T.C. MĐLLÎ EĞĐTĐM BAKANLIĞI Fe Liseleri, Sosyl Bilimler Liseleri, Güzel Stlr Ve Spor Liseleri Đle Her Türdeki Adolu Liseleri Öğretmelerii Seçme Sıvı 7 Arlık 9 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri 56. çrpım ifdesi şğıdkilerde hgisi ile çrpıldığıd, ifdesie eşit olur? A) 6 B) 6 C) D) 6 Çözüm 56 Syı olsu..?..... 6. 6.. 6 ( ).( ).. 6
57. A ² 6² 8²..... ² ve B..6 6.8...... olduğu göre, A B kçtır? A) B) 6 C) D) Çözüm 57 A ² 6² 8²..... ² A. 6.6 8.8...... A. 6.6 8.8...... B..6 6.8...... A B (. 6.6 8.8......) (..6 6.8......) A B.( ) 6.(6 ) 8.(8 6)......( ) A B. 6. 8....... A B.( 6 8..... ) A B.(.(..... )) A B.(..... ) A B.(.( ) ).(. ).( 66).65 A B 6 Not :..... k k.( )
58., y R olmk üzere y ( 65). (5)² ve 5 y ( ) : 7 ise y kçtır? 9 A) B) C) D) Çözüm 58 y ( 65). (5)² 5 y ( 5 ). (5³)² 5² 5.5 y 6 5 y 5 6 5 y 6 y ( ) : 7 9 y ( 5 ).(²) ³ 5 y. ³ 5 y ³ 5 y y 6 5 y 9 9, y y ( ) y
59. ² 5 ise ifdesii değeri şğıdkilerde hgisi olbilir? A) 5 B) 5 C) 9 D) Çözüm 59 ² 5 ² 5.( 5) 5 5 ( y)² ( y)² ² y y² ² y y² y olduğu göre,.. ( 5)². 5 ± elde edilir. 6. Terste okuuşu d yı ol bir syıy plidrom syı deir. Öreği, bir plidrom syıdır. Bu göre, ile 5 rsıd kç te plidrom syı vrdır? A) B) C) D) 5 Çözüm 6 ( b ) biçimide yzılbile üç bsmklı syı plidrom syıdır. ile 5 rsıdki plidrom syılr içi, e z değerii lır. ( b ) b {,,,,, 5, 6, 7, 8, 9} e çok değerii lır. ( b ) b {,,,,, 5, 6, 7, 8, 9} {,,, } b {,,,,, 5, 6, 7, 8, 9}.
6., y, z R, y z,6 ve z y, olduğu göre, şğıdki sırlmlrd hgisi doğrudur? A) < y < z B) z < y < C) y < < z D) y < z < Çözüm 6 y z z y,6 y,6.z, z y,. z,6.z,.,.z,.. z 5 6 z 5 6, z 5 y z 6 y,6 y 5 6, z 5, y y < z <
6. I. torbd mvi, beyz ve II. torbd srı, beyz bilye vrdır. I. torbd rsgele seçile bir bilye II. torby tılıyor. II. torbd rsgele seçile bir bilyei regii, I. torbd seçile bilyei regide frklı olm olsılığı edir? A) 9 8 B) 9 C) 9 5 D) 9 Çözüm 6 I. torbd mvi, beyz II. torbd srı beyz I. torbd bir bilye çekiliyor. Bu bilye y mvi y d beyzdır. Yi iki durum vrdır.. durum I. torbd mvi bilye lıp II. torby tıldıkt sor II. torbd çekile bilyei mvi olmm olsılığı.. durum. 7 6 7 8 9 I. torbd beyz bilye lıp II. torby tıldıkt sor II. torbd çekile bilyei beyz olmm olsılığı.. 7 8 6 Bu göre, istee olsılık 9 9 9 7 6 9
5 6. f() sg( ² ) şğıdkilerde hgisidir? ile tımlı f foksiyouu e geiş tım kümesi A) [, 5] B) [ 5, ] C) (, 5) (, ) D) (, ) (5, ) Çözüm 6 f() 5 sg( ² ) sg(² ) sg(² ) ² ( 5).( ) 5, Not : A R olmk üzere f : A R foksiyou içi, f() < g() sg(f()), f(), f() > ile tımlı g : A R foksiyou f i işret foksiyou deir.
6. Almc ve Đgilizce dilleride e z birii bileleri oluşturduğu bir topluluğu 8 ü Almc bilmektedir. Almc bileleri 5 si Đgilizce de bildiğie göre, ylız Đgilizce bile e z kç kişi vrdır? A) 5 B) 9 C) D) 5 Çözüm 6 Toplm kişi syısı olsu. Almc bileleri syısı 8 Almc ve Đgilizce bileleri syısı. 5 8 5 Ylızc Đgilizce bileleri syısı 8 8 Ylız Almc bileleri syısı y olsu. y 8 y 8 9 y okek (8,, ) Ylız Đgilizce bileleri syısı 5. 8 5
65., y, z N olmk üzere,.y, y.z ve.z eşitliklerii sğly, y, z syılrıı toplmıı, çrpımlrı orı edir? A) B) C) D) Çözüm 65.y y.z.z (trf trf çrplım.).y.y.z..z.. ².y².z² ².y.z.y.z z y.z..z.y y y z. y. z 8
66. Şekildeki ABCD dikdörtgeide AB BE EC olduğu göre, cotα şğıdkilerde hgisie eşittir? A) 6 7 B) C) 5 D) 6 5 Çözüm 66 m(bae) m(dba) y olsu. α y olur. AB BE EC AB 6 olsu. BE EC olur. α y cotα cot( y) cot.cot y cot cot y 6 6. 5 6 6 5 5 6 5 7 5 6 5 6 7 vey cotα cot( y) t( y) t t y t.t y t.t y t t y cotα 5. 6 6 5 6 6 5 7. 6 7
Not : cot(a B) cot A.cot B cot A cot B ta.cota cota t A t(a B) t A t B t A.t B 67..cos.si deklemii [, ] rlığıdki çözüm kümesi şğıdkilerde hgisidir? A) 7 B) 7, C) 7, D) Çözüm 67 cos.si t6 olduğu göre, cos t6.si cos si 6.si cos.cos6 si.si6 cos6. cos6 cos( 6) cos( 6) cos5 6 5 5 cos( 6) cos( 5) 6 5 5 {5, 5} 7, Not : cos(a B) cosa.cosb sia.sib cosa cos( A) cos5 cos( 5)
68. f() si cos( 5) t 5 foksiyouu ess periyodu edir? A) 6 B) 8 C) D) Çözüm 68 I. Yol si periyodu T 8 cos( 5) periyodu T t periyodu T T k.t k.t k.t T k.8 k. k. okek(,, 8) T II. Yol si foksiyouu T gibi bir periyodu vrs, T f( T) f() si T si si si T T T 8
cos( 5) foksiyouu T gibi bir periyodu vrs, f( T) f() cos(.( T ) 5) cos( 5) cos( 5. T ) cos( 5 ) 5. T 5. T T t foksiyouu T gibi bir periyodu vrs, T f( T) f() t t T t t T T T T k.t k.t k.t T k.8 k. k. okek(,, 8) T elde edilir.
