Say 4, Nisan 011 Kemerlerin Statik Analizi çin Basitletirilmi Bir Yaklam T.Uçar, G.akar KEMERERN STATK ANAZ ÇN BASTETRM BR YAKAIM Taner UÇAR 1, Gökhan AKAR 1 Dokuz Eylül Üniversitesi, Mimarlk Fakültesi, Mimarlk Bölümü, zmir, taner.ucar@deu.edu.tr Dokuz Eylül Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, naat Mühendislii Bölümü, zmir, gokhan.sakar@deu.edu.tr Geli Tarihi:06.08.010 Kabul Tarihi:7.1..010 ÖZET Bu çalmada, yaplarda ilk kullanlan tayc sistem olarak bilinen kemerlerin çk noktalar ve tarihsel süreçteki geliimleri incelenmitir. Kemer sistemlerin çalma prensipleri oluan iç kuvvetler bakmndan irdelenmitir. Kemerlerin eri eksenli elemanlar olmas nedeniyle günümüzde kullanlan deiik analiz programlarnda gerçek kemer geometrisinin tanmlanmas oldukça zaman alc olmaktadr. Ayrca elle yaplan hesaplarda kemerlerde iç kuvvetlerin hesaplanmas basit olmasna karlk, yerdeitirmelerin hesaplanmas kemerin eri eksenli geometrisinden dolay zahmetlidir. Bu çalmada kemerlerin düey yükler altnda çözümünü ve bilgisayarl analiz programlarnda modellenmesini basitletirebilecek bir yaklam sunulmutur. Bu yaklamda kemerler doru eksenli parçal elemanlarla temsil edilmitir. Sunulan yaklamn etkinlii kemerlerle ilgili yaygn bir hesap modeli olarak kullanlan üç mafsall kemerler göz önüne alnarak aratrlmtr. Gerçek kemer geometrisi ve idealletirilmi durumlar için iç kuvvet ve yerdeitirme olarak hesaplanan deerler çalma kapsamnda sunulmu ve karlatrmalar yaplmtr. Anahtar kelimeler: Kemerlerin tarihsel süreci, kemerlerde iç kuvvetler ve yerdeitirmeler, üç mafsall kemerler, kemer geometrisinin idealletirilmesi. A SIMPIFIED APPROACH FOR STATIC ANAYSIS OF ARCHES ABSTRACT In this study, arches, which are known as the first structural system utilized are investigated in point of origin and historical development process. Working principles of arch systems are examined in terms of composed internal forces. Due to curved shape of arches, it is considerably time consuming to model the real geometry of arch in various structural analysis programs, which are commonly used. Also, despite the fact that the determination of internal forces requires an elementary manual calculation, it is quite difficult to obtain displacements because of the curved geometry of aches. In this study, an approach, which simplifies the analysis of arches under vertical loads, and the modeling of them in computer-aided analysis, is presented. In this approach, arches are represented by straight axial fragmented elements. Efficiency of the present approach is investigated by considering three hinged arches, which are commonly used computational models. The values, which are computed in terms of internal forces and displacements for both the real and the idealized cases, are presented in the study and finally these values are compared with each other. Keywords: Historical process of arches, internal forces and displacements in arches, three hinged arches, idealization of arch geometry. 1. GR Kemer, ta ve tula gibi daha çok basnca çalan malzemelerle açklk geçmeye yarayan ve duvar, sütun ya da ayak gibi elemanlara iki noktada oturan eri biçimli yap elemandr. Kagir yapya özgü olmakla birlikte, ahap yapda da kemer kullanlmaktadr [1]. Yaplarda ilk kullanlan tayc sistemlerdir [] nsanlar ellerindeki tek parça yap elemanlar bir açkl geçecek büyüklükte olmaynca, bunlar yan yana getirerek o açkl geçmeyi düünmülerdir [3]. Duvarda açlan kap ve pencere boluklarna ve büyük salonlarda tayc sütunlarn üzerine, yukardan gelecek yükleri tamak üzere, ahap, kagir, çelik veya betondan 35
