5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi u bölümde RITZ metodu eleman bazında uygulanacak, elemanın yer değiştirme fonksiyonu, şekil değiştirme, gerilme bağıntıları, toplam potansiyeli, yerel ve genel denge koşulu belirlenecektir. u işlemler, anlaşılması kolay olması açısından, kafes sistemin i. elemanı için yapılacak, bağıntılar daha sonra genelleştirilecektir. ağıntıların basitleştirilmesi amacıyla, ara işlemlerde i indisi kullanılmayacaktır. 5. Düzlem kafes elemanının yer değiştirme fonksiyonu, RITZ uygulaması Yer değiştirme fonksiyonu: ir düzlem veya uzay kafes sistemin i ve j noktalarına bağlı i. elemanı şekil 5. de görülmektedir. E, A, L bilinmektedir. Sistem, dış yükler etkisiyle, yer değiştirince elemanın i ve j noktalarında ve yerel yer değiştirmeleri oluşur, ve değerleri sabittir. Çünkü şekil değiştirme tamamlanmış, ve son değerini almıştır. Soru şudur: i ve j arasındaki herhangi bir noktada yer değiştirme nedir? Kafes eleman sadece uzayıpkısaldığından(eğilmediğinden) eleman boyunca yer değiştirme doğrusal olacaktır. Şekilde bu değişim grafik olarak gösterilmiştir, yer değiştirme fonksiyonu(ritz fonksiyonu) x û û û û ( + û ) a a + (5.) dir. ve parametrelerinin fiziksel bir anlamı yoktur. Matematik anlamda yer değiştirme fonksiyonunun doğrusal olduğunu vurgulayan her hangi sabit bir sayı anlamındadırlar. 5. veya aynı anlama gelen 5. fonksiyonu elemanın sınır koşullarını sağlamalıdır, yani da olmalıdır + de olmalıdır + veya, matris notasyonunda: $ $% ile her iki taraf çarpılarak olur. 5. de yerine yazılırsa $() $() (5.) * ) * ) +* ) Kafes elemanın yer değiştirme fonksiyonu (5.3), +,, i. elemanın yer değiştirme fonksiyonu(ritz fonksiyonu) (5.4) elemanın yer değiştirme fonksiyonu olarak bulunur. 5.3 bağıntısı ile yer değiştirme fonksiyonu fiziksel anlamı olan ve parametreleri cinsinden ifade edilmiş olmaktadır. Şekil değiştirme: Şekil değiştirmeler ile yer değiştirmeler arasındaki ilişki. ye göre -. (süreklilik koşulu) idi. Kafes eleman için,. bağıntıları nedeniyle, - -,. * ), olur: 3 4 gibi x matrisin determinantı det 4 3 ve tersi % 4 678 9 3 dir Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 49
-. - * ). 5.3 kullanılarak - * ) * ) * ) - ;+ :# 5. RİTZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi. Türev alınarak: :# Kafes elemanda şekil değiştirme sabit -,.+,, i. elemanın şekil değiştirme fonksiyonusüreklilik koşulu (5.6) 5.6 bağıntısına süreklilik koşulu da denilmektedir. (5.5) Gerilme: < - < > :# Kafes elemanda gerilme sabit <,, -, (5.7a) (5.7) 5. Elemanın yerel koordinatlarda toplam potansiyeli ve yerel rijitlik matrisi Yer değiştirme fonksiyonu: ir düzlem veya uzay kafes sistemin i ve j noktalarına bağlı i. elemanı şekil 5. de görülmektedir. E, A, L bilinmektedir. Sistemin yer değiştirmesi sonucu elemanın i ve j noktalarında ve yerel yer değiştirmeleri ve E ve E yerel kuvvetleri oluşur, bunların değerleri sabittir. Çünkü şekil değiştirme tamamlanmış, son değerlerini almışlardır. Eleman içinde de ε şekil değiştirmesi ve σ gerilmesi oluşmuştur. x û ŝ û ŝ?, : gerilmelerin şekil değiştirmelerle yaptığı iştir:?, @ -A - 4C ak: 3.9 5.6 yerine konarak ve nin sabit olduğu hatırlanarak,?, @. + A.