Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Bölüm 3 Parçacık Dengesi Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
3 Parçacık Dengesi Bu bölümde, kuvvetleri bileşenlerine ayırma ve kartezyen vektör şeklinde ifade etme yöntemleri, parçacık dengesini içeren problemlerin çözümünde kullanılacaktır. Öncelikle bir noktadan geçen düzlemsel kuvvet sistemleri için parçacık dengesi ele alınacaktır. Daha sonra, bir noktadan geçen üç boyutlu kuvvet sistemlerini içeren denge problemleri incelenecektir.
3.1 Parçacık Denge Koşulu Bir parçacık, başlangıçta hareketsizken halen durağan halde bulunuyorsa veya başlangıçta hareketli olup sabit hızını koruyorsa, dengededir. Ancak, «denge» veya «statik denge» ifadesi çoğu zaman durmakta olan bir nesneyi tanımlamak için kullanılır. Denge konumunu korumak için, Newton un birinci hareket kanununu sağlamak gerekir. Bu kanuna göre, bir parçacık üzerine etkiyen bileşke kuvvet sıfır ise, parçacık dengededir. Bu durum matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
3.2 Serbest Cisim Diyagramı Denge denklemini doğru uygulayabilmek için, parçacık üzerine etkiyen tüm bilinen ve bilinmeyen kuvvetleri hesaba katmalıyız. Bunu yapmanın en iyi yolu parçacığın serbest cisim diyagramını çizmektir. Bu diyagram, parçacığı çevresinden soyutlanmış veya «serbest» olarak gösteren bir şemadır. Bu şemada parçacık üstüne etkiyen tüm kuvvetleri göstermek gereklidir. Serbest cisim diyagramı çizme yöntemine geçmeden önce, parçacık denge problemlerinde sık karşılaşılan iki bağlantı tipini inceleyeceğiz.
3.2 Serbest Cisim Diyagramı Yaylar. Yayın uzunluğu, üzerine etkiyen kuvvet ile doğru orantılı olarak değişir. Yayların «elastikliği»ni tanımlayan bir özellik k yay sabiti veya k katsayısıdır. s=l-l 0 s pozitif ise, F yayı «çeker», s negatif ise F yayı «iter».
3.2 Serbest Cisim Diyagramı İpler ve Makaralar. Bu derste, aksi belirtilmedikçe tüm iplerin ihmal edilebilir bir ağırlığa sahip ve uzayamaz olduğu varsayılmaktadır. İpler sadece gerilme veya çekme kuvvetini taşıyabilir. Bu kuvvet daima ip doğrultusunda etkir. Sürtünmesiz makara üzerinden geçen kesintisiz ipin dengede kalması için ipte oluşan çekme kuvvetinin büyüklüğünün sabit kalması gerekir. Şekildeki ip, herhangi bir θ açısı için, uzunluğu boyunca sabit T gerilmesine maruz kalmaktadır.
Serbest Cisim Diyagramı Çizme Yöntemi Kova, kablo ile dengede tutulmaktadır ve içgüdüsel olarak kablodaki kuvvetin kovanın ağırlığına eşit olması gerektiğini biliyoruz. Kovanın serbest cisim diyagramını çizerek bunun neden böyle olduğunu açıklayabiliriz. Kova üzerine W ve T olarak iki kuvvet etki eder. Denge için bunların bileşkesinin sıfıra eşit olması gerekir, W = T.
Serbest Cisim Diyagramı Çizme Yöntemi 1. Adım. Parçacığın, çevresinden soyutlandığını veya «serbest» kaldığını hayal ediniz. Cismin genel hatlarını çiziniz. 2. Adım. Bu çizim üzerinde parçacık üzerine etkiyen bütün kuvvetleri belirtiniz. Bunlar parçacığı hareket ettiren aktif kuvvetler ve bu hareketleri önlemeye çalışan tepki kuvvetleri olabilir. 3. Adım. Bilinen kuvvetler, uygun büyüklük ve doğrultularla işaretlenmelidir. Bilinmeyen kuvvetlerin büyüklük ve doğrultularını göstermek için harfler kullanılır. Bir kuvvetin etki çizgisi biliniyor fakat büyüklüğü bilinmiyorsa, kuvvetin yönünü tanımlayan «ok ucu» varsayımına göre seçilebilir. Doğru yön, büyüklük bulunduktan sonra beli olur.
Serbest Cisim Diyagramı Çizme Yöntemi 5 kg lık plaka, iki iple dengede tutulmaktadır. İplerdeki kuvvetleri belirlemek için plakanın serbest cisim diyagramını çizmeliyiz. Görüldüğü gibi, plakaya etkiyen üç kuvvet, eşmerkezli bir kuvvet sistemi oluşturmaktadır.
Örnek 3-1 Şekildeki küre 6 kg kütlelidir ve gösterildiği şekilde tutulmaktadır. Kürenin ve C deki düğümün serbest cisim diyagramını çiziniz.
