KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji)

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji) Partikülün kinetiği bahsinde, hız ve yer değiştirme içeren problemlerin iş ve enerji prensibini kullanarak kolayca çözülebildiği söylenmişti. Ayrıca, kuvvet sistemi konservatif ise enerjinin korunumu prensibinin kullanılabileceği ifade edilmişti. Bu bölümde, iş ve enerji metotlarını düzlemsel hareket yapan rijit cisimlere uygulayacağız. İş ve enerji prensibine geçmeden önce, rijit cismin öteleme, sabit bir eksen etrafında dönme ve genel düzlemsel hareket yaparken sahip olduğu kinetik enerjiyi ifade eden denklemleri elde edeceğiz. Kinetik Enerji: Şekilde verilen x y referans düzleminde hareket eden ince bir levhayı göz önüne alalım. Levha üzerindeki herhangi bir i partikülünün kütlesi m i, keyfi seçilen P noktasına göre konum vektörü r i ve hızı v i olsun. i partikülünün kinetik enerjisi T i = 1 2 m iv i 2 dir. Tüm cismin kinetik enerjisi, cismi oluşturan tüm partiküllerin kinetik enerjileri toplamına eşit olacaktır. Dolayısıyla, katı cismin kinetik enerjisi n T = 1 2 m iv i 2 i 1 = 1 2 dm m v i 2

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji) v i hızı, P noktasını hızı v P cinsinden v i = v p + v i P olarak yazılabilir. Burada, v i P = ω r i dir. r i = x i i + y i j, v P = v P x i + v P y j ve ω = ωk dır. v i = v P x i + v P y j + ωk (x i i + y i j) v i = v P x ωy i i + v P y + ω x i j Şeklinde yeniden yazılabilir. v i 2 nin v i vektörünün kendisi ile skaler çarpımından ( i i = 1 ve j j = 1 oldugu dikkate alınarak) elde edilir. v i 2 = v P x 2 2 vp x ωy i + ω 2 y i 2 + v P y 2 + 2 vp y ωx i + ω 2 x i 2 v i 2 = v P 2 2 v P x ωy + 2 v P y ωx + ω 2 r 2 v i 2 Kinetik enerji ifadesinde yerine yazılırsa

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji) veya n T = 1 2 m iv P 2 i 1 n n n y i m i v P x ω + x i m i v P y ω + 1 2 m 2 ir i i 1 i 1 i 1 ω 2 T = 1 2 dm m v P 2 v P x ω ydm m + v P y ω xdm m + 1 2 ω2 r 2 dm m Denklemdeki ilk integral cismin kütlesi m dir. xm = xdm ve ym = m ydm olduğundan m ikinci üçüncü integraller, P referans noktasına göre, cismin kütle G merkezinin konumunu belirtirler. Sonuncu integral ise, P den geçen eksene göre cismin kütle atalet momentini I P gösterir. T = 1 2 mv P 2 v P x ωy m + v P y ωx m + 1 2 I Pω 2 P keyfi seçilen referans noktası, kütle merkezi olarak seçilirse T = 1 2 mv G 2 + 1 2 I Gω 2 Burada I G, kütle merkezinden geçen ve hareket düzlemine dik olan eksene göre cismin kütle atalet momentidir.

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Ötelenme) Ötelenme: Kütlesi m olan rijit cisim, doğrusal veya eğrisel ötelenme yapması halinde, cisim dönme yapmayacağından ω = 0 olacaktır. Bu durumda, cismin dönme kinetik enerji sıfır olacaktır. Kinetik enerji ifadesi de T = 1 2 mv G 2 Burada v G, verilen anda cismi kütle merkezinin hızının büyüklüğüdür.

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Sabit Bir Eksen Etrafında Dönme) Sabit Bir Eksen Etrafında Dönme: Bir rijit cismin O noktasından geçen sabit bir eksen etrafında öteleme ve dönmeden doğan kinetik enerjisi T = 1 2 mv G 2 + 1 2 I Gω 2 şeklinde verilmişti. v G = r G O ω olduğu göz önüne alınırsa bu kinetik enerji ifadesi T = 1 2 I G + mr 2 G O ω 2 Paralel eksen teoreminden, parantez içindeki ifadenin cismin O dan geçen eksene göre kütle atalet momenti olduğu görülür. I O = I G + mr 2 G O dir. Dolayısıyla kinetik enerji ifadesi T = 1 I 2 Oω 2 Burada I O, cismin O dan geçen eksene (dönme ekseni) göre kütle atalet momentidir.