Say 4, Nisan 011 Kemerlerin Statik Analizi çin Basitletirilmi Bir Yaklam T.Uçar, G.akar bir lento atlmtr. Gelimi yap malzemelerinin bilinmedii bu devirlerde kagir binalarda lento görevini gören uzun talarn üstten gelen yüklerin etkisi ile krld görülerek açkl güvenli bir biçimde geçmek ve daha geni açkllar geçebilmek amac ile harcanan çabalar kemerin bulunmasn salamtr. Bu ekilde bir açkl birbirine dayanarak örten iki ta parçasnn örnekleri olan ilkel kemerler bulunmutur [3]. Bu basit kemerlerin biraz daha gelimi ekli üç parçadan olumaktadr. Kubbe ve tonoz gibi yap elemanlarnn çk noktasn kemer oluturmaktadr. Kemere benzeyen ilk yap örneklerine M. Ö. 3000 yllarnda Mezopotamya mimarisinde rastlanmaktadr [1, 4, 5]. Msrllara ait örnekler, bu uygarln da ayn dönemlerde kemer formunun yapsal potansiyeli hakknda bilgi sahibi olduklarn göstermektedir [4]. Babil de bindirme kemer ad verilen bir kemer türü kullanlmtr. Bunlarda malzeme olarak büyük ta bloklar kullanlm ve her srada bir alttakinden içe doru taacak biçimde yerletirilmitir [1]. Kemerlerin sistematik kullanm ise kemer tekniini geni bir yap snfna ilk defa uygulayan Romallar döneminde balamtr. Eski Türk yaplarnda kemer talarn geçmeli yaplarak talarn birbirine daha iyi balanmalar salanmtr. Osmanl mimarisinde de kemer kullanm yaygn olarak görülmektedir. En çok kullanlan kemer tipleri Bursa Kemeri, tek veya çift merkezli teet kemer, penci kemer, bask kemer ve üç merkezli kemerdir [6]. Yap tarihi boyunca kemer öesi, köprü, suyolu, saray, tapnak gibi birçok yapda kullanlm ve pek çok kemer türü gelitirilmitir [1]. ekil 1 de günümüzde de varln sürdüren iki farkl kemer tipinden örnekler sunulmutur. a) b) ekil 1. Deiik kemer tiplerine ait örnekler a) Alcantara vadisindeki su kemerleri, isbon b) Genelkurmay binasnn kemeri, Palace Square, St. Petersburg. KEMERERN ÇAIMA PRENSB ve YAPIM ÖZEKER Kemerler açklk kesitinde çekme gerilmesinin olumamas ve sadece basnç gerilmelerinin meydana gelmesi bakmndan önemlidir. Bilindii üzere betonarme ve çelik inaatlar balamadan önce tarih srasna göre kullanlan yap malzemelerinin balcalar ta, tula ve betondur. Bu malzemelerin basnca kar yeterli mukavemeti olmasna karlk çekmeye kar mukavemeti yok denecek kadar azdr ve genel olarak çekmeye kar mukavemetinin olmad kabul edilir []. Bu durumda, ta, tula ve betondan yaplacak tayc sistemlerde hiçbir ekilde çekme gerilmesinin meydana gelmemesi gerekir. Bunun için de tayc sistemin her bir kesitinde ya sadece eksenel basnç kuvvetinin etkimesi ya da eksenel basnç kuvveti ile birlikte bir miktar eilme momentinin etkimesi gerekir. Kemer ekseni uygun ekilde düzenlenerek hiçbir kesitte eilme momentinin meydana gelmemesi veya normal kuvvetle birlikte etkiyecek eilme momentinden çekme gerilmelerinin olumamas salanabilir []. Çekmeye kar mukavemeti olmayan yap malzemelerinin kullanlmas nedeniyle balangçta tayc sistemler genellikle kemer olarak ina edilmitir. 36