+ 4C A @.+ A.+ 4C.? 6 dış kuvvetlerin yaptığı işin ters işaretlisidir: ak: 3. E? 6 D 6 E + E :# G E? A @.+ A.+ 4C A E I+ H A E? A JK A E Elemanın yerel koordinatlarda toplam potansiyeli (5.8) olur. uradaki JK @.+ A.+ 4C (5.9) Matrisine elemanın yerel rijitlik matrisi denir. oyutu elemanın yerel serbestlik derecesi kadar ve simetrik bir matristir. Şekil 5. deki eleman için x boyutundadır. Rijitlik matrisi ve transformasyon matrisi SEM in en önemli iki büyüklüğüdür. 5.9 bağıntısı her tip eleman(kafes, kiriş, levha, plak,..) için geçerli genel bir ifadedir. Ancak, eleman tipine bağlı olarak.+ ve matrislerinin boyutu ve terimleri değişir. Örneğin, kafes eleman için ve.+ 5.5 bağıntısındaki gibidir. Genelleştirme:?,, A JK,,, A E, i. Elemanın yerel koordinatlarda toplam potansiyeli (5.) JK, @.+, A,.+, 4C i. Elemanın yerel koordinatlarda rijitlik matrisi (5.) Local stiffness matrix of the member Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 5
Teorik örnek: Şekil 5.3 deki kafes elemanın yerel rijitlik matrisinin açık ifadesini belirleyiniz. Yerel rijitlik matrisi 5.9 a göre: JK @.+ A.+ 4C. Kafes elemanda ve 5.5 e göre.+ dir, yerine yazarak JK @ O+P JK > @ Q O+ 4 4C > @ 4 Q JK Kafes elemanın yerel koordinatlarda rijitlik matrisi (5.) olur. Elemanın yerel serbestlik derecesi dir(, ). Yerel rijitlik matrisi de x boyutlu ve simetriktir, terimleri sabit sayılardan(e, A, L) oluşmaktadır. 5.9 hem düzlem hem de uzay kafes eleman için geçerlidir. Çünkü sistem düzlem de olsa uzay da olsa elemanın yerel eksen takımı, serbestlik derecesi ve yer değiştirme fonksiyonu aynıdır. û d V Ad û 5.3 Elemanın yerel denge koşulu Elemanın 5.8 deki toplam potansiyeli? A JK A E denge konumunda minimum olur. vektorünün terimleri? nin parametreleridir. Çünkü 5.4 e göre, yer değiştirme(ritz) fonksiyonu yu parametre olarak içermektedir.? nin minimum olma koşulu R A JK A E dır. JK simetrik olduğundan R J K E JK E (5.3) Genelleştirilirse: JK,, E, i. Elemanın yerel koordinatlarda denge koşulu (5.4) olur. 5.4 bağıntısı elemanın yerel yer değiştirmeleri, belli olunca yerel kuvvetleri E, nin hesaplanmasında kullanılır. Sabit terimlerden oluşan yerel rijitlik matrisi JK, simetrik, fakat tekildir, yani det JK, dır ve JK, nin tersi yoktur. Kafes eleman için örnekleyelim. 5. deki rijitlik matrisi ile Z[\]H ]^]_[`a` b]c]^ d]`e] Ifş:^:: VWWWWWWWXWWWWWWWY E :# T (5.4a) det JK, det olur. u nedenle E, belli ise 5.4 kullanılarak, hesaplanamaz. JK, neden tekildir? 