Örnek 3-1 CE ipinin küreye uyguladığı kuvvet Küreye etkiyen gravitasyon kuvveti veya ağırlık CBA ipinin düğüme uyguladığı kuvvet Yayın düğüme uyguladığı kuvvet CE ipinin düğüme uyguladığı kuvvet
3.3 Düzlemsel Kuvvet Sistemleri Çoğu parçacık denge problemi, bir düzlemsel kuvvet sistemi içerir. Kuvvetler, x-y düzleminde bulunuyorsa, i ve j bileşenlerine ayrılır: Bu skaler denge denklemleri, parçacık üzerine etkiyen bütün kuvvetlerin x ve y bileşenlerinin cebirsel toplamlarının sıfıra eşit olduğunu ifade eder. Bunları kullanarak SCD da gösterilen açılar ve kuvvetlerin büyüklükleri olan en fazla iki bilinmeyeni çözebiliriz.
3.3 Düzlemsel Kuvvet Sistemleri Skaler Gösterim. İki denge denkleminden her biri, belirli bir eksen (x veya y) boyunca vektörel bileşenlere ayırmayı gerektirdiğinden, bu denklemleri uygularken bileşenlerin gösteriminde skaler notasyon kullanacağız. Burada her bileşenin yönü, serbest cisim diyagramında gösterildiği gibi bileşenin ok yönüne karşı gelen bir cebirsel işaret ile ifade edilecektir. Kuvvet bileşenin yönü bilinmiyorsa, serbest cisim diyagramında bu kuvvetin ok yönü istenildiği gibi alınabilir.
3.3 Düzlemsel Kuvvet Sistemleri Skaler Gösterim. Örneğin, şekildeki gibi iki kuvvete maruz bir parçacığın serbest cisim diyagramını ele alalım. Dengeyi sürdürecek F bilinmeyen kuvvetinin sağa doğru etkidiğini varsaydık. Denge denkleminin x ekseni boyunca uygulanması ile: elde edilir. Denklem çözülürse, F = -10 N çıkar. Buradaki eksi işareti F nin gerçek yönünün ters gösterilmiş olmasındandır.
3.3 Düzlemsel Kuvvet Sistemleri Zincirler, SCD de görüldüğü gibi, A halkasına üç kuvvet uygular. x ve y eksenleri boyunca kuvvetlerin toplamı sıfır olursa, halka hareket etmez veya sabit hızla hareket eder. Bu kuvvetlerden birisi bilinirse, diğer iki kuvvetin büyüklükleri denge denklemlerinden belirlenebilir.
Örnek 3-2 60 kg lık kütleyi taşımak için gerekli olan BA ve BC kablolarındaki kuvvetleri belirleyiniz.
Örnek 3-2
Örnek 3-3 200 kg lık sandık AB ve AC ipleriyle askıda tutulmaktadır. Her bir ip kopmadan önce en fazla 10 kn kuvvet taşıyabilmektedir. Eğer AB ipi daima yatay kalıyorsa, iplerden birisi kopmadan görülebilecek en küçük θ açısını belirleyiniz.
Örnek 3-3 cosθ 1 olduğundan F C F B den her zaman büyüktür. Dolayısıyla AC ipi önce kopacaktır.
Örnek 3-5 Şekildeki 8 kg lık lambanın gösterilen konumda asılabilmesi için, AC ipinin uzunluğu ne olmalıdır? AB yayının deforme olmamış uzunluğu l AB =0.4 m ve yay katsayısı k AB =300 N/m dir.
Örnek 3-5 AB yayındaki kuvvet bilinirse, yayın uzaması bulunabilir (F = ks). Böylece, geometriden AC ipinin uzunluğu belirlenebilir.
3.4 Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Bu denklemler, parçacığa etkiyen x, y, z kuvvet bileşenlerinin cebirsel toplamlarını göstermektedir. Bunları kullanarak SCD da gösterilen açılar ve kuvvetlerin büyüklükleri olan en fazla üç bilinmeyeni çözebiliriz.
3.4 Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri A daki mafsal, bağlantı noktası ve üç zincirin uyguladığı kuvvetlere maruzdur. F B, F C ve F D zincir kuvvetlerini belirlemek için SCD de üç skaler denge denklemi uygulanabilir.
Örnek 3-5 90 lb luk yük şekilde gösterilen kancadan asılıdır. Yük, iki ip ve k=500 lb/ft katsayılı yay ile tutulmaktadır. Denge durumunda iplerdeki kuvveti ve yayın gerilme miktarını belirleyiniz. AD ipi x-y düzleminde ve AC ipi x-z düzleminde bulunmaktadır.
Örnek 3-5 Yayın gerilme miktarı, yaydaki kuvvet belirlendikten sonra bulunabilir.
Örnek 3-6 10 kg lık lamba, eşit uzunluklu üç kordonla asılmıştır. Kordonlardaki en büyük kuvvetin 50 N olması gerektiğine göre, en küçük düşey s uzunluğunu belirleyiniz.
Örnek 3-6
Örnek 3-7 40 lb luk sandığı taşıyan kablolardaki kuvvetleri belirleyiniz.
Örnek 3-7
Örnek 3-8 100 kg lık kutu, birine yay bağlanmış üç iple tutulmaktadır. Her bir ipteki çekme kuvvetini ve yayın gerilme miktarını belirleyiniz.
Örnek 3-8