Say 4, Nisan 011 Kemerlerin Statik Analizi çin Basitletirilmi Bir Yaklam T.Uçar, G.akar Kagir kemerlerin yapm esnasnda iki önemli avantaj ön plana çkmaktadr. lk avantaj olarak kagir kemerler, kemer ta ad verilen birçok küçük parçadan olumas nedeniyle tanmas ve yerine konulmas oldukça güç olan büyük ta bloklarla urama zorluunu ortadan kaldrmaktadr. Ayrca hasarsz büyük ta parçalarnn bulunabilme zorunluluundan da bu ekilde kaçnlm olunur. kinci avantaj olarak ise, fiziksel özellikleri nedeniyle kemer eski dönemlerde tayc eleman olarak kullanlan ta lentolara göre daha büyük açklklar geçebilir. Kemerin üstündeki duvarn neden olduu arlk kuvvetleri kemer üzerine dalr ve bu kuvvetler kemerin geometrisinden dolay kemer talarnda eik kuvvetlerin olumasna neden olur. Kemer, kilit ta denilen son ta yerine koyuluncaya kadar kendi kendini tayamayacandan, balangçta ahap bir kalp üzerine ina edilir. Bu durum kemer konstrüksiyonun sakncalarndan birini tekil etmektedir. Kilit ta yerine konulduktan sonra kemer kendini tayabilir ve ahap kalp dier kemerlerin yapmnda kullanlmak üzere sökülebilir [7]. 3. KEMER TERMNOOJS Geleneksel yapm sistemleri arasnda yaygn bir kullanm olan kemerin bölümlerine çeitli adlar verilmektedir. Kemerin balad noktaya, yani bir dayanaa oturduu bölüme özengi yüzeyi, bu yüzeye ilk oturduu öeye özengi ta (özengi noktas), özengi noktalarn birletiren doruya da özengi hatt denir [1, ]. Kemeri en üst ve orta noktada sktran konik öeye kilit ta, ara öelere kemer ta, bu öeler arasndaki birleme yüzeylerine de yatak ad verilmektedir [1]. Kilit ta ile özengi hatt arasndaki uzakla kemer oku (f) ve özengi noktalar arasndaki yatay uzakla da kemerin açkl () denir. Sehimin açkla oranna (f/) kemerin baskl denir. f/ = 1/ ise tam kemer (yarm daire kemer), f/>1/ ise sivri kemer, f/<1/ ise bask kemer, f/>0.30 ise az bask kemer, f/<0.15 ise çok bask kemer denir []. ki mesneti sabit mesnet olan ve üzerinde bir mafsal bulunan kemerlere üç mafsall kemerler denilir [8].Kemerin yukarda açklanan baz elemanlar ekil de tipik bir kemer üzerinde gösterilmitir. özengi noktas f (kemer oku) özengi hatt (açklk) ekil. Tipik kemer örnei 4. ÜÇ MAFSAI KEMERERN DÜZGÜN YAYII DÜEY YÜKER ATINDA STATK ANAZ Açkl, basklk oran f/ olan ve q iddetinde düzgün yayl yükle yüklü üç mafsall bir kemer ekil 3. de gösterilmitir. q z x ekil 3. Düzgün yayl yükle yüklü üç mafsall bir kemer 37
Say 4, Nisan 011 Kemerlerin Statik Analizi çin Basitletirilmi Bir Yaklam T.Uçar, G.akar Bu kemerin herhangi bir kesitindeki iç kuvvetler ekil 4. de gösterilen parçann dengesinden yazlabilir. Kemerde normal kuvvet (N), kesme kuvveti (V) ve eilme momenti (M) olarak ortaya çkan iç kuvvetler (x, ) nn fonksiyonu olarak Denklem (1), () ve (3) de verilmitir. kemere herhangi bir noktadan çizilen teetin yatay eksenle yapm olduu aç, x ise o noktann sabit mesnete olan yatay uzakldr q M(x) V(x, ) N(x, ) q 8f x z(x) q ekil 4. Kemerin herhangi bir kesitindeki iç kuvvetler Kuvvetlerin teet üzerindeki izdüümlerinin toplamnn sfr olmas artndan hareketle Denklem (1) elde edilir. q q N(x, ) qx sin sin 8f cos (1) Kuvvetlerin teete dik eksen üzerindeki izdüümlerinin dengesinden yararlanlarak kemerin herhangi bir kesitindeki kesme kuvvetini veren Denklem () elde edilir. q q V(x, ) qx cos cos sin 8f () Üç mafsall kemerin herhangi bir kesitindeki eilme momentini veren ifade ise sadece x in fonksiyonu olarak Denklem (3) deki gibi yazlabilir. qx q q M(x) z(x) x (3) 8f 4f Üç mafsall kemerin eri ekseninin z(x) x x eklinde ikinci derece bir parabol seçilmesi durumunda Denklem () ve Denklem (3) de gerekli düzenlemeler yaplrsa kemerin herhangi bir kesitindeki kesme kuvveti ve eilme momentinin sfr olduu görülecektir [9]. Buna göre bu tip kemerlerde yerdeitirmelerin hesaplanmas sadece normal kuvvete bal olarak elde edilecektir. Gerçek yüklemenin olduu sistemde kemerin sabit mesnetinden x (0 x /) gibi bir mesafedeki kesitinde oluan normal kuvvet N 0 (x, ), Denklem (4) deki gibi yazlabilir. q q N 0 (x, ) qx sin sin cos (4) 8f 38