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Genel Düzlemsel Hareket) Genel Düzlemsel Hareket: Genel düzlemsel hareket yapan katı cismin açısal hızı ω ve kütle merkezinin hızı v G ise kinetik enerjisi T = 1 2 mv G 2 + 1 2 I Gω 2 Burada, denklemin sağ tarafındaki birinci terim ötelemeden doğan kinetik enerjiyi gösterirken ikinci terim dönmeden doğan kinetik enerjiyi gösterir. Enerji skaler bir büyüklük olduğundan birbirine bağlı rijit cisimlerin toplam kinetik enerjisi, hareket eden tüm parçaların kinetik enerjilerinin toplamına eşittir. Dolayısıyla, böyle bir sistemi kinetik enerjisi, her bir cismin hesaplanan kinetik enerjileri toplamı kadardır.

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kuvvetin İşi) Rijit Cisme Etkiyen Kuvvetlerin İşi: Rijit cismin genel düzlemsel hareketi, öteleme ve dönme hareketinin bileşiminden oluşmaktadır. Bir kuvvetin yaptığı iş, sadece kuvvetin tatbik edildiği noktanın hareketine bağlıdır. Cismin öteleme veya dönme hareketine bağlı değildir. Bir rijit cisimle ilgili düzlemsel kinetik problemlerinde çeşitli tipten kuvvetlerle karşılaşılır. Bu kuvvetlerin her birinin işi, parçacığın davranışının incelenmesinde sunulmuştur. Bunlar özetle katı cisim için tekrarlanacaktır. Değişken Kuvvetin İşi: Bir rijit cisim üzerine bir F dış kuvveti etkirse, cisim s yörüngesi boyunca hareket ettiği zaman, şekilde verilen kuvvet tarafından yapılan iş U F = s F cosθ ds Burada θ, kuvvet vektörü ile diferansiyel yer değiştirmenin arasındaki açıdır. Genellikle, integral işleminde kuvvetin doğrultu ve büyüklüğünün değişimini hesaba katmak gerekir. Sabit Kuvvetin İşi: Bir rijit cisim üzerine sabit F c dış kuvveti etki ederse, cisim s kadar ötelenirken kuvvetin doğrultusu da sabit kalırsa, F c kuvvetinin yaptığı iş U Fc = F c cosθ s

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Ağırlığın İşi ) Ağırlığın İşi: Bir cismin ağırlığı, sadece, cismin G kütle merkezi bir y düşey yer değiştirmesi yaptığı takdirde iş yapar. Bu yer değiştirme yukarı doğru ise, iş negatiftir, çünkü ağırlık ve yer değiştirme ters yönlüdür. U w = W y Bunun gibi, yer değiştirme aşağı doğru ise, iş pozitif olur. Burada yükseklik aralığının değişiminin küçük olduğu düşünülmekte olup gravitasyonun neden olduğu ağırlık kuvvetinin sabit W kabul edilmiştir. Yay Kuvvetinin İşi: Bir cisme elastik bir yay bağlanmışsa, cisim üzerine etkiyen F s = ks yay kuvveti, yay s 1 konumundan farklı bir s 2 konumuna kadar uzama veya kısalma yaparsa iş yapar. Her iki halde iş negatif olur, çünkü cismin yer değiştirmesi daima kuvvetle ters yönlüdür, şekil gösterilen durumda s 2 > s 1 olmak üzere, yapılan iş Yayın uzamamış boyu s=0 U s = 1 2 ks 2 2 1 2 ks 1 2

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İş Yapmayan Kuvvetler) İş Yapmayan Kuvvetler: Cisim yer değiştirdiğinde iş yapmayan kuvvetler de vardır. Bu kuvvetler, ya cisim üzerindeki sabit noktalara veya yer değiştirmeye dik doğrultuda etki ederler. Bir cismin etrafında döndüğü pimdeki tepki kuvvetleri, sabit bir yüzey boyunca hareket eden cisme etkiyen normal tepki ve ağırlık merkezi yatay bir düzlemde hareket eden cismin ağırlığı iş yapmayan kuvvetlerdir. Bir cisim pürüzlü bir yüzey üzerinde kaymadan yuvarlanırken, cisim üzerine etkiyen F r yuvarlanma direnç kuvveti de iş yapmaz. Çünkü F r herhangi bir dt zaman aralığında, cisim üzerindeki sıfır hızlı bir noktaya (Ani Dönme Merkezi, ADM) etki eder. Bu yüzden bu noktada kuvvet tarafından yapılan iş sıfırdır. A noktasının yörüngesi G noktasının yörüngesi Bu anda A noktası x, y, z koordinat sisteminin orijinindedir. Yer değiştirmesi yatay olmayıp düşeydir. F r ardışık her bir parçacıkla sadece bir an temas edeceği için F r nin işi sıfır olacaktır.

