SYSL RZİ MODELLERİNDE YÜSELİ ENTERPOLSYONU (HEGHT NTERPOLTON N DGTL TERRN MODELS) Mustafa YNL ÖZET onua bağlı bilginin odellenesi ve ara değer üretilesi yer biliciler için kaçınılaz uygulaalardır. Sayısal arazi odelleesi ölçecilerin arazi yüksekliklerini odelleede kullandıkları yaygın bir yöntedir. Enterpolasyon yöntei Sayısal razi Modelinin (SM) doğruluğunu etkileyen öneli bir etkendir. Bu çalışada En yakın koşu, ğırlıklı ortalaa, Polino, Multikuadrik, En küçük eğrilikli yüzey ve Üçgenlerde lineer enterpolasyon yönteleri 5 teorik test yüzeyi üzerinde test ediliş ve doğrulukları karşılaştırılıştır. BSTRCT Modeling of positional data and interpolation of interediate values are inevitable applications for geoscientist. Digital terrain odeling is a coon ethod, which is used for odeling of terrain elevation for surveyors. nterpolation ethod is an iportant factor affecting the accuracy of digital terrain odel (DTM). n this study, interpolations of nearest neighbor, weighted average, polynoial, iniu curvature, ultiquadric and linear in triangles were tested on five theoretical test surfaces and accuracies of the were copared.. GİRİŞ onua bağlı bilginin odellenesi ve gerektiğinde enterpolasyonla ara değer üretilesi yer biliciler için kaçınılaz bir uygulaadır /5/. Gelişen bilgisayar olanakları bu ihtiyacı daha kolay karşılanır hale getiriştir. Fiziksel yeryüzü gibi düzgün olayan yüzeylerin ateatiksel olarak ifadesinde zorluklar vardır. Ta olarak ifade edilebilesi için yüzeydeki tü noktaların tanılı olası gerekir ki bu da pratik olarak ükün değildir. Uygulaada, yüzeyler örneklee noktaları yardııyla odellenir. Dayanak noktası veya refererans noktası olarak adlandırılan. örneklee noktaları elde edile veya seçile yönteine bağlı olarak farklı konusal dağılı gösterirler. Dayanak noktalarının düzensiz bir dağılı gösteresi yüzey odelleesinde sıkça karşılaşılan bir durudur. Yüzey odelleesi yüzeyin tek bir fonksiyonla bütün olarak ifade edilesiyle yapılabileceği gibi üçgen, kare, dikdörtgen ve benzeri geoetrik şekillere bölünerek parça parça ifade edilesiyle de yapılabilektedir. Özellikle sayısal arazi odelleesi ühendisleriiz için öneli olan konulardan biridir. Sayısal razi Modeli (SM) iki farklı yöntele oluşturulabilir /9/. Bunlardan ilki olan Grid (Raster) yönteinde arazi yüzeyi kare veya dikdörtgen gridlere bölünür. Dayanak noktaları grid köşelerinde yer alabileceği gibi, rastgele konuda da bulunabilir. Grid köşe noktalarındaki yükseklik değerleri, kullanılacak bir enterpolasyon yöntei ile belirlenir. Her bir grid, köşe noktalarındaki yükseklik değerleri ve gerekirse eği değerlerine dayanan bir fonksiyon ile ifade edilir. Üçgenlee yönteinde ise, arazi yüzeyi üçgen yüzeylerinin toplaı şeklinde (Polihedron) ifade edilir. Rastgele veya düzgün şekilde dağılış olan dayanak noktaları üçgenlerin köşe noktalarını oluşturur. Birbirleri üzerine bineyen bu üçgenlerin her biri lineer veya lineer olayan bir fonksiyonla ifade edilir. Enterpolasyon yöntei sayısal