Say 4, Nisan 011 Kemerlerin Statik Analizi çin Basitletirilmi Bir Yaklam T.Uçar, G.akar Kemerin mafsal noktasnn düey yerdeitirmesini hesaplamak için sistemde esas d yükler kaldrlp o noktaya P=1 kn luk tekil yük uyguland zaman kemerin sabit mesnetinden x (0 x /) gibi bir mesafedeki kesitinde oluan normal kuvvet N 1 (x, ), Denklem (5) deki gibi yazlabilir. P P N 1 (x, ) sin cos (5) Kemerin mafsal noktasnn düey yerdeitirmesi Denklem (6) kullanlarak hesaplanabilir. Bu denklemde s, sabit mesnet ile mafsal noktas arasndaki kemer uzunluudur. s 1 q q P P x qx sin sin cos sin cosds EA (6) 8f 0 Denklem (6) daki ifadeyi x deikenine bal olarak integre etmek için Denklem (7) deki dönüüm uygulanmaldr. dx ds (7) cos Denklem (7) deki ifade Denklem (6) da yerine yazlr ve gerekli düzenlemeler yaplrsa Denklem (8) elde edilir. 1 q q x qx tan tan P sin P cosdx (8) EA 8f 0 Denklem (8) deki tan nn karl Denklem (9) daki gibi yazlabilir. z(x) 4f tan x (9) x Denklem (8) deki trigonometrik ifadelerin karlklar Denklem (9) dan faydalanlarak hesaplanr ve yerlerine yazlrsa Denklem (10) elde edilir. 4f P x 1 1 4f q 4f q x qx x x dx EA (10) 8f 0 4f 1 x Bu denklem kullanlarak üç mafsall kemerlerin orta noktasndaki düey yerdeitirme deeri hesaplanabilir. 5. SAYISA UYGUAMA Kemerlerin eri eksenli elemanlar olmas nedeniyle deiik analiz programlarna gerçek kemer geometrisinin tanmlanmas oldukça zaman alc olmaktadr. Ayrca elle yaplan ilemlerde kemerlerde iç kuvvetlerin hesaplanmas basit olmasna karlk yerdeitirmelerin hesaplanmas kemerin eri eksenli geometrisinden dolay zahmetlidir. Yerdeitirmelerin yap statiinin bilinen yöntemleri kullanlarak elle hesaplanmas durumunda çkan integral analitik olarak basit dönüümlerle elde edilemez ve nümerik olarak çözülmek durumundadr. 39
Say 4, Nisan 011 Kemerlerin Statik Analizi çin Basitletirilmi Bir Yaklam T.Uçar, G.akar Bu çalmada yukarda açklanan nedenlere bal olarak kemerlerin çözümünü ve analiz programlarnda modellenmesini basitletirebilecek bir yaklam sunulmutur. Bu yaklamda kemerler doru eksenli parçal elemanlarla temsil edilmitir. 4f Çalmada açklklar 1 = 10m, = 0m, 3 = 30m olarak seçilen ve eri ekseni z(x) x x eklinde ikinci derece bir fonksiyonla temsil edilen üç adet üç mafsall kemer dikkate alnmtr. Kemer oku olarak f 1 = 5m, f = 10m, f 3 = 15m deerleri kullanlmtr. Düzgün yayl yükün deeri tüm analizlerde q= 0 kn/m alnmtr. q= 0 kn/m z B C 4fi z(x) i x x i A x i i ekil 5. Kemerin doru parçalar ile idealletirilmesi Bu çalmada dikkate alnan kemerlerin ekil 5 de A ve C olarak iaretlenen noktalar arasndaki açklk yatayda eit uzunlua sahip iki, dört, sekiz ve on adet doru ile idealletirilmitir. Ayn idealletirme ilemi kemerin simetrik dier yars için de geçerlidir. A noktas kemer mesnetinin bulunduu nokta, C noktas ise açkln tam orta noktasdr. Çalmada hem gerçek kemer geometrisi, hem de idealletirilmi durumlar dikkate alnarak kemerlerin üç farkl noktasndaki (A, B ve C noktalarndaki) iç kuvvetler (N A, N B, N C ) hesaplanmtr. B noktas kemer yar açklnn orta noktas olarak seçilmitir. Ayrca düey yerdeitirmeler cinsinden de karlatrma yapabilmek amacyla en büyük düey yerdeitirmenin meydana geldii C noktasndaki deerler gerçek kemer geometrisi ve idealletirilmi durumlar dikkate alnarak hesaplanmtr. Hesaplanan deerler karlatrmal olarak Tablo 1 de verilmitir. Bu tabloda C, C noktasnn düey yerdeitirmesini, EA ise kemerin eksenel rijitliini göstermektedir. dealletirilmi kemer geometrisi üzerinden yaplan tüm hesaplar SAP000 analiz program [10] kullanlarak gerçekletirilmitir. 40