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kuvvet Çiftinin veya Momentin İşi) Kuvvet çiftinin aynı çizgi üzerinde olmayan eşit büyüklükte ve zıt yönlü bir çift kuvvetten oluştuğunu hatırlayalım. Kuvvet çiftine maruz cisim dönme hareketi yapıyorsa iş yapar. Bunu göstermek için, M = Fr momentine sahip bir kuvvet çiftine maruz cismi göz önüne alalım. Cismin herhangi bir genel diferansiyel yer değiştirmesinde öteleme ve dönme ayrı olarak düşünülebilir. Cisim, kuvvetlerin etki çizgisi boyunca yer değiştirme bileşeni ds t olacak şekilde ötelendiği zaman, bir kuvvetin pozitif işini diğerinin negatif işi yok eder. Şimdi, cismin, kuvvet çiftinin düzlemine dik olan ve düzlemi O noktasında kesen bir eksen etrafında bir dθ diferansiyel dönmesini göz önüne alalım. Şekilde gösterildiği gibi, her bir kuvvet, kuvvet doğrultusunda ds θ = r 2 dθ yer değiştirmesine maruz kalır. Dolayısıyla yapılan toplam iş du M = F r 2 dθ + F r 2 dθ = Fr dθ = Mdθ

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kuvvet Çiftinin veya Momentin İşi) du M = F r 2 dθ + F r 2 dθ = Fr dθ = Mdθ Burada, dθ nın etki çizgisi momentin etki çizgisine paraleldir. Bu, genel düzlemsel hareket için her zaman geçerlidir. Çünkü M ve dθ hareket düzlemine diktir. M ve dθ aynı yöndeyken bileşke iş pozitif, zıt yönde ise negatiftir. Düzlemde hareket eden cisim, θ 1 değerinden θ 2 değerine kadar döndüğünde radyan cinsinden ölçülen açı θ ise, kuvvet çiftinin yaptığı iş M momentinin büyüklüğü sabitse, U M = θ 2 θ 1 Mdθ U M = M θ 2 θ 1 Buradaki iş, M ve θ 2 θ 1 aynı yönde olmak koşuluyla pozitiftir.

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İş Enerji Prensibi) İş Enerji Prensibi: Partikül için iş ve enerji ilkesi daha önce elde edilmişti. Bir rijit cismin her bir parçacığına bu ilke uygulanabilir. Enerji skaler olduğundan sonuçlar cebirsel olarak toplanarak rijit cisim için iş ve enerji ilkesi elde edilir. Cismin ilk ve son kinetik enerjisi daha önceki çalışmalarda formülle edilmiştir. Dış kuvvetler ve momentlerin yaptığı işi de biraz önce tarif edilmiştir. Cisim rijit olduğundan, cismin iç kuvvetlerinin yaptığı iş dikkate alınmayacaktır. Bu kuvvetler eşit, aynı doğru üzerindeki ters yönlü çiftler halinde bulunurlar. Bu yüzden cisim hareket ettiğinde bir kuvvetin yaptığı iş diğerinin yaptığı işi tarafından yok edilir. Ayrıca, cisim rijit olduğundan, bu kuvvetler arasında bir bağıl hareket oluşmaz, bu yüzden hiç iş yapılmaz. Buna göre, bir rijit cisim için iş ve enerji ilkesi T 1 + U 1 2 = T 2 Bu denklem, başlangıçtaki öteleme ve dönme kinetik enerjisi ile cismin üzerine etkiyen bütün dış kuvvet ve momentlerin, cisim ilk konumundan son konumuna hareket ederken yaptığı işlerin toplamının, cismın son öteleme ve dönme kinetik enerjisine eşit olduğunu ifade eder. Birkaç cisim mafsal bağlı, uzamaz kablolarla birbirine bağlı veya birbirleriyle temas halindeyse, bu denklem bağlı cisimler sistemine de uygulanabilir.