Not : A R olmk üzere f : A R, f() foksiyoud A içi ( T) A ve f( T) f() olck biçimde sıfırd frklı bir T gerçel syısı vrs, f foksiyou periyodik foksiyo deir. f( T) f() eşitliğii sğly pozitif T gerçel syılrıı e küçüğüe, foksiyou periyodu deir. Not : f().si(b c) ile tımlı f foksiyouu periyodu g().cos(b c) ile tımlı g foksiyouu periyodu dir. b dir. b h().t(b c) ile tımlı h foksiyouu periyodu b dir. Not : f foksiyou periyodu T, g foksiyouu periyodu T ise (f g) ve (f g) foksiyolrıı periyodu T k.t k.t eşitliğii sğly e küçük k, k sym syılrı ile belirlee T k.t k.t dir.
69. z, z, rg( z ) 75º ve rg( z ) º olduğu göre, z ve z kompleks syılrı düzlemde krşılık gele oktlr rsıdki uzklık kç birimdir? A) B) 6 C) D) 6 Çözüm 69 I. Yol Kosiüs Teoremie göre, ² ² ²...cos5 ². 6
II. Yol z rg( z ) 75 z.(cos75 i.si75) z z.(cosθ i.siθ) z rg( z ) z.(cos i.si) z z.(cosθ i.siθ) z z ( cos 75 cos)² (si 75 si )² z z 9 cos ²75.cos 75.cos cos ² 9si ²75.si 75.si si ² z z 9.(cos 75.cos si 75.si ) z z.cos(75 ) z z.cos 5. 6 Not : Kosiüs teoremi Bir ABC üçgeide, ² b² c².b.c.cos(a) b² ² c²..c.cos(b) c² b² ²..b.cos(C) Not : Đki Açıı Toplmıı / Frkıı Trigoometrik Değerleri cos(a B) cosa.cosb sia.sib
Not : Bir krmşık syıı kutupsl (trigoometrik) biçimde yzılmsı z b.i krmşık syısıı düzlemdeki görütüsü M(, b) ve OM r z ² b² OMH dik üçgeide, cosθ r r.cosθ siθ r b b r.siθ Bu değerler z b.i de yerie yzılırs z r.cosθ r.siθ.i z r.(cosθ i.siθ) elde edilir. θ koşulu uy θ çısı z i ess rgümeti deir. Argz θ biçimide yzılır. Not : Krmşık düzlemde iki okt rsı uzklık z z b. i b. i z z )² ( b )² ( b Not : θ < koşuluu sğly θ gerçel syısı, z z.(cosθ i.siθ) krmşık syısıı ess rgümeti deir. Arg(z) θ olrk yzılır.
7., < log <, olduğu göre, bşt kç bsmğı sıfırdır? syısıı odlık krşılığıı virgülde sor A) B) C) D) 5 Çözüm 7 I. Yol syısıı logritmsıı llım. log.log, < log <,,.( ) > ( ).log >,.( ), >.log >,, <.log <,, log < log < log,, < <,, < <,., <. <, < < < < < <, <, <, olsu. < <, b olsu. < b <. < <.b < < olduğu göre, <,c < < b < olduğu göre, b <,d <, c <, d <,c < <,d elde edilir. Bu göre, syısıı odlık krşılığıı virgülde sor bşt bsmğı sıfırdır.
II. Yol syısıı logritmsıı llım. log.log, < log <,,.( ) > ( ).log >,.( ), >.log >,, <.log <, (,) <.log < (,), <.log <,, <.log <,,98 <.log <,99 _,98 <.log < _,99 ( log ( log,98),98) < log ( < log < log ( < log,99),99),98 log,99 < log < log,98 <,99 < < < < < < <,98 <,99 <,98 olsu. < <,99 b olsu. < b < < b <, < Bu göre, <,b elde edilir. syısıı odlık krşılığıı virgülde sor bşt bsmğı sıfırdır.
Not :, b, c birer reel syı ve c < olmk üzere, < b.c > b.c Bir eşitsizliği her iki trfı egtif bir syı ile çrpılır y d bölüürse eşitsizlik yö değiştirir. Not : Bir syıı logritmsıı tm kısmı (krkteristiği) ve odlık kısmı (mtisi) k tmsyı, m < olmk üzere, her pozitif gerçel syısı içi log k m olck biçimde k ve m syılrı vrdır. k tmsyısı ı logritmsıı tm kısmı (krkteristiği), m syısı d ı logritmsıı odlık kısmı (mtisi) deir. Not : Bir syıı logritmsıı krkteristiği egtif ise krkteristiği üzerie ( ) işreti koulrk gösterilir. Not : ile rsıdki bir syıı logritmsıı krkteristiği, syıı odlık olrk yzılışıd, sıfırd frklı ilk rkmıı soludki tüm sıfırlrı syısıı egtif işretlisidir. 7. Kutupsl koorditlrd verile r 5 siθ deklemii grfiği şğıdkilerde hgisidir?
