B B C C A B B C A C A B A C Dklm imi buluur. Burd yri yzılır; buluur. Bu bilr dklmd Bu ifdi r plc döüşümü ypılır, ouç şöyl olur: 5 8 KONVOÜSYON TEOREMİ Difriyl dklmlri plc yömiyl çözrk çoğu zm doğrud r plc ı olmy, ck y bğlı v r plc ı bili iki fokiyou çrpımı şklid ifd dilbil fokiyolrıyl krşılşırız. Diğr bir ifdyl şklid ifd dilbilmk v burdki v fokiyolrıı r plc döüşümlri ol v bilimkdir. Bu ür durumlrd fokiyouu r plc ı kovolüyo ormi il blirlbilir. Bu orm; { } 5 57 olrk ifd dilir gçici dğişkdir. Bu igrl v fokiyolrıı kovolüyou dı vrilir v bz şklid görilir. Alı igrli ü limii olduğud, ouç y bğlı bir ifd çıkckır. ÖRNEK 5 4 Kovolüyo ormii kullrk şğıdki ifdi r plc döüşümüü buluuz. Y ÇÖZÜM Vril fokiyo v gibi iki fokiyou çrpımı şklid düşüülbilir:
F v G Tblo 5 d bu iki fokiyou r plc döüşümlri, f v g co olrk lıır. Kovolüyo ormi gör yzrk; * y f g Y F G f g d co d co d o Kımi igrl kiğii kullrk y d igrl blolrıd yrrlrk y d dh priği Mpl ı kullrk ---- bi ıvd dğiliz---; buluur. 5 9 APACE DÖNÜŞÜMÜ İE DİFERANSİYE DENKEMERİN ÇÖZÜMESİ plc döüşümü il difriyl dklmlri çözümü dımd özlbilir:. Vril difriyl dklmdki hr bir rimi plc döüşümüü ypıız. Buu oucud bğlı cbirl bir dklm ld dckiiz. Ar fokiyou, i r plc ıdır.. i ylız bırkı. Buu oucud gllikl bir kir ld dilir.. i r plc döüşümüü yprk r fokiyo yi bulu. Bu şmd kri kımi kilr yırmız v r döüşüm/igrl blolrı bşvurmız grkbilir. plc döüşümü ypılırk dki bşlgıç dğrlri doğrud girildiği içi dh ord bu ıır şrlrıı uygulmı grk yokur. Diğr bir ifdyl, plc döüşümü il bir difriyl dklmi çözbilmk içi bu bşlgıç dğrlri grkiim vrdır. Bu şrlrı dc içi vrilbiliyor olmı, bu güçlü döüşümü zyıf hlkıdır. Dolyııyl plc döüşümü il ıır-dğr problmlrii çözümü ypılmz d?.
ÖRNEK 5 5 8 C ıcklıkki küçük bir bkır bily, içriid C d buzlu-u bulu çok giş bir kb bırkılıyor. Bkır bilyi ıı kybmid öürü ıcklığı zml düşmy bşlıyor. Bkır bilyi ıcklığıı zml düşmi; Difriyl dklmi uyrıc grçklşiği gör, bu bşlgıç-dğr problmii çözrk bilyi ıcklığıı zmı fokiyou olrk ld diiz. ÇÖZÜM Vril difriyl dklmi plc döüşümüü yplım: { } { } { } Bu ifdi r plc döüşümüd; Küri ıcklığı zmı fokiyou olrk ld dilmiş olur. olduğud olur?
ÖRNEK 5 6 Yy bii ol düşy olrk yr bilmiş bir yyı pid durgu hld bir küli bulumkdır. Bu hldyk küli ü yüzyi m orı bir çkiç il şiddid bir drb il vurulmkdır. Bu drbi kiiyl kül yy üzrid yukrı şğı irşim hrki ypmy bşlmkdır. Koordi bşlgıcı küli bşlgıçki mrkzi v poziif yöü şğı doğru lıır, küli hrki şu difriyl dklml rif dilbilir: mx kx I x x Bu gör küli koumuu zmı fokiyou olrk ld diiz. ÇÖZÜM Vril dklmi hr iki yıı küli bölüp plc döüşümü uygulylım: k I m m x x k I X x x X X m k X m I m m Burd X I m çkilir, k m I m m k k m k m I mk k m k m v bu ifdi d r plc döüşümü ypılır; x I i mk k m ld dilir. Bu d i ouçur.