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İş Enerji Prensibi) Enerjinin Korunumu: Bir rijit cisim üzerine etkiyen bir kuvvet sistemi sadece konservatif kuvvetlerden oluşuyorsa, hareketin analizinde enerjinin korunumu prensibi kullanılabilir, aksi takdirde analiz iş ve enerji ilkesi kullanılarak yapılır. Bu prensibi uygulamak, genellikle daha kolaydır. Çünkü konservatif bir kuvvetin işi yoldan bağımsızdır ve sadece cismin ilk ve son konumuna bağlıdır. Ağırlığın Potansiyel Enerji: Bir cismin ağırlığının ağırlık merkezinde toplanmış olduğu düşünüldüğünden, cismin gravitasyonel potansiyel enerjisi, ağırlık merkezinin başlangıç çizgisinin altında veya üstünde olan uzaklığına göre belirlenir. Buna göre, yukarı doğru pozitif olarak ölçülen y G için, cismin gravitasyonel potansiyel enerjisi V g = Wy G Burada, potansiyel enerji y G pozitif olduğu zaman pozitiftir, çünkü cisim başlangıç çizgisine geri dönerken ağırlık pozitif iş yapma yeteneğine sahiptir. Bunun gibi, cisim başlangıç çizgisinin altında y G bulunuyorsa, gravitasyonel potansiyel enerji negatiftir. Çünkü, cisim başlangıç çizgisine geri dönerken ağırlık negatif iş yapar.

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İş Enerji Prensibi) Elastik Yayın Potansiyel Enerji: Elastik bir yayın oluşturduğu kuvvet konservatif bir kuvvettir. Elastik bir cisme bağlanan bir yay, şekil değiştirmemiş konumundan s = 0 uzayarak veya sıkışarak son s konumuna ulaştığı zaman, verdiği elastik potansiyel enerji V e = + 1 2 ks2 Şekil değiştirmiş konumda, cisim üzerine etkiyen yay kuvveti, yay başlangıçtaki şekil değiştirmemiş konumuna geri dönerken daima pozitif iş yapma kapasitesine sahiptir. Enerjinin Korunumu: Bir cisim hem gravitasyonel hem elastik kuvvetlerin etkisinde ise, genellikle toplam potansiyel enerji V = V g + V e cebirsel toplamı ile gösterilen bir V potansiyel fonksiyonu olarak ifade edilebilir. Burada, V nin ölçümü, cismin seçilen başlangıç çizgisine göre konumuna bağlıdır. Konservatif kuvvetlerin işinin, potansiyel enerjilerdeki fark, yani, olduğu gerçeğinden hareketle, bir rijit cisim için iş ve enerji ilkesini U 1 2 kons = V 1 V 2 T 1 + V 1 + U 1 2 kons olma = T 2 + V 2

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İş Enerji Prensibi) Burada, U 1 2 kons olma sürtünme gibi, cisim üzerine etkiyen konservatif olmayan kuvvetlerin işini gösterir. Bu terim sıfırsa, T 1 + V 1 = T 2 + V 2 Bu ifade, cismin mekanik enerjisinin korunumu denklemidir. Cismin, bir konumdan diğer konumuna hareket etmesi halinde potansiyel ve kinetik enerjileri toplamının, sabit kalacağını ifade eder. Denklem, aynı zamanda pürüzsüz, mafsallı rijit cisimler, uzamaz iplerle bağlı cisimler, birbiri içine girmiş cisimlerden oluşan sistemlere de uygulanabilir. Bu durumda, temas noktalarında ortaya çıkan kuvvetler, aynı doğru üzerinde, eşit ve zıt yönlü olduklarından analiz sonucunda birbirlerini yok edeceklerdir.

ÖRNEK 30 kg disk, merkezinden pimle bağlıdır. Diske, çevresine sarılı ipe uygulanan sabit F = 10 N kuvveti ve sabit M = 5 N m momenti etki etmektedir. Hesaplamalarda ipin kütlesini ihmal ederek, başlangıçta durmakta olan diskin 20 rad/s açısal hıza erişinceye kadar kaç devir yapması gerektiğini belirleyiniz. ÇÖZÜM Kinetik Enerji: Disk merkezinden pimle sabitlenmiş olduğundan dış kuvvetlerin etkisi ile sadece sabit ekseni etrafında dönme hareketi yapacaktır. Diskin kinetik enerjisi, T = 1 2 I Oω 2 dir. Burada, I O = 1 2 mr2 kütle atalet momentidir. Disk başlangıçta hareketsiz olduğundan kinetik enerjisi sıfırdır. T 1 = 0 T 2 = 1 2 I Oω 2 = 1 2 1 2 30 kg 0. 2 m 2 20 rad s 2 = 120 J