Çözüm 7 I. Yol r 5.siθ eğrisii grfiğii çizelim. ) Tım kümesi tüm reel syılrdır. ) Foksiyou periyodu dir. uzuluğud bir rlıkt iceleme ypmk yeterli olur. ) θ yerie θ yzıldığıd yı eşitlik elde edilebildiğide eğrii grfiği y ekseie ( θ doğrusu) göre simetriktir. Çizimi,, vey, lmk yeterli olur. rlıklrıd biride ypıp y ekseie göre simetriğii ), rlığıı ve bu rlıkt işimizi zorlştırmyck değerler seçerek değişim tblosuu oluşturlım. 5) θ r 5. 5 θ 6 r 5. 7 θ θ r 5. r 5. 5 7,8 5 8, θ r 5. 9
θ 6 r 5.( ) θ r 5.( ) 5, θ r 5. 5,5 θ r 5.( ) θ 6 6 r,5, 5 7 7,8 8, 9 Bir oktı krtezye koorditlrı ile kutupsl koorditlrı rsıd r.cosθ ve y r.siθ bğıtılrı olduğu göre, Öreği, kutupsl koorditlrı ( r, θ ), oktsı içi r. cosθ.cos. y r. siθ.si.( ) olup, bu oktı krtezye koordit sistemideki gösterimi : (, y) (, ) dür. r.cosθ ve y r.siθ olduğu göre, θ 6 6 r,5, 5 7 7,8 8, 9,7,5,5 5 5,9 5,, y,,5,5,5 5, 7, 9 (, ve,7 )
6) Elde ettiğimiz grfiği y ekseie göre simetriği de lırk çizim tmmlır.
II. Yol r 5.siθ eğrisii grfiğii çizelim. I ) r f (θ ) foksiyoud θ yerie θ koduğud, f ( θ ) f ( θ ) oluyors θ doğrusu simetri ekseidir. r 5.si( θ ) 5. siθ si( θ ) siθ olduğu göre, θ doğrusu simetri ekseidir. O hlde icelemeyi [, ] rlığıd ypmlı ve bu krşılık ol eğri çizilmelidir. Elde edile eğrii θ doğrusu göre simetriği lıırs eğrii tmmı elde edilir. II ) r 5 siθ foksiyouu türev yrdımıyl değişimii iceleyelim. r / cosθ.cosθ cosθ θ, θ
III ) r 5 siθ foksiyou solu oktlrdki bilhss eğrii kutupt geçe kollrıı kutuptki teğetleri belirtilir. Buu içi r 5 siθ deklemii sğly θ değerlerii bullım. r 5 siθ siθ θ r 5. 5 5 ise r yu sıfır kıl bir θ değeri mevcut değildir. θ 6 r 5. 7 θ θ r 5. r 5. 5 7,8 5 8, θ r 5. 9 θ 6 r 5.( ) θ r 5.( ) 5, θ r 5. 5,5 θ r 5.( ) θ 6 6 r,5, 5 7 7,8 8, 9
IV ) Değişim tblosu : V ) Tbloy göre r 5 siθ grfiğii çizelim.
7. k² k k ise kçtır? A) B) 5 C) 7 D) 9 Çözüm 7 k² k ( k ).( k ) A B k k Kesri pydsı çrplrı yrıldığı içi bsit kesirlere yrılrk işleme devm edilir. A.(k ) B.(k ) k.(a B) A B A B A B A, B k² k ( k ).( k ) A B k k k k k k² k k k k..... 5......( ) k k² k 7
7. t R içi t² ve y t³ prmetrik deklemleri veriliyor. d ² y Bu göre, şğıdkilerde hgisidir? d² A) B).t Çözüm 7. t C) D). t² d ² y d² d dy d d dy d dy dt d dt t ² t t / y d ² y d² d dy d d dy / d dy / d dy / dt d dt t.t 7. R³ te z² ² y² y deklemi ile verile S yüzeyie üzerideki A(,, ) oktsıd çizile teğet düzlemii deklemi şğıdkilerde hgisidir? A) y z B) y z C) y z D) y z Çözüm 7 z² ² y² y ² y² z² y f (, y, z) y f (,, ) f y (, y, z) y f y (,, ) ( N) A ( f, f y, f z ) A (,, ) f z (, y, z) z f z (,, ).( ) Düzlem içide değişke bir P (, y, z) oktsı lıırs, Teğet düzlemi deklemi :.( ).(y ).(z ( )) y z y z
Not : S yüzeyi f (, y, z) deklemi ile verilmiş olsu. f foksiyouu birici mertebede kısmi türevleri f, f y ve f z olsu. S yüzeyii A (, b, c) oktsıdki orml vektörü, ( N) A ( f, f y, f z ) A olur. Düzlem içide değişke bir P (, y, z) oktsı lıırs, A (, b, c) oktsıdki teğet düzlemii deklemi, AP vektörü ile ormli (N) dik olcğıd, ( AP N ) [( ),( y b),( z c)] [ f, f y, f z ] A AP ( N) A ( f ).( ) ( f ).( y b) ( f ).( z c) A y A z A f (, b, c).( ) f (, b, c).( y b) f (, b, c).( z c) olur. y z 75. u.v, y u v ve u m², v ² m olduğu göre, m i (m, ) (, ) deki değeri kçtır? A) 9 B) C) 5 D) 9
Çözüm 75 I. Yol m ( u. v) m [(m² ).(² m)] (m².² m³ ³ m.) m² m² m m (m, ) (, ) deki değeri :..².² 8 elde edilir. II. Yol Zicir kurlı göre m u v.. olduğud, u m v m m v. m u. (m, ) (, ) deki değeri içi u ² u, v ² v 5 m 5... elde edilir. Not : Zicir Kurlı z f (, y) şeklide tıml f : B R foksiyou verilmiş olsu. f, f, f foksiyolrı B üzeride sürekli ve g( u, v), y h( u, v) foksiyolrıı y u ve v değişkelerie göre kısmi türevleri vrs z f ( g( u, v), h( u, v)) foksiyouu d u ve v değişkelerie göre kısmi türevleri vrdır ve f u f v f f y.. u y u f f y.. dir. v y v
