14 RELATİVİTE VE ELEKTROMAGNETİK ETKİLEŞMELER A) GİRİŞ B) KİNEMATİK C) DİNAMİK D) ELEKTROMAGNETİK ETKİLEŞME E) ZORLIKLAR - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - II.A) GİRİŞ Relatiite nin gerçek babası Galile, sakin denizde sabit hızla giden bir gemideki gözleminin, sahilde hareketsiz duran bir gözlemi ile aynı fizik yasalarına tabi lduğunu ileri sürerek birbirine göre sabit hızla hareket eden gözlemilerin eşdeğer lduğu ilkesini rtaya atmıştı. 1905 yılında Einstein'ın Özel Relatiite terisinde aynen krunan bu ilkenin önemini karamak için öne geçerli lmadığı bir durumu inelemek gerekir. Bağıl hızları sabit lan iki gözlemi aynı nktada buluştukları anda ellerindeki çakmak taşlarını çarpıştırsınlar. Birini gözlemi, daha öne kapalı mekanlarda yaptığı çarpışma sesi çıkartma deneylerini hatırlayarak "Ses, merkezinde benim lduğum e yarıçapı zamana rantılı bir küre larak yayılır. Ses hızı u lmak üzere x y z u t ile erilir" diyeektir. Öteki gözlemi ise aynı mantıkla x y z u t lduğunu saunaaktır. Bu anlaşmazlığın hakemi, sesin yayılması için gerekli rtam lan haadır. Haa, gözlemilerden en az birini haksız bulaaktır. x y z u t sadee e sadee haaya göre hareketsiz lan gözlemiler için geçerlidir. Rüzgarlı rtamda deney yapan eya mesela ileri dğru hareket ettiği için yüzünde rüzgar hisseden gözlemiler için x y z e u t eşit değillerdir. 1887 ye kadar elektrmagnetik dalgaların da taşıyıı bir rtama gerek duyduğu sanılıyrdu. Mihelsn e Mrley, dünyanın bu rtama göre hızını ölçme deneyinden sıfır snuunu elde ettiler. Altı ay snra, dlayısıyla dünyanın hızının
15 4 6 10 m/s kadar farklılık gösterdiği bir zamanda tekrarlanan deney gene sıfır snuunu erdi. Bu hızın yerden e zamandan bağımsız larak sıfır luşu, böyle bir rtamın arlmadığını e üstelik gerekmediğini gösterdi. Şimdi çakmak taşı çarpıştıran iki gözlemiye dönelim e bu işlemden çıkan kıılımın ışığı knusundaki yaklaşımlarına bakalım: Birini gözlemi, daha öne yaptığı benzer deneyleri hatırlayarak "Işık, merkezinde benim lduğum e yarıçapı zamana rantılı bir küre larak yayılır. Işık hızı lmak üzere x y z t ile erilir" diyeektir; öteki de aynı mantıkla x y z t lduğunu saunaak e ikisi de haklı laaktır! Gözlemilerden en az birini haksız çıkartaak bir hakem lmayışının snuu lan bu eşdeğerlik, relatiitenin temelidir. Yukarıda sessize yapılan bir arsayım da her iki gözleminin de ışık hızı için kullanmasıdır. Bu arsayım Einstein ın Özel Relatiite terisi için rtaya attığı e nu Galile dan farklı kılan yeni bir düşünedir. (1) Galile nun eşdeğer gözlemi tanımı e ışık hızının tüm gözlemiler için sabit lması Relatiite için gerekli e yeterlidir. Einstein Relatiiteyi, t x y z Değişmez larak özetledi e Inarianztherie larak adlandırdı. Galile dan Einstein a, bir snraki adım için yaklaşık 300 yıl geçmiş lmasının sebep e snuçları üzerinde durmağa değer. İnsanın sadee beş duyusu ile kısıtlı lduğu dönemlerde, gözlemler e düşüne yapısı ister istemez insan ölçütlerinden etkileniyrdu. Prtgras'ın "İnsan herşeyin ölçüsüdür" sözü bu durumu yansıtır. Relatiitenin Değişmez i lan t x y z t r ifadesini insan ölçeği açısından inelersek kalbimizin iki atışı arasında geçen zaman aralığında ışık, byumuzun yüz milyn mislinden fazla yl alır. t r Değişmez ifadesinde t e r değerlerinin ölçüsüz bir biçimde farklı luşunun insanları yanılgıya süreklemiş lması dğaldır. () Bu yanılgı iki kademede, öne t x y z Değişmez yerine t Değişmez, dlayısıyla t Mutlak sanılmakla başlamış; arkasından bunun bir yan ürünü lan x y z Değişmez yanılgısı gelmiştir. Bu yanılgı, Dadalğlu nun deyimi ile Uzakları yakın eden bir krdinat sistemi lamayaağını baştan kabullenmiş lan insanlara dğal gelmiştir. Dlayısıyla 1-Byutta, Galile Dönüşümü larak x x u t t t, birbirlerine göre sabit hızla hareket eden iki bilinen,
