Güven Aralıkları
Popülasyon Ortalamasının Tahmin Edilmesi Tanımlar: Nokta Tahmini Popülasyon parametresi hakkında tek bir rakamdan oluşan tahmindir. Popülasyon ortalaması ile ilgili en iyi nokta tahmini örnek ortalamasıdır. Aralık Tahmini Popülasyon parametresi hakkında belli bir aralıktaki muhtemel değerlerden oluşan tahmindir. Güven Düzeyi, c Aralık tahmininin popülasyon parametresini içermesi konusundaki kesinlik düzeyi. Güven aralığı Belli bir güven düzeyi ile ilişkili aralık tahminidir. Hata Payı, E Güven aralığının kapsadığı nokta tahminden muhtemel en büyük uzaklıktır.
En iyi nokta tahminini bulunuz: Öğrencilerin İstatistik final sınavından aldıkları puanlarla ilgili rastsal olarak seçilen örneklem aşağıdaki gibidir. Popülasyon ortalaması için en iyi nokta tahminini bulunuz. Çözüm: 45 68 72 91 100 71 69 83 86 55 89 97 76 68 92 75 84 70 81 90 85 74 88 99 76 91 93 85 96 100 Popülasyon ortalaması için en iyi nokta tahmini örneklem ortalamasıdır.
Popülasyon Ortalaması İçin Güven Aralığı: ya da Alt Sınır E yi çıkar E yi ekle Üst Sınır
Güven aralığınız oluşturunuz: Öğrencilerin haftalık ders çalışma süreleri hakkında yapılan bir araştırma kapsamında, rastsal olarak 250 öğrenciden oluşan bir örneklem seçilmiştir. Örneklem ortalaması15.7 saat olarak hesaplanmıştır. %95 lik güven düzeyinde hata payı 2.2 saat olduğuna göre %95 lik güven aralığını oluşturunuz. Çözüm: Alt sınır: Üst sınır: 15.7-2.2 = 13.5 saat 15.7 + 2.2 = 17.9 saat 13.5 < < 17.9
Popülasyon Ortalamasının Tahmin Edilmesi (Büyük Örneklemler) Belli bir büyüklükteki tüm olası örneklemlerin seçilme olasılığı eşittir. Örneklem büyüklüğü en az 30 olmalıdır (n 30). Popülasyonun standart sapması bilinmemektedir. Yukarıdaki koşullar yerine getirildiğinde, popülasyon ortalaması için hata payı hesaplanmasında kullanılacak olan dağılım t-dağılımıdır. Ancak, n 30 olduğunda, t-dağılımındaki kritik değerler yaklaşık olarak normal dağılımdaki kritik değerlerle aynı olmaktadır (karşılık gelen güven düzeyinde). Bu nedenle, normal dağılım kullanılabilmektedir.
Kritik değeri bulunuz: %95 güven aralığı için kritik değeri bulunuz. Çözüm: Öncelikle, z 0.95 ve z 0.95 değerlerinin bulunması gerekmektedir. z 0.95 ve z 0.95 arasındaki alan 0.95 olduğu için, kuyruklarda 0.05 yada tek bir kuyrukta 0.025 lik bir alan olacaktır.
Kritik Değer, z c : Güven aralıkları için kritik z-değerleri Güven düzeyi, c z c 0.80 1.28 0.85 1.44 0.90 1.645 0.95 1.96 0.98 2.33 0.99 2.575
Büyük Örneklemler İçin Hata Payı, E: z c = Kritik z-değeri s = Örneklem standart sapması n = Örneklem büyüklüğü
Hata payını bulunuz: Örneklem büyüklüğü 100, standart sapma 15.50 ise, %99 güven aralığı için hata payını bulunuz. Çözüm: n = 100, s = 15.50, c = 0.99 z 0.99 = 2.575
Güven aralığını oluşturunuz: 85 ev sahibi ile yapılan bir ankette, ev bakımına aylık olarak ortalama 67$ (standart sapma = 14$) harcadıkları tespit edilmiştir. Tüm ev sahiplerinin aylık ev bakım harcamaları için %95 güven aralığını oluşturunuz. Çözüm: c = 0.95, n = 85, s = 14, = 67 z 0.95 = 1.96 67 2.98 < < 67 + 2.98 $64.02 < < $69.98 ($64.02, $69.98)
Ortalamalar İçin Minimum Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi: z c = Kritik z-değeri = Popülasyon standart sapması E = Hata payı
Minimum örneklem büyüklüğünü belirleyiniz: Örnek ortalamasının, popülasyon ortalamasının 2 birim etrafında olduğu konusunda %99 luk bir güven olduğu belirtilmiştir ( = 6.5). Popülasyonun normal olarak dağıldığını varsayarak minimum örneklem büyüklüğünü belirleyiniz. Çözüm: c = 0.99, = 6.5, E = 2 z 0.99 = 2.575 Minimum örneklem büyüklüğü 71 olarak belirlenmiştir.
Minimum örneklem büyüklüğünü belirleyiniz: Ortalama hane halkı elektrik tüketim miktarının 15.7 kwh ve standart sapması 3.24 kwh olduğu tahmin edilmektedir. Hane halkı başına düşen elektrik tüketim miktarının tahmin edilebilmesi için seçilmesi gereken örneklem büyüklüğünü %99 güven düzeyi ve 0.12 kwh hata payına dayanarak belirleyiniz. Çözüm: c = 0.99, = 1.8, E = 0.12, z 0.99 = 2.575 Minimum örneklem büyüklüğü 1492 olarak belirlenmiştir.