76. f : R² R, f (, y) ² y² y şeklide verile f foksiyouu mutlk miimum değeri kçtır? A) B) C) D) Çözüm 76 f (, y) ² y² y f (, y) f y (, y) y y f (, ) ² ².. f (, ) 77. 5 d itegrlii değeri kçtır? A) B) C) D) l Çözüm 77 5 [ ³ ] d ( ³ ) ( d d d ).. d ( ) ( ).l( ² ).l(² ).l(( )² )
78. Bir petrol tkeride sız petrolü deiz yüzeyide kpldığı lı değişimi da ( t) ilk stte dt /. t bğıtısı ile verilmektedir. A() m² olduğu göre. sti soud petrolü yüzeyde kpldığı l kç m² dir? A) B) 5 C) 7 D) Çözüm 78 da ( t) dt da ( t) t dt /. t. t / dt A(t). / / c A(t) 6. t c A(t) 6. t c A() 6. c c 5 A() 6. 5 A() 5 A() 7 79. z ² y² ile z ² y² yüzeyleri ile sıırlı cismi hcmii şğıdkilerde hgisi verir? A) y² ² y² dz y² ² y² B) ² ² ² ² y² dz ² y² ² y² C) dz ² ² y² dy dy dy d d d D) y² y² ² y² ² y² dz dy d
Çözüm 79 z ² y² ile z ² y² prboloidleri rsıd kl bölgeyi çizelim. Bu bölgei oy düzlemi üzerideki dik izdüşümü ² y² diresidir. z ² y² z ² y² ² y² ² y² ² y² Bu göre, i değişim rlığı : y i değişim rlığı : ² y² ² y ² z i değişim rlığı : lt d ² y², üst de ² y² ile sıırlıdır. Böylece isteile hcim ² ² ² y² ² y² dz dy d buluur. 8. Aşğıdki serilerde hgisi ykısktır? A) ³ B) C) D) ²
Çözüm 8 A) ³ D Alembert Or Testii Limit Şeklii uygulrsk, ³ ( )³ ³ ( )³.. ³ ( )³. ³ ( )³ lim. ³ < olduğud, ³ serisi ykısktır. B). C) p olduğu içi, ırksktır. lim D) ² olduğud, ² serisi ırksktır. p olduğu içi, ırksktır. ² p olduğu içi, ykısktır. ² Irksk Ykısk Irksk Not : Ykısk bir serii geel terimii limiti sıfırdır. Eğer bir serii geel terimi sıfır gitmiyors (limiti sıfır değilse) bu seri ırksktır.
Not : D Alembert Or Testi pozitif terimli bir seri olsu. N doğl syı olmk üzere N > içi I ) II ) k < ise, serisi ykısktır. ise, serisi ırksktır. Eğer lim mevcut ise, D Alembert Or Testi şğıdki şekilde ifde edilir. Not : D Alembert Or Testii Limit Şekli pozitif terimli bir seri ve lim L olsu. Bu tkdirde I ) L < ise, serisi ykısktır. II ) L > ise, serisi ırksktır. III ) orı syısı de büyük değerle yklşırs seri ırksk olup, bu orı syısı de küçük değerle yklşmsı hlide serii tbitı hkkıd bir şey söyleemez. lim fydlılır. olmsı hlide, serisii tbitıı belirlemeside Rbe Testide Not : Rbe Testi Pozitif terimli I ) serisi verilmiş olsu. lim R > ise, seri ykısktır. R. diyelim. Bu tkdirde II ) lim R < ise, seri ırksktır.
Not : p Đspt : (p > ) serisi p > içi ykısk < p içi ırksk p > içi { p } dizisi mooto zl olduğud Cuchy Sıklştırm Testie göre, p serisi m m ( ) m p serisi ile yı tbittdır. p m m ( ) m serisi ortk çrpı q ol bir geometrik seridir. p ( m p ) p > içi q < olcğıd geometrik seri ve dolyısıyl p serisi ykısktır. < p < ise q > olur. O hlde, geometrik seri ırksk olduğud p serisi de ırksktır. p içi verile seri hrmoik seriside ibret olup, ırksktır. Not : Cuchy Sıklştırm Testi pozitif terimli bir seri e ise, serisi ile m m serisi yı tbittdır. m 8. Aşğıdki foksiyolrd hgisi oktsıd süreklidir? A) f() sg( ) B) g() si C) h() cos D) k(),, > ise ise
Çözüm 8 A) f() sg( ) foksiyouu oktsıd sürekli olmsı içi lim f ( ) lim f ( ) f () olmlıdır. lim lim f ( ) f ( ) lim[sg( ) ] lim[sg( ) ] Foksiyou limiti olmdığıd f() sürekli değildir. B) g() si lim g( ) lim g( ) g () olmlıdır. > ise < ( ) olduğud, lim g( ) lim[( ) si ] si < ise > olduğud, lim g( ) lim[( ) si ] si g() si Bu göre, g() foksiyou oktsıd süreklidir. C) h() cos lim h( ) lim h( ) h() olmlıdır. oktsıd h() foksiyou tımsız olduğud h() sürekli değildir. D) k(),, > ise ise lim k( ) lim k( ) ( ) sürekli değildir.