ÖRNEK 5 7 Uygu birimlrd olmk üzr, dirç, bobi v kodör d kurulu bir RC dvrii l llım. Bşlgıç ıd dvrd hiçbir kım gçmmkdir. Dh or dvr hrı kpılrk pili dvry üryl 5 Vol grilim uygulmı ğlmk, rdıd hr krr çılmkdır. Dvrd gç kımı olrk lımı hlid R, v C d oluş grilim düşüşlri, ırıyl;, v olckır. Burd olrk vrilir. Kirchhoff grilimlr yı grği, üm grilim düşüşlrii oplmı, pil rfıd ğl grilim şi olmlıdır. Bu gör şu difriyl dklm yzılbilir: Vrillr gör dvrd gç kımı zmı fokiyou olrk ld diiz. Pil rfıd ğl grilim, olduğu dikk lıır; [ ] olrk ifd dilbilir. ÇÖZÜM Vril dğrlri yri yzıp plc döüşümü uygulylım: d 5 u i 6i 5 i i 6i 5 i d 5 u I i 6I I I 5 5 5 6 5 Burd çkilir;
5 I 6 5 ld dilir. Pyddki ifd 6 5 5 şklid çrplrı yrılbilir. Yöm kullılrk kımi kirlri bilri buluur: 6 5 5 5 4 5 4 Bulr yri yzılır; I 5 5 4 5 4 A B 5 v r plc döüşümü uygulır, 5 5 4 4 5 5 5 u 4 4 5 5 5 5 u i vy prçlı fokiyo olrk şu şkild ifd dilbilir: 5 5 5, 4 i 5 5, 4
PROBEMER 5 Fokiyolrı plc Döüşümlri olmk üzr şğıdki fokiyolrı plc döüşümlrii ypıız. 5 f = 5, b f=, c f= ih α 5 f =,, b f= coh, c f=, 5 f = i α, b f= 5-, c f= -, 5 4 f =, b f=, c f=, 5 5 f = -, 5 5, b f= co, c f=,.5,.5.5 5 6 Aşğıdki fokiyolrı plc döüşümlrii buluup bulumdığıı blirlyiiz. f =, b f=,, c ih 5, d f=, 8. f = 8, f f=, g i, h f=, 8, 8 5 plc Döüşümüü Tml Özlliklri 5 7 5 i 5 i ifdi doğru mudur? Pki 5 i 5 i ifdi içi driiz? 5 8 5 5 ifdi doğru mudur? Pki 5 5 ifdi içi driiz? 5 9 plc döüşümüü kydırm özlliği dir? Buu ölçk dğişimi özlliğid frkı dir? 5 f v g fokiyolrı il bulrı plc döüşümlri F v G vrilmiş olu. G = F olduğu gör f v g rıd bir bğıı buluuz. 5 f v g fokiyolrı il bulrı plc döüşümlri F v G vrilmiş olu. olduğu gör f il g rıd bir bğıı buluuz. 5 f v g fokiyolrı il bulrı plc döüşümlri F v G vrilmiş olu. 5 f f olduğu gör f il g rıd bir bğıı buluuz. şiliği doğru mudur? Ev diyorız, hgi ür fokiyolr içi?