arazi odelinin doğruluğunu etkileyen öneli bir etkendir. Bu çalışada En yakın koşu, ğırlıklı ortalaa, Polino, Multikuadrik, En küçük eğrilikli yüzey ve üçgenlerde lineer enterpolasyon yönteleri 5 teorik test yüzeyi üzerinde test ediliş ve doğrulukları karşılaştırılıştır.. ENTERPOLSYON YÖNTEMLERİ Sayısal yükseklik odelleesinde kullanılan enterpolasyon yönteleri ve yapılan sınıflandıralar bir çok kaynakta ayrıntılı olarak açıklanaktadır. Bu çalışada kullanılan enterpolasyon yönteleri aşağıdaki başlıklar altında ele alınıştır. a. ğırlıklı Ortalaa ile Enterpolasyon Bu yöntede enterpolasyon noktasının yüksekliği, çevresinde bulunan dayanak noktalarının yüksekliklerinden ağırlıklı olarak hesaplanır. Her bir dayanak noktasının yüksekliğine verilecek olan ağırlık değeri o noktanın enterpolasyon noktasına olan uzaklığın bir fonksiyonudur /3/. Bir enterpolasyon noktasının yüksekliği, z = i= pi zi i= 0 / p () i eşitliği ile bulunur. ğırlık fonksiyonu olarak, ( x, y ) i i herhangi bir dayanak noktasının, ( x0, y0 ) yüksekliği belirlenecek enterpolasyon noktasının koordinatları olduğuna göre; p = ( x x ) + ( y y ) = ( s ) i i 0 i eşitliği kullanılabileceği gibi, 0 k i k, i =,,..., k =,,3 () p i = e ( s / k ) i, i =,,..., k=3,4,5 (3) şeklindeki Gauss fonksiyonu da kullanılabilir. b. Polino Enterpolasyonu Bu yöntein ana fikri arazi yüzeyini tek bir fonksiyonla ifade etektir. x, y, z koordinatları ile bilinen dayanak noktalarının oluşturduğu arazi yüzeyinin, n 'inci dereceden bir polinola ateatiksel ifadesi, z( x, y) = n k = 0 k j= k i i= 0 a ij x i y j (4) şeklindedir. İkinci derece polinoun açık ifadesi,
z( x, y) = a + a y+ a x+ a x + a xy + a y 00 0 0 0 0 (5) olur. (x, y, z) koordinatları bilinen 6 dayanak noktası ile bu proble çözülebilir. 6 dan fazla dayanak noktası olası duruunda, çözü için yeterli olandan fazla denkle oluşacağı için katsayılar dengeleeyle bulunur. Bu duruda yüzey dayanak noktalarından geçez., dayanak noktası sayısını gösterek üzere,. derece polinoun düzelte denkleleri; L=,,..., için z = a + a y + a x + a x + a x y + a y z L 00 0 L 0 L 0 L L L 0 L L (6) olur. z L = in. (7) L= koşulundan yararlanarak dengeleniş yüzeyin katsayıları belirlenir. Yüksekliği istenen bir noktanın ( x0, y0 ) koordinatları polinoda yerine konulduğunda o noktanın z 0 yüksekliği bulunabilir.. c. Multikuadrik Enterpolasyon Bu enterpolasyon yönteinin aacı dayanak noktalarının tüünü aynı anda kullanarak araziyi tek bir fonksiyonla ifade etektir. Yöntein uygulanasında öncelikle, sayıdaki dayanak noktası kullanılarak bir trend yüzeyi geçirilir. Bu yüzey için polino, haronik seri veya trigonoetrik fonksiyonlar kullanılabilir. Şidiye kadar yapılan uygulaalar. veya. dereceden bir polinoun