Not : Foksiyolrı Sürekliliği ve Süreksizliği A R, R olmk üzere f : A R foksiyoud, lim f ( ) f () ise, f foksiyou oktsıd süreklidir deir. f foksiyou oktsıd sürekli değilse, f foksiyou oktsıd süreksizdir deir. Not : f ve g foksiyolrı oktsıd sürekli iseler : (f g) ve (f g) foksiyolrı oktsıd süreklidir. 8. ² ² 6²... ()² lim ³ değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) Çözüm 8 ² ² 6²... ()² lim ³ ² ² 6²..... ()² ².(² ² ²..... ²).( ).( ). 6.( ² ).( ).( ³ ² ) ³ 6² ² ² 6²... ()² lim ³ ³ 6² lim ³ ³ 6² lim ³
8. Şekildeki y ² prbolü ve d doğrusu trfıd sıırl boylı bölgei lı kç birimkredir? A) B) 6 C) 9 D) Çözüm 8 d doğrusuu deklemii bullım. y ² içi y (, ) içi y 8 (, 8) Đki oktsı bilie doğruu deklemi y 8 ( ) ( ) y Al [( ) ²] d [ ² ] d ³ ² ³ ².³.( )³ ². ( )².( ) 6 8 6 8 5 6 5 9
8. y ² ve y ² eğrileriyle sıırl bölgei y eksei etrfıd dödürülmesi ile oluş döel cismi hcmi kç birimküptür? A) Çözüm 8 B) C) D) y ² y ² ± y içi, y ² y içi, y ² y içi, y ² y içi, y ² y içi, y ² y içi, y ² y H. (y) dy. ( y) dy y² H. y ². y y ² ² H. ² ²... 9 H.. H.. H birimküp
Not : Döel cisimleri hcmi (y eksei etrfıd döme) y f() eğrisi ile y c, y d, doğrulrıı belirttiği şekildeki trlı bölgei y eksei etrfıd 6 dödürülmesi ile oluşck döel cismi hcmi, d H. c ² dy y d H. d [ f ( y)] dy olur. c Not : Sorud eğrileri y eksei etrfıd kç derece dödürülmesi belirtilmemiştir. Am çözüm eğrileri y eksei etrfıd 6 derece dödürülmesi ile oluşck döel cismi hcmie göre ypılmıştır. 85. Şekilde ABC üçgei eşkerdır. BE CD ve m(bae) olduğu göre, m(ade) kç derecedir? A) B) C) 5 D)
Çözüm 85 AED üçgeide, EH dikmesii çizelim. EHC üçgeide, EC olsu. HC olur. BE DC y olsu. ABC eşker üçgeide, AB BC CA y AED üçgeide, AH HD y Đkizker üçgede, yükseklik kerorty olduğu göre, AED üçgei ikizker üçgedir. O hlde, m(dae) m(eda) 86. Şekildeki ABCD prlelkerıd, [BF] [CE] AB BF ve DE AE tir. CD 6 cm, BC 7 cm olduğu göre, EF kç stimetredir? A) B) C) D)
Çözüm 86 OAE CDE DC OA 6 OFB dik üçgeide ² 6² OF ² (pisgor) OF 6 OBC OAE 9 9 OE 6 OE OC OE EF FC OC OF FC 6 9 EF EF
87. Şekilde ABC üçgeii P düzlemi üzerideki izdüşümü A BC dik üçgeidir. AB AC cm ve A(A BC) 7 cm² olduğu göre, AA kç stimetredir? A) 8 B) 6 C) D) 8 Çözüm 87 AB AC A C A B A(A BC) 7 A' B. A' C 7 ² 7 ² A C A B AA C dik üçgeide, AA ² A C ² AC ² (pisgor) AA ² ² ² AA ² AA ² 56 AA 6 88. y z düzlemii orjie e ykı oktsı şğıdkilerde hgisidir? 6 8 A) (,, ) B) (,, ) C) (,, ) D) (,, ) 7 7 7
Çözüm 88 I. Yol y z düzlemii ormli : (,, ) (,, ) oktsıd geçe ve düzlemi (, b, c) oktsıd kese doğruu uzuluğuu e kıs olmsı içi, doğruu düzleme dik olmsı gerekir. O hlde Doğru, düzlemi ormlie prlel olcğı göre, (,, ) vektörüe prlel ol doğruu deklemi : b c b c k Düzlem deklemii sğldığı göre, k, b k, c k.k ( k).k k k 7. 7 7, b 7, c. 7 7 6 6 (, b, c) (,, ) elde edilir. 7 7 7
II. Yol Düzlem üzerideki bir okt P(, y, z) olsu. f(, y, z) ² y² z² foksiyouu g(, y, z) y z y şrtı ltıd miimumu bulucktır. h(, y, z ; λ) ² y² z² λ.( y z ) olcğıd h λ h y y λ h z z λ h λ y z Sistemii ilk üç deklemide, y, z i λ ciside değerleri buluur. λ λ λ, y, z So deklemde yerie yzılırs.( λ) λ λ.( ) λ.( 7) λ 7 Bu durumd, y 7 7, z 7 6 buluur. 6 (, y, z) (,, ) 7 7 7
Not : Lgrge çrplrı yötemi Ekstrem değerleri r foksiyo üç değişkeli f(, y, z) foksiyou olsu., y, z değişkeleri g(, y, z) deklemi ile bğlı olsulr. f ve g foksiyolrıı birici mertebede kısmi türevlerii vrolduklrıı kbul edelim. λ bulumsı gereke bir sbit olmk üzere h(, y, z ; λ) f(, y, z) λ.g(, y, z) foksiyou teşkil edilir. Bud sor, y, z, λ değişkelerie kısmi türevler lırk h f λ g h y f y λ g y h z f z λ g z h λ g sistemi buluur. Bu sistemi çözümü ol (, y, z) oktsı bir ekstrem oktsıdır. 89. R³ te köşeleri A(,, ), B(,, ) ve C(,, ) ol üçgei lı kç birimkredir? A) B) C) 5 D) 6
Çözüm 89 I. Yol A(,, ), B(,, ) ve C(,, ) AB (,, ) AC (,, ) Bu iki vektörü vektörel çrpımıı uzuluğu, bu vektörleri oluşturduğu prlel kerı lı eşit olduğu göre, istee üçgei lı bu prlel kerı lıı yrısı olcğıd, ABC düzlemie dik bir vektör AB AC ise, AB AC e e e e. e. e.6 (,, 6) 5. AB AC.(,, 6). ² ( )² 6². 5
II. Yol A köşesideki çı, [AB] ile [AC] kerlrı rsıdki çıdır. Bu kerlr it yer vektörlerii yzlım: A(,, ), B(,, ) ve C(,, ) AB (,, ) AB ² ² ² AB 6 AC (,, ) AC ( )² ² ² AC Cos().( ).. ² ² ². ( )² ² ² Cos() 6. 9 Cos() 6 Cos() 6 Si() 5 6 Al(ABC).. 6.Si() Al(ABC).. 6. 6 5 Al(ABC) 5
Not : Bşlgıç oktsı A(, y, z ) Bitim oktsı B(, y, z ) AB (, y y, z z ) biçimide bir sırlı ile gösterilir. Not : u (, b, c) vektörüü boyu (ormu) u ² b² c² Not : Vektörleri skler (iç) çrpımı u (, y, z ) v u.. y. y z. z v (, y, z ) Not : Đki vektör rsıdki çı u. v u. v.cosθ cosθ u. v u. v Not : V iç çrpımlı bir vektör uzyı olsu. v V i uzuluğu v < v, v> ile tımlıdır.