16 eşdeğer gözlemi arasındaki ilişkiyi özetler. Buna göre x : Bağıl, t : Mutlak dx dx u lmaktadır. u lduğunu, anak d d a a ifadesi Hız ın da Bağıl sayesinde İme nin Mutlak luşunu belirler. Galile nun öldüğü sene dğan Newtn da dinamik bilimini Galile dönüşümünün tek mutlak bağımlı değişkeni lan İme üzerine kurmuştur. F m a denklemi, 19. Yüzyılın sn çeyreğinde gelişen e atm altı parçaıkların ışık hızına yakın hareket ettikleri deneylere kadar geçerliliğini krumuştur. B) KİNEMATİK 3-Byutlu Uzay'a Zaman'ın da eklenmesiyle luşan 3+1-Byutlu Minkwski uzayına geçmeden Özel Relatiite önesi kinematiğin temellerini hatırlamak yerinde lur. 3-Byutlu uzayda dönmeler 3 parametreli lineer bir dönüşümdür. () Bu dönüşüm altında knum r x, y, z gibi dönüşen 3 bileşenli ebirsel nesneler 'Vektör', değişmeden aynı kalan sayılar ise 'Skalar' larak adlandırılır. Dönme lineer bir dönüşüm lduğu için iki ektörün tplamı eya bir skalarla çarpılan ektör de ektör laaktır. Buna göre knum ektörünün diferansiyeli dr dx, dy, dz dx dy dz,, ifadesi daha genel bir yapı gerekeektir : 1 skaları ile çarpılarak Hız ektörü elde edilir. Bu yaklaşım 3+1-Byutlu uzaya taşınırken dğal larak i) 3-Byutlu uzayda dönmeler, dönmelere ek larak her yönde r i ri ut 'İtme' işlemlerini de içeren 6 parametreli Lrentz dönüşümlerine genelleşeektir, ii) Lrentz dönüşümleri altında x t, x, y, z t, r gibi daranan 4 bileşenli ebirsel nesneler ' 4-Vektör' larak adlandırılaaktır. Böylee eskiden skalar larak bilinen 'Zaman' artık bir 4-Vektör'ün 0'ını bileşeni lmaktadır.
17 iii) Lrentz dönüşümleri altında değişmeyen değerlere ise 'Lrentz Skaları' eya 'Lrentz Değişmezi' deneektir. V W W W, W semblü ile gösterileek lan, V V, V e V W gibi iki 4-Vektörün 'Minkwski Skalar Çarpımı' lan V W ifadesinin Lrentz Skaları lduğunu göstermek zr değildir. Dlayısıyla bir 4-Vektörün 'Nrm'u da V V V V V larak tanımlanaaktır. 'Hız' knusuna dönersek : dx, dr bir 4-Vektör'dür anak 1 artık skalar lmadığı için Hız 4-Vektörü elde etmek daha zahmetli bir işlem laaktır. dx, dr 4-Vektörünün bir Lrentz Skaları lan Nrm'u dr dr kullanılarak, snsuz küçük bir Lrentz Skalar zaman aralığı lan ds, dr dr ds denklemi ile tanımlanır e ds 1 elde edilir. Dlayısıyla 4-Hız, dr, 1 1 1, 4-Mmentum da m m p, 1 1 ile erilir. p E m 1 ifadesinin açılımı ise E m 3 m 8 4 m, yani Enerji = Kütle Enerjisi + Kinetik Enerji + 1. Mertebe Relatiistik Düzeltme +... erir. ifadesini
18 C ) DİNAMİK İlk öneliğimiz Relatiite önesi Klasik Mekaniğin en temel karamı lan S S rt, Eylem fnksiynelini Relatiiteye taşımak laaktır. Bunu yaparken geçmişte ds L larak tanımlanan Eylem'in Skalar bir ifade lduğu, Relatiitede ise Lrentz Değişmezi lması gerekeeği rtadadır. L KU Lagrange fnksiynu, etkileşmesiz durumda (0) m L K biçimini alır. Lise yıllarından beri Kinetik enerji larak tanıyıp (0) (0) d L L d kullandığımız bu ifadenin asıl e temel işlei p k k rk mmentum krunumunu sağlamaktır. Relatiitede benzer rlü üstlenerek 0 d m k 1 0 sağlayaak bir fnksiyn (0) L m 1 larak inşa edilir. Lrentz Skaları'dır. (0) (0) ds L m 1 m ds dğal larak bir (0) L L U genel haline geçerken, etkileşme terimi U için çk genel e temel bir örnek larak Elektrmagnetik etkileşmeler kullanılaaktır. D ) ELEKTROMAGNETİK ETKİLEŞME Başlangıç nktamız Maxwell denklemlerinin diferansiyel biçimi : 1 E ; B E ; t 1 B 0 ; B J E t
19 laaktır. B 0 B A Vektör Ptansiyel tanımı e bunun Faraday yasasına yerleştirilmesinden elde edilen A A E A E E A t t t 0 Skalar Ptansiyel tanımı ile elektrmagnetik alanlar, ptansiyeller insinden A E A ; B A t lurlar. Bu alanların Lrentz kuet ifadesine A t yerleştirilmesi ise F q E B q A A erir. A da A A t özdeşliği kullanılarak da da F q A A elde edilir. Etkileşme ptansiyeli U 'nun saptanmasında F k d U U k rk denkleminden yararlanılır e U q A A bulunur. Eylem ifadesinde yer alaak U teriminin de bir Lrentz Skaları lduğu U q 1 A A q A ds 1 1 denkleminden anlaşılmaktadır. Fizikte çk kullanılan 4-Vektörler e bunların Minkwski Skalar Çarpımları, dlayısıyla Lrentz Skalarları aşağıda erilmektedir.
0 4-Knum : x t, r 4-Mmentum : p E, p 4-Akım : J, J 4-Ptential : A A, A 4-Nabla : 1 t, p p m : Kütle Frmülü J J 0 t : Yük Krunumu A 0 : Lrentz Ayarı 1 t : Dalga diferansiyel peratörü. E ) ZORLUKLAR Daha dğru lan e eski mekaniği limiti larak içinde barındıran Relatiite, d L L uygulamalar açısından kısıtlı e kısır bir teridir. 0 q benzeri j q j denklemleri Relatiiteye taşımak çk zrdur. Kartezyen krdinatlarda e tek bir parçaık d L L için bile güçlükler belirir. yerine ds kullanarak yazılan 0 ds q
1 denklemleri, 'lar bağımsız lmayıp kısıtına uydukları için bu en basit prblem bile Lagrange çarpanları gerektirir. Hele çk parçaık prblemlerinde her parçaığın Lrentz Değişmez Zamanı aynı lmayaağı için iyie çıkmaza girilir. Nitekim Relatiite önesi mekanikte iki parçaık prblemi, kütle merkezi e bağıl krdinatler kullanılarak tek parçaık prblemine indirgenebildiği halde Relatiite'de buna imkan yktur. (3) Bu yüzden tıkanan mekanik terkedilerek Alan Terisi eya Kuantum Mekaniği'ne geçilir. Anak eski terinin kadar önemli lmayan bir unsuru yeni terilerde başrle çıkabilir. Alan terilerinde Lagrange, Kuantum'da Hamiltn fnksiynları buna örnektir. Bu yüzden bundan snraki adım Relatiite'de Hamiltn fnksiynu inşası laaktır. Elektrmagnetik alanlarla etkileşen m kütleli e elektrik yüklü nktasal bir parçaık için Lagrange fnksiynunun m 1 ea A L lduğu hatırlanarak mmentum ifadesi k p ea m 1 p L mk k 1 ara snuunu H = p L = p m e A 1 ea k bulunur. Hamiltn fnksiynu luşturulmakta kullanılına da H m 1 e A m p ea e A snuuna ulaşılır. Bu ifade dğru lmakla beraber relatiiteye uygunluğu aşikar lmadığı için estetik açıdan zayıftır; bu yüzden p H tanımı ile p ea p ea m larak yazılır. İç yapısı lmayan nktasal
parçaıklar için geçerli lan p p ea dönüşümüne 'En Yalın Genelleme İlkesi' adı erilir. Nktasal, dlayısıyla iç yapısı lmayan parçaıklar için bu ilke dğaldır. Anak nktasal parçaıkların bile 'Spin' adı erilen syut ebirsel kökenli yapıları labileeği e bu yapının magnetik alanla etkileşebileeği Kuantum fiziğinde karşımıza çıkaaktır. p ea p ea m bağıntısı, V A ; U e V tanımları ile, daha tanıdık p ea durumunda, H NR H m U biçimine dönüşür. m PROBLEMLER B.1 ). Mertebe Relatiistik düzeltme ifadesini hesaplayın, B. ) a d 4-İme ifadesini hesaplayın, ds B.3 ) e a 0 lduğunu gösterin. E.1 ) m 1 ea A L ifadesinden başlayarak p ea p ea m snuuna ulaşın.
3 E. ) Yukarıdaki snuçtan p ea H NR U ifadesini elde edin. m E.3 ) H NR ifadesine sabit magnetik alan için geçerli A r B yerleştirerek (1) H B etkileşmesinde yer alan 'Magnetik Mment'in, Açısal Mmentum'a bağlılığının e L lduğunu gösterin. m EKLER VE NOTLAR (1) Bu ntlarda Genel Relatiite'ye hiç değinilmeyeeği için bundan snra 'Özel Relatiite' yerine sadee 'Relatiite' deneektir. () Mdern fizik önesi gözlenen en yüksek hız lan Merkür gezegeninin güneş etrafında hareketinde bile < 10 9 lmaktadır. (3) Dönme açısı + eksen birim ektörü eya Euler açıları. (4) Bu yüzden "Relatiite önesi mekanikte 3 parçaık, Relatiite'de, Alan terilerinde 1 parçaık prblemleri çözümsüzdür" denir.