Tblo 5 d vril döüşümlri kullrk şğıdki fokiyolrı plc döüşümlrii ypıız. 5 4 5 5 f f i, b co, b coh f, c f i f 5, c f d 5 6 5 7 5 8 5 9 f f f f co, b f, c 6 i, b f cohk, c 5 ih i, b, b f co k f f f, c f / i d 5, c f cok 5 / 5 5 f, b f i co, c f coh 5 Bmk, Priyodik v Drb Fokiyolrıı plc Döüşümü 5 u - f v u - f - fokiyolrıı f d frkı dir? 5 Priyodik fokiyou blirlyici özlliklri lrdir? Böyl bir fokiyo mulk ürkli olmlı mıdır? 5 Drb fokiyolrıı prik ömi vrdır. Drb fokiyolrı il rif dilbilck fizikl örklr vriiz. 5 4 f v g fokiyolrı il bulrı plc döüşümlri, ırıyl d / olrk vriliyor. Bu iki fokiyo rıd ıl bir frk vrdır. 5 5 Aşğıdki grfiklri vril fokiyolrı bmk v/vy dl fokiyolrı ciid ifd drk plc döüşümlrii ypıız.
Aşğıd lil fokiyolrı grfiklrii çiziiz v plc döüşümlrii ypıız. 5 6 f=, i, b f=,,, 5 7 f= co,, b f=,,, 5 8 f=,, b f=, co,, / 5 / 5 / /
, 5 9 f=,, 5, b f=, 5,, Aşğıdki priyodik fokiyolrı grfiklrii çiziiz v plc döüşümlrii ypıız p = priyo., 5 f=, o p= i, 5 f= i, o p= 5, 5 f= 5, o p=, 5 f=, o 5 5 o p= 5 4 Aşğıd grfiklri vril priyodik fokiyolrı plc döüşümlrii ypıız. 5 4 Türvlri v Difriyl Dklmlri plc Döüşümlri Aşğıd vril difriyl dklmlri plc döüşümlrii ypıız v i ld diiz. 5 5 y y 5y o b y 5 6 y y ih b y y 5y 5 5 7 y 5y i y y u
5 5 Tr plc Döüşümü Tblo 5 i kullrk şğıdki fokiyolrı r plc döüşümüü ypıız kımi kirlr yırm vy Kovolüyo ormii kullmyı. 5 8 F 5, b F, c F 4 5 9 F, b F, c F 4 4 5 4 F, b F, 9 c F 8 5 4 F, b F, c F 4 6 5 4 F, b F, c F 4 4 4 5 4 F, b F, c F 9 5 44 F, b k F, c F S 5 6 Kımi Kirlr Ayırm Aşğıdki fokiyolrı, grkli olduğud kımi kirlr yırrk, r plc döüşümlrii ypıız. 5 45 5 46 F, F, b F b F 4 8 5 47 F 4, 5 5 48 F, 5 49 F, 5 5 F, 6 5 b F b F 5 4 b F 5 b F 4 4 5 5 4 F, 4 5 b F
5 7 Kovolüyo Tormi Kovolüyo ormii kullrk şğıd vril fokiyolrı r plc döüşümlrii ypıız. 5 5 F 5 Y b 5 5 4 Y 4 Y b 5 54 8 Y 4 Y b 5 55 Y 4 Y b 5 56 Y 4 Y b Aşğıdki fokiyolrı r plc döüşümlrii hm kımi kirlr yömii hm d Kovolüyo ormii kullrk buluuz v krşılşırıız. 5 57 5 Y 4] [ Y b 5 58 6 4 4 Y 5 Y b 5 59 Y Y b 5 6 Y 8 Y b 5 6 5 6 Y 4 4 Y b 5 8 Difriyl Dklmlri plc Döüşümü il Çözülmi Aşğıdki bşlgıç-dğr problmlrii plc döüşümü il çözüüz. 5 6 y y 4, y 5 6 y y, y 5 64, co y y y 5 65 co, i i i 5 66.. q q, q
5 67 u.u, u 8 5 68 x x x, x, x 5 5 69 x 4x [ u π ] i, x, x 5 7 x x i, x, x 5 7 i 8i 4[ u u ], i, i 5 7 i i 4i 6 u, i i iv 5 7 y 8, y y, y, y 5 74 y y y u, y, y 5 75 y y y, y, y 5 76 y 4y ih, y y 5 77 y y i, y, y 5 78 y y 5, y y 5 79 y 8y i, y, y 5 8 y y, y y y 5 8 y y y 5 y, y, y