Not : u (,, ), v ( b, b, b ) R³ ise, u v (. b. b,. b. b,. b. b ) R³ vektörüe, u ile v i vektörel çrpımı deir. Formül olrk, determit özellikleri göz öüde tutulrk ve. stır göre çılım yprk; u v e b e b e b şeklide yzılbilir. Vektörel çrpımı şu özellikleri vrdır. u, v R³, R içi; i) u v V ii) u v (v u ) iii) u (v w) (u v) (u w) iv) u v vektörü,hem u hem de v vektörlerie diktir. v) (.u) v.(u v) u (.v) Not : u v u. v. siθ u v syısı, u ile v vektörleri üzerie kurul prlel kerı lı eşittir. Not : Üçgei lı : Đki kerı ile bu iki kerı belirttiği çısı verile üçgei lı Al(ABC).b.c.si(A) Al(ABC)..c.si(B) Al(ABC)..b.si(C)
9. 6 homoje lieer deklem sistemii çözüm uzyıı boyutu kçtır? A) B) C) D)
Çözüm 9 Bu sistemi ktsyılr mtrisii stırc idirgemiş eşelo form getirelim. 6 ( ) ). ( R R R 6 ( ). R R R ( ) ). ( R R R 5 Şu hlde r < ve r prmetreye bğlı sosuz çözüm vrdır. 5 t dersek, t t, m dersek, 5t m buluur. Çözüm kümesi { m t t m t 5 ; m, t R} t ve m içi çözüm : ve t ve m içi çözüm : 5 olduğud, çözüm uzyıı bir tbı olrk {, 5 } lıbilir. Bu göre, çözüm uzyıı boyutu olur.
Not : A.X lieer deklem sistemie bir lieer homoje deklem sistemi deir. X, lieer homoje deklem sistemii her zm bir çözümüdür. Bu çözüme sistemi sıfır çözümü vey şikr çözümü deir. Not : A, m bir mtris olmk üzere, A.X lieer homoje deklem sistemii düşüelim. A ı stırc idirgemiş eşelo formud sıfırd frklı stırlrı syısı, yi A ı rgı r olsu. i ) r < ise sistemi r prmetreye bğlı sosuz çözümü vrdır. ii ) r ise sistemi tek çözümü sıfır çözümdür. Özel olrk, Deklem syısı bilimeye syısıd z, yi m < ise r m < olcğıd, sistemi r prmetreye bğlı sosuz çözümü vrdır. Eğer, deklem syısı bilimeye syısı eşit, yi m ise sistemi tek çözümüü sıfır çözüm olmsı içi gerek ve yeter koşul r m olmsı. Yi A ı I ye dek (A ı regüler - tersleebilir) olmsıdır. 9. T : R³ R³ bir lieer döüşüm ve e, e, e olmk üzere, T( e ), T( e e ) ve T( e e e ) dir. Bu göre, T lieer döüşümüü temsil ede mtris şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D)
Çözüm 9 T : R³ R³ lieer (doğrusl) döüşümüü mtrisi ise T( e ). T( e e ) ve e, e e e.. T( e e e ) ve e, e, e e e e..