yeterli olduğunu gösteriştir/4,5,6,7/. Trend yüzeyi olarak n. dereceden bir polino kararlaştırılası duruunda, önceki bçlüde açıklandığı şekilde z( x j, y j) polinounun katsayıları ve dayanak noktalarındaki z j artık yükseklik değerleri (düzelteler) hesaplanır. zj = zj z( x j, y j) j=,,..., (8) j= Cj Q( x j, y j, x, y) = z (9) genel ifadesi ile verilen ultikuadrik yüzey, sayıda aynı türden Q yüzeyinin toplaından oluşur. C j katsayıları her bir Q yüzeyinin eğiini ve işaretini belirler ve z j artık yükseklik değerleri yardııyla hesaplanır. Literatürde, her bir Q yüzeyinin sietri ekseni bir dayanak noktasından geçecek şekilde aşağıdaki ultikuadrik yüzeyler öneriliştir: İki yapraklı dairesel hiperboloid serilerinin toplaı (k, sabit bir katsayıdır) j = / Cj ( x j x) + ( y j y) + k = z (0)
Dairesel paraboloid serilerinin toplaı, j = Cj ( x j x) + ( y j y) + k = z () Dairesel dik konilerin toplaı, j = / Cj ( x j x) + ( y j y) = z () C j katsayılarının belirlenesinde, dayanak noktalarının bilinen ( x j, y j, zj) değerlerinden yaralanılır. Multikuadrik yüzey olarak dairesel dik konilerin seçildiği kabulü ve herhangi iki dayanak noktası için, / j i j i ij ( x x ) + ( y y ) = a i, j =,,... (3) kısaltası ile () eşitliği, j= şeklini alır. (4) bağıntısından, Ca j ij = z i i=,,..., (4) C a C a + C + C a a + C 3 + C 3 a a 3 3 + Λ + Λ + C + C Ca3 + C a3 + C3a33 + Λ + C a3 = z3 M M M M M Ca + Ca + Ca + Κ + C a = z a a = z = z 3 3 (5) denkle sistei elde edilir. Matris gösterii ile, c = z (6) yazılabilir. Burada ( ) lik katsayılar atrisini, c ( ) lik bilineyenler atrisini ve z( ) lik artık yükseklik atrisini gösterektedir. Bilineyen C j katsayıları, c = z (7) şeklinde belirlenir. C j katsayılarının belirlenesi ile ultikuadrik yüzey oluşuş deektir. ( x0, y0 ) koordinatları bilinen herhangi bir enterpolasyon noktasının yüksekliği, 0 0 0 0 0 0 j = j j 0 j z = z( x, y ) + z = z( x, y ) + C ( x x ) + ( y y ) (8) 0 /
eşitliği ile hesaplanır. Dayanak nokta sayısı arttıkça yöntein hesap yükü artar. Bu yük özellikle C j katsayıları belirlenirken alınacak invers işleinden kaynaklanaktadır. d. Üçgenler ğında Lineer Enterpolasyon Üçgenler ağında yaygın olarak kullanılan enterpolasyon yöntei, lineer enterpolasyondur. Her bir üçgen eğik düzle olarak kabul edilir/4/. Yüksekliği enterpole edilecek noktanın içine düştüğü üçgende lineer enterpolasyon uygulanır. Bir eğik düzlein, z = a00 + a0 x+ a0 y (9) şeklinde ifade edildiği düşünülürse, her bir üçgen için a00, a0 ve a 0 katsayıları üçgene ait 3 köşe noktası için yazılacak 3 denklele belirlenir. Yüksekliği enterpole edilecek noktanın x0, y0 koordinatları (9)'da yerine konulduğunda z 0 değeri elde edilir. Üçgen eleanlarda yapılan lineer enterpolasyon, aslında ağırlıklı ortalaadan farklı bir işle değildir. Üçgenin 3 köşe noktasına ait z değerlerinin ağırlıklı ortalaası alınaktadır. Herhangi