Popülasyon Ortalamasının Tahmin Edilmesi (Küçük Örneklemler) Belli bir büyüklükteki tüm olası örneklemlerin seçilme olasılığı eşittir. Örneklem büyüklüğü 30 dan küçüktür (n < 30). Popülasyonun dağılımı yaklaşık olarak normaldir. Popülasyon standart sapması bilinmemektedir. Yukarıdaki koşullar yerine getirildiğinde, popülasyon ortalaması için hata payı hesaplanmasında kullanılacak olan dağılım t-dağılımıdır.
Küçük Örneklemler İçin Hata Payı, E: t a/2 = Kritik t-değeri a = 1 c s = Örneklem standart sapması n = Örneklem büyüklüğü s.d. = n - 1
Hata payını bulunuz: Örneklem büyüklüğü 10, s = 15.5 ve güven düzeyi %95 ise, hata payını bulunuz. Çözüm: n = 10, s = 15.5, c = 0.95, a = 1 0.95 = 0.05 t 0.05/2 = t 0.025 = 2.262
Güven aralığını oluşturunuz: Rastsal olarak seçilen 20 bilgisayarın tamirat maliyeti kaydedilmiştir. Örneklem ortalaması $216.53 ve standart sapması $15.86 olarak hesaplanmıştır. Tüm bilgisayarların ortalama tamirat maliyeti %98 güven aralığını oluşturunuz Çözüm: n = 20, = 216.53, s = 15.86, c = 0.98, a = 1 0.98 = 0.02 t 0.02/2 = t 0.01 = 2.539 216.53 9.00 < < 216.53+ 9.00 $207.53 < < $225.53 ($207.53, $225.53)
İki Örneklem İçin Güven Aralıkları
İki Ortalamanın Karşılaştırılması (Büyük ve Bağımsız Örneklemler) Her bir örneklem büyüklüğü en az 30 olmalıdır (n 30). Veri setleri birbirinden bağımsız olmalıdır. Her bir popülasyon için bilinmemektedir.
İki Büyük ve Bağımsız Örneklem İçin Hata Payı, E: z c = Kritik z-değeri s 1, s 2 = Örneklem standart sapması n 1, n 2 = Örneklem büyüklüğü
Kritik Değer, z c : Güven Aralıkları İçin Kritik z-değerleri Güven Düzeyi, c z c 0.80 1.28 0.85 1.44 0.90 1.645 0.95 1.96 0.98 2.33 0.99 2.575
İki Popülasyon Ortalaması İçin Güven Aralığı: ya da
Güven aralığını oluşturunuz: Bir oto tamircisi yakıt katkısının motordaki aşınmayı azalttığı yönünde promosyon yapmaktadır. Bağımsız bir araştırmacı, yakıt katkısını kullanan arabalardan 50 büyüklüğünde bir örneklem seçmiş, ortalama motor tamirat masrafını 3250$ olarak hesaplamıştır (standart sapma = 748$). Daha sonra yakıt katkısı kullanmayan arabalardan 55 büyüklüğünde bir örneklem seçmiş, ortalama motor tamirat masrafını 3445$ olarak hesaplamıştır (standart sapma = 812$). Yakıt katkısı kullanan ve kullanmayan arabaların motor tamirat masraflarının tahmin edilmesi için %85 güven aralığını oluşturunuz. Çözüm: Grup 1 = yakıt katkısı kullanan araçlar Grup 2 = yakıt katkısı kullanmayan araçlar 3250 3445 = 195
Çözüm (devamı): 219 195 219 < 1 2 < 195 + 219 414 < 1 2 < 24 ( 414, 24)
İki Ortalamanın Karşılaştırılması (Küçük ve Bağımsız Örneklemler) Örneklemler bağımsızdır. Örneklemlerin seçildiği her bir popülasyon yaklaşık olarak normal olarak dağılmaktadır. Bir yada her bir örneklem için n < 30. Her bir popülasyon için bilinmemektedir.
Küçük ve Bağımsız İki Örneklem İçin Hata Payı, E, s.d. = n 1 1 yada n 2 1 den küçük olanı t a/2 = Kritik t-değeri a = 1 c s 1, s 2 = Örneklem standart sapması n 1, n 2 = Örneklem büyüklüğü
Güven aralığını oluşturunuz: Bir öğrenci aldığı bir dersten başarısız olmasını öğretmenin tecrübesizliğinden kaynaklandığını, diğer sınıftaki öğrencilerin başarısını ise tecrübeli öğretmenlerinden kaynaklandığını düşünmektedir. Tecrübesiz öğretmenin yaptığı sınava giren 11 öğrencilik bir örneklemin sınav puanları ortalaması 75 (s.s.=8), tecrübeli öğretmenin sınavına girenler arasından seçilen 9 öğrencilik bir örneklemin ortalaması 82 (s.s.=5) olarak hesaplanmıştır. Varyansların farklı olduğu varsayımı ile, sınav ortalamaları arasındaki gerçek fark için %90 lık güven aralığını oluşturunuz. Çözüm: Grup 1 = tecrübesiz öğretmen, Grup 2 = tecrübeli öğretmen, 75 82 = 7 n 1 1 = 10 ve n 2 1 = 8 s.d. = 8 t 0.10/2 = t 0.05 = 1.860
Çözüm (devamı): 5 7 5 < 1 2 < 7 + 5 12 < 1 2 < 2 ( 12, 2)