Bu göre, T : R³ R³ lieer (doğrusl) döüşümüü mtrisi elde edilir. Not : Doğrusl (Lieer) Döüşümü Mtrisi f : R³ R² doğrusl (lieer) döüşümüde, R³ vektör uzyıı e (,, ) e (,, ) e (,, ) temel tb vektörlerii f foksiyou göre görütüleri f( e ) f(,, ) (, ) f( e ) f(,, ) (, ) f( e ) f(,, ) (, ) ise göre mtrisi deir. f doğrusl (lieer) döüşümüü mtrisi mtrisie, f doğusl (lieer) döüşümüü { e, e, e } temel tbı ise, f(,, ). olur. 9. A 5 mtrisii özdeğerlerii toplmı kçtır? A) 6 B) 7 C) D)
Çözüm 9.I A (A mtrisii krkteristik deklemi).i A 5 (A mtrisii krkteristik poliomu) ( 5).( ) ² 7 ² 7 ( ).( ) Özdeğerler, krkteristik deklemi kökleri olduğu göre, c, c c c 7 elde edilir. 9. Aşğıdki mtrislerde hgisii tersi yoktur? A) B) C) D) 6
Çözüm 9 A) B) C) 8 8 D) 6 6 6 6 6 mtrisi tersi yoktur. Not : A tersi lıbile bir mtris, yi A ters mtrisi vrs, A. A A. A I A. A A. A olduğud, A ve A A A dir. Şu hlde, bir mtrisi çrpmy göre tersii olmsı içi gerek ve yeter koşul determitıı sıfır olmmsıdır. ( A )
9. T : R³ R² foksiyou, T(,, ) (, ) şeklide tıml bir lieer döüşüm olduğu göre, T i çekirdeğii R üzerideki boyutu kçtır? A) B) C) D) Çözüm 9 (,, ) ÇekT ise, T(,, ) (, ) (, ) Lieer homoje deklem sistemi sğlmktdır. Sistem çözülürse olduğud, t dersek, t t olduğud, t olur. Böylece prmetreye bğlı sosuz çözüm buluur. (,, ) (t, t, t) çözüm uzyıı bir tbı olrk {(,, )} lıbilir. Bu göre, çözüm uzyıı boyutu olur. Not : L : V W lieer döüşüm ise L i çekirdeği Çek L L { W } {v V : L (v) W } ile tımlır.
Not : V, W iki vektör uzyı ve L : V W bir lieer döüşüm olsu. Eğer L i sıfır uzyı (çekirdeği) solu boyutlu ise bu uzyı boyutu L i sıfırlık derecesi deir ve sıfırlık L ile gösterilir. L i değer kümesi ol L(V) solu boyutlu ise bu uzyı boyutu d L i rgı deir ve rk L ile gösterilir. Eğer L bire bir değilse L ye sigüler deir. 95. Z 8 devirli grubuu kç te üreteci vrdır? A) 9 B) 7 C) 9 D) 5 Çözüm 95 I. Yol 8 de küçük ve 8 ile rlrıd sl ol syılrı syısı kdr üreteç olduğud, Euler Teoremie göre, pozitif bir tm syı ve p sl bir syı ise, φ(p ) p p - olduğud, pozitif bir tm syı ve sl bir syı olduğu göre, φ( ).( ). 7. 5 elde edilir. II. Yol < > Z 8 ve te syı 8 ile rlrıd sl olduklrıd her biri Z 8 içi birer üreteçtir. 8 ile sl olmy syılr, 7 te Bu göre, 8 7 5 te syı 8 ile sl olur.
Not : Euler Teoremi pozitif bir tmsyı olsu. de küçük ve ile rlrıd sl ol pozitif tmsyılrı syısı Euler φ foksiyou deir ve φ() ile gösterilir. (φ : fi) 5 6 7 8 9 φ() 6 6 rlığıdki değerleri içi Euler fi foksiyou değerleri m pozitif bir tm syı ve tm syısı (m, ) şrtıı sğlıyors, p bir sl syı ise, φ(p) p dir. Buu terside doğrudur. pozitif bir tm syı ve p sl bir syı ise, φ(p ) p p - dir. m ve rlrıd sl pozitif tmsyılr olsu. φ(m.) φ(m). φ() dir. pozitif tm syısıı sl kuvvet çrplrı yrılmış şekli, k k p. p. p.... p olsu. φ().. p. p..... p olur. pk (m) φ (mod m) 96. Elemlrı R de R ye tımlı f (), f (), f (), f () foksiyolrı ol G { f, f, f, f } kümesi bileşke işlemie göre bir gruptur. Bu göre (G, o) grubuu mertebesi ol kç te ltgrubu vrdır? A) B) C) D) 6
Çözüm 96 G { f, f, f, f } kümesi bileşke işlemie göre bir grup olduğu göre, Grubu etkisiz elemı e olsu. e o f f o e f olcğı göre, e o o e e f () grubu etkisiz (birim) elemı olduğu göre, Mertebesi ol (elem syısı ) lt gruplr : f, }, f, }, f, } olur. { f { f { f Not : Bir grubu elem syısı o grubu mertebesi deir. Not : Bir G grubud {e} ve G kümeleri her zm bir lt gruptur. Bu lt gruplr trivil (şikr) ltgruplr deir.