5.4 uzayda sabitlenmemiş (mesnetlenmemiş), gezer bir elemanın denge koşuludur,, ne olursa olsun geçerlidir. Üzerinde birbirini dengeleyen yükleri olan ama hiç mesnedi olmayan uzayda bir kiriş düşünün. Uzayda gezen, yer değiştiren Local equilibrium condition of the member A JK A E ifadesinin ya göre türevini şu basit düşünce ile bulabiliriz. Önce integraldeki büyüklüklerin matris değil, basit değişken ve sabitler olduğunu varsayalım: değişken, JK ve E sabit. i A JK A E j ij K E#j J K E J K E JK E olur. Matris karşılığı: JK E. Ayrıca bak: EKLER türev. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 5
ama şekil değiştirmeyen(rijit yer değiştirme yapan) her zaman dengede olan bir kiriştir. Kiriş kuvvetlerinden yer değiştirmeyi bulamazsınız, sonsuz cevabı vardır. Rijitlik matrisinin i. satır ve j. kolonundaki J,k teriminin fiziksel anlamı nedir? j. yer değiştirme ve diğerleri iken i. serbestlik derecesi yönünde oluşan kuvvettir(birimi: N/m, kn/mm, ). Kafes eleman ile örneklersek: :# T :# T E U E l :# T E U E l :# T û û Ŝ EA / L Ŝ EA / L Ŝ EA / L Ŝ EA / L û û Sayısal örnek: Şekil 5.5 deki kafes sistem kesiti verilen çelik borulardan imal edilmiştir. a noktasına uygulanan P ve P kuvvetleri bu noktanın yer değiştirmesine neden olmuştur. a) Yerel çubuk kuvvetlerini bulunuz. b) P ve P kuvvetlerini bulunuz. c) reaksiyonları bulunuz. Önce sistemin numaralanması, genel ve yerel koordinat sistemlerinin seçilmesi gerekir: Şekil 5.5a. E, yerel çubuk kuvvetlerini 5.4 teki JK,, E, bağıntısından bulabiliriz. unun için çubukların JK, yerel rijitlik matrislerini ve, yerel yer değiştirmelerini hesaplamamız gerekir. Genel yer değiştirmeler 4.a da verilen, ~,, bağıntısı ile yerel yer değiştirmelere dönüştürülür, o halde ~, transformasyon matrislerini de bulmalıyız. Düzlem kafes eleman için: Z[\]H ]^]_[`a` b]c]^%e]`]^ b]c d]ğtş Tc_] c[`h\fc_[hbf`: VWWWWWWWWWWWWXWWWWWWWWWWWWY :# T Δ n n n s t r G T { Z[\]H ]^]_[`a` b]c]^ d]`e] Ifş:^:: VWWWWWWWXWWWWWWWY E :# T ak: 5.4a : T ak: 4. Yapı çeliğinin elastisite modülü E.. 5 N/mm, kesit alanı { 6 { 6 3958.4 mm her elemanda aynıdır. 3 m 3 m x ˆx 3 ˆx x 3 m Şekil 5.5a: Düzlem kafes sistem Numaralandırma ve koordinat sistemi mm nolu elemanda : n 3 3 p, n 3 + 3 p, n r, n r r s t, :# u G u E v ). w rxyz.{ r s t : u :# u 7788 7788 Newton :# u H u I+u ˆx SEM işaret kuralına göre Klasik işaret kuralına göre (çekme pozitif) Hesaplar şekil değiştirmemiş sistem ile yapılır. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 5