Say 4, Nisan 011 Kemerlerin Statik Analizi çin Basitletirilmi Bir Yaklam T.Uçar, G.akar Çizelge 1. Gerçek kemer geometrisi ve idealletirilmi durumlar için hesaplanan deerler Yaklak Deerler Gerçek Deerler Yaklak Deer Kemer Parça N A N B N C N A N B N C No Says (kn) (kn) (kn) (kn) (kn) (kn) EA C 110.9 69.3 44.7 773.00 1 4 111.6 70.3 48.5 788.78 111.8 70.7 50 8 111.8 70.6 49.6 79.64 10 111.8 70.6 49.8 793.10 1.9 138.7 89.4 3091.99 4 3.3 140.6 97.0 3155.13 3.6 141.4 100.0 8 3.5 141. 99. 3170.3 10 3.6 141.3 99.5 317.40 33.8 08.0 134. 6956.95 3 4 334.9 10.8 145.5 7099.04 335.4 1. 150.0 8 335.3 11.8 148.8 7137.17 10 335.3 11.9 149.3 7137.89 Gerçek Deer EA C 793.9 3175.67 7145.5 6. SONUÇAR Bu çalmada, geleneksel yapm sistemleri arasnda önemli bir yere sahip olan kemerlerin düey yükler altnda çözümünü ve bilgisayarl analiz programlarnda modellenmesini basitletiren bir yaklam sunulmutur. Bu yaklamda kemerler doru eksenli parçal elemanlarla temsil edilmitir. Sunulan yaklamn etkinlii kemerlerle ilgili yaygn bir hesap modeli olarak kullanlan üç mafsall kemerler göz önüne alnarak aratrlmtr. Gerçek çözümden elde edilen iç kuvvet deerleri ile yaklak çözümden hesaplanan iç kuvvetler ve düey yerdeitirmeler arasnda önemli bir fark bulunmamaktadr. kiden fazla doru parças ile temsil edilen durumlara ait yaklak normal kuvvet ve yerdeitirme deerleri, gerçek çözüm deerlerine çok yakndr. ki doru parças ile idealletirilen durumlarn yaklak çözümleri de kabul edilebilir sonuçlar vermektedir. ki parçal yaklak çözümde A ve B noktalarnda elde edilen iç kuvvetler gerçek çözüm deerlerine çok yakndr. Buna kar, C noktasnda elde edilen farklar nispeten daha büyüktür. Hesaplanan en büyük fark oran %10.6 dr. Ayn durum yerdeitirmeler için de geçerlidir. Kemer açkl büyümesine ramen hesaplanan yaklak ve gerçek çözüm farklar oransal olarak sabit kalmaktadr. Sunulan basitletirilmi yaklam farkl kemer tipleri için de uygulanabilecektir. KAYNAKAR [1] G. K. Usta, A. Usta, Ö.. Tuluk, Anadolu Türk Mimarl çin Görsel Sözlük Sonhabar Matbaaclk, Trabzon, 001. []. Ekiz, Yap Statii 1, Seç Yayn Datm, stanbul, 1995. [3] D. Kuban, Mimarlk Kavramlar, Yap-Endüstri Merkezi Yaynlar, 6. Bask, stanbul, 00. [4] A. Ural, Tarihi Kemer Köprülerin Sonlu Eleman Metoduyla Analizi, Deprem Sempozyumu 005, 408-413, 3-5 Mart, Kocaeli, 005. [5] A. Ural,. Oruç, A. Doangün, Ö.. Tuluk, Turkish historical arch bridges and their deteriorations and failures, Engineering Failure Analysis, 15, 43-53, 008. 41
Say 4, Nisan 011 Kemerlerin Statik Analizi çin Basitletirilmi Bir Yaklam T.Uçar, G.akar [6] F. Uluengin, B. Uluengin, M. B. Uluengin, Osmanl Ant Mimarisinde Klasik Yap Detaylar, YEM Yaynlar, stanbul, 007. [7]. M. Roth, Mimarln Öyküsü, Kabalc Yaynevi, stanbul, 000. [8] A. Çakrolu, E. Çetmeli, Yap Statii, Cilt I, Beta Basm Yaym Datm A.., stanbul, 1998. [9] H. Can, Çözümlü Örneklerle Yap Statii, Birsen Yaynevi, stanbul, 00. [10] Computers and Structures, Inc., SAP000 Nonlinear, Version 8..3, Structural Analysis Program, Berkeley CA, 000. 4