97. / y y e difersiyel deklemii hgi koşulu sğly çözümü y e ( ) eğrisidir? A) y() B) y() C) y() D) y( ) Çözüm 97 I. Yol / y y öce, e lieer difersiyel deklemide sbiti değişimi yötemi kullılırs, e lıır ve böylece elde edile / y y difersiyel deklemi itegre edilirse, / y y / y y y' y y' y ly ç y ç e y e. e ç (e ç, keyfi sbit olduğud e ç yerie Ç yzrsk) y Ç. e buluur. Ç keyfi sbiti yerie Ç() foksiyou lıır ve böylece elde edile y ( Ç( ). e ) foksiyou / y y e difersiyel deklemide yerie kours, ( Ç( ). e ) / ( Ç( ). e ) e / [ Ç( )]. e / [ e ]. Ç( ) ( Ç( ). e ) e / [ Ç( )]. e e. Ç( ) ( Ç( ). e ) e / [ Ç ( )]. e e / ( ) Ç elde edilir. / / Ç ( ) itegrli lıırs, Ç ( ) d Ç() c Ç() foksiyou, y Ç. e de yerie yzılırs, y ( c). Bu durumd difersiyel deklemi çözümü : y ( c). e elde edilir. / y y e difersiyel deklemii geel çözümü y c olduğu görülür. içi, y() e.( ) y() elde edilir. e e ( ) eğrisi olduğud,
II. Yol / y y e lieer difersiyel deklemide, u u() ve v v() olmk üzere, y u.v döüşümü ypılırs, / y y e ( v / u. ) (. v) u e / / ( u. v v. u) ( u. v) e / / v.( u u) v. u e u foksiyou, ( u / u) olck şekilde belirleirse, / u u u' u u' u lu ç u ç e u e. e ç (e ç, keyfi sbit olduğud e ç yerie Ç yzrsk) u Ç. e (Ç keyfi sbit) buluur. u u değeri, / / v.( u u) v. u e yerie yzılırs, v.[( Ç. e ) / / ( Ç. e )] v.( Ç. e ) e v.[ / ( Ç. e ) ( Ç. e )] v.( Ç. e ) e.v / v.( Ç. e ) e v / Ç Đtegrli lıırs, v Ç v Ç. C O hlde, lieer difersiyel deklemi çözümü, y u.v y ( Ç. e ).( C) Ç y e.( Ç. C) (Ç.C yerie c yzrsk) y e.( c) buluur. Bu durumd difersiyel deklemi çözümü : y ( c). e elde edilir. / y y e difersiyel deklemii geel çözümü y c olduğu görülür. içi, y() e.( ) y() elde edilir. e ( ) eğrisi olduğud,
Not : Lieer Difersiyel Deklemler dy P( ) y Q( ) şeklie getirilebile bir dekleme lieer difersiyel deklem deir. d dy P( ) y Q( ) difersiyel deklemide, u u(), v v() olmk üzere, d / / y u.v döüşümü ypılırs, [ u P( ). u]. v u. v Q( ) buluur. u foksiyou u / P( ). u olck şekilde belirleirse u P ( e ) d elde eldir. / / u u değeri [ u P( ). u]. v u. v Q( ) de yerie kours P ( ) d v C Q( ). e d buluur. y u.v e P( ) d. P ( ) d C Q( ). e d dir. dy P( ) y Q( ) lieer difersiyel deklemii geel çözümü sbiti değişimi yötemi d dı verile şğıdki yötemle de bulubilir. Öce Q () lıır ve böylece elde edile / dy y P( ) y P( ) difersiyel deklemi itegre edilirse d y y Ce P( ) d buluur. C sbiti yerie i bir C() foksiyou lıır ve böylece elde edile P( ) d dy y C( ). e foksiyou P( ) y Q( ) deklemide yerie kours d / C ( ). e P( ) d Q( ) P( ) d C( ) Q( ). e d C elde edilir. C () i değeri P( ) d y C( ). e d yerie kours, lieer difersiyel deklemi geel çözümü : y e P( ) d. P ( ) d C Q( ). e d olur.
98. S 7 de yrık iki deviri çrpımı şeklide ifde edile α ( 5 6 ).( ) permütsyouu tersi şğıdkilerde hgisidir? A) α ( 5 6 ).( ) B) α ( 5 6 7 ).( ) C) α ( 6 5 ).( ) D) α ( 6 5 ).( ) Çözüm 98 Devirsel gösterimi, α ( 5 6 ).( ) ise 5 5 6 6 ve 5 6 5 6 α 5 6 α 5 6 5 6 α 6 5 6 5 Devirsel gösterimi, α ( 6 5 ).( ) vey α ( 6 5 ).( ) vey vey vey α ( 6 5 ).( ) vey α ( 6 5 ).( ) α ( 5 6 ).( ) vey α ( 5 6 ).( ) α ( 6 5 ).( ) vey α ( 6 5 ).( ) elde edilir. Bu göre C ve D seçeeklerii ikisi de α permütsyouu tersi olur. Not : f...... diğerlerii sbit bırkır. permütsyou sdece ve elemlrıı değiştirip Bu durumd f ( ) yzılır. Yi li devirler yzılmybilir.
99. 7 de küçük ve 7 ile rlrıd sl ol kç te doğl syı vrdır? A) B) 86 C) 78 D) 58 Çözüm 99 I. Yol Euler Teoremie göre, pozitif bir tm syı ve p sl bir syı ise, φ(p ) p p - olduğud, 7 pozitif bir tm syı ve sl bir syı olduğu göre, 7 φ( ) 7 7 7 6 6.( ) 6. 79. 58 elde edilir. II. Yol 7 87 87 de küçük, ü ktı ol 79 te syı vrdır. 87 79 58 te syı ü ktı değildir yi 7 ile rlrıd sldır.
Not : Euler Teoremi pozitif bir tmsyı olsu. de küçük ve ile rlrıd sl ol pozitif tmsyılrı syısı Euler φ foksiyou deir ve φ() ile gösterilir. (φ : fi) 5 6 7 8 9 φ() 6 6 rlığıdki değerleri içi Euler fi foksiyou değerleri m pozitif bir tm syı ve tm syısı (m, ) şrtıı sğlıyors, p bir sl syı ise, φ(p) p dir. Buu terside doğrudur. pozitif bir tm syı ve p sl bir syı ise, φ(p ) p p - dir. m ve rlrıd sl pozitif tmsyılr olsu. φ(m.) φ(m). φ() dir. pozitif tm syısıı sl kuvvet çrplrı yrılmış şekli, k k p. p. p.... p olsu. φ().. p. p..... p olur. pk (m) φ (mod m). (mod ) b (mod ) ve (mod 5) b (mod 5) deklem sistemlerii çözümlerii toplmı mod 5 e göre kç kogrüettir? A) B) 5 C) 6 D) 7
Çözüm I. Yol (mod ).k (k Z) {, 5, 8,,, 7,... } (mod 5) 5.k (k Z) {, 6,, 6,... } b (mod ) b.k (k Z) b {, 7,,,... } b (mod 5) b 5.k (k Z) b {, 7,, 7,... } b 7 b 7 8 (mod 5) II. Yol (mod ).k (k Z) (mod 5) 5.k (k Z) k 5k 5 k 5k 5k 5 5k (mod 5) b (mod ) b.k (k Z) b (mod 5) b 5.k (k Z) b k 5k b k 5k 5k b b 5k 7 b 7 (mod 5) b 7 8 (mod 5) Ad ÇAPRAZ dcprz@yhoo.com AMASYA