ÖRNEK Serbest Cisim Diyagramı. Diske etki eden dış kuvvetler, ağırlık ve reaksiyon kuvvetleri diyagramda gösterilir. Sabitlenmiş noktaya etki eden ağırlık ve reaksiyon kuvvetleri O x, O y yer değiştirme yapamadıkları için iş yapmazlar. İşi yapan Moment M etkisi ve F düşey kuvvetidir. İş ve Enerji prensibi. T 1 + U 1 2 = T 2 T 1 + Mθ + Fs = T 2 0 + 5 Nm θ + 10 N θ 0. 2 m = 120 J θ = 17. 1 rad 1 devir = 2π radyan olduğu hatırlanırsa, n = 17. 1 1 devir Serbest Cisim Diyagramı 2π radyan = 2. 73 devir

ÖRNEK Basit resmi ve boyut ölçüleri şekilde verilen sistemde, dişli çarkların her biri 4 kg kütle ve 30 mm atalet yarıçapına sahiptir. 6 kg düz dişli s = 0 da, aşağı doğru 2 m/s hızla hareket etmektedir. Düz dişlinim aşağı doğru düşey doğrultuda s = 600 mm hareket etmesi durumunda hızını hesaplayınız. Dişli çarklar kendi eksenleri etrafında, serbestçe dönmektedirler.

ÖRNEK ÇÖZÜM: A ve B dişli çarkların kütleri ve atalet yarıçapları belirli olduğu için kütle atalet momentleri I B = I A = m k 2 ifadesinden hesaplanır. Katı cisimlerin (düz dişli ve dişli çarklar) başlangıçtaki kinetik enerjileri belirlidir. Düz dişli ağırlığından dolayı ikinci duruma erişinceye kadar pozitif iş yapacaktır. Başlangıç durumu ve s = 600 mm hareket etmesi durumu arasında iş enerji bağıntısı yazılırsa T 1 + U 1 2 = T 2 1 m v 2 1 2 D 1 + I 2 1 2 A ω A 1 + I 2 2 B ω B 1 + mgh 1 = m v 2 1 2 D 2 + I 2 1 2 A ω A 2 + I 2 2 B ω B 2 1 2 6 22 +2 1 2 4 0. 032 0. 04 2 + 6 9. 81 0. 6 = 1 2 6 v D 2 + 2 1 2 4 0. 032 v D 0. 05 2 53. 07 = 4. 44 v D 2 v D 2 = 3. 45 m/s

ÖRNEK Şekil sistemin başlangıçtaki durumunu göstermekte olup direngenliği k = 200 N/m olan yay nominal boyundadır. 2 kg kütleli AC ve BD elemanları, 2 kg kütleli A ve B de mafsal bağlı dişlilerle birlikte hareket etmektedir. A dişli merkezinden saat ibreleri tersi dönme yönünde M = 20 N m moment uygulanırsa, AC elemanının 45 döndüğü pozisyondaki açısal hızını hesaplayınız. Dişli çark ve kolların A ve B dönme merkezlerinden geçen eksenlere göre kütle atalet yarıçapları sırasıyla 40 mm ve 50 mm dir.

ÖRNEK ÇÖZÜM: Başlangıçta durmakta olan sistemin kinetik enerjisi sıfırdır. Dişli çarka uygulanan moment sistemi harekete geçirecektir. Kolları birbirlerine bağlayan yay ise hareketi engellemeye yöneliktir. 45 olduğu pozisyonda dişliler ve kollar dönmekte olduklarından kinetik enerjileri olacaktır. Eşit büyüklükte olan kolların ağırlıklarının yaptıkları iş AC yukarı iken AB ise aşağı doğru olduğu için birbirlerini yok eder. A ve B dişlileri ile AC ve BD kollarının dönme eksenlerine göre atalet yarıçapları bilindiği için kütle atalet momentleri I = mk 2 ifadesinden belirlenebilir. Dişli ve kol ve aynı açısal hıza ω diş = ω kol sahiptir. Moment belirlidir. 45 derece radyan cinsinden π 4 olup momentin yaptığı iş Mθ dan hesaplanır. Yay başlangıçta uzamamış boyda olduğundan yaydaki uzama miktarı s = 0. 2 sin 45 m olarak sistemin pozisyonundan belirlenir. Dişli ve koldan ikişer tane olduğuna dikkat etmek gerekir.

ÖRNEK T 1 + U 1 2 = T 2 0 + M θ 1 2 k s2 = 2 1 2 I diş ω diş 2 2 + 2 1 2 I kol ω kol 2 2 20 π 4 1 2 200 0. 2 sin 45 2 = 2 1 2 2 0. 042 ω 2 + 2 1 2 2 0. 052 ω 2 15. 7 8 = 0. 0082 ω 2 ω = 30. 65 rad/s

ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ÇÖZÜMLÜ SORULAR