nolu elemanda: n 3 3 p, n 3 3 p 3 + 3 4.46 p n r.77, n {.{ˆ %r.77 {.{ˆ 5. RİTZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi s t,.77.77.77.77 s t.77 :# G :# : -38.54 kn 38.54 kn E.77 38544 38544 Newton :#. w rxyz.{ {{.ˆ H I+ H ˆx Klasik işaret kuralına göre P ve P kuvvetleri: SEM işaret kuralına göre 38.54 kn 38.54 kn 38.54 kn + 77.9 38.54 Œ E45 79.3 JŽ + 38.54 Œ E45 97.96 JŽ noktasında reaksiyonlar : 3 noktasında reaksiyonlar: 38.54 kn r + 38.54 Œ E45 r 97.96 JŽ { 38.54 Œ E45 { 97.96 JŽ y 77.9 y 77.9 JŽ ˆ 5.4 Elemanın genel koordinatlarda toplam potansiyeli ve genel rijitlik matrisi Elemanın 5. daki toplam potansiyeli(i indisi kaldırıldı)? A JK A E cinsidendir. 4.a ve 4.a yerine konarak yerel büyüklükler(, J+,E? ~ A JK ~ ~ A E A ~ A JK ~ Š A ~ A E U v?,, A J,,, A E, (5.5) i. Elemanın genel koordinatlarda toplam potansiyeli toplam potansiyel genel büyüklükler(,,j,,e, cinsinden elde edilir. uradaki J, ~, A JK, ~, i. Elemanın genel rijitlik matrisi (5.6) matrisi elemanın genel rijitlik matrisidir. ilindiği gibi, toplam potansiyel bir sayıdır ve koordinat transformasyonu değerini değiştirmez, 5. ve 5.5 den bulunan sayısal değer aynıdır. Aradaki fark sadece Reaksiyonlar burada düğüm dengesinden, bilinen klasik yolla, hesaplanmıştır. SEM de daha sistematik başka bir yol izlenir, konular ilerledikçe açıklık kazanacaktır. Global stiffness matrix of the member Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 53
ilkinin yerel, ikincisinin genel büyüklükler cinsinden hesaplanmış olmasıdır. Sistemin toplam potansiyelinin hesaplanmasında 5.5 kullanılır, çünkü sistem genel koordinatlarda tanımlıdır. 5.5 Elemanın genel denge koşulu Elemanın denge konumunda 5.5 toplam potansiyeli minimum olmak zorundadır: R " " {, A J,,, A E, } J,, E, E, J,, i. Elemanın genel koordinatlarda denge koşulu (5.7) olur. Elemanın, genel yer değiştirmeleri belli olunca 5.7 bağıntısı ile elemanın genel koordinatlardaki E, uç kuvvetleri bulunur. det J, dır, J, nin tersi tanımsızdır(anlamı: bu bağıntıdan, hesaplanamaz). Teorik örnek: Düzlem kafes elemanın genel rijitlik matrisini bulunuz. 5.6 ya göre genel rijitlik matrisi J, ~, A JK, ~, 4. e göre transformasyon matrisi ~, n n n n 5. ye göre yerel rijitlik matrisi JK, dir. 3 n, 3 n ile gösterelim: 3 J, 3 s t 3 3 3 3 3 3 ŠK A P A 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 J, bulunur. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Düzlem kafes elemanın genel rijitlik matrisi (5.8) Teorik örnek: Uzay kafes elemanın genel rijitlik matrisini bulunuz. 5.6 ya göre genel rijitlik matrisi J, ~, A JK, ~, 4.4 e göre transformasyon matrisi ~, n n n r n n n r 5. ye göre yerel rijitlik matrisi JK, 3 3 J, 3 r 3 3 3 3 3 3 3 r 3 ŠK A 3 r A P dir. 3 n, 3 n, 3 r n r ile gösterelim: Gloabal equilibrium condition of the member Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 54
3 3 3 3 3 r 3 3 3 3 3 r 3 3 3 3 3 r 3 3 3 3 3 r J, 3 3 r 3 3 r 3 r 3 3 r 3 3 r 3 r 3 3 3 3 3 r 3 3 3 3 3 r 3 3 3 3 3 r 3 3 3 3 3 r 3 3 r 3 3 r 3 r 3 3 r 3 3 r 3 r Uzay kafes elemanın genel rijitlik matrisi (5.9) Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 5, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 55