bir köşe noktasına ait z değerinin ağırlığı ise enterpolasyon noktasının o köşeye göre lokal barisentrik koordinatıdır. Barisentrik koordinatlar Şekil ' de gösteriliştir. F F F j Şekil. Üçgende lokal barisentrik koordinatlar Şekil de,, noktaları üçgenin 3 köşe noktasını gösterektedir. enterpolasyon noktasının 3 köşeye göre 3 ayrı lokal barisentrik koordinatı vardır. Bu 3 koordinatın toplaı dir. noktasının köşe noktalarına birleştirilesiyle elde edilen 3 alt üçgenin alanlarının üçgeninin alanına bölünesiyle lokal barisentrik koordinatlar elde edilir. lt üçgenlerin alanları F, F, F ile, topla alan F ile gösterilirse, noktasının lokal barisentrik koordinatları, P = F / F, P = F / F, P = F / F (0) olur. Lokal barisentrik koordinatlar noktaların kartezyen dik koordinatları ile ifade edilirse, P P P = = = B = ( x (( x x )( y y ) ( x x )( y y ))/ (( x x )( y y ) ( x x )( y y ))/ (( x x )( y y ) ( x x )( y y ))/ x )( y y ) ( x x )( y y ) B B B ()
yazılabilir. Enterpolasyon noktasının z 0 değeri, z0 = P z + P z + P z () şeklinde belirlenir //. e. En üçük Eğrilikli Yüzey Enterpolasyonu Yönte, grid köşe noktalarındaki C ij eğrilik değerlerinin kareleri toplaı iniu olacak şekilde grid köşe noktalarının yüksekliklerini enterpole etek aacıyla geliştiriliştir. İlk olarak grid köşelerindeki gravite değerlerini enterpole ederek eş gravite eğrilerinin oluşturulası aacıyla kullanılıştır//. C = ı j C ij i= j= ( ) iniu (3) Bir yüzeydeki eğriliklerin kareleri toplaı (topla karesel eğrilik) ² z ² z ( z) = + dxdy (4) x² y² C ile ifade edilir. C değerini extreu (iniu) yapan z fonksiyonun 4 z + 4 x 4 4 z z + y² x² y 4 = 0 (5) differansiyel denkleini sağlaası gerektiği ve benzer şekilde (5) eşitliğini sağlayan z fonksiyonunun topla karesel eğriliği iniu yaptığı // de kanıtlanıştır. (5) de verilen differansiyel denklein çözüü sınır koşulları kullanılarak yapılabilektedir. ullanılacak sınır koşulları yüzeyin sınır norali (n) boyunca ² z n² ² z ² z = 0, + = 0 n x² y² (6) olası ve yüzeyin sınır köşelerinde ² z x y = 0 (7) olası koşuludur/,,/. (5) eşitliğinin çözüü // de ayrıntılı bir şekilde verilektedir. Çözü atris hesabıyla doğrudan yapılabileceği gibi iterasyonla da yapılabilektedir. Matris hesabında nüerik
bağılılık söz konusu olabileceği için iterasyonla çözü tavsiye edilektedir. İteratif Çözü 4 adıda özetlenebilir:.dı: Multikuadrik enterpolasyona benzer bir şekilde trend yüzeyi geçirilir. Trend yüzeyinden arta kalan değerler her bir noktadaki z i artık yükseklik değerini gösterir..dı: Rastgele dağılış konudaki dayanak noktalarına ait noktadaki z i artık yükseklik değerlerinden yararlanarak grid köşe noktalarındaki z i,j yaklaşık artık yükseklik değerleri, ağırlıklı ortalaa ile hesaplanır. 3.dı Bir önceki adıda bulunan yaklaşık artık yükseklik değerleri ile iterasyona girilir. Bir iterasyon aşaasında, her bir grid köşe noktasındaki artık yükseklik değeri için koşu grid köşe noktalarındaki artık yükseklik değerlerinden yararlanılarak bir eşitlik yazılır. Yazılacak eşitlik noral bir grid köşesi için z i+, j + z i,j+ + z i-,j + z i,j- + ( z i+,j+ + z i-,j+ + z i+,j- + z i-,j- ) (8) - 8 ( z i+,j + z i-,j + z i,j+ + z i,j- ) + 0 z i,j = 0 şeklinde olacaktır. Yüzey sınırında ve köşelerinde bulunan grid köşe noktaları için yazılacak eşitlik noral bir nokta için yazılandan daha farklı olacaktır/,/. Tü noktalar için eşitliklerde geçen son teri olan z i,j değerleri hesaplandıktan sonra bir sonraki iterasyon aşaasına geçilir. rdışık iki iterasyondan elde edilecek z i,j değerleri arasındaki en büyük fark istenilen ε değerinin altına ulaşana kadar iterasyon işleine deva edilir. 4.dı: Son iterasyondan elde edilen artık yükseklik değerine trend yüzeyindeki değeri eklenerek grid köşe noktasının kesin yükseklik değeri bulunur. f. En Yakın oşu Enterpolasyonu Bu yöntede yüksekliği belirlenecek olan noktaya çevresinde bulunan en yakın noktanın yükseklik değeri verilektedir. 3. UYGULM ve YÖNTEMLERİN RŞLŞTRLMS En yakın koşu, ğırlıklı ortalaa, Polino, Multikuadrik, En küçük eğrilikli yüzey ve üçgenlerde lineer enterpolasyon yönteleri (9) da veriliş 3 farklı fonksiyondan türetiliş 5 teorik test yüzeyi (Tablo ) üzerinde test ediliştir. Teorik test yüzeyi kullanılasının aacı gerçek elde edebilektir. Test yüzeyleri 00 00 lik alanlar kaplayacak şekilde seçilişlerdir. ullanılan veri aralıkları ve her bir teorik test yüzeyi için kullanılan fonksiyon Tablo de özetleniştir. Test yüzeylerinin Surfer prograında çizilen perspektif görünüleri Şekil -6 da veriliştir. Her bir test yüzeyi için düzgün olayan dağılıda 50 referans noktası ve düzgün dağılıa sahip 8 enterpolasyon noktası türetiliştir. Referans ve enterpolasyon noktalarının gerçek yüzey yükseklikleri (9) da verilen fonksiyonlar kullanılarak hesaplanıştır. Her bir test yüzeyi için kendisine ait 50 referans noktası kullanılarak yine kendisine ait 8 enterpolasyon noktasındaki yükseklik değerleri yukarıda isileri sıralanan 6 farklı enterpolasyon yönteiyle hesaplanıştır. Üçgenlee için
kullanılan algorita hesaplaalı geoetride yaygın olarak kullanılan Delaunay Üçgenleesidir. Oluşan üçgenlerin çevrel çeberleri içerisinde başka nokta olaası koşuluna dayanan Delaunay üçgenleesi bir çok kaynakta karşılaşılabilecek bir konudur /8,0,3,6/. Enterpolasyon noktalarındaki gerçek yükseklik değerleri dolayısıyla gerçek hatalar bilindiği için her bir enterpolasyon yönteine ait doğruluk ölçütleri türetiliştir. Bu ölçütler standart sapa, en büyük ve en küçük hata değerleridir. Doğruluk ölçütleri Tablo de veriliş ayrıca enterpolasyon yöntelerinin kolay karşılaştırılabilesi için Şekil 7-9 da grafik olarak sunuluştur!. Fonksiyon: z ( ) = [ sin( x /0) sin( x * y / 800) ] 0 + 00. Fonksiyon: ( ) = [ sin( x / y) sin( x * y / 800) ] 0 + 00 3. Fonksiyon: z ( ) = ( x + y ) sin( 8 arctan ( y / x) ) z (9) [ ]/000 + 00 Tablo. 5 Test yüzeyi için kullanılan fonksiyon ve veri aralığı Test yüzeyi Fonksiyon En küçük (etre) En büyük (etre) (x) (y) (x) (y) 0.00 0.00 00.00 00.00-50.00-50.00 50.00 50.00 3-00.00 0.00 0.00 0.00 4 3 0.00 50.00 00.00 50.00 5 3-50.00 0.00 50.00 00.00 Şekil-:. Test yüzeyinin perspektif görünüü
Şekil-3:. Test yüzeyinin perspektif görünüü Şekil-4: 3. Test yüzeyinin perspektif görünüü
Şekil-5: 4. Test yüzeyinin perspektif görünüü Tablo. Doğruluk ölçütleri (etre) Test yüzeyi Doğruluk Ölçütü Şekil-6: 5. Test yüzeyinin perspektif görünüü En küçük eğrilikli yüzey Multikuadrik Lineer ent. En yakın koşu ğırlıklı ort. Polino σ 0.5 0.53 0.95.3 4.4 7.8 Ortalaa 0.8 0.40 0.67.4 3.00 5.89 En büyük 0.89.43 3.05 0.56 0.84 9.90 σ 0.6 0.4 0.77.88 3.40 7.89 Ortalaa 0.8 0.33 0.54.36.7 6.43 En büyük 0.8 0.96.00 5.9 7.4 5.5 σ 0.39 0.76.0.4 4.3 6.53 Ortalaa 0.7 0.6 0.75.63 3.45 5.40 3 En büyük.5..76 7.06 0.5 3.36
σ 0.6 0.7 0.34.00 3.0 4.8 Ortalaa 0. 0.4 0.5.53.54 4.0 4 En büyük 0.49 0.39 0.93 5.44 5.90 9.34 σ 0.6 0.3 0.43.08.64 3.7 Ortalaa 0. 0.5 0.3 0.7..7 5 En büyük 0.56 0.7.8 4.37 3.76 9.04. Yüzey. Yüzey 3. Yüzey 4. Yüzey 5. Yüzey 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3.5.5 0.5 0 Lineer ent. Multikuadrik En küçük eğrilik Polino ğırlıklı ort. En yakın koşu Şekil-7: Enterpolasyon yöntelerinin standart sapaları (etre). Yüzey. Yüzey 3. Yüzey 4. Yüzey 5. Yüzey 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3.5.5 0.5 0 polino ğırlıklı ort. En ykın koşu Lineer ent. Multikuadrik En küçük eğrilik Şekil-8: Enterpolasyon yönteleri için hata değerlerinin ortalaası (etre)
. Yüzey. Yüzey 3. Yüzey 4. Yüzey 5. Yüzey 0 9 8 7 6 5 4 3 0 9 8 7 6 5 4 3 0 Polino ğırlıklı ort. En yakın oşu Lineer ent. Multikuadrik En küçük eğrilik Şekil-9: Enterpolasyon yöntelerinin en büyük hata değerleri (etre) 4. SONUÇ Tablo de verilen doğruluk ölçütleri (standart sapa, hatalar ortalaası ve aksiu hata) göz önüne alındığında bu çalışada kullanılan 5 test yüzeyi için en iyi yöntelerin en küçük eğrilikli yüzey ve ultikuadrik enterpolasyon olduğu görülektedir. Şekil 7-9 incelendiğinde bu daha açık olarak gözlenebilektedir. Daha sonra grafiklerde de sıralandığı gibi üçgenlerde lineer enterpolasyon, en yakın koşu, ağırlıklı ortalaa (/s ) ve polino enterpolasyonu (.derece 9 terili polino) gelektedir. Standart sapaların değişi aralığı göz önüne alındığında enterpolasyon yönteleri aşağıdaki gibi sıralanabilir:. En küçük eğrilikli yüzey enterpolasyonu (0,6-0,39). Multikuadrik enterpolasyon (0,7-0,76) 3. Delaunay üçgenlerinde lineer enterpolasyon (0,34-,0) 4. En yakın koşu enterpolasyonu (,08-,4) 5. ğırlıklı ortalaa ile enterpolasyon(,64-4,3) 6. Polino enterpolasyonu (3,7-7,89) En küçük eğrilikli yüzey ve ultikuadrik enterpolasyon yüzeyi bütünüyle ele alan yöntelerdir. Bu nedenle hesap yükleri fazladır. Multikuadrik enterpolasyonda büyük boyutlu atris inversi en küçük eğrilikli yüzeyde ise çok sayıda iterasyon işlei gerekektedir. Bu iki yönte 970 li yıllardan beri bilinesine karşın söz konusu dezavantajları yüzünden uygulaalarda arka plana atılıştır. Bilgisayar kapasitelerinin artasıyla hesap yapanın kolaylaştığı günüüzde en küçük eğrilikli yüzey ve ultikuadrik yüzey odelleeleri konua bağlı bilginin odellenesi ve ara değer üretii uygulaaları için düşünülelidir. Bu çalışada ele alınan araziler hektarlık alanlardır. Yönteler daha büyük boyutlu
arazilerde, süreksizlik içeren arazilerde ve şerit şeklinde uzanan farklı veri alanlarında da test edilelidir. Bu çalışa için seçilen test yüzeylerinde doğruluk anlaında en iyi yönteler olarak göze çarpaktadır. Literatürde yer alan diğer enterpolasyon yöntelerinin de konu edildiği daha kapsalı çalışaların yapılası faydalı olacaktır. YNLR // yhan, M.E., lp, O., Üstün, M. : Rastgele Dağılış Verilerden Bilgisayar Desteğinde Yüzey Modellee, T.U...B, 03-8, 993 // Briggs,.C. : Machine Contouring Using Miniu Curvature, Geophysics, 39,, 39-48, 974 /3/ Franke, R., Nielson, G. : Sooth nterpolation of Large Sets of Scattered Data, nternational ournal for Nuerical Methods in Engineering, 5, 69-704, 980 /4/ Güler,. : Sayısal razi Modellerinde İki Enterpolasyon Yöntei ile Deneeler, Harita ve adastro Müh. Dergisi, 5-53, 98-3, 985 /5/ Hardy, R. L. : Multiquadric Equations of Topography and Other rregular Surfaces,. Geophys. Res., 76, 8, 905-95, 97 /6/ Hardy, R. L. : Theory and pplications of the Multiquadric-Biharonic Method: 0 Years of Discovery 968-988, Cop. Math. with pplications., 9, 8/9, 63-08, 990 /7/ Leberl, F. : nterpolation in a Square Grid DTM, TC ournal, 5, 756-807, 973 /8/ Lee, D. T., Preparata, F.P., /9/ Petrie, G., ennie, T.. : Coputational Geoetry- Survey, EEE Transactions on Coputers, c33,, 07-0, 984 : Terrain Modeling in Surveying and Civil Engineering, Cop.-ided Des., 9, 4, 7-87, 987 /0/ Renka, R.. : Delaunay Triangulation and Voronoi Diagra on the Surface of a Sphere, CM Transactions on Matheatical Software, 3, 3, 46-434, 997 // Sith, W.H.F., Wessel, P. : Gridding With Continuous Curvature Splines in Tension, Geophysics, 55, 3, 93-305, 990.
// Sukuar, N., Moran, B., Seenov,., Belikov, V.V. : Natural Neighbour Galerkin Methods, nternational ournal for Nuerical Methods in Engineering, 50, -7, 00 /3/ Watson, D.F., : cord: utoatic Contouring of Raw Data, Coputers and Geosciences, 8,, 97-0, 98 /4/ Watson, D.F., Philip, G.M. : Triangle Based nterpolation, Matheatical Geology, 6, 8, 779-795, 984 /5/ Watson, D.F., : Contouring: Guide to The nalysis and Display of Spatial Data, Pergaon press, oxford, 3 pages., 99 /6/ Yanalak, M. : Yüzey Modelleede Üçgenlee Yönteleri, Harita Dergisi